8.7几种简单的几何图形及其推理(3)三线八角
8.7几种简单的几何图形及其推理第三课时三线八角
【学习目标】1、理解三线八角的意义，并能从图形中识别它们
2、通过三线八角的特点的分析，培养抽象概括问题的能力。
3、认识图形是由简到繁组合而成，培养形成基本图形的结构的能力。
【学习重点】三线八角的意义，能在图形中找出这三类角。
【学习难点】能在各种图形中找出这三类角。
一、复习回顾
如图，两条直线相交，能形成多少个小于平角的角？它们之间有什么样的数量关系？
二、自主探究
如图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，图中共有多少个小于平角的角？
位于直线AB上方的有：
位于直线AB下方的有：
位于直线CD上方的有：
位于直线CD下方的有：
位于直线EF左方的有：
位于直线EF右方的有：
1、观察∠1和∠2在位置上有什么样的特点？
在直线AB、CD的_________，又在第三条直线EF的_________，这样的一对角称为_________ 上图中有哪些是同位角？一组同位角所组成的基本图形是什么？
_______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________
_______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________
_______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________
_______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________
2、观察∠1和∠6在位置上有什么样的特点？
夹在直线AB、CD的_______，又分别在第三条直线EF的_______，这样的一对角称为_______ 上图中有哪些是内错角？一组内错角所组成的基本图形是什么？
_______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________
_______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________
3、观察∠1和∠8在位置上有什么样的特点？
夹在直线AB、CD的_______，又在第三条直线EF的________，这样的一对角称为__________ 上图中有哪些是同旁内角？一组同旁内角所组成的基本图形是什么？
_______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________
_______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________
注意：（1）截线是这一对角的公共边，另外两边分别是被截直线
（2）这三类角都是位置关系，它们之间不存在固定是数量关系。
三、课堂延伸
例1、指出右图中的同位角、内错角和同旁内角
例2、（1）下面四个图形中，∠1和∠2是同位角的有哪些？
（2）指出右图中的内错角和同旁内角
例3、如图所示
（1）∠1和∠2是____角，是直线_____和_____被_____所截而成 （2）∠3和∠4是____角，是直线_____和_____被_____所截而成
（3）∠DEC 和∠4是____角，是直线_____和_____被_____所截而成 （4）∠ADE 和∠ABC 是____角，是直线____和____被_____所截而成 （5）∠ABC 和∠ACB 是____角，是直线____和____被_____所截而成
例4、判断正误：
①∠1和∠B 是同位角； ②∠2和∠B 是同位角； ③∠2和∠C 是内错角； ④∠EAD 和∠C 是内错角；
例5、判断正误： ① 1和∠4是同位角； ② ②∠1和∠5是同位角； ③ 2和∠7是内错角； ④ ④∠1和∠4是同旁内角； ⑤∠1和∠2是同旁内角；
4
1
2
E A D
图8—7（3-4）
1 2
E 3
7 6 5 4 图8—7（3-5）
初一下简单几何图形推理
