2021年-考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析
欧阳光明（2021.03.07）
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+
→0x 时，若)(ln x 21+α
，α1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，
则α的可能取值范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）)
,(210
【详解】
αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，
αα
α2
1
1
21
1x x ~
)cos (-是α2
阶
无穷小，由题意可知?
????>>12
1
αα
所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）
x
x y 1
sin
+= （D ）
x x y 12sin
+=
【详解】对于
x x y 1sin
+=，可知1=∞→x y x lim 且0
1
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所
以有斜渐近线x y = 应该选（C ）
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，
)()(x g x f ≤
（C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥（D ）当0≥'')(x f 时，
)()(x g x f ≤
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接
))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也
就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而
010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应
该选（D ）
4．曲线??
?++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）
50
10
（Ｂ）100
10
(Ｃ）1010 （Ｄ）105
【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式
3
21)'("y y K +=
，曲率半径
K
R 1=
．
本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx
dy 21242+=+=，3222122t t t dx y d -
=-
=，
对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10
10113
2=
+=
)'("y y K ，曲率半
径
10101
==
K R ．
应该选（C ） 5．设函数
x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=
→22
0x x ξlim （ ）
（Ａ）1
（Ｂ）32（Ｃ）21
（Ｄ）31
【详解】注意（1）
2
11
x x f +=
)('，（2）
)
(arctan ,3331
0x o x x x x +-=→时．
由于)(')(ξxf x f =．所以可知
x x
x x f f arctan )()('=
=+=
2
11ξξ，
22)(arctan arctan x x x -=
ξ，
31313
33
20
2
2
=
+-
-=-=→→→x x o x x x x x x
arx x x x x x )
()(lim
)(arctan tan lim
lim
ξ
． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连
续偏导数，且满足02≠???y x u 及0222
2=??+??y u
x u ，则（ ）．
（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边
界上；
（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是
=??=??y u
x u ，在这个点处
x y u y x u B y u C x u A ???=???=??=??=222222,,，由条件，显
然02
<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以
),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域
D 的边界上．
所以应该选（A ）．
7．行列式
d
c d c b
a b a 00000
00等于
（A ）
2
)(bc ad -（B ）2)(bc ad --（C ）2
222c b d a -（D ）
2222c b d a +-
【详解】 应该选（B ）．
8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，
32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件（D ） 非充分非必要条件
【详解】若向量321ααα,,线性无关，则
（31ααk +，32ααl +）
K
l k ),,(),,(3213211001αααααα=???
?? ??=，对任意的常数
l k ,，矩阵K
的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无
关．
而当
??
??? ??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，
32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．?
∞
-=
++12521
dx x x ．
【
详解
】
?
?∞
-∞-∞-=??? ??--=+=++=++111228324212121415
21π
ππ)(|arctan )(x x dx dx x x ．
10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则
=)(7f ．
【详解】当[]20,∈x 时，
C
x x dx x x f +-=-=?2122)()(，由00=)(f 可知
0=C ，即x x x f 22
-=)(；)(x f 为周期为
4奇函数，故
1117==-=)()()(f f f ．
11．设),(y x z z =是由方程4722=
+++z y x e yz 确定的函数，则=
?
?? ??2121,|dz ．
【
详
解
】设
4
722-
+++=z y x e z y x F yz ),,(，
1
222122+=+==yz
z yz
y x ye
F y ze F F ,,，当
2
1=
=y x 时，0=z ，
2
1-=-=??z x F F x z ，21-=-=??z y F F y z ，所以=?
?? ??2121,|dz dy dx 2121--．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点
?
??
??=22ππθ,),(r 处的切线方程为．
【详解】先把曲线方程化为参数方程??
?====θ
θθθθ
θθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在
2
π
θ=
处，
2
0π
=
=y x ,，
π
θθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点
??? ??=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即
.
