§_4_不定积分习题与答案
第四章 不定积分
(A)
1、求下列不定积分
1)?2
x dx
2)?x x dx 2
3)dx x ?-2
)2( 4)dx x
x ?+2
2
1
5)??-?dx x x x 32532 6)dx x
x x
?22sin cos 2cos
7)dx x e x
)32(?
+
8)dx x x x
)1
1(2?-
2、求下列不定积分(第一换元法)
1)dx x ?-3)23( 2)
?
-3
32x
dx
3)dt t
t ?
sin 4)?
)
ln(ln ln x x x dx
5)?x
x dx
sin cos 6)?-+x x e e dx
7)dx x x )cos(2
? 8)dx x x ?-4
3
13 9)dx x
x
?3cos sin 10)dx x x ?--2491 11)?-122x dx 12)dx x ?3cos
13)?xdx x 3cos 2sin 14)?
xdx x sec tan 3
15) dx x x ?+2
39 16)dx x x ?+22sin 4cos 31
17)
dx x
x ?
-2
arccos 2110 18)dx x x x ?
+)
1(arctan
3、求下列不定积分(第二换元法)
1)dx x
x
?+2
11 2)dx x ?sin
3)dx x x ?
-42 4)?>-)0(,222
a dx x
a x
5)?
+3
2
)
1(x dx 6)
?+
x
dx 21
7)
?-+
2
1x
x dx 8)
?-+
2
11x
dx
4、求下列不定积分(分部积分法)
1)inxdx xs ? 2)?
xdx arcsin
3)?
xdx x ln 2
4)dx x
e x
?
-2
sin 2
5)?xdx x arctan 2 6)?
xdx x cos 2
7)?xdx 2ln 8)
dx x x 2
cos 2
2?
5、求下列不定积分(有理函数积分)
1)dx x x ?+3
3
2)?-++dx x x x 1033
22
3)
?+)1(2x x dx
(B) 1、
一曲线通过点)3,(2
e ,且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲
线的方程。
2、
已知一个函数)(x F 的导函数为
2
11x -,且当1=x 时函数值为π2
3
,试求此函数。
3、
证明:若
?+=c x F dx x f )()(,则 )0(,)(1
)(≠++=+?
a c
b ax F a
dx b ax f 。
证明:由假设得)()(),()(b ax f b ax F x f x F +=+'∴=',故
c b ax F a
dx b ax f b ax F b ax F a ++=+∴+'='+?)(1
)(),(])(1[。
4、 设)(x f 的一个原函数为
x
x
sin ,求?'dx x f x )(。
5、
求下列不定积分
1)dx x
?
2
cos 2
2)dx x ?-2sin 1
3)?
+dx x x
2
11arctan
4)dx x
x
x
?+-11 5)
?++)
)((2222b x a x dx
6)dx x a x x ?-2
7)
?+dx x
x
x ln 1ln 8)?
+dx x xe x 2
32arctan )
1(
(C)
1、求以下积分
1)?
-dx e xe x x 1
2)?
