辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。 正解：由上面的解法，可得A ＜90°。
又∵a 为最大边，∴A ＞60°。因此得A 的取值范围是（60°，90°）。
例题2 在△ABC 中，若
a b
A B
22
=
tan tan ，试判断△ABC 的形状。
错解：由正弦定理，得
sin sin tan tan 2
2
A B
A B
=
即
sin sin sin cos cos sin sin sin 2
2
00A B
A A
B B
A B =
>>·
，∵，
∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。
∴2A ＝2B ，即A ＝B 。故△ABC 是等腰三角形。
辨析：由sin sin 22A B =，得2A ＝2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。 正解：同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+
或222A k B k Z =+-∈ππ()。
∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π
2
。
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题3 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=
3，求
a b c A B C
++++sin sin sin 的值。
错解：∵A ＝60°，b ＝1，S ABC △=
3，又S A B C △=
12
bc A sin ，
∴
312
=
c sin 60°，解得c ＝4。
由余弦定理，得a b c bc A =+-=
+-2
2
2116860cos cos °=13
又由正弦定理，得sin sin C B =
=
639
3239
，。
∴
a b c A B C
++++=
+++
+
sin sin sin 1314323239
639
。
辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解：由已知可得c a ==
413，。由正弦定理，得
213602393
R a A
=
=
=
sin sin °
。∴
a b c A B C
R ++++==
sin sin sin 22393
。
例题4 在△ABC 中，c =+62，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。
错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。
由正弦定理，得
a A
b
A sin sin()
sin =
-=
+15062
30°°
∴a A =+262()sin ，
b A =+
-262150()sin()°
又∵sin sin()A A ≤-≤11501，° ∴a b +≤+++=+262262462(
)()()。
故a b +的最大值为462()+。
辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。这里A 与150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能
同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。 正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。
由正弦定理，得
a A b
A sin sin()
sin =
-=
+15062
30°°
因此a b A A +=+
+-262150()[sin sin()]°
sin 75cos(75)cos(75)4
(8cos(75)8A A A =-=-=+-≤+°°°°
∴a ＋b 的最大值为84
3+。
例题5 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。
错解：由余弦定理，得c
a b ab 2
22
215=+-cos °
482284
=+-=-××∴c =-62。
又由正弦定理，得sin sin A a C c
=
=
12
而0
018030150A A A <<=，∴＝或。
辨析：由题意b a >，∴B A >。因此A ＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，
特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。 正解：同上c A b a =
-
=
>6212
，，∵sin ，
018030B A A A ><<=∴，且，∴。
例题6 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。 错解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理
得22R A A R B B sin cos sin cos =
∴sin sin 222222180A B A B A B ==+=，∴且° ∴A ＝B 且A ＋B ＝90° 故△ABC 为等腰直角三角形。
辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。
正解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理， 得2222R A A R B B A B sin cos sin cos sin sin ==，∴。 ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题7 若a ，b ，c 是三角形的三边长，证明长为
a b c ，，的三条线段能构成锐角三角形。
错解：不妨设0<≤≤a b c ，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。
cos ()()()
θ=
+-=
+-a b c a
b
a b c ab
222
22。
由于a ，b ，c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b c +>，即cos θ>0。
∴长为a b c
，，的三条线段能构成锐角三角形。
辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。
正解：由错解可得cosθ>0
又∵a b c a b c a b c
a b c
+-=
+-++
++
()()
==+>
即长为a b c
，，的三条线段能构成锐角三角形。
高考试题展示
1、（06湖北卷）若A B C
?的内角A满足
2
sin2
3
A=，则sin cos
A A
+=
A.
3
．
3
-．
5
3
D．
5
3
-
解：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA>0，
又2
5
(sin cos)1sin2
3
A A A
+=+=，故选A
2、（06安徽卷）如果
111
A B C
?的三个内角的余弦值分别等于
222
A B C
?的三个内角的正弦值，则
A．
111
A B C
?和
222
A B C
?都是锐角三角形
B．
111
A B C
?和
222
A B C
?都是钝角三角形
C．
111
A B C
?是钝角三角形，
222
A B C
?是锐角三角形
D．
111
A B C
?是锐角三角形，
222
A B C
?是钝角三角形
解：
111
A B C
?的三个内角的余弦值均大于0，则
111
A B C
?是锐角三角形，若
222
A B C
?是锐角三角形，由
211
211
211
sin cos sin()
2
sin cos sin()
2
sin cos sin()
2
A A A
B B B
C C C
π
π
π
?
