二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题
二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何
综合类存在性问题
二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设．
探究一二次函数与三角形的结合
例1[2013·重庆]如图41－1，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋b x＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．
(1)求点B的坐标；
(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且△S POC＝4S△BOC，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
(1)抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点B的坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点的坐标吗？
(2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？
由a＝1，A(－3，0)，B(1，0)三个条件试一试；
(3)根据△S POC＝4△S BOC列出关于x的方程，解方程求出x
的值；
(4)如何用待定系数法求出直线AC的解析式？
(5)D点的坐标怎么用x来表示？
(6)QD怎样用含x的代数式来表示？
(7)QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？
以二次函数、三角形为背景的有关点存在性问题是以二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、线段、三角形等类型之分．这类试题集代数、几何知识于一体，数形结合，灵活多变．
解：(1)由题意知：点A与点B关于直线x＝－1对称，A(－3，0)，
∴B(1，0)．
(2)①当a＝1时，则b＝2，把A(－3，0)
(3)代入y＝x2＋2x＋c中得c＝－3，
又 S POC ＝2·OC ·|x p |＝6，∴|x p |＝4，∴x p ＝±4.
2×（－1） ?－2? －3×?－2?
∴该抛物线解析式为 y ＝x 2＋2x －3.
1 1 3 3
∵S △BOC ＝2·OB ·OC ＝2×1×3＝2，∴S △POC ＝4S △BOC ＝4×2＝
6.
1 △
当 x p ＝4 时，y p ＝42＋2×4－3＝21；
当 x p ＝－4 时，y p ＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5. ∴点 P 的坐标为(4，21)或(－4，5)．
②∵A(－3，0)，C(0，－3)，则直线 AC 的解析式为 y ＝－x －3. 设点 Q 为(a ，－a －3)，点 D 为(a ，a 2＋2a －3)， ∴QD ＝y Q －y D ＝－a －3－(a 2＋2a －3)＝－a 2－3a.
－3 3
当 a ＝－ ＝－2时，QD 有最大值，其最大值为：
? 3?2 ?
3? 9 － ? ?＝4.
探究二 二次函数与四边形的结合
例 2 [2013·枣庄] 如图 41－2，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝x2＋b x ＋c 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与 y 轴交于 C(0，－3)，点 P 是直线 BC 下方抛物 线上的动点．
(1)求这个二次函数的解析式； (2)连接 PO 、△PC ，并将 POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POP ′C ，那么是否存在点 P ， 使得四边形 POP ′C 为菱形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边 形 ABPC 的最大面积．
∴PC ＝PO ，PE ⊥CO ，∴OE ＝EC ＝ ，
∴ P 点的纵坐标为－ ，即 x ，x 2＝ － )，使得四边形 POP ′C 为菱形．
2 － 2x －
3 ＝－ ，解得 x 1 ＝
(不合题意，舍去 )．∴存在点 P (
， ? ?
? ?
x
(1)图中已知抛物线上几个点？
将 B 、C 的坐标代入求抛物线的解析式；
(2)画出四边形 POP ′C ，若四边形 POP ′C 为菱形，那么 P 点必在 OC 的垂直平分线上， 由此能求出 P 点坐标吗？
(3)由于△ABC 的面积为定值，求四边形 ABPC 的最大面积，即求△BPC 的最大面积．
求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差．
解：(1)将 B 、C 两点的坐标代入 y ＝x 2＋bx ＋c ，
?9＋3b ＋c ＝0， ?b ＝－2， 得? 解得?
?c ＝－3， ?c ＝－3.
∴这个二次函数的解析式为 y ＝x 2－
2x －3.
(2)假设抛物线上存在点 P (x ，x 2－2x －
3)，
使得四边形 POP ′C 为菱形．连接 PP ′交 CO 于点 E .
