高中数学竞赛初赛

关于参加2015年全国高中数学联赛

陕西赛区预赛的通知

各县区教研室、宝鸡中学：

按照省数学竞赛委员会（2015）001号文件精神，现就参加2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛，有关事宜通知如下：

一、考试时间

2015年4月19日（星期天）上午：8：30－11：00

一试、二试连续考（中间不休息）

二、参赛对象

在校高中学生（特别优秀的初中学生也可参加）。坚持学生自愿报名参赛的原则，由学校统一组织。

三、命题原则

主要考查高中数学的基础知识、基本技能、基本方法及分析和解决问题的能力。命题的基本原则是：立足基础、贴近高考，注重能力、体现竞赛。

四、考试范围

严格遵循现行高中数学教学大纲以及新的高中数学课程标准，以高二学生所学知识范围为主，适当照顾高一学生。

五、考试形式及试卷结构

1、考试形式

（1）考试采用书面笔答、闭卷形式。不得使用计算器。

（2）试卷分值满分150分。

（3）试卷分为第一试（填空题、解答题）和第二试（解答题）。

2、试卷结构

第一试（满分50分）为填空题，共10小题。每小题5分，计50分。试题难度相当于高考中的容易题和中档题，但在方法的要求上有所提高。

第二试（满分100分）为解答题，共6小题，其中有一道平面几何题和一道杂题，其余四道题相当于高考中的中、高档题。

六、收费标准

两试每生共收报名费14元，由市上统一上交省数学竞赛委员会办公室，作为命题、制卷、阅卷、成绩统计与打印等费用。

七、初选人数

1、按全省参赛总人数的12%确定初选人数。

2、全省原则上按预赛成绩统一划定分数线，对边远地区适当予以照顾。

3、初选学生成绩及名单将于5月中旬通知各市（区）。

4、初选学生将参加2015年9月中旬举行的全国高中数学联赛（通知另行下发）。

八、注意事项

1、本次预赛是一次资格赛，不评奖，主要是为2015

年9月举行的全国高中数学联赛（陕西赛区决赛）选拔优秀学生。

2、对于参加2015年全国高中数学联赛（陕西赛区决赛）的考生，将按预赛初选人数的50%确定获奖人数，按比例划定一、二、三等奖，并颁发由中国数学会制作的获奖证书。

3、获一、二、三等奖的学生原则上都有资格参加全国重点大学自主招生考试。

4、各县（区）应于2015年3月19前将参赛人数上报（上报电子表格和纸质报名报）市教研室高中组。

附：宝鸡市2015年高中数学联赛报名表（样表，电子表格请在《宝鸡教研》网下载）

宝鸡市教研室

2015年3月12日

福建省高一数学竞赛试题参考答案

2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） ??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】 C ??。3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。的子集有 ∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（） 211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。在直线2ll。在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。 aa bbP??????。，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（） A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B 【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。 ????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。a b

中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4 【答案】 D 图第4题于如图，作于，作，连结。【解答】ABFO?OEOFABEF?1

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集

目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、已知等差数列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形；（2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形；共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α

福建省2017-2018学年高一竞赛数学试题

福建省2017-2018学年高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共6个小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|1327x A x =≤≤，{} 22|log ()1B x x x =-<，则A B =（） A ．(12)， B ．(]13-， C ．[)02， D ．(1) (02)-∞-，， 2.若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：1313110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（） A ．2- B ．3- C ．2 D ．3 3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、 1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心.l 为平面1A MN 与平面1A MN 与平面1D BE 的交线，则直线l 与正方体底面ABCD 所成角的大小为（） A ．30? B ．45? C ．60? D ．90? 4.如图，在三棱锥S ABC -中，6SA SB AB BC CA =====，且侧面ASB ⊥底面ABC ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（） A ．60π B ．56π C.52π D ．48π 5.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]2 2210()201x x f x x x ?--∈-?=?-∈?? ，，，，且(2)()f x f x += ，

52()2 x g x x -= -，则方程()()f x g x =在区间[]37-，上的所有实根之和为（） A ．14 B ．12 C.11 D ．7 6.已知点(20)A -，，(20)B ，，(02)C ，，直线y kx b =+（0k >）交线段CA 于点D ，交线段CB 于点E .若CDE △的面积为2，则b 的取值范围为（） A ．11)， B ．223?? ???， C.324??- ???， D ．213???，二、填空题：每题6分，满分36分. 7.函数23 ()log )f x x ?? ??=??????? 的最小值为． 8.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =.E 、F 分别为PD 、BC 的中点，则二面角E FD A --的正切值为． 9.若函数22()24f x x ax a =-+-在区间2 2a a ??-??，（0a >）上的值域为[]40-，，则实数a 的取值范围为． 10.已知集合{}13579A =，，，，，集合a B a A b A a b b ?? =∈∈≠???? ，，且，则集合B 中元素的个数为． 11.n 的和为． 12.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为整数，且64c b a >>>.若对每个正整数753n ≤，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b 的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.已知DEF △三边所在的直线分别为1l ：2x =-， 2l ：40x +-=，3l ：40x --=，C 为DEF △的内切圆. （1）求C 的方程；

