压缩感知与奈奎斯特采样频率比较报告

奈奎斯特采样频率与压缩感知比较报告

学生张**

年级2010级

班级0210** 班

学号021012**

专业电子信息工程

学院电子工程学院

西安电子科技大学

2013年5月

压缩感知与奈奎斯特采样频率比较报告

张**

摘要：经典的采样定理认为，不失真的恢复模拟信号，采样频率应该不小于奈奎斯特采样频率（模拟信号最高频率的两倍）。但是这种方法在使采集到的数据有很大的冗杂性。Dohono等人提出的压缩感知理论运用了大部分信号可以在预知的一组基上面稀疏表示的原理，利用随机投影实现了在低于奈奎斯特采样频率下实现了信号的采集。本文介绍了压缩感知的一些基本理论以及，并将其与香农采样定理进行了比较。最后讨论了压缩感知的一些信息获取算法以及压缩感知理论的应用前景。

关键词：香农采样定理奈奎斯特采样频率压缩感知

引言

当前大部分数据采集系统都是基于传统的香农采样定理来设计，按照这种方式采集的数据能够充分表示原始信号，但是它们存在较大的冗余。因此，这些方法往往导致采集数据的泛滥和传感器的浪费。研究如何根据信号的一些特征来实现低于奈奎斯特采样频率的采集，以减少所需采集的数据量具有重要的意义。起源于对具有有限新息率信号(即单位时间内具有有限自由度的信号)进行采集的研究，利用固定的结构性基函数以两倍于新息率而不是两倍于奈奎斯特采样频率对连续信号进行采集，Donoho 等人提出的压缩感知方法则提供一种可以广泛应用于可压缩信号的采集方法。该方法所需要的传感器数目大大减少，采集到的数据也具有更小的冗余度。因此，该理论提出后立即吸引了众多科学家的关注，目前我国关于压缩感知方法的研究也已经开始起步，相信不久将有更多的人加入到关于压缩感知的研究行列。

压缩感知采集方法并不是对数据直接进行采集，而是通过一组特定波形去感知信号，即将信号投影到给定波形上面(衡量与给定波形的相关度)，感知到一组压缩数据。最后利用最优化的方法实现对压缩数据解密，估计出原始信号的重要信息。压缩感知关键的问题是如何给定用来感知信号的波形才能有效地恢复出原始信号的重要信息。涉及的关键因素在于给定的波形要与可以用来压缩原始信号的波形组均不相干，并且不相干程度越高，感知数据包含的信息量越大，为准确获取重建原始信号所需的感知数据量就越少。

第一章 奈奎斯特采样原理

奈奎斯特频率是离散信号系统采样频率的一半，因奈奎斯特－香农采样定理得名。采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。

从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使用的滤波器的性能。

需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格大于信号包含的最高频率。如果信号中包含的最高频率恰好为奈奎斯特频率，那么在这个频率分量上的采样会因为相位模糊而有无穷多种该频率的正弦波对应于离散采样，因此不足以重建为原来的连续时间信号。

第二章 压缩感知理论

本节对压缩感知做一个简单介绍。待采集信号f 只在k 个时刻非零(k 即为稀疏程度)。为采集f 中的信息，将其投影到了给定的一组感知波形φ上(也可以说，用一组给定的波形f 进行感知)，得到了一组远小于信号原始长度的测度数y

y f φ=

压缩感知方法的目的是通过远小于采集信号数据量的测度y 恢复出原始信号f 的全部信息。从式中求解f 是一个欠定的问题，但从另一方面看，信号只有k 个未知位置上的未知变量，即信号只有1k +个自由度，因此，在一定条件下当测度数只要超过信号自由度的时候就是可以通过一些非线性的方法进行恢复。显然，当任意选取感知矩阵φ的1k +列均线性无关的时候(即感知矩阵能够区分任意两个不同的均为k 稀疏的信号)，在满足y f φ=的所有情况中找到的具有最稀疏特性的信号即为所求，即求解如下的最优化问题：

min (0)..f P s t y f φ??=?