1、∠B 与∠1是________被________所截得到的_________角； ∠C 与∠2是________被________所截得到的__________角； ∠B 与∠BAE 是________被________所截得到的________角； BD 截AC 、BC 得到的同位角是________________； AC 截BD 、BC 得到的同旁内角是______________； ∠B 的同旁内角有____________________________； 2、找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角，并说明每对角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的。 3、依据图形写出由AB ∥CD 得到的三种不同类的结论及其依据： （1）∵AB ∥CD ( ) ∴____________________ ( ) （2）∵AB ∥CD ( ) ∴____________________ ( ) （3）∵AB ∥CD ( ) ∴____________________ ( ) 4、依据图形写出能判定AB ∥CD 的五种不同类的条件及其依据 （1）∵____________________ ( ) ∴AB ∥CD ( ) （2）∵____________________ ( ) ∴AB ∥CD ( ) （3）∵____________________ ( ) ∴AB ∥CD ( ) （4）∵____________________ ( ) ∴AB ∥CD ( ) （5）∵____________________ ( ) ∴AB ∥CD ( ) B C 87 654321A B C D E F G H B C D 654321E A B C F D
平行线与相交线的知识点总结与归纳
平行线与相交线（1） 、知识概述 （一）从台球桌面上的角，弓I出有关角的概念1、两角互余、互补的概念及性质 （1）定义： 如果两个角的和是180° 那么这两个角互为补角.（如图）简称互补. 如果两个角的和是90°,那么这两个角互为余角.（如图）简称互余. 说明：①互余、互补是指两个角的关系 ②互补或互余的两个角，只与它们的和有关，而与其位置无关③用数学语言表述为: 若/a+ /3=180 °，则/a与互补；反之，若/a与互补，则/a+/B =180°. 若/a+/B =90。，则/a与/B互余；反之若/a与/B互余，则/a+ /3 =90 °. （2）性质: ①同角或等角的补角相等 ②同角或等角的余角相等2、对顶角的概念 （1）如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角 / 1和/ 3,/ 2和/ 4是对顶角. .如图中的
由对顶角的位置特点也可将其描述为: ①两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角 说明：只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的 ③对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线 （2）对顶角的性质：对顶角相等. （二）探索直线平行的条件 1、两条直线相交构成四个有公共顶点的角.一条直线与两条直线相交得八个角，简称“三线八角”，则 不共顶点的角的位置关系有同位角、内错角、同旁内角 如图所示，直线AB、CD被直线EF所截, 形成了 （1）同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角如/ 1 和/ 5,/ 3 和/ 7,/ 4 和/ 8,/ 2 和/ 6. （2）内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角例如/ 3和/ 5,/ 4和/ 6. （3）同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.例如/ 4和/ 5,/ 3和/ 6. 2、两条直线平行的条件: 两条直线被第三条直线所截，如果 （1）同位角相等，两直线平行.（2）内错角相等，两直线平行.（3）同旁内角互补，两直线平行 二、重难点知识剖析 1、互为补角和互为邻补角的关系.互为补角是两个角的和为 它们的和为180。有关，又与位置有关，不要混淆. 180°,与它们的位置无关. 而互为邻补角既与 2、灵活运用互余、互补等知识点以及对顶角的性质列方程求解, 即学会用代数法解几何题的方法 3、证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而
七年级三线八角练习题-精华版