==-
?
?
?
==-
?
?
?
==-
?
?
，得
21
21
21
2
2
2
A A
B B
C C
π
π
π
?
=-
?
?
?
=-
?
?
?
=-
?
?
，那么，
2222
A B C
π
++=，所以
222
A B C
?是钝角三角形。故选D。
3、（06辽宁卷）A B C
的三内角,,
A B C所对边的长分别为,,
a b c设向量
(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q
,则角C 的大小为
(A)
6π
(B)
3π
(C)
2
π
(D)
23π
【解析】222
//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-= ，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23
C C π=?=
，故选择答案B 。
【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、（06辽宁卷）已知等腰A B C △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）
2
Ｂ．
8
Ｄ．
7
解：
依题意，结合图形可得tan
2
15
A =
，故2
22tan
2
tan 7
1tan
2
15
A A A =
==-，选D
5、（06全国卷I ）A B C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =
A ．
14
B ．
34
C
．
4
D
．
3
解：A B C ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ，
222
cos 2a c b
B ac
+-=
=
222
2
42344
a a a
a
+-=
，选B.
6、06山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =
3
π
,a =
3,b =1，则c =
(A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3
解：由正弦定理得sinB ＝
12
，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30?，所以C ＝90?，故c ＝2，选B
7、（06四川卷）设,,a b c 分别是A B C ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2
a b b c =+是2A B =的 （A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件
解析：设,,a b c 分别是A B C ?的三个内角,,A B C 所对的边，若()2
a b b c =+，
则2
sin sin (sin sin )A B B C =+，则
1cos 21cos 2sin sin 2
2
a
B
B C --=
+，
∴
1(cos 2cos 2)sin sin 2
B A B
C -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=，
又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =， 若△ABC 中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2
a b b c =+，
所以()2
a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.
8、（06北京卷）在A B C ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________. 解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =?a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，
由余弦定理可解得B ∠的大小为
3
π
.
9、（06湖北卷）在?ABC 中，已知4
33=
a ，
b ＝4，A ＝30°，则sinB
＝
2
.
解：由正弦定理易得结论sinB
＝
2
。
10、（06江苏卷）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得，
sin 45
sin 60
A C
B
C =
解得AC =【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理
11、（06全国II ）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ． 解析: 由A B C ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3
B π
∠=
AD 为边BC 上的中线可知BD=2,
由余弦定理定理可得AD =
本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、（06上海春）在△ABC 中，已知5,
8==AC BC ，三角形面积为12，
则=C 2cos . 解：由三角形面积公式，得
1sin 20sin 122
B C C A C C ??==，即3sin 5
C =
．
于是2
7cos 212sin 25
C C =-=
从而应填
725
．
13、（06湖南卷）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
（1）证明 sin cos 20αβ+=;
（2）若
AC=
求β的值.
解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 22
22
π
π
π
απββαββ=
--=-
∴=-=- ，
即sin cos 20αβ+=．
（2）．在A B C ?中，由正弦定理得
,.sin sin sin()
sin sin D C A C D C C βαα
πβα
β
=
?
=
∴=-
由(1)得sin cos 2αβ=-，2
sin 22sin ),βββ∴==-
即2
sin 0.sin sin 2
3
ββββ--
==
=-
解得．
B D C
α
β
A
图3
0,s i n ,.
2
2
3
π
π
βββ<<
∴=
?=
14、（06江西卷）在锐角A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，
已知sin 3
A =
，
（1）求2
2
tan
sin
2
2
B C A ++的值；
（2）若2a =
，ABC S =
△b 的值．
解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π
，sin 3
A =，所以cosA ＝13
，则
2
2
2
22B C
sin
B C A A
2tan
sin
sin B C
2
2
2cos
2
1cos B C 11cos A 17
1cos A 1cos B C 21cosA 33
＋＋＋＝
＋＋－（＋）＋＝
＋（－）＝＋＝
＋（＋）－
（2
）ABC ABC 11S S bc sin A bc 2
2
3
?