∵四边形 POP ′C 为菱形，
3
2
3 3 2 2
2＋ 10 2－ 10 2＋ 10
2 2 2
3
2
(3)过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q ，交 OB 于点 F ，设
P (x ， 2－2x －3)．由 x 2－2x －3＝0 得点 A 的坐标为(－1，0)．∵B
点的坐标为(3，0)，C 点的坐标为(0，－3)，∴直线 BC 的解析式
为：y ＝x －3，∴Q 点的坐标为(x ，x －3)，
∴AB ＝4，CO ＝3，BO ＝3，PQ ＝－ x 2+3x.
＝S ABC ＋S BPQ ＋S CPQ ＝ AB ·CO ＋ PQ ·
2 2
BF ＋ PQ ·FO ＝ AB · C O ＋ PQ ·( B F ＋ F O )＝ AB · C O
＋ PQ · B O ＝ ×4× 3＋ (－ x 2＋3x ) ×3＝－ x 2 ＋ x ＋ 6＝
3 x － 2 － 2 ＋ .∴当 x ＝ 时，四边形 ABPC
3 15
四边形 ABPC 的最大面积为 .
∴S
四边形 ABPC 学习必备 欢迎下载
△ △ △
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 3 9
2 2 2 2 2
3 75 3 2 8 2 ，－
的面积最大．此时 P 点的坐标为 2 4 ，
75
8
探究三 二次函数与相似三角形的结合
例 3 [2013·凉山]如图 41－3，抛物线 y ＝ax2－2ax ＋c(a ≠0)交 x 轴于 A 、B 两点，A 点坐标 为(3，0)，与 y 轴交于点 C(0，4)，以 OC 、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴 l 在边 OA(不包括 O 、A 两点)上平行移动，分别交 x 轴于点 E ，交 CD 于点 F ，交 AC 于点 M ，交抛物线于点 P ，若点 M 的横坐标为 m ，请用含 m 的代数式表 示 PM 的长；
(3)在(2)的条件下，连接 PC ，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P ，使得以 P 、 C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断△PCM 的形 状；若不存在，请说明理由．
?c ＝4， ?a ＝－4，
∴? 解得? ??c ＝4. ∴所求抛物线的解析式为 y ＝－ x 2＋ x ＋4.
? ?k ＝－ ，
??3k ＋b ＝0， ∵A (3，0)，C (0，4)在直线 AC 上，∴? 解得?
??b ＝4.
∴直线 AC 的解析式为 y ＝－ x ＋4，
∴M m ，－ m ＋4?，P m ，－ m 2＋ m ＋4?. 2＋ m ＋4－ －
m ＋4? 4 8 ? 4 ?
∴PM ＝－ m ＝－ m 2＋ m ＋4＋ m －4
＝－ m 2
＋4m .
? ? 3 3 3 3
(1)将____________代入 y ＝ax 2－2ax ＋c ，求出抛物线的解析式；
(2)根据________的坐标，用待定系数法求出直线 AC 的解析式；
(3)根据抛物线和直线 AC 的解析式如何表示出点 P 、点 M 的坐标和 PM 的长？
(4)由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和 E 对应，则若以 P 、C 、F 为顶点的三角形和
△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC ∽________，②△PFC ∽________．
此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三 角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边 和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
解：(1)∵C (0，4)，A (3，0)在抛物线 y ＝ax 2－2ax ＋c (a ≠0)上，
3 ?9a －6a ＋c ＝0，
4 8
3 3
(2)设直线 AC 的解析式为 y ＝kx ＋b (k ≠0)，
4
3
?b ＝4，
4
3
? 4 ? ? 4 8 ?
? ? ? ?
∵点 P 在 M 的上方，
3 3 ? ?
4 8 4
3 3 3
4 3
PF
(3)①若△PFC ∽△AEM ，此时△PCM 是直角三角形且∠PCM ＝90°.则AE CF PF AE ＝ME ，即CF ＝ME .