其中f 代表f 的零范数，即其中非零元素的个数。此外给定一些其它约束条件以后，信号也可以通过求解如下的最优化问题来实现：

min ..f s t y f

φ??=? 其中01p <≤，()1p p p f f =∑然而对(0)P 问题的求解只能通过对所有可能的稀疏

情况进行求解后才能找到最稀疏的形式，这是一个NP 难问题.而对01p <<时式所示最优化问题的求解也存在一定困难。幸运的是，用1p =时上式的解来估计可压缩信号，即接近最优，并且对它的求解能够等价为一个线性规划问题，从而便于利用现有方法进行求解。

当f 具有可压缩性时，上述的方法同样可以估计出f 中的具有较大幅值的项。在实际应用中，待采集的信号f (如一副图像)本身通常不是稀疏的，但是在某个基ψ上的变换系数是稀疏的，或者是可压缩的，即由

f ψθ=

确定的变换系数θ是稀疏的，或者极少的系数包含了几乎全部的能量。结合上式可以得到感知数据与变换系数之间的关系为

y f φψ?θ==

若令a φψ= (测度矩阵)，则

y A θ=

由于上面两式有相同的形式和假设，因而同样可以按照上述的最优化方法估计出式中的变换系数，进而经过变换估计出待采集信号。实际上f 本身稀疏可以看成是，在单位阵上

稀疏，此时的测度矩阵即为感知矩阵。

当感知矩阵与变换矩阵不相干时，矩阵A 就能够很好地满足能够通过极小化变换系数的1l 范数来估计原始信号的约束条件。并且随机矩阵即与任何一个固定的变换矩阵不相干的概率非常大。也即通过收集信号随机投影系数来采集未知信号是最优的，这样的一个数据采集方式在实际应用中显然是比较容易实现的。另外，信号的稀疏程度越高，利用上式恢复出原始信号所需的感知数据量也将越少。

第三章 奈奎斯特采样频率与压缩感知对比

下面将通过一个信号采集的实例来说明压缩感知方法的优越性。下图给出了一个周期为0.01T s =的待采集信号()f t 。在实际工作中，需要将连续信号()f t 进行抽样以便于在计算机上实现处理，该抽样过程可以看作是原始信号和脉冲串函数的乘积：

()()()f nT f t p t =

其中，()()f T T nT σ=-∑，()t σ为脉冲函数。根据香农一奈奎斯特采样定理，如果该信号为连续信号且抽样频率两倍于信号的最高截止频率(奈奎斯特采样频率)，那么，可由采集信号()f nT 恢复出原始信号。根据信号的连续性和最高截止频率有界，可以得到信号的重建方法为：

sin(()/)

()()()/t nT T f t f nT t nT T ππ-=-∑

即利用sin c 函数插值出未采集时刻的信息。当该信号为非带限信号或者采样频率低于奈奎斯特采样频率时重建出的信号较原始信号将存在一定的误差。如上图所示当我们对以采样速率为5KHz 从上图（a ）中获取的采样数据进行两倍的上采样时，按照重建方法获取到的估计信号与原始信号存在一定的误差。结果如上图（b ）所示

与传统重建方法所依据的连续性和有限带宽相比，压缩感知重建方法利用的是信号在某个域上具有稀疏性和可压缩性，通过给定信号更好的表征域(换言之，利用一些其它的先验知识)，通过同样的数据可以得到更加好的重建效果。上图（c ）结合该信号的变化是稀疏的(即只在部分时刻存在变化)这一先验知识，利用最优化方法重构的结果，该方法完全重构出

了原始信号。另一方面在压缩感知中对数据的获取方面也采用了更加灵活的方式以利于感知信号中包含的重要信息，传统的利用脉冲串函数进行采集的方法可以看作是压缩感知中感知波形为脉冲函数时的一种特殊情况。由于采用压缩感知重建方法所需的数据量依赖于感知波形和表征波形之间的不相干性和信号的稀疏程度，而采用随机信号感知的方法能够确保与任给的一个表征域具有良好的不相干性，因此在对包含一些高频分量的信号采集时，若已知信号在某个表征域稀疏或可压缩，采用压缩感知的方法将具有更大的优越性。实际上大部分信号均具有可压缩性，因此，压缩感知方法具有更广泛的优越性和普适性，具有广阔的应用前景。

第四章 压缩感知信息获取方法

这一章主要介绍几个从感知到的数据中估计原始信号的几种常见实用方法：基追踪算法、贪婪算法

● 1 基追踪算法

首先需要指出的是基追踪算法并不是一个最优化原则。其原理是上述讨论的给定一些限制条件后，通过极小化1l 范数可以获得最稀疏的解。等价的标准线性规划问题为

min....,0v s t U b ααα??=≥?

其中，α是重新定义的一个新变量，2m n ?；(,)U A A ?-；b y ?上述线性规划问题可以通过单纯形法、内点法或对数障碍法来进行求解。

● 2 贪婪算法

贪婪算法的基本步骤为

1。给定初始的估计00θ=；

2。在每次迭代中根据00()A A A θθθθ-=-确定出0

θθ-的估计值?