因为又＝
＝
，则bc ＝3。
将a ＝2，cosA ＝
13
，c ＝
3b
代入余弦定理：2
2
2
a b c 2bc cos A ＝＋－中得42
b 6b 90－＋＝
解得b
15、（06江西卷）如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，
M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ， 设∠MGA ＝α（23
3
π
πα≤≤
）
（1）
试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函
数
（2）求y ＝
2
2
1
2
11S S ＋
的最大值与最小值
解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，
所以 AG
＝
23
2
3
?
，∠MAG ＝
6
π
，
由正弦定理
G M G A sin
sin 6
6
π
π
πα＝
（－－
）
得G M 6sin 6
α（＋
）
则S 1＝
12
GM ?GA ?sin α＝
sin 12sin 6
απ
α（＋
），同理可求得S 2＝
sin 12sin 6
α
π
α（－
）
A
B
C
（2）
y ＝
2
2
1
2
11S S ＋
＝
2
2
2
144
sin sin sin 6
6
π
π
ααα
〔（＋
）＋（－
）〕
＝72（3＋cot 2α）， 因为
23
3
π
πα≤≤
，所以当α＝
3
π
或α＝
23
π时，y 取得最大值y max ＝240
当α＝
2
π
时，y 取得最小值y min ＝216
16、（06全国卷I ）A B C ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos
2
B C A ++ 取得最大值，并求出这个最大值。
.解: 由A+B+C=π, 得B+C 2 = π2 －A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A
2
.
cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2 =－2(sin A 2 － 122+ 3
2
当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3
2
17、（06全国II ）
在45,cos 5
ABC B AC C ?∠=?==
中，,求
（1）?B C =
(2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。 解：（1
）由cos sin 5
5
C C =
=
sin sin(18045)sin )2
10
A C C C =--=+=
由正弦定理知sin sin 102
AC BC A B
=
?=
=（2
）sin 2sin 5
2
AC AB C B
=
?=
=，112
BD AB =
=
由余弦定理知C D =
=
18、（06四川卷）已知,,A B C 是三角形A B C ?三内角，
向量((),cos ,sin m n A A =-=
，且1m n ?=
（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若
2
2
1sin 23cos sin B B B
+=--，求tan B
解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
（Ⅰ）∵1m n ?=
∴(()cos ,sin 1A A -?=
cos 1A A -=
12sin cos 122A A ???= ? ???
, 1sin 62A π??-= ??? ∵50,6
6
6
A A π
π
ππ<<-
<-
<
∴6
6
A π
π
-
=
∴3
A π
=
（Ⅱ）由题知
2
2
12sin cos 3cos sin B B B B
+=--，整理得2
2
sin sin cos 2cos 0B B B B --=
∴cos 0B ≠ ∴2
tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-
而tan 1B =-使2
2
cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2
B =
∴()tan tan C A B π=-+????
()tan A B =-+tan tan
1tan tan A B A B
+=--2+=-
811
+=
19、（06天津卷）如图，在ABC ?中，2A C =，1B C =，4
3cos =C ．
（1）求A B 的值；
（2）求()C A +2sin 的值.
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基
本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理， 2
2
2
2
..c o s A B A C B C A C B C C =+
-3
412212.
4
=+-???
=
那么，AB =
（Ⅱ）解：由3cos 4
C =，且0,C π<<得sin 4
C ==
由正弦定理，
,sin sin A B B C C
A
=
解得sin sin 8
BC C A AB
=
=
。
所以，cos 8
A =
。由倍角公式sin 2sin 2cos 16
A A A =?=
，
且2
9cos 212sin 16
A A =-=
，
故()sin 2sin 2cos cos 2sin 8
A C A C A C +=+=
.
