高等数学微分方程习题

第七章

微分方程与差分方程

习题7－1（A ）

1． 说出下列微分方程的阶数：

;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x

.0)32()67()3(=++-dy y x dx y x

2． 下列函数是否为该微分方程的解：

x e x y y y y 2;

02)1(==+'-''

)(2;

0)()2(2为任意常数C x

x C y xdy dx y x -==++

),(cos sin ;

0)

3(212122

2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+

)(ln ;

02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+

3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：

;5,

)1(0

22==-=x y

C y x

;1,0,

)()2(0

221='

=+===x x x y y

e x C C y .

0,1,

)(sin )3(21='=-===ππ

x x y y

C x C y

4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

点横坐标的平方。

处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2(

习题7－1（B ）

1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：

;

1)()1(22=+-y C x .

)2(21x x e C e C xy -+=

2．用微分方程表示下列物理问题：

平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1(

。

速度成反比（比例系数同时阻力与，

成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m

习题7－2（A ）

1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x

;0553)2(2='-+y x x ;

)()3(2y y a y x y '+='-'

;10)

4(y x dx

dy

+=

;

11)5(2

2

x y y --='

;

1)

6(2x

y x

dx dy -=

;

63)7(32

22y

x y y x x dx dy --=

;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;

0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .

0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x

2．求解下列初值问题：

;0,)1(02=

='=-x y x y

e y

;4

,cos cos sin cos )2(0π=

==x y dy

dx

x

y y x

;0,ln sin )3(2

=='=

π

x y y y x y .

1,

)1()4(1

=='+=x x x y

e y y e

平分，求这曲线方程。

意切线线段均被切点所，它在两坐标轴间的任一曲线过点)3,2(.3方程。

斜率的两倍，求这曲线到该切点的连线的

的切线斜率等于自原点，且在曲线上任何一点一曲线过点)3

1

,1(.4

习题7－2（B ）

及流完所需的时间。

求水面高度变化的规律，的孔漏斗下面有面积为，顶角为斗，高为有一盛满水的圆锥形漏2)(5.0,60)(10.1m c cm o

后的速度是多少？

运动开始经过了一分钟，问从达因，外力为时速度等于秒速度成反比；在，和质点运动的，这外力和时间成正比线运动的质点受外力作用作直克质量为)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ?= 的函数关系。与时间的一半，试求镭的量年后，只余原始量镭经过由经验材料得知，，成正比存量镭的衰变速度与它的现：镭的衰变有如下的规律t R R R 01600.3

间变化的规律。

成正比，试求船速随时知阻力和速度秒后速度减至一半，已，初速开始运动的船以5)/(6.40s m v =

间的函数关系。

在上升过程中速度与时，试求为常数竖直上抛，空气阻力为的物体在空气中以速度设将质量为)(.50k kv v m

，求这曲线方程。

倍矩形面积的的

坐标面积等于同底而高为纵为底构成的曲边梯形的，它以一曲线过点)1(1

],[),2(.6>m m y x a b a .

)(,)()

1()()(.70

x y dx x y x x dx x y x

x y x x 求且满足

是一个连续可微函数，设?

?

+=

习题7－3（A ）

1． 求下列齐次方程的通解： ;)ln (ln )1(x y y y x -=' ;

0)2(22=--

-'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;

0)2()4(=+-xdy dx y xy ;

)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=

.03)32()6(=-+dy x

y

ch x dx x y ch y x y sh

x

2．求解下列初值问题：

;

0)1(,0cos )cos ()1(==-+y dy x y

x dx x y y x

.

2)1(,)2(=+=

'y x

y y x

y

3． 求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。

4． 求一曲线方程，使其上任一点处的切线在 y 轴上的截距恰好等于原点O 到

该点的距离。

习题7－3（B ）

1． 求下列齐次方程的通解或特解：

;1)2

1()1(='-y y

x

;0)1(2)21()2(=-

++dy y

x

e dx e y

x y

x

;1,

02)3()3(0

22==+-=x y

xydx dy x y

.

1,

0)2()2()4(1

2222==-++-+=x y

dy x xy y dx y xy x

2*．化下列方程为齐次方程，并求出通解： .

0)433()()4(;0)337()773()3(;0)14()1()2(;0)642()352()1(=--++=+-++-=-+---=-+-+-dy y x dx y x dy x y dx x y dy x y dx y x dy y x dx y x

习题7－4（A ）

1． 求下列微分方程的通解： ;)

1(x e y dx

dy

-=+

;cos )2(sin x e x y y -=+' ;

)1()3(2x e y x y x =-+'

;

02sin tan )4(=-+'x x y y

;

0cos 2)1()5(2=-+'-x xy y x .)2(2)

2()6(3-+=-x y dx

dy

x

2． 求解下列初值问题：

;1,sin )1(==+=πx y x

x x y dx dy

;0,sec tan )

2(0==-=x y x x y dx

dy

;

4,5cot )3(2

cos -==+'=

π

x x y

e x y y

;2,83)

4(0==+=θρρθ

ρ

d d

.

