初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型

一、手拉手模型----旋转型全等

D

（1）等边三角形

O

O

C

E

C

A

图 1B A

图 2

【条件】：△ OAB和△ OCD均为等边三角形；

【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=60°；③ OE平分∠ AED

D

（2）等腰直角三角形

O C

E

A B A

图 1

D

E

B

D

O

E

C

B 图2

【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰直角三角形；

【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=90°；③ OE平分∠ AED

（3）顶角相等的两任意等腰三角形

D

O O

C

【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰三角形；

D

E

且∠ COD=∠AOB E 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；C

②∠ AEB=∠AOB；

③OE平分∠ AED A图 1B A图 2B

O O

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似

（1）一般情况

D

【条件】： CD∥ AB，C

D

将△ OCD旋转至右图的位置

A B 【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD；

②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA

O

（2）特殊情况

C D

【条件】：CD∥ AB，∠ AOB=90°

将△ OCD旋转至右图的位置

A B 【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD；

②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA；

③ BD OD OB tan ∠ OCD；④ BD⊥AC；

AC OC OA

⑤连接 AD、 BC，必有AD2BC 22

2

；⑥ S△BCD ABCD

三、模型三、对角互补模型

（1）全等型 -90 °

【条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC平分∠ AOB

E

C

A B

D

O

C

E

A B

1

A C BD

2A

C

D

O E B

图 1

【结论】：①；②

OD+OE=2；③S

△DCE

S

△OCD

S

△OCE

1

OC2

CD=CE OC2

证明提示：A

C

M

①作垂直，如图 2，证明△ CDM≌△ CEN

D

②过点 C 作 CF⊥ OC，如图 3，证明△ ODC≌△ FEC

※当∠ DCE的一边交 AO的延长线于 D 时（如图4）：O N EB

图 2

以上三个结论：① CD=CE；② OE-OD= 2 OC；A

1

OC

2M

C

③ S S

△OCE△OCD2A

C

D O

N

B E

O图 3E F B D

图 4

（2）全等型 -120 °

【条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC平分∠ AOB

【结论】：① CD=CE；② OD+OE=OC；③S S S3OC 2

△DCE△OCD△OCE4

证明提示：①可参考“全等型-90 °”证法一；

②如右下图：在OB上取一点F，使 OF=OC，证明△ OCF为等边三角形。

A

C A

C

F

F

O E B

O E F B （3）全等型 - 任意角ɑ

【条件】：①∠ AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；

【结论】：① OC平分∠ AOB；② OD+OE=2OC·cos ɑ；

③ S△DCE S△OCD S△OCE OC2sin α cosα

※当∠ DCE的一边交AO的延长线于 D 时（如右下图）：

原结论变成：①；

②；

③。

可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。

A

C

D

A

O E B

C

O

E

B

D

对角互补模型总结：

①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

A

③注意 OC平分∠ AOB时，C ∠CDE=∠ CED=∠ COA=∠ COB如何引导？

D

O

四、模型四：角含半角模型90°

（1）角含半角模型90° ---1

【条件】：①正方形ABCD；②∠ EAF=45°；

【结论】：① EF=DF+BE；②△ CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；

也可以这样：

【条件】：①正方形ABCD；② EF=DF+BE；

【结论】：①∠ EAF=45°；A D