20、（07重庆理5）在ABC ?中，,75,45,30
0===
C A AB 则BC =（ ）
A.33-
B.2
C.2
D.33+
【答案】：A
【分析】：00
45,75,AB A C =
== 由正弦定理得：
,sin sin sin 45
sin 75
4
a c BC AB A
C
=
?
=
=
3.BC ∴=-
21、（07北京文12理11）在A B C △中，若1tan 3
A =
，150C =
，1B C =，则A B =
解析：在A B C △中，若1tan 3
A =
，150C =
，∴ A
为锐角，1sin A =
，1B C =，则根据正弦定理A B =
sin sin B C C A
?
2
。．
22、（07湖南理12）在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b
c =
B = ． 【答案】
5π6
【解析】由正弦定理得137cos 2
B +-=
=-
，所以5π.6
B =
23、（07湖南文12） 在A B C ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，
若1,3
a c C π
==
=
，则A= .
【解析】由正弦定理得
2
13
23
sin sin sin sin =
=
=
?=
c
C a A C
c A
a ，所以A=
π6
24、（07重庆文13）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝
。
【答案】：
3
【分析】
：由余弦定理得：2
2212212cos 60 3.AC AC =+-???=∴=
24、（07北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标
是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小 的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于
．
解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a , b ，则
2225
1
62
a b ab ?+=?
?=??， ∴ 两条直角边的长分别为3，4， 设直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ=
5
4，cos2θ=2cos 2θ－1=
725
。
25、（07福建理17）在A B C △中，1tan 4
A =，3tan 5
B =
．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若A B C △
最大边的边长为，求最小边的边长．
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1
345tan tan()11314
5C A B +∴=-+=-
=--
?．
又0πC << ，3π4
C ∴=．
（Ⅱ）34
C =
π ，A B ∴
边最大，即AB =．
又tan tan 0A B A B π??<∈ ?2?
?
，，，，∴角A 最小，B C 边为最小边．
由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?
==???+=?
，，
且π02A ??∈ ???，，
得sin 17
A =
sin sin AB BC C
A
=
得：sin sin A
B C A B C
==
所以，最小边BC =
26、（07广东理16）已知A B C △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值； （2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．
解析： （1）(3,4)AB =-- ，(3,4)AC c =-- ，若c=5， 则(2,4)AC =-
，
∴cos cos ,A AC AB ∠=<>==
，∴si n ∠A
5
；
2）若∠A 为钝角，则391600
c c -++
≠?解得253
c >，∴c 的取值范围是25(
,)3
+∞；
28、（07湖北理16）已知A B C △的面积为3，且满足06AB AC ≤?≤ ，设AB 和A C
的夹角为θ．
（I ）求θ的取值范围；（II
）求函数2
()2sin 24f π
θθθ??
=+-
???
的最大值与最小值．
本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设A B C △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
则由
1
sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ??
∈
????
，∴．
（Ⅱ）2
π
()2sin 24f θθθ??=+-
??
?
π1cos 222θθ??
??=-+-
??????
?
(1sin 2)2θθ=+
-πsin 2212sin 213θθθ?
?=-
+=-+ ??
?．
ππ42θ??
∈????
，∵，ππ2π2363θ??-∈????，，π22sin 2133θ??
-
+ ???
∴≤≤． 即当5π12
θ=
时，m ax ()3f θ=；当π4
θ=
时，m in ()2f θ=．
29、（07全国卷1理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2
B =
，
由A B C △为锐角三角形得π6
B =
．
（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π
??+=+π-
- ?6?
?cos sin 6A A π??
=++ ???
1cos cos 2
2A A A =+
+
3A π?
?=
+ ??
?．
由A B C △为锐角三角形知，2
2
A B ππ->-，
2
2
6
3
B ππππ-=
-
=
．
23
3
6
A πππ<+
<
，所以
1
sin 232A π?
?+<
???
．
由此有
2
32A π?
?<
+
???
，
所以，cos sin A C +
的取值范围为322
?
?
?
???