全国高中数学联赛试题及答案教程文件

2009年全国高中数学联赛试题及答案

全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一试一、填空（每小题7分，共56分） 1．若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为． 3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4．使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为． 5．椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为． 6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是． 7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示） 8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时

2015年全国高中数学联赛福建预赛(高一)

2015年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1.集合{}13A x x x N =-<∈，的子集有（） A ．4个 B ．8个 C ．16个 D ．32个【答案】 C 【解答】由13x -<，知24x -<<，结合x N ∈，得{}0123A =，，，。 ∴ A 的子集有4216=个。 2．若直线2l 与直线1l ：21y x =-关于直线y x =对称，则2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为（） A ．1 B ． 23 C ．12 D ．14 【答案】 D 【解答】在直线1l ：21y x =-取点(01)A -，，则(01)A -，关于直线y x =的对称点(10)A '-，在直线2l 上。又直线1l 与直线y x =的交点(11)P ，在直线2l 。 ∴ 2l 过(10)A '-，和(11)P ，两点，其方程为11 22 y x = +。 ∴ 2l 与坐标轴交于(10)-，和1(0)2，两点，2l 与坐标轴围成的三角形的面积为1 4 。 3．给出下列四个判断：（1）若a ，b 为异面直线，则过空间任意一点P ，总可以找到直线与a ，b 都相交。（2）对平面α，β和直线l ，若αβ⊥，l β⊥，则l α∥。（3）对平面α，β和直线l ，若l α⊥，l β∥，则αβ⊥。（4）对直线1l ，2l 和平面α，若1l α∥，21l l ∥，且2l 过平面α内一点P ，则2l α?。其中正确的判断有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】 B 【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。对于（1），设a a '∥，过a '和b 的平面为α，则当点P 在平面α内，且不在直线b 上时，找不到直线同时与a ，b 都相交。

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____8 、已知等差数列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

高中数学竞赛预选赛试题

2020年学科知识竞赛预赛遴选高中数学试题考试时间：2020年5月10日 10:00-11:30 （全卷共120分）一、填空题.（每题8分，一共10个题目） .______________,4)1,1,21122的方程为最小时，直线为圆心，当两点，交于：（与圆的直线、过点l ACB C B A y x C l M ∠=+-??? ??._________,2343cos ,,,,,,,2=+=?=?c a BC BA B c b a c b a C B A ABC 则，且成等比数列，已知的对边分别为中，内角、在._______1,23的最大值为那么满足、如果复数++=-++i z i z i z z .______________0)10(,2110)(4为的解集则或的解集为、已知一元二次不等式>??????>-<

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的

顺序排列，则第2020个数是（） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线

【数学竞赛】2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x +? ? =）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（） A ． B ．2 C D 3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。则二面角A PC B --的余弦值为（） A ． 3 B ．3 C ．3 D ．1 3 4．若函数2243()2log 3a x x x f x x x ?-+≤=?+>?，，，，（0a >，且1a ≠）的值域为[)3+∞，，则实数a 的取值范围为（） A ．(]13， B ．(13)， C ．(3)+∞， D ．[)3+∞， 5．如图，在四面体P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且3PA PB PC ===。则在该四面体表面上与点A 距离为） A ． B ． C ．2 D ．2 6．()f x 是定义在R 上的函数，若(0)1f =，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（） A ．2013 B ．2015 C ．2017 D ．2019 二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知实数x ，y 满足226440x y x y +-++=，记2224x y x y μ=++-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 。 8．过直线2y x =上一点P 作圆C ：225 (3)(1)4 x y -+-= 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点。若直线PA 、PB 关于直线2y x =对称，则线段CP 的长为。 A B C P A C B P

全国高中数学联赛预赛试题(含详细答案)

全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题（每小题6分,共36分） 1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞U ． 2、设2 2 1a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y + =有公共点，则a b 的取值范围是（）. A 、11,22?? -???? ； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞U ； D 、[]2,2-. 3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = . A 、7 ； B 、13 ； C 、18 ； D 、27． 4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=，则k =（）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3． 5、设(21 2n n a +=+，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（）． A 、必为无理数； B 、必为偶数； C 、必为奇数； D 、可为无理数或有理数． 6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和. 你的判断是（） A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分） 7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22 194 x y + =所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 . 8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 . 9、四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ?的垂心，G 是ABC ?的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ． 10、000sin 20sin 40sin80??= . 11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，

