高中数学几何证明题

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形 ABCD 是空间四边形，E,F,G,H 分别是边AB, BC,CD, DA 的中点 (1) 求证：EFGH 是平行四边形

(2) 若BD=2√3，AC=2 EG=2求异面直线 AG BD 所成的角和EG BD 所成的角。

1

证明：在 ABD 中，??? E, H 分别是AB, AD 的中点二EH //BD ,EH BD

2

1

同理，FG // BD , FG BD ∕? EH // FG ,EH = FG .?.四边形 EFGH 是平行四边形。

2

⑵ 90 ° 30 °

考点：证平行(利用三角形中位线)

，异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形 ABCD 中，BC =AC, AD =BD ,

E 是AB 的中点。

同理，AD

一

BD

=

DE _ AB AE =BE,

又?.? CE DE=E

.?. AB _ 平面 CDE

(2)由(1)有AB _平面CDE 又?.? A B

-平面ABC ,

.?.平面CDE _平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

求证：

(1) AB _ 平面 CDE;

(2) 平面CDE _平面ABC 。

证明：

BC=AC [— (1) ? CE 丄 AB

AE=BE

A

C

3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA l的中点,

求证：AC//平面BDE 。

证明：连接AC交BD于O ,连接EO ,

??? E为AA1的中点，O为AC的中点

??? EO为三角形A1AC的中位线??? EO//AC

又EO在平面BDE内，AC在平面BDE夕卜

?A I C // 平面BDE。

考点：线面平行的判定

4、已知ABC 中.ACB =90〔SA_ 面ABC, AD _ SC,求证：AD _ 面SBC.

证明：T ACB =90 ° BC _ AC

又SA_面ABC . SA_ BC

.BC _ 面SAC

.BC _ AD

又SC — AD, SC「BC =C AD_ 面SBC

考点：线面垂直的判定

5、已知正方体ABCD -A I BIGD I , O是底ABCD对角线的交点?

求证：（1 ）C I O // 面AB1D1 ; （2）AC-面AB1D1 .

证明：（1）连结A1C1,设A

I

Cλ B

I

D^O I,连结AO

1

??? ABCD -^B1C1D1是正方体.A l ACC I是平行四边形? A1C1 // AC 且A I C^AC

又O1,O 分别是A1C1,AC 的中点，??? O1C1∕/ AO 且O1C1 =AO AOC1O1是平行四边形

Ca AO

I

, AO

I面AB1D1, C1O 二面AB1D1? C1O// 面AB1D1

（2）'* CC1丄面A1B1C1D1 =CC 丄BD

又T AG 丄B

I

D

I, ΛB1 D1丄面 A1C1C 即 AC丄BD

同理可证A

I

C—AD I ,又D I B I AD1 = D I

AC -面AB1D1

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定B C

C

B

C1

C

6

、正方体 ABCD —A'B'C'D'中，求证：（1）AC 丄平面 B'D'DB ；（ 2）BD'丄平面 ACB'

7、正方体 ABCD — A I B I C I D I 中.⑴求证：平面 A i BD //平面B i D i C;

⑵若E 、F 分别是AA i ，CC i 的中点，求证：平面 EB i D i /平面FBD . 证明：⑴由B i B/ DD

i ,得四边形

BB i D i D 是平行四边形，二B i D i / BD , 又 BD 二平面 B i D i C, B i D i 平面 B i D i C,

??? BD //平面 B i D i C . 同理 A i D //平面 B i D i C .

而 A i D ∩ BD = D ,?平面 A i BD //平面 B i CD .

⑵由 BD/ B i D i ,得 BD //平面 EB i D i ?取 BB i 中点 G,? AE // B i G .

从而得 B i E // AG ,同理 GF // AD . ? AG // DF . ? B i E/ DF . ? DF //平面 EB i D i

考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 8、如图P 是 ABC 所在平面外一点，

PA = PB,CB _平面PAB , M 是PC 的中点，

N 是AB 上的点,

AN =3NB

(i)求证：MN _ AB ; (2)当.APB =90 , AB =2BC =4 时，求 MN 的长。 证明：(i)取

PA 的中点Q ,连结MQ,NQ , V M 是PB 的中点，

? MQ // BC , V CB _ 平面 PAB , ? MQ _ 平面 PAB

? QN 是MN 在平面PAB 内的射影，取 AB 的中点D ,连结 PD , V PxPB , PD- AB ,又 AN = 3NB , ? BN = ND W

源学§科§

H ]

? QN //PD ,? QN _ AB ,由三垂线定理得 MN _ AB

r i

(2) V -APB = 90" , PA = PB, ? PD AB = 2 ,? QN = i , V MQ _ 平面 PAB . ? MQ _ NQ ,且

2 MQ =i BC =i, ? MN =、2

2

考点：三垂线定理

i0、如图，在正方体 ABCD-A 1B i C i D i 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C i D i 的中点.求证：平面D i EF //

考点：线面垂直的判定

D'

?平面EB i D i /平面FBD . F C

D

P

A

平面BDG .

证明：V E、F分别是AB、AD的中点，? EF // BD

又EF二平面BDG , BD 平面BDG EF //平面BDG

D i G- EB ?四边形D i GBE为平行四边形，D i

E // GB 又D i E二平面BDG , GB 平面BDG D i E //平面BDG

EF - D 1E = E ,平面D

EF //平面BDG

I

考点：线面平行的判定(利用三角形中位线)

11、如图，在正方体ABCD-ABC i D i中，E是AA的中点.

(1)求证：AC//平面BDE ；

(2)求证：平面A1AC _平面BDE .

证明：(1)设ACrBD=O ,

??? E、Q 分别是AA1、AC 的中点，.A1C // EQ

又AC -平面BDE , EQ二平面BDE , AQ //平面BDE

(2)??? AA^ _ 平面ABCD , BD 平面ABCD , AA _ BD

又BD _ AC , A C-AA=A , BD _平面A1AC , BD 平面BDE , 平面BDE _ 平面AAC

考点：线面平行的判定(利用三角形中位线) ，面面垂直的判定

12、已知ABCD 是矩形，PA _ 平面ABCD , AB = 2 , PA = AD= 4 , E 为BC

的中点?

(1)求证：DE _平面PAE ; (2)求直线DP与平面PAE所成的角.

证明：在ADE 中，AD2=AE2DE2, . AE _ DE

?.? PA _ 平面ABCD , DE 平面ABCD , PA_ DE

D 又PA-AE=A , D

E _ 平面PAE

(2)DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt PAD , PD=4、、2 ,在Rt DCE 中，DE =2,2 在Rt DEP 中，PD =2DE , -

ZDPE =30°

考点：线面垂直的判定，构造直角三角形

13、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是.DAB =60°且边长为

且平面PAD垂直于底面ABCD ?

(1)若G为AD的中点，求证：BG _平面PAD ;

(2)求证：AD _ PB ;

(3)求二面角A-BC-P的大小.

证明：(1) ABD为等边三角形且G为AD的中点，.BG_AD

又平面PAD _平面ABCD , BG _平面PAD

(2)PAD是等边三角形且G为AD的中点，.AD _ PG

且AD _ BG , PG-BG=G , AD _ 平面PBG ,

PB 平面PBG , ■ AD _ PB

(3)由AD _ PB , AD // BC , BC _ PB

又BG _ AD , AD // BC , BG _ BC

-PBG为二面角A-BC-P的平面角