，． 30、（07全国卷2理17）在A B C △中，已知内角A π=3
，边BC =．设内角B x =，周长为y ．
（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．
解：（1）A B C △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=
>>3
，，得20B π<<
3
．
应用正弦定理，知sin 4sin sin sin
BC AC B x x A
=
=
=3
，
2sin 4sin sin BC
AB C x A π??
=
=- ?3??
． 因为y AB BC AC =++，
所以224sin 4sin 03y x x x π
π???=+-+<<
??3???
，
（2）因为1
4sin sin 2y x x x ??=+++ ? ?2??
5s i n 3x x ππ
ππ???=++
<+< ??66
66???，
所以，当x ππ+
=
6
2
，即x π=
3
时，y 取得最大值
32、（07山东文17）在A B C △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，
． （1）求cos C ；
（2）若5
2C B C A = ，且9a b +=，求c ．
解：（1）sin tan cos C C C
=∴= 又2
2
sin cos 1C C +=
解得1cos 8
C =±
．
tan 0C > ，C ∴是锐角． 1cos 8
C ∴=
．
（2）52C B C A = ， 5
cos 2
ab C ∴=， 20ab ∴=．
又9a b += 2
2
281a ab b ∴++=．
22
41a b ∴+=．
222
2cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．
33、（07上海理17）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．
若4
π,
2=
=C a ，5
522
cos =
B ，求AB
C △的面积S ．
解： 由题意，得3cos 5
B B =
，为锐角，5
4sin =
B ，
102
74π
3sin )πsin(sin =??
?
??-=--=B C B A ，
由正弦定理得 7
10=
c ， ∴ 111048sin 22
2757
S ac B ==
??
?= ．
34、（07天津文17）在A B C △中，已知2A C =，3B C =，4cos 5
A =-．
（Ⅰ）求sin B 的值；
（Ⅱ）求sin 26B π??
+
???
的值． 本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在A B C △
中，3sin 5A ==
=，
由正弦定理，
sin sin BC AC A
B
=
．所以232sin sin 355
A C
B A B C
=
=
?=．
（Ⅱ）解：因为4cos 5
A =-
，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是
cos 5
B ==
=
2
17cos 22cos 121525
B B =-=?
-=
，
2sin 22sin cos 25
5
15
B B B ==??
=
．
sin 2sin 2cos cos 2sin
666B B B πππ?
?+=+ ??
?171252252=+
?1750=． 35、（07浙江理18）已知A B C △
1
，且sin sin A B C +=．
（I ）求边A B 的长； （II ）若A B C △的面积为
1sin 6
C ，求角C 的度数．
解：（I
）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=
+
，BC AC +=，
两式相减，得1AB =．
（II ）由A B C △的面积
11sin sin 2
6
B C A C C C =
，得13
B C A C =
，
由余弦定理，得2
2
2
cos 2AC BC AB
C AC BC
+-=
2
2
()2122
AC BC AC BC AB
AC BC
+--=
=
，
所以60C =
．
36、（07天津文理15） 如图，在ABC ?中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=?==是边B C 上一点，2,D C B D =则
AD BC =
__________. 【答案】83
-
【分析】法一：由余弦定理得2
2
2
2
2
2
cos 22AB AC
BC
AB AD
BD
B AB AC
AB BD
+-+-=
=
????
可得BC
=
,3
A D =
，
A
B
D
C
又,AD BC 夹角大小为ADB ∠
，22232cos 29BD AD AB ADB BD AD +-∠==-?
=-??
所以8
cos 3
AD BC AD BC AD B =??∠=- .
法二：根据向量的加减法法则有:BC AC AB =-
112()3
33
AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=
+
,此时 22
12122()()33333
AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=
+- ·· 18183
3
3
3
=
-
-
=-
.
正、余弦定理的五大命题热点
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：
一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3
π
=
A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）
A ．33sin 34+???
?
?+
πB B ．36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ?
?
+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果． 解：由正弦定理得：
32s in s in s in s in s in
s in s in (
)
3
3
b c b c
b c
B
C
B C
B B ++====
++-，
得b ＋c
＝B ＋sin(
23
π－B )]＝6sin()6B π
+
．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝36sin 6+??? ?
?