高中数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛初赛试题一选择题 1. 如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{} 1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对 (),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个 64862A B C D ２.设函数()()lg 10 1x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21 .log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100 到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126 的余数是( ) 4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为 ()1221,1,2,3,, k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( ) 2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么 2007____________a = 192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 783660A B C D

全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联合竞赛试卷（10月15日上午8:00?9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．

2020年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合203x A x x Z x +?? =≤∈??-?? ，，则集合A 中所有元素的和为（） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】 B 【解答】由 2 03 x x +≤-，得23x -≤<。又x Z ∈。因此{}21012A =--，，，，。所以，集合A 中所有元素的和为0。 2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（） A ．43 B ．23 C ．16 D ．19 【答案】 C 【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径2 R a = 。由243R ππ= ，得2 R = 。 ∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积311 66 V a ==。 3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（） A ．(43)(0)--?+∞，， B ．(02)(4)?+∞，， C ．(4)(30)-∞-?-，， D ．(0)(24)-∞?，，【答案】 C 【解答】由23xy x y =-，得23 x y x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x + <+，即(4) 03 x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。 ∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-?-，，。 4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（） B （第2题图）

全国高中数学联赛湖南预赛试题及答案A卷

2015年湖南省高中数学竞赛（A 卷）（2015-06-27）一、选择题（每个5分，共6题） 1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为 A. 116 9 B. 367 C. 36 2.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是 A. B. C . 3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则 A. A B > B. A B ≥ C. A B ≠ D. A 和B 的大小关系不确定 4.对所有满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程1 1cos n m C ρθ =-表示的不同双曲线条数为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5.使关于x k 有解的实数k 的最大值是 A. C. 6.设22{|,,}M x y x y Z αα==-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3 二、填空题（每个8分，共6题） 7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列123(,,,...)A ααα=，定义△A 为序列213243(,,,...)αααααα---，它的第n 项是1n n αα+-，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且19920αα==，则1α的值为： 9.满足使1[] 2n I =为纯虚数的最小正整数n= 10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：

全国高中数学联赛试题及解答完整版

全国高中数学联赛试题及解答集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

2000年全国高中数学联合竞赛试卷（10月15日上午8:009:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩R B是() (A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D) 2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k+，2k+)，k Z(B)(+，+)，k Z (C)(2k+，2k+)，k Z(D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z 3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以，3，7，9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0 (C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000)=__________． 2．设a n是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++… +))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)ab，bc，cd，da； (3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n N*，求f(n)=的最大值．

2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ?=，则实数a 的取值范围为（） A ．(]1-∞， B ．(1)-∞， C ．(]01， D ．(]3-∞，【答案】 A 【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。 0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。由A B A ?=知，A B ?。10 14a a -≥??+≤?，解得01a <≤。 ∴ a 的取值范围为(]1-∞，。 2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（） A ． B C ．43π D ．163π 【答案】 A 【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1 222 l R ππ?=，2l R =。又21 22 S l ππ==圆锥测。因此，2l =，1R =。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。所以，其内切球半径12323r =??= 34()3327V π=?=。 3．函数y x = ） A ．?-? B ．2?-? C ．1?-? D ．?? 【答案】 B 【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。 ∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤ 又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2?-?。

4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD （4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。其中正确的命题的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】 C 【解答】（1）显然正确。（2）若存在平面α，使得a α⊥，b α∥，则a b ⊥。但a ，b 是未必垂直。故不正确。（3）作A O B C D ⊥平面于O ，则O 为正三角形BCD 的中心，ACO ∠是AC 与平面BCD 所成角。设AB BC a ==，则23CO ==，cos ACO ∠= 。故，（3）正确。（4）取BD 中点O ，则OA OC ==。由O 、A 、C 构成三角形知，(0AC ∈。故，（4）正确。 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈，均有(3)()f x f x +=，当3 (0) 2 x ∈，时，2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]06，上的零点个数为（） A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个【答案】 D 【解答】由2()ln(1)0f x x x =-+=知，211x x -+=，0x =或1x =。 ∴ ()f x 在区间3(0)2，内有唯一零点1。结合()f x 为奇函数知，()f x 在区间3 (0)2 -，内有唯一零点1-。又由(3)()f x f x +=知，()f x 在区间3(3)2，内有唯一零点2；在区间9 (3)2，内有唯一零点4；在区间9 (6)2 ，内有唯一零点5。又由33()()22f f -=-，333()(3)()222f f f -=-+=知，3()02f =，9 ()02 f =。