+x
x dx
sin 2)2sin(
3)dx e e x x ?2arctan 4)dx x x ?+435
1
5)dx x x x ?+-18
5 6)dx x
x x x ?+cos sin cos sin
第四章 不定积分 习 题 答 案
(A)
1、(1)c x
+-1
(2)c x +--23
32
(3)
c x x x ++-423
123
(4)c x x +-arctan (5)c x x
+--3
ln 2ln )32(52 (6)c x x ++-)tan (cot (7)c x e x
++ln 32 (8)
c x
x ++4
27)7(4
2、(1)c x +--4
)23(8
1 (2)c x +--32
)32(21
(3)c t +-cos 2 (4)c x +ln ln ln (5)c x +tan ln (6)c e x
+arctan
(7)c x +)sin(212 (8)c x +--41ln 43
(9)c x
+2
cos 21 (10)c x x +-+2
494132arcsin 21 (11)
c x x ++-1
21
2ln
2
21 (12)c x
x +-3sin sin 3 (13)
c x x +-5cos 101cos 21 (14)c x x +-sec sec 3
1
3 (15)
c x x ++-)9ln(29
2122 (16)
c +3
2arctan 321 (17)c x
+-
10
ln 210arccos 2 (18)c x +2)(arctan 3、(1)c t t +-cot csc ln (2)c x x x +--)sin
cos (2
(3)c x
x +--)2
arccos 24(tan
22 (4)c x a a
x a x a +--)(arcsin 22222
(5)
c x
x ++2
1 (6)c x x ++-)21ln(2
(7)
c x x x +-++)1ln (arcsin 21
2 (8)c x
x x +-+-
211arcsin 4、(1)c x x x ++-sin cos (2)c x x x +-+21arcsin
(3)
c x x x +-3391ln 31 (4)c x
x e x ++--)2sin 42(cos 1722 (5)c x x x x +++-)1ln(6
161arctan 312
23 (6)c x x x x x +-+sin 2cos 2sin 2
(7)c x x x x x ++-2ln 2ln 2
(8)
c x x x x x x +-++sin cos sin 21612
3 5、(1)c x x x x ++-+-3ln 2792
3312
3 (2)c x x +++-5ln 2ln
(3)c x x ++-)1ln(21ln 2
(4) c x x x x +-+-+-arctan 2
1)1ln(411ln 21ln 2
(5)c x x x x ++++++-3
1
2arctan 3311ln 2122
(B)
1、 设曲线)(x f y =,由导数的几何意义:x y 1=',c x dx x
+=?ln 1,点)3,(2
e 代入即可。
2、 设函数为)(x F ,由2
11)()(x
x f x F -=
=',得
C x dx x f x F +==?arcsin )()(,代入)2
3
,1(π即可解出C 。
3、 由假设得)()(),()(b ax f b ax F x f x F +=+'∴=',故
c b ax F a
dx b ax f b ax F b ax F a ++=+∴+'='+?)(1
)(),(])(1[。 4、把)(x f '凑微分后用分部积分法。
5、(1)用倍角公式:2
cos 12cos
2
x
x += (2)注意0sin cos ≥-x x 或0sin cos <-x x 两种情况。
(3)利用)cot (11,cot 1arctan
2
x arc d dx x x arc x -=+=。 (4)先分子有理化,在分开作三角代换。
(5)化为部分分式之和后积分。 (6)可令t a x 2
sin 2=。
(7)可令,sin )(2
t a b a x -=-则t a b x b 2
cos )(-=-。 (8)令t x =+ln 1。 (9)分部积分后移项,整理。 (10)凑x
e
arctan 后分部积分,再移项,整理。
(11)令t x
=2
tan
。 (12)变形为
?
-?--4
)2(2
3
x x x dx 后,令
t x x =--2
3
, 再由22
1
1t x =--
,两端微分得tdt dx x 2)2(12
=-。
(C)
1) 解:令1-=x e u ,则du u
u
dx u x 2
2
12),1ln(+=
+= 所以原式du u
u u u du u ??+-+=+=2
2
2
2
14)1ln(2)1ln(2 c u u u u ++-+=arctan 44)1ln(22
c e e e x x x x +-+---=1arctan 41412
2)解:方法一:
原式???==+=2
cos 2tan )
2(tan 412cos 2sin )2(4
1)cos 1(sin 22
3x x x d x x x d x x dx c x x x d x x
++=+=?2
tan ln 412tan 81)2(tan 2tan 2tan 14122 方法二:令t x
=2
tan
方法三:变形为
?+-)cos 1)(cos 1(2sin 2x x xdx
,然后令u x =cos
再化成部分分式积分。 3)解:原式)(arctan 2
12?--
=x
x e d e ])
1()(arctan [21222?+--=-x x x x
x e e e d e e
(令u e x
=)])
1(arctan [2
1222?