22ππ+-=x y 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度
122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．
【详解】质心坐标2011351211
12210
21
2
3101
0=
=++-++-==????dx x x dx x x x dx x dx
x x x )()()()(ρρ．
14．设二次型
3
2312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，
则a 的取值范围是． 【详解】由配方法可知
由于负惯性指数为1，故必须要求042
≥-a ，所以a 的取值范围是
[]22,-．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限)ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12
+
--?+∞
→．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求
未定型极限． 【详解】
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程
''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到
2211x dx dy
y -=+)
(，这是一个可分离变
量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：
C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32
=C ， 即32
313
133+
-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知
322
2222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=；
当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分） 设平面区域
{}
04122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算
??
++D
dxdy
y x y x x )
sin(22π
【详解】由对称性可得 18．（本题满分10分） 设函数
)
(u f 具有二阶连续导数，
)
cos (y e f z x =满足
x
x e y e z y z x z 22
2224)cos (+=??+??．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
【详解】
设y e u x
cos =，则
)cos ()(y e f u f z x ==， y e u f y e u f x z
e u
f x
z
x x y x cos )('cos )(",)('cos +=??=??222
2;
y e u f y e u f y z y e u f y z x x x
cos )('sin )(",sin )('-=??-=??2222； 由条件x
x e y e z y z x z 22
2224)cos (+=??+??，
可知
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：
u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为
u
y 41
-=*． 故非齐次方程通解为
u
e C e C u
f u u 41
2221-+=-)(．
将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==
C C ,．
所以)(u f 的表达式为
u e e u f u u 41
16116122--=
-)(．
19．（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：
（1）
[]
b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤?0； （2）
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx
x g x f dx x f b
a )()()()(．
【详解】
（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]
b a x dt dt t g dx x
a
x a
x
a ,)(∈≤≤???10．
即
[]
b a x a x dt t g x
a ,,)(∈-≤≤?0．
（2）令
?
??-=+
x
a dt
t g a a
x
a
du
u f du u g u f x F )()()()()(，
则可知0=)(a F ，且
??? ??+-=?x
a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('， 因为,
)(a x dt t g x
a
-≤≤?0且)(x f 单调增加，
所以
)()()(x f a x a f dt t g a f x
a =-+≤??? ??+?．从而
0=-≥??? ??+-=?)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x
a ， []
b a x ,∈
也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx
x g x f dx x f b
a )()()()(．
20．（本题满分11分） 设函数
[]101,,)(∈+=
x x x
x f ，定义函数列
)()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限
n
n nS ∞
→lim ．
【详解】
x x
x x x x
x f x f x f x x x f 21111111121+=
++
+=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=，
利用数学归纳法可得
.)(nx x
x f n +=
1
)
)
ln(()()(n n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==??
?11111111101
01
，
111=???
??+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ．
21．（本题满分11分） 已知函数
),(y x f 满足)(12+=??y y f
，且
y y y y y f ln )()(),(--+=212
，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】
由于函数),(y x f 满足
)(12+=??y y f
，所以
)(),(x C y y y x f ++=22
，其中
)(x C 为待定的连续函数．
又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21，
得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．
令
0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,．
曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为 22．（本题满分11分）
设
??
???
??---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵． （1）
求方程组0=AX 的一个基础解系； （2）
求满足E AB =的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
??
??
? ??--→????? ??----→????? ??----→????? ??---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，
得到方程组0=AX 同解方程组
得到0=AX 的一个基础解系
???
???
?
??-=13211ξ．
（2）显然B 矩阵是一个34?矩阵，设
??????
?
??=44
4
333222111z y x z y x z y x z y x B
对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下： 由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
??
??
???
??-+?
?????
? ??--=??????? ??1321011214321c x x x x ，??
??
???
??-+??????? ?
?--=??????? ??1321043624321c y y y y ，??
??
???
??-+?
?????
? ??-=??????? ??1321011134321c z z z z ，
即满足E AB =的所有矩阵为 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）
证明n 阶矩阵
??
?
??
?
?
?
?111111111
与?
??????
?
?n 00200100 相似． 【详解】证明：设=A ??????? ?
?111
111111
，=
B ???
?
?
??
??n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
1
1
1
1
1
11111
--=---------=
-n n A E λλλλλλ)( ，
所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；
而且
A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且
???
??
??
??00 λ~A ；
所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；
对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对
角化，且
???
??
??
??00 λ
~B
从而可知n 阶矩阵??????? ?
?111
111111
与
????
?
??
??n 00200100 相似．