+πB ，故选(D)． 评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝
6
π
，周长应为3
3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．
例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6
6cos ,3
64=
=
B AB ，A
C 边上的中线B
D =
5，求sin A 的值．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ．
解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3
622
1=
=
AB DE ，设BE ＝在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED
BE
BD
cos 22
2
2
?-+=， x x 6
63
6223
852
?
?
++
=，解得1=x ，3
7-
=x （舍去）
故BC =2，从而3
28cos 22
2
2
=
?-+=B BC AB BC AB AC ，即3
21
2=
AC 又6
30sin =
B ，故
6
303212
sin 2=
A
，70
sin =
A 二、判断三角形的形状 给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例3(2005年北京春季高考题)在ABC ?中，已知C
B A sin cos sin 2=，那么AB
C ?一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
解法1：由C B A si n cos si n 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．
解法2：由题意，得cos B ＝
sin 2sin 2C c A
a
=
，再由余弦定理，得cos B ＝
222
2a c b
ac
+-．
∴
222
2a c b
ac
+-＝
2c a
，即a 2＝b 2
，得a ＝b ，故选(B)．
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 三、 解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
例4(2005年全国高考上海卷) 在A B C ?中，若120A ∠=
，5A B =，7B C =，则A B C ?的面积S ＝_________分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝
2
1AB ?AC sin A 即可解决．
解：由余弦定理，得cos A ＝
2
2
2
2
254912102
AB AC BC
AC AB AC
AC
+-+-=
=-
??，解得AC ＝3．
∴ S ＝
2
1AB ?AC sin A ＝
4
315．∴ 2
1AB ?AC ?sin A ＝2
1AC ?h ，得h ＝AB ? sin A ＝
2
23，故选(A)．
四、求值问题
例5(2005年全国高考天津卷) 在ABC ?中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件
2
22a bc c b =-+和
32
1+=
b
c ，求A ∠和B tan 的值．
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． 解：由余弦定理2
12cos 2
22=
-+=
bc
a
c b A ，因此，?=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理B
B B
C b
c sin )
120sin(sin sin 321-?=
=
=
+
,2
1cot 2
3sin sin 120cos cos 120sin +
=
?-?=
B B
B
B 解得,2cot =B 从而.2
1tan =
B
五、交汇问题
是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇． 例6(2005年全国高考卷三试题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.4
3cos =
B
（Ⅰ）求cot A +cot C 的值； （Ⅱ）设32
BA BC ?= ，求a ＋c 的值.
分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等．
解：（Ⅰ）由,4
7
)43(1sin ,4
3cos 2=-=
=
B B 得由b 2=ac 及正弦定理得 .s i n s i n s i n 2
C A B =
则B
C A C
A A
C A C C
C A A C A C A 2
sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1cot cot +=
+=
+=+=+
.774
s i n 1
s i n s i n 2
==
=
B B
B
（Ⅱ）由32BA BC ?= ，得ca ?cos B ＝32，由ㄋB ＝34
，可得ac ＝2，即b 2
＝2．
由余弦定理b 2=a 2+c 2－2a c+cosB ，得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5. 3,
9452)(2
22
=+=+=++=+c a ac c a c a
正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： 一、 测量问题
例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。
解析：由正弦定理得
sin sin A C A B C B A
A C B
=∠∠，∴AC=AB=120m ，又∵
11sin 2
2
A B C S A B A C C A B A B C D =
?∠=? ，解得CD=60m 。
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。 二、 遇险问题
例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，测得S 在东30°北的方向上。 在△ABC 中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分
清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。
三、 追击问题
例3 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？
解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。
在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β。 ∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理2
22
2cos AC
AB BC AB BC α=+-?，
()
()2
2
12881202920()2
t t t =+-???-，2
12860270t t --=，（4t －3）（32t+9）=0，
解得t=
34
，t=
932
（舍）∴AC=28×
34
=21 n mile ，BC=20×
34
=15 n mile 。
西
北 南
东 A
B
C
30° 15°
图2
图1
A
B
C
D
图3
°
勾股定理全章知识点总结大全、例题精讲中考题目
勾股定理全章知识点总结大全 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b=，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 6：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A b a c b a c c a b c a b
(完整版)正弦定理练习题经典
正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A
勾股定理知识点总结及练习
第 课时 第十八章 勾股定理 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=?，则 2 2 c a b = +，22 b c a = -，22 a c b = -） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =? +=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2 S a b a b = +?+梯形，2 112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形，化简得证 3：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2 2 21,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6
"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐
3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角
解三角形高考典型例题汇编
《解三角形》 一、 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中，若，则= 2. 在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ，b=2，sinB+cosB ，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是？ 二、余弦定理：222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值 2. 在△ABC 中，若则A= 3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6
《正弦定理和余弦定理》典型例题.