+--=-u u du
e e
x x
]1arctan [21222??++--=-u du u du e e x x
[]
c e e e e x x x x +++-=--arctan arctan 2
1
2
4)解:原式)](1
1)(11[31)(131********
433x d x x d x x x d x x ???+-++=+=
)]1()1()1()1([3
13
41
3343
3++-++=??-x d x x d x
c x x ++-+=43
3473)1(9
4
)1(214 5)解:原式??-++=+-=----2)()(212
22
22443x x x x d dx x
x x x ,令2
2-+=x x u c u u u du ++-=-=
?22ln 2412212 c x x x x ++++-=1
212ln
2
412
4
24
6)解:原式dx x
x x x ?+-+=
cos sin 1
1cos sin 221 dx x
x dx x x x x ??+-++=cos sin 1
21cos sin )cos (sin 212 ?++--=)
4
sin()4(221)cos (sin 21ππ
x x d x x
?+-++-=)
4
(cos 1)
4cos(221)cos (sin 212ππ
x x d x x
)4cos(])
4cos(11)4cos(11[241)cos (sin 21πππ+++++-+-=?x d x x x x c x x x x ++-+
++-=)
4
cos(1)
4cos(1ln 2
41
)cos (sin 21π
π
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题: 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数,贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数,贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中,过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x),则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是:(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则: f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则:
大学高等数学第四章 不定积分答案
第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分: (1)解:C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( (2)解:?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 (3)略. (4) 解:? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解:?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解:x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解:? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解: ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解:},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f , )(x F 则必存在原函数,???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续,有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ,,2 1112C C +- =+-即
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=, 故321(1)3f x x -= ,令3126x -=得3x =,所以1(26)27 f =.
高等数学第四章 不定积分教案
第四章 不定积分 知识结构图: ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法 第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求: 1.理解原函数与不定积分的概念,理解两者的关系,理解不定积分与导数的关系;掌握不 定积分的几何意义与基本性质。 2.理解与掌握积分的基本公式,掌握不定积分的基本运算,会熟练地用直接积分法、第一 类换元积分法、第二换元积分法(代数换元)、分部积分法求不定积分。 3.了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点: 1.原函数与不定积分的概念 2.不定积分的性质与基本积分公式 3.直接积分法 4.换元积分法 5.分部积分法 教学难点: 1.不定积分的几何意义 2.凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念,理解不定积分的几何意义;理解并掌握不定积分的基本性质;熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1.原函的概念;2.不定积分的概念;3.不定积分的几何意义;4.不定积分的基本性质;5.不定积分的基本公式;6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1.理解不定积分的几何意义;2.记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】
一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是:已知一个函数,求这个函数的导数;在现实生活中往往有:已知一个函数的导数,求原来这个函数的问题, 如:①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ,要求该产品总成本的变化规律()C C q =. 1.原函数定义 定义4.1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数.如果存在可导函数)(x F ,使对于任意的I x ∈,都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析:如(cos )sin x x '-=,则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=,则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问:(1)是否所有的函数都有原函数?什么样的函数才有原函数存在呢?在此, 我们不作讨论.我们只给出一个重要的结论. 结论:如果函数()f x 在某区间上连续,则其原函数一定存在 (2)25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢?学生回答:是 (3)提出一个函数若存在原函数,则有几个呢?引入 2.原函数个数 定理4.1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数,则()F x C +也是()f x 的原函数,且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式(C 为任意常数). (二)不定积分的概念 教师指出:在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在,则有无数多个,它们都可以表示为()F x C +的形式,我们把它叫做()f x 的不定积分。 1.不定积分定义 定义4.2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数,则称()f x 的全体原函数()F x C +(C 为任意常数)为()f x 的不定积分,记作 C x F dx x f +=?)()(
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
高等数学 第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
高等数学第四章不定积分课后习题详解