A F

B

E C G B E

（2）角含半角模型90° ---2

【条件】：①正方形ABCD；②∠ EAF=45°；

【结论】：① EF=DF-BE；

A D A D A

C C

E B E B E B E B

D

F

C

D

C

F F F

（3）角含半角模型

90° ---3

【条件】：① Rt △ ABC ；②∠ DAE=45°；

【结论】： BD 2

CE 2 DE 2 （如图

1）

若∠ DAE 旋转到△ ABC 外部时，结论 BD 2

A

F

B

D E C B

A

D

B

E

C

（4）角含半角模型 90°变形

A

【条件】：①正方形 ABCD ；②∠ EAF=45°；

【结论】：△ AHE 为等腰直角三角形；

CE 2

DE 2 仍然成立（如图 2）

A

D F

E

C

A

D

B

E

C

D

A

D

H

H

F

F

证明：连接 AC （方法不唯一）

G

G

∵∠ DAC=∠EAF=45°，

B

E

CB

E

C

∴∠ DAH=∠CAE ，又∵∠ ACB=∠ ADB=45°；

∴△ DAH ∽△ CAE ，∴

DA

AC AH

AE

∴△ AHE ∽△ ADC ，∴△ AHE 为等腰直角三角形

模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型 ---1

A D A D

【条件】：①矩形 ABCD ；② BD=BE ；

③ DF=EF ；

F F

B

C

E HB E H

【结论】： AF ⊥ CF

模型提取：①有平行线

AD ∥ BE ；②平行线间线段有中点 DF=EF ；

可以构造“ 8”字全等△ ADF ≌△ HEF 。

（2）倍长中线类模型 ---2

【条件】：①平行四边形 ABCD ；② BC=2AB ；③ AM=DM ；④ CE ⊥ AB ；

【结论】：∠ EMD=3∠MEA

辅助线：有平行 AB ∥ CD ，有中点 AM=DM ，延长 EM ，构造△ AME ≌△ DMF ，连接 CM 构造

等腰△ EMC ，等腰△ MCF 。（通过构造 8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）

F

A

M

D

A

M

D

E

E

B C

B

C

模型六：相似三角形 360°旋转模型

（1）相似三角形（等腰直角）

360°旋转模型 --- 倍长中线法

【条件】：①△ ADE 、△ ABC 均为等腰直角三角形；② EF=CF ；

【结论】：① DF=BF ；② DF ⊥ BF

辅助线：延长 DF 到点 G ，使 FG=DF ，连接 CG 、 BG 、 BD ，证明△ BDG 为等腰直角三角形；

突破点：△ ABD ≌△ CBG ； C

C

难点：证明∠ BAO=∠ BCG

F

G

F

D

D

A

B

A

B

E

（2）相似三角形（等腰直角） 360°旋转模型 --- 补全法

C

【条件】：①△ ADE 、△ ABC 均为等腰直角三角形；② EF=CF ； C

G

【结论】：① DF=BF ；② DF ⊥ BF

辅助线：构造等腰直角△ AEG 、△ AHC ；

F

辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EF 。

F

D

D A

B

A

B

E

E

H

（3）任意相似直角三角形 360°旋转模型 --- 补全法

【条件】：①△ OAB∽△ ODC；②∠ OAB=∠ ODC=90°；③

BE=CE；【结论】：① AE=DE；②∠ AED=2∠ ABO

辅助线：延长BA 到 G，使 AG=AB，延长 CD到点 H 使 DH=CD，补全△ OGB、△ OCH构造旋转模

H

型。转化AE与 DE到 CG与 BH，难点在转化∠AED。

O G O

D

A

D A

B

E B

C E

C

（4）任意相似直角三角形 360°旋转模型 --- 倍长法

【条件】：①△ OAB∽△ ODC；②∠ OAB=∠ ODC=90°；③

BE=CE；【结论】：① AE=DE；②∠ AED=2∠ ABO

辅助线：延长DE至 M，使 ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ ABO，此为难点，将△ AMD∽△ ABC 继续转化为证明△ABM∽△ AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在

O

证明∠ ABM=∠ AOD

O

D

A

D

A

B

E

B C

E

C

模型七：最短路程模型

M

（1）最短路程模型一（将军饮马类）

A

总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，

最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；

B

PA+PB

l

P

B'

特点：①动点在直线上；②起点，终点固定

A'l 1A

P

A A'

A A'

B P l

1 B

Q l 2l

Q l 2

PA+PQ+BQ P Q

PA+PQ+BQ

B'PA+PQ+BQ

B'