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A = ，30C = ，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C = ， ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= ， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在60,1ABC b B c ?=== 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .
勾股定理典型题型
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理 222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，. 已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分B C 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到 D 点，并求水池的深度AC. 解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如 图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾 股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2 设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ C B D A
正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且 75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=
勾股定理练习题及问题详解(共6套)
勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
正弦定理典型例题与知识点
正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA≤) ( b a 锐角一解无解 b a 1、已知中，，，则角等于 ( D) A ． B ． C ． D ．
2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D．
1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ）
勾股定理全章知识点总结大全、例题精讲中考题目
勾股定理全章知识点总结大全 一.基础知识点： 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2= c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主 要应用： （1 ）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中， C 90，则c . a2b2， b .c2a2， a .c2b2） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3 ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2 :勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1 ）首先确定最大边，不妨设最长边长为: c ；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2= a2+b2，则△ ABC是以/C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ ABC是以/C为钝角的钝角三角形；若c2正弦定理知识点与典型例题
正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2 1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2．三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-bb 时有一解. 也可利用正弦定理a A b B sin sin =进行讨论． 如果sinB>1，则问题无解；如果sinB ＝1，则问题有一解； 如果求出sinB<1，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”
(完整版)勾股定理经典例题(教师版)
勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： 1?勾股定理 内容：____________________________________________________________ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 2 2 n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用
勾股定理经典题型(后附答案)
第 1 页 共 5 页 勾股定理经典题型(后附答案) 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 = 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ 题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例题4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直—— 例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？ 例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要 移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
第 2 页 共 5 页 题型六：旋转问题： 例题7 如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。 变式1: 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 变式2: 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究2 2 2 BE CF EF 、、间的关系，并说明理由. 题型七：关于翻折问题 例题8 如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长. 变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长. 题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点A 到公路MN 的距离为80米，假 使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，
解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案
解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
最新勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)
XX教育一对一个性化教案 授课日期：2014 年月日学生姓名许XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理 教学重、难点重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 教学步骤及突出教学方法一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2,1 n n n -+（2, n≥n为正整数）； 22 21,22,221 n n n n n ++++（n为正整数） 2222 ,2, m n mn m n -+（, m n >m，n为正整数）
正弦定理经典练习题
《正弦定理、余弦定理、解斜三角形》 一、复习要求 ： 1． 掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。 2． 用正弦、余弦定理判断三角形的形状。 二、知识点回顾 （1） 正弦定理：,22sin sin sin ? ====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径）， （?S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC (2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bc a c b A 2cos 2 22-+= , (轮换得另二式) 余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 - 2﹒a ﹒b =a 2+b 2 - 2abcosC (其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c) 三、典型例题分析： 例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求b c 的范围 分析：角边比转化，可用正弦定理 解：1cos 4cos 22cos sin ) 2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B B B B B B B C b c A+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０， 1cos 22 <C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。 解：21 22cosA 2 22==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(1200-B)=11 sin 22sin 31)sin 21 cos 23 (sin 42=+?=+?B B B B B B con B 22sin 3=? ∴33 2t a n =B ∴2B=300 或2100 B>C , ∴2B=2100 即 B=1050 ∴A=600 B=1050 C=150 练习2：在?ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小 （2） 若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c 例３：如图，已知Ｐ为?ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ ＝∠ＰＢＣ＝ ∠ＰＣＡ＝θ 求证cot θ=cotA+cotB+cotC C A B a c b θ A B C P θ θ