高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!★(1)
思路: 被积函数52 x -=,由积分表中的公式(2)可解。 解:5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积 分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==,直接积分。 解 :715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解:222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5-1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -,并且当x = 1时, 该函数值是3 2π,求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时, 3 (1)2f π =,代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍,求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1.利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ,两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2.利用定积分的几何意义,证明下列等式: ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3.估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4.根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5.计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6.计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7.当x 为何值时,函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值? 8.计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ,其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ,l 为正整数,且l k ≠,试证下列各题: ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
§4不定积分习题与答案
第四章 不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2)?x x dx 2 3)dx x ?-2 )2( 4)dx x x ?+2 2 1 5)??-?dx x x x 32532 6)dx x x x ?22sin cos 2cos 7)dx x e x )32(? + 8)dx x x x )1 1(2?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1)dx x ?-3)23( 2) ? -3 32x dx 3)dt t t ? sin 4)? ) ln(ln ln x x x dx
5)?x x dx sin cos 6)?-+x x e e dx 7)dx x x )cos(2 ? 8)dx x x ?-4 3 13 9)dx x x ?3cos sin 10)dx x x ?--2491 11)?-122x dx 12)dx x ?3cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+2 39 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17) dx x x ? -2 arccos 2110 18)dx x x x ? +) 1(arctan
3、求下列不定积分(第二换元法) 1)dx x x ?+2 11 2)dx x ?sin 3)dx x x ? -42 4)?>-)0(,222 a dx x a x 5)? +3 2 ) 1(x dx 6) ?+ x dx 21 7) ?-+ 2 1x x dx 8) ?-+ 2 11x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1)inxdx xs ? 2)? xdx arcsin 3)? xdx x ln 2 4)dx x e x ? -2 sin 2
高等数学 第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题41 1、求下列不定积分: 知识点:直接积分法得练习——求不定积分得基本方法。 思路分析:利用不定积分得运算性质与基本积分公式,直接求出不定积分!★(1) 思路: 被积函数 ,由积分表中得公式(2)可解。 解: ★(2)
思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★(4) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★★(5) 思路:观察到后,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6) 思路:注意到,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易瞧出(5)(6)两题得解题思路就是一致得。一般地,如果被积函数为一个有理得假分式,通常先将其分解 为一个整式加上或减去一个真分式得形式,再分项积分。 ★(7) 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134(- +-)2 ★(8) 思路:分项积分。 解: 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++? ? ★★(9) 思路:?瞧到,直接积分。
第4章不定积分(自测题答案)
《高等数学》单元自测题答案 第四章 不定积分 一、填空题: 1、2ln 2 22 x x ; 2、2 2 ; 3、C x +-2 2 )1(21 ; 4、C x ++1tan 2; 5、C x x ++3 3 1ln 31. 二、选择题: 1、C ; 2 、C ; 3、B . 三、计算下列不定积分: 1、解 ?? ??+- = +-+= += +x x x x x x x x x x de e de e e de e e dx e e )111(111112 C e e e d e de x x x x x ++-=++- = ??)1ln()1(11 。 2、解 ? ?? +- += +-dx x x dx x x dx x x x 2 2 2 1arctan 11arctan C x x x xd x x d +- += - ++= ??2 2 2 2 )(arctan 2 1)1ln(2 1arctan arctan 1)1(2 1。 3、解 令t x sin =,则tdt dx cos =,且 ??? ? -+-= +=-+= -+dt t t t t dt t t t tdt x dx )cos 1)(cos 1() cos 1(cos cos 1cos sin 11cos 112 2 ? ? ? ?? -- = - = -= dt t t t t d dt t t dt t t dt t t t 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin 1sin sin sin cos sin cos sin cos cos C x x x x C t t t ++-+ - =+++-=arcsin 11cot sin 12。 4、解 令12-= x t ,则)1(2 12 += t x ,tdt dx =,且 ?? ?? +- = +-+= += +-dt t dt t t dt t t dx x )1 11(1 111 1 121 C x x C t t +-+--=++-=)121ln(12|1|ln 。 5、解 ????? - =- ==dx x e x e x d e x e de x dx x e x x x x x x 2 1 2cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin )2 c o s 2c o s (212s i n 2c o s 21 2 s i n ??- -=- =x d e x e x e de x x e x x x x x ?-- =dx x e x e x e x x x 2sin 4 12 cos 212 sin 所以,C x e x e dx x e x x x +- = ?)2 cos 2 12 sin (542 sin 。