∵ P F ＝ P E － E F ＝－ m 2 ＋ m ＋ 4 － 4 ＝－ m 2 ＋ m ， C F ＝ O E ＝ m ，∴
同理，PF ＝－ m 2＋ m ，CF ＝OE ＝m ，
∴AB ＝5，半径是 PC ＝PB ＝PA ＝ ，
∴OP ＝ －1＝ ，
3 3 3 23 ＝ .∵m ≠0，∴m ＝ .
则 ＝
，即 ＝ . 3
3 4 ∴
＝ . 此时 m 的值为 或 △1， PCM 为直角三角形或等腰三角形．
AE ME AE AO
又∵△AEM ∽△AOC ，∴AO ＝ C O ，即ME ＝CO ，
PF AO 3 ∴CF ＝CO ＝4.
4 8 4 8
3 3 3 3
4 8 － m 2＋ m
m 4 16
②若△PFC ∽△MEA ，此时△PCM 是等腰三角形且 PC ＝CM .
PF FC PF ME
ME EA FC EA
AO AE 3 OC 4 PF OC 4
由①得CO ＝ME ＝4，∴OA ＝3，∴FC ＝OA ＝3.
4 8
3 3
4 8
－ m 2＋ m m 3
∵m ≠0，∴m ＝1.
综上可得，存在这样的点 P 使以 P 、C 、F 为顶点的三角形与△AEM 相似，
23
16
探究四 二次函数与圆的结合
例 4 [2013·巴中]如图 41－4，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O ，A 点坐标为(4，0)，B 点坐标为(－1，0)，以 AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作⊙P 与 y 轴的正半轴交于点 C.
(1)求经过 A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；
(2)设 M 为(1)中抛物线的顶点，求直线 MC 对应的函数解析式； (3)试说明直线 MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．
(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过 A 、B 、C 三点的抛物线解析式是 y ＝a(x －4)(x ＋1)，如 何求出 C 点坐标？
(2)怎么求出顶点 M 的坐标？
(3)若直线 MC 与⊙P 相切，如何去求证？
用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一 次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进 行推理和计算是解此题的关键．
解：(1)∵A (4，0)，B (－1，0)，
5
2
5 3
2 2
在△CPO 中，由勾股定理得：OC ＝ CP 2－OP 2＝2，
∴a ＝－ ，
∴y ＝－ (x －4)(x ＋1)＝－ x 2＋ x ＋2，
故经过 A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式是 y ＝－ x 2＋ x ＋2.
25??
8把 C (0，2)，M 2， 8 ?代入，得? ＝ k ＋b ， ??b ＝2，
解得 k ＝ ，b ＝2，∴y ＝ x ＋2.
当 y ＝0 时，0＝ x ＋2，∴x ＝－ ，OD ＝ ，∴D －3，0?. 在△COD 中，由勾股定理得 CD ＝2 ＋ 3? ＝2 2 1 2 3 1? 3?2 25 ?325? ?3 25? ＝ .
?5?2
25 225 ?2 625?5 8
2又 PC ＝ ? ＝ ＝ ，PD ＝ ＋ －1? ＝ ，2 ? ? ? ? ?2 3 ?
∴C (0，2)．
设经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式是 y ＝a (x －4)·(x ＋1)， 把 C (0，2)代入得：2＝a (0－4)(0＋1)，
1
2 1 1 3
2 2 2
1 3
2 2
(2)∵y ＝－2x ＋2x ＋2＝－2 x －2? ＋ 8 ，∴M 2， 8 ?.
设直线 MC 对应的函数解析式是 y ＝kx ＋b ，
3
2 ? ?
3 3
4 4
(3)MC 与⊙P 的位置关系是相切． 证明：设直线 MC 交 x 轴于 D ，
3 8 8 ? 8 ?
4 3 3 ? ?
?8?2 100 400 ? ? 9 36
?2? 4 36 36
∴CD 2＋PC 2＝PD 2，∴∠PCD ＝90°，∴PC ⊥DC . ∵PC 为半径，∴MC 与⊙P 的位置关系是相切.