3。仅保留?中较大值的项，将其它项置为零。更新00θθ=+?。。

关于贪婪算法的具体实现方法有很多种，主要有正交贪婪算法、规整化正交贪婪算法、分段正交贪婪算法和梯度贪婪算法等。

● 3 其他方法

极小化1l 范数的方法能够有效解决压缩感知中的恢复问题，但是当结合其它的一些先验知识后，该问题可以被更加有效地解决。在此，我们仅简单介绍贝叶斯压缩感知方法(，和基于模型的压缩感知方法。Ji 等人提出的BCS 借助传统的贝叶斯方法和机器学习中的主动学习方法，通过将关于稀疏性的先验信息用垂直先验分布来建模，提出了自适应的感知方法以及相应的恢复方法。而Baraniuk 等人提出的针对基于模型可压缩信号的压缩感知方法中利用小波树模型和块稀疏模型，仅需要与稀疏程度相当的测度数即可实现信号的鲁棒性恢复。

、

第五章压缩感知技术的应用

从压缩感知的采样机制可以看出：同一个投影方法(硬件结构)可以完成大部分可压缩信号的采集；每个采集到的数据(测度数)包含的信息量是相同的，即CS方法对测度数的丢失鲁棒性比较强；感知数据的获取方法仅需通过简单的投影来完成，需要大量运算的估计方法放在拥有更加强大计算能力的解码端进行；此外，由于信号是通过随机投影的方式获取的，感知到的数据具有一定的保密性。由于压缩感知方法具有上述优点，可被广泛应用于以下领域：

(1)数据采集

莱斯大学的研究组利用压缩感知原理成功设计出了单像素相机。该相机利用透镜和数字可控镜片阵列随机地将从物体发射来的部分光线汇聚到一点，从而利用一个像素即可实现感知数据的采集。尽管该相机还存在一些问题，但是它为未来相机的发展提供了一种新的思路和发展方向。此外压缩感知方法被应用到了多跳网络和无线传感器网络中具有稀疏性或可压缩性网络数据的重构上面。CS采样的普遍性和分散式编码的特征有可能使其成为一种新的网络数据分析范例。更重要的是，借助伪随机宽带调制器，低通滤波器和采样器，压缩感知方法可以以较低采样率实现对模拟信号到离散信号的直接采集。

(2)医学成像

核磁共振成像方法是通过对静止磁场施加梯度磁场并检测所发射出的电磁波来收集信息。正如压缩感知方法中采集的感知数据，MRI收集到的信息是混叠信息，而不是直接的像素信息。此外，由于大部分的医学图像都具有可压缩性，核磁共振成像问题具有压缩感知理论应用的可行性。压缩感知方法有助于减少核磁共振成像的扫描时间，有利于减少对患者的危害和降低医疗费用。在三维造影、脑部成像、冠状动脉成像、动态成像等方面也有较大的应用前景。而关于联合子空间中信号的压缩感知理论可以用于解决脑电图和光学相干断层扫描中的一些问题。

(3)其它领域

除上述的应用，CS方法还被用到信道编码中误差控制的研究中。在图像处理分析方面，压缩感知方法也被广泛应用。在Wright等人提出的基于压缩感知方法的人脸识别算法中，人脸识别问题看成是找待测图像的特征在训练集合中稀疏表示，然后运用了CS理论中的恢复方法对该问题进行了求解。基于压缩感知方法的超分辨率算法也由Yang等人提出。高分辨率图像认为可由一组训练得到的冗余基稀疏表示，然后利用压缩感知理论中的恢复方法从低分辨率图像中估计出这些表示系数，进而可以得到一个超分辨率后的图像。Cai等人针对运动去模糊中的卷积核在curvelet小波变换下的稀疏性，并结合图像在框架小波基上的稀疏性获得了不错的恢复效果。除此之外，压缩感知方法还被广泛引入到通信、地理信息数据分析、超光谱成像、雷达和生命科学等领域

第六章结束语

本文简要介绍了一种刚刚兴起的可以在亚奈奎斯特频率进行采样的数据采集方法——压缩感知方法。该方法主要依赖于如下事实：与原始数据的有限次随机投影中包含了原始信号的足够信息；给定一定的约束条件。该方法已经被广泛应用于数据采集、误差修正、图像处理等问题中。但是该方法目前还处在起步阶段，还有一些问题有待于进一步解决和完善，如：如何实现快速的数据采集以及在不同应用背景下更加有效的重构。

参考文献

[1]戴琼海压缩感知研究[J]，计算机学报，2011（3）

[2]石光明压缩感知理论及其研究进展[J]，电子学报，2009（5）

[3]石光明压缩感知理论及其研究进展[J]，电子学报，2009（5）

D L Donoho，Compressed sensing [J].IEE

E Trans.on Information Theory.2006，52(4)：1289-1306．