0,132)5(1

32==-+=x y y x

x dx dy

3． 求通过原点且在任一点 (x , y ) 处的切线斜率等于 2 x + y 的.曲线方程。

4． 一门课程结束后，学生学到的知识开始慢慢忘记，假设学生忘记其所学知识的速率

与他们当时还记得的知识与某一常数 a 之间的差成正比（比例系数设为 k ）

（1） 设 y (t ) 为课程结束 t 星期后仍被学生记得的那部分知识的多少，试建立关 于y (t ) 的微分方程；

（2） 设课程结束时学生学到的知识的量为 1 （即 100％），解此微分方程； （3） 试解释在解中的两个常数 a 和 k 的实际意义。

5． 求下列伯努利方程的通解：

;)sin (cos )

1(2x x y y dx

dy

-=+

;3)

2(2xy xy dx

dy

=- ;4)3(y x x

y

y =-'

;)21(3

1

3)

4(4y x y dx dy -=+

.

0)]ln 1([)5(3=++-dx x xy y dy x

习题7－4（B ）

1． 求下列微分方程的通解：

;1)

2()1(=+dx

dy

y x

;

02)6()2(2=+'-y y x y ;

ln 2)3(x

y y y y

y -+=

'

;

0)ln (ln )4(=-+dy y x dx y y

.

0)arctan ()1()5(2=-++dy y x dx y

2． 求解下列初值问题：

;0,1)2()1(2

==-'=x y y

x e y

;1,0cos 1)2(2==+-

'=πx y y x

x y x y

;

0,

0)1()1()3(1

2==+=-+=x y y

dy e y dy x dx y

.

0,

0)cos 1()1()4(222==+-++=x y dy y y xy dx y

.

)(],0[)()(1)0()0()(.3x f x x f y x x x x f y f x x f y 求上的一段弧长值相等，在面积值与的垂线所围成的图形的点与轴上过原点轴及，，已知曲线连续可微，且设===≥=

的函数关系。

与时间量度流出，求桶内所含盐升的速以每分钟定搅拌均匀后的混合物升的流速注入桶内，假的盐溶液并以每分钟公斤公斤，现用浓度为每升升含溶解盐升盐溶液，其浓度为每一圆柱形桶内有t x 445.1140.4

关系。

数运动的速度与时间的函）的阻力作用，求质点数为与速度成正比（比例系还受一个）的力作用于它，此外成正比（比例系数为方向一致、大小与时间有一个与运动速度等于零的时刻起，的质点作直线运动，从设有一质量为21.5k k m

6．用适当的变量代换将下列方程化为已知类型，然后求出通解：

;)()1(2y x dx

dy

+= ;11)

2(+-=y

x dx dy

;)ln (ln )3(x y y y y x +=+'

;1)4(2x e x

y e y

y =+

'

;

1cos sin 2sin )1(sin 2)5(22+--+-+='x x x x y y y

;0)cos 1(cos sin ln )6(=-+?'y x y y x y x

7． 验证形如 0)()(=+dy xy g x dx xy f y 的微分方程，可经变量代换 xy v = 化为

可分离变量的方程，并求其通解。

.)(,3)()(.8230

x f e t d t f x f x f x x 求满足已知连续函数+??

?

??=

?

.)(,1)()()()(.91

3

x f x f dx x

x f x x f x f x

试求满足

设可微函数-=+?

为任意常数）。

（其中必为该方程的通解证明：

的两个不相同的特解，是微分方程设C x y C x y C y x Q y x P y x y x y )()1()()()()(,)(.1021121-+==+'

为常数）。

（：

的三个相异的解，证明是微分方程设C C x y x y x y x y x Q y x P y x y x y x y =--=+')

()()

()()()()(,)(,)(.111213321

习题7－5（A ）

1．求下列微分方程的通解：

;

)1(x e x y =''' ;

11

)2(2

x y +=

'' ;0)3(='-''y y x ;

)4(x y y +'=''

;

)(1)5(2y y '+='' ;44)6(y x y y ''=''+' ;

1)7(2+='+''x y y x .ln

4)8(x

y y y ''=''

2． 求下列微分方程的通解：

;01)1(3=-''y y ;

)()2(3y y y '+'=''

;

1)3(y

y =

''

.

0)()4(2='+'-''y y y y

3． 求解下列初值问题：

;

0,)1(111

=''='=='''===x x x ax y y y

e y

;

1,0,0)1()2(00

2='=='-''-==x x y y y x y x

;

0,1,01)3(11

3='==+''==x x y y

y y

;

1,0,0)()4(00

2-='=='-''==x x y y y a y

;

0,)5(00

2='==''==x x y y y

e y

.

1,1,2)6(00

22-='=+'=''==x x y y

y y y y

相切的积分曲线。且在此点与直线的经过点试求12

)1,0(.4+=

=''x

y M x y

习题7－5（B ）

1． 求下列微分方程的通解：

;

)1(y y ''=''' ;

0)()2()4(2=''-'''y y y

.

)(,)()()(2

1)(),0[)(.20

x y t d t y t y t x x x y x y x 求满足

上的连续可导函数，且是设?

'-+-=∞+

.

)(,)(1

))(,()(,0.30

x f t d t f x

y x f x x f y x x 求轴上的截距等于

处的切线在上点曲线设对任意?

=>

的函数关系。

与时间，试求物体下落的距离为物体运动的速度为常数，其中阻力为

止开始落下，如果空气的物体，在空气中由静设有一质量为t s v c v c R m )(.422=

习题7－6（A ）

1． 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？

;

2,)1(x x ;

,)2(2x x ;

3,)3(22x x e e ;

,)4(x x e e -

;cos sin ,2sin )5(x x x .

2sin ,2cos )6(x x