高等数学第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析: 利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质, 将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2) ? x x dx 2 3) dx x ?-2)2 ( 4) dx x x ? +2 2 1 5)??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 6) dx x x x ?2 2sin cos 2 cos 7) dx x e x) 3 2(?+ 8) dx x x x ) 1 1( 2 ?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1) dx x ?-3)2 3( 2) ? - 33 2x dx 3) dt t t ?sin 4) ? ) ln(ln ln x x x dx 5)? x x dx sin cos6) ?- +x x e e dx 7) dx x x) cos(2 ? 8) dx x x ? -4 3 1 3 9) dx x x ?3 cos sin 10) dx x x ? - - 2 4 9 1 11)? -1 22x dx 12) dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分(第二换元法) 1) dx x x ? +2 1 1 2) dx x ?sin 3) dx x x ?-4 2 4) ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x 5)? +3 2)1 (x dx 6) ? +x dx 2 1 7)? - +2 1x x dx 8) ? - +2 1 1x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1) inxdx xs ? 2) ?xdx arcsin 3)?xdx x ln 2 4) dx x e x ?- 2 sin 2 5)?xdx x arctan 2 6) ?xdx x cos 2 7)?xdx 2 ln 8) dx x x 2 cos2 2 ? 5、求下列不定积分(有理函数积分) 1) dx x x ? +3 3 2)? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3)? +)1 (2x x dx (B) 1、一曲线通过点 )3, (2e,且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -,且当1 = x时函数值为 π 2 3 ,试求此函数。
不定积分_定积分复习题与答案
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0 x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx =?,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s <<
第四章不定积分1
东华理工学院高等数学课程建设组 第四章 不定积分 教学目的: 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。 2、 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法(第一,第二) 与分部积分法。 3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点: 1、不定积分的概念; 2、不定积分的性质及基本公式; 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点: 1、换元积分法; 2、分部积分法; 3、三角函数有理式的积分。 §4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F ′(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )′=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=′, 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗? 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F ′(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )?F (x )=C (C 为某个常数).
第四章不定积分试题与答案
第四单元 不定积分 一、填空题 1、? dx x x =___________。 2、?x x dx 2=_____________。 3、?+-dx x x )23(2=_____________。 4、 ?-dx x x x sin cos 2cos =___________。 5、?+x dx 2cos 1=____________。 6、dt t t ?sin =___________。 7、?xdx x sin =___________。 8、?xdx arctan =__________。 9、=+?dx x x 2sin 12sin ____________。 10、? =''dx x f x )(____________。 11、?=++dx x x 1)3(1________________。 12、 ?=++__________522x x dx 。 二、单项选择 1、对于不定积分 ()dx x f ?,下列等式中( )是正确的. (A )()()x f dx x f d =?; (B ) ()()x f dx x f ='?; (C ) ()()x f x df =? ; (D ) ()()x f dx x f dx d =?。 2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续,则()[]dx x f d ?等于( ) (A )()x f ; (B )()dx x f ; (C )()C x f + ; (D )()dx x f '。
3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数,则( ) (A )()()0=-x G x F ; (B )()()0=+x G x F ; (C )()()C x G x F =-(常数); (D )()()C x G x F =+(常数)。 4、若?+='c x dx x f 33)(,则=)(x f ( ) (A )c x +35 56;(B )c x +35 59;(C )c x +3 ;(D )c x +。 5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ,则=?dx x xf )(( ) (A )c x x ++)ln 41 21 (2;(B )c x x ++)ln 21 41(2; (C )c x x +-)ln 21 41(2;(D )c x x +-)ln 41 21(2。 6、设c x dx x f +=?2)(,则=-?dx x xf )1(2( ) (A )c x +--22)1(2;(B )c x +-22)1(2; (C )c x +--22)1(21 ;(D )c x +-22)1(21 。 7、=+-?dx e e x x 11 ( ) (A )c e x ++|1|ln ; (B )c e x +-|1|ln ; (C )c e x x ++-|1|ln 2; (D )c x e x +--|1|ln 2。 8、若)(x f 的导函数为x sin ,则)(x f 的一个原函数是( ) (A )x sin 1+; (B )x sin 1-; (C )x cos 1+; (D )x cos 1-。 9、)(),()('x f x f x F =为可导函数,且1)0(=f ,又2)()(x x xf x F +=,则)(x f =( ) (A )12--x ; (B )12+-x ; (C )12+-x ; (D )12--x 。 10、=?-??dx x x x 23223( ) (A )C x x +?-)23(23ln 23; (B )C x x x +?--1)23 (23; (C )C x +?--)23 (2ln 3ln 2 3; (D )C x x +?--)23 (2ln 3ln 23。