B

（2）最短路程模型二（点到直线类1）

【条件】：① OC平分∠ AOB；② M为 OB上一定点；③ P 为 OC上一动点；④ Q为 OB上一动

点；

【问题】：求 MP+PQ最小时， P、 Q的位置？

辅助线：将作Q关于 OC对称点 Q’，转化 PQ’=PQ，过点 M作 MH⊥OA，

A

则MP+PQ=MP+PQ’ MH(垂线段最短）

A

H

Q'P

P O Q M B （3）最短路程模型二（点到直线类2）

【条件】： A(0,4),B(-2,0),P(0,n）

【问题】：n 为何值时，PB 5

PA 最小？5

求解方法：① x 轴上取 C(2,0),使 sin ∠ OAC=5；②过 B 作 BD⊥ AC，交 y 轴于点 E，即为

5

1

所求；③ tan ∠ EBO=tan∠ OAC= ，即 E（0， 1）

2

y

A

y A

P P D

E

B O x B O

C x

（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）

【条件】：①线段OA=4， OB=2；② OB绕点 O在平面内360°旋转；

【问题】： AB的最大值，最小值分别为多少？

【结论】：以点 O为圆心， OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为

“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。

B

最大值： OA+OB；最小值： OA-OB

A最小值位置O最大值位置

【条件】：①线段 OA=4， OB=2；②以点 O为圆心， OB， OC为半径作圆；

③点 P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；

【结论】：若 PA的最大值为 10，则 OC= 6；若 PA的最小值为1，则 OC= 3；

若 PA的最小值为 2，则 PC的取值范围是0

C B

A O

P

【条件】：① Rt △ OBC，∠ OBC=30°；

②O C=2；③OA=1；④点P 为BC上动点（可与端点重合）；

⑤△ OBC绕点 O旋转

【结论】： PA最大值为

123

； PA的最小值为

1

OB OA31 OA+OB=

2

如下图，圆的最小半径为O到 BC垂线段长。

C

C

P

P

A O

B

A O

B

模型八：二倍角模型

【条件】：在△ ABC中，∠ B=2∠ C；

辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点 A 的对称点A’，连接AA’、 BA’、 CA’、则BA=AA’ =CA’ ( 注意这个结论）

此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。

A A A'

B C B C

A

模型九：相似三角形模型

（1）相似三角形模型-- 基本型D

平行类： DE∥ BC；

B

A字型

结论：AD AE DE

(注意对应边要对应）AB AC BC

（2）相似三角形模型--- 斜交型

【条件】：如右图，∠ AED=∠ACB=90°；E 【结论】： AE× AB=AC× AD B

E D A

A

E D E

C B C B C

8字型A字型

A A

E

D

C

C

B

斜交型斜交型

D

A

A

E

E

B斜交型C B C

【条件】：如右图，∠ ACE=∠ABC；

2

【结论】： AC =AE× AB

第四个图还存在射影定理：

22

AE×EC=BC× AC； BC=BE×BA； CE =AE× BE；

（3）相似三角形模型 ---一线三等角型E 【条件】：（1）图：∠ ABC=∠ACE=∠ CDE=90°；

（2）图：∠ ABC=∠ACE=∠ CDE=60°；

A

（3）图：∠ ABC=∠ACE=∠ CDE=45°；

【结论】：①△ ABC∽△ CDE；② AB× DE=BC× CD；B C D

图（ 1）

一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。

A

A

E

E

B C DBC D 图（3）

图（2）

（4）相似三角形模型--- 圆幂定理型A

【条件】：（2）图： PA为圆的切线；【结论】：（1）图： PA× PB=PC× PD；

2

（2）图： PA =PC× PB;

（3）图： PA× PB=PC× PD；

D

P

B

C

以上结论均可以通过相似三角形进行证明。图（ 1）

A P

P

A

C

B

B C

图（ 2）

D 图（ 3）

清代“红顶商人”胡雪岩说：“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。”可见，一个人的心胸和眼光，决

定了他志向的短浅或高远；一个人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。

人生能有几回搏，有生不搏待何时！所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，就迎来了花丛；走过了坎坷，就走出了泥

泞；走过了失败，就走向了成功！

一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。正如郑板桥所具有的人格和精神：“咬定青山不放松，立根原在破岩中。千磨万

击还坚劲，任尔东南西北风。”

梦想在，希望在，人就有奔头；愿奋斗，勇拼搏，事就能成功。前行途中，无论我们面对怎样的生活，无论我们遭遇怎样的挫折，只要坚定执着地走在充满希望的路上，就能将逆境变为

顺境，将梦想变为现实。

实现人生的梦想，我们必须希望和拼搏同在，机遇和奋斗并存，要一如既往，永远走在充满希望的路上！