2013届高考数学一轮复习课时检测 第三章 第三节 两角和与差的正弦 理
第三章 第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题 1．已知cos 2θ＝23
，则sin 4θ＋cos 4
θ的值为( ) A.
1318 B.1118
C.7
9
D ．－1
解析：∵cos 2θ＝
23，∴sin 2
2θ＝79
. ∴sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12(sin 2θ)2
＝1118.
答案：B
2．(2011·福建高考)若α∈(0，π2)，且sin 2
α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )
A.2
2
B.33
C. 2
D. 3
解析：因为sin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2
α＝14，
sin 2α＝1－cos 2
α＝34
，
∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin α
cos α＝ 3.
答案：D
3．已知α＋β＝π
4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
解析：∵α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2. 答案：C
4．若sin α－π
4
cos 2α＝－2，则sin α＋cos α的值为( )
A ．－
7
2
B ．－12
C.1
2
D.72
解析：∵
22
(sin α－cos α)＝－2(cos 2α－sin 2
α) ∴sin α＋cos α＝1
2.
答案：C
5．已知tan α＝14，tan(α－β)＝1
3，则tan β＝( )
A.7
11
B ．－117
C ．－1
13
D.113
解析：tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝14－131＋112＝－1
13
. 答案：C
6．(2012·广东六校第二次联考)sin －250°cos 70°
cos 2155°－sin 2
25°的值为( ) A ．－
3
2
B ．－12
C.1
2
D.32
解析：
－sin 270°－20°cos 90°－20°cos 225°－sin 2
25°
＝
cos 20°sin 20°cos 50°＝sin 40°
2cos 50°
＝
sin 90°－50°2cos 50°＝1
2
.
答案：C 二、填空题
7．(2011·重庆高考)已知sin α＝12＋cos α，且α∈(0，π2)，则
cos 2αsin α－π
4
的
值为____．
解析：依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2
＝2，
即(sin α＋cos α)2＋(12)2＝2，故(sin α＋cos α)2
＝74；又α∈(0，π2)，因此有sin α
＋cos α＝7
2
，所以
cos 2αsin α－π4＝cos 2
α－sin 2
α
2
2
sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝
－
14
2. 答案：－
142
8．(2011·江苏高考)已知tan(x ＋π4)＝2，则tan x
tan2x
的值为________．
解析：因为tan(x ＋π4)＝2，所以tan x ＝13，tan2x ＝2×
131－
19＝2
389＝34，即tan x tan 2x ＝4
9
.
答案：49
9．(2012·皖南八校联考)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－5
13，角α＋β的终边与单位圆
交点的纵坐标是3
5
，则cos α＝________.
解析：由题意知，cos β＝－513，sin(α＋β)＝3
5，又∵α，β∈(0，π)，∴sin β
＝12
13
， cos(α＋β)＝－4
5
.
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45×(－513)＋1213×35
＝2065＋3665 ＝5665
.
答案：5665
三、解答题
10．(2012·新田模拟)已知－π2 5. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2 tan x ＋ 1 tan x 的值． 解：(1)由sin x ＋cos x ＝15两边平方得1＋2sin xcos x ＝1 25， 所以2sin xcos x ＝－24 25 . ∵(sin x －cos x)2 ＝1－2sin xcos x ＝4925. 又∵－π 2 ∴sin x －cos x<0. 故sin x －cos x ＝－7 5. (2)3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2 tan x ＋ 1 tan x ＝ 2sin 2x 2 －sin x ＋1 sin x cos x ＋ cos x sin x ＝cos x(2－cos x －sin x) ＝(－1225)×(2－15)＝－108125 . 11．已知tan α＝－13，cos β＝5 5，α，β∈(0，π)． (1)求tan(α＋β)的值； (2)求函数f(x)＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解：(1)由cos β＝ 55，β∈(0，π)，得sin β＝255 ，即tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β＝－13＋21＋2 3＝1. (2)∵tan α＝－1 3，α∈(0，π)， ∴sin α＝ 1 10，cos α＝－3 10 . ∴f(x)＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －25 5sin x ＝－5sin x. ∴f(x)的最大值为 5. 12．(2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin(13x －π 6)，x ∈R. (1)求f(5π 4 )的值； (2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝6 5， 求cos(α＋β)的值． 解：(1)f(5π4)＝2sin(13×54π－π6)＝2sin π 4＝ 2. (2)∵1013＝f(3α＋π 2 ) ＝2sin ???? ??13 ×3α＋π2 －π6＝2sin α， 65＝f(3β＋2π)＝2sin[13×(3β＋2π)－π6] ＝2sin(β＋π 2 )＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35，又∵α，β∈[0，π 2]， ∴cos α＝1－sin 2 α＝ 1－513 2 ＝1213 ， sin β＝ 1－cos 2β＝ 1－3 5 2 ＝45 ， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×1213－513×45＝16 65.