三线八角练习姓名 １.填空, (1)如图１－1,∠１和∠4是AB、被 所截得的角，∠３和∠5是、 被所截得的角,∠2和∠５ 是、被所截得 的角,AＣ、BC被AB所截得的同旁内角是． （2）如图1-2，AＢ、ＤC被BD所截得的内错角 是 ,ＡB、ＣＤ被AC所截是的内错角 是 ,AＤ、BＣ被BＤ所截得的内错 角是，AD、BC被ＡC所截得的内 错角是 . 2.如图③,同旁内角有（ )对 A.4对 B.3对 Ｃ.2对 D．1对③ 3.如图④,同位角共有( ) A．1对 B.2对 Ｃ．3对 D.4对④ 4.如图⑤,内错角共有（ )对 A．１对Ｂ.２对 Ｃ.3对 D.４对⑤５．如图,是同位角关系的是（） A.∠3和∠4 Ｂ.∠1和∠4 C.∠2和∠4 Ｄ.不存在 ６.如图，内错角共有( ) A．１0对 B.8对 Ｃ.６对 D.4对 7.如图，∠１与∠2是角. ∠3与∠4是角. 8.如图，直线ＡD，ＢＣ被ＣE所截:∠Ｃ的同位 角是∠_＿____，同旁内角是∠＿____＿， ∠1与∠2是两条直线＿_＿___和＿___＿＿被第三条直线 ＿_＿_ __所截成的＿＿＿___角． 直线AB和CD被AD所截,∠A的内错角是∠_＿＿＿__,∠A与∠AＤC是_______角, 直线AB和CD被BD所截,∠______和∠_＿__＿_是内错角. 9.如图,已知ＡB,ＣＤ被EＧ截于F，G. 则∠1的同位角是∠___＿_＿,∠1的内错角是∠____＿_， ∠1的同旁内角是∠＿_＿___,∠1的邻补角是∠_____＿. D A B C E F 1 2 3 4 A B C E F A B C D 1 2 3 4 A B C D E 1 2 A B C D E F G 1 --
“三线八角”的识别方法
“三线八角”识别方法 两条直线被第三条直线所截，可得到“三线八角”，并通过这些角的关系研究平行线的概念、平行线的性质及平行线的判定方法，进而利用平行线的概念、性质、判定方法进行说理，这是推理证明的初级阶段，是几何入门的难点之一，因此教会学生准确识别“三线八角”显然很有必要。 在“三线八角”的教学中，由于学生刚开始接触几何图形，观察能力较弱，特别是在不规则图形中，被截线和截线模糊不清，各个角的位置错综复杂，为数不少的学生形成识别困难，因此如何采用适当方法，帮助学生化解认知上的难点，便是我们教学组织者的首要问题。下面笔者结合自己教学实践，谈谈“三线八角”的识别方法。 方法一：联想英文字母识别角，即“F”型的同位角、“Z”型的内错角、“U”型的同旁内角。 仔细观察“三线八角”中各个角的位置特征，就可联想英文字母F、Z、U相似的形象，这样可帮助学生更方便快捷地识别“三线八角”。 同位角、内错角、同旁内角
分析：（1）将∠1与∠5 分离出来，如图②所示，可以看出∠1∠5是不规则的翻折的“F A B 、CD 被直线EF 同理，图①中的∠4与∠8是正立的“型，是同位角．∠2与∠6到的“F ”型，是同位角．∠ 3与∠7翻折的“F ”型，是同位角。 （2）将∠3与∠5从图①中分离出 来，如图③所示，可以看出∠3与∠5 呈不规则正立的“Z ”型，是直线A B 、CD 被直线EF 所截构成的内错角；同 理，图①中的∠4与∠6是翻折的不规 则“Z ”型，是内错角。 (3) 将∠4与∠5从图①中分离出 来，如图④所示，可以看出∠4与∠5 呈旋转的不规则的“U ”型，是直线A B 、CD 被直线EF 所截构成的同旁内角；同 理，图①中的∠3与∠6呈旋转的不规则 的“U ”型， 是同旁内角。 方法二：利用概念识别角。
小学数学——简单几何图形
简单几何图形 本专题共设计了七个课时（变动范围为两个课时），内容包括：直线、射线、线段和角；长方形、正方形的初步认识和垂线、平行线；长、正方形的周长和面积；平行四边形、三角形和梯形；圆。主要针对三年级级以上学生开设，也可适当选择一二课时的内容向一二年级的学生解说，而对于高年级学生，因对一二课时的内容了解较多，可视情况适当删减其中的内容，而对于简单几何图形，这几个课时重在培养学生的动手能力、自学探索能力及锻炼团队合作精神，希望大家可以在快乐中学到知识。另外，中间贯穿了“转化”的重要数学思想，涉及一些课外的知识，希望可以开拓学生的视野。 第一课时 一、直线、射线和线段和角： 1、直线、射线和线段概念及异同点(直线：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线。射线：直线上的一点，可向一方无限延伸。线段：直线上两点间的一段。） 三线表示： A a B 线段有两种表示方法： 线段：（1）用线段的两个端点的大写字母表示：线段Array AB或线段BA；（2）用一个小写字母表示：线段a； 注：线段AB 和线段BA表示同一条线段。 射线：一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示：射线OP 注：（1）表示端点的字母必须写在另一个字母的前面； （2）同一条射线可以有不同的表示方法：射线OP或射线OC 直线：直线有两种表示方法： （1）用直线上的两个大写字母表示：直线MN或直线NM； （2）用一个小写字母表示：直线b； 注：直线MN或直线NM表示同一条直线。 初显身手： 2、找出图中的线段，射线和直线，并用所标的字母表示。 A B C
。。。 解： 线段：线段AB，线段AC，线段BC 射线：射线AB（或射线AC），射线CB（射线CA），射线BA，射线BC 直线：直线AB（或直线AC，或直线BC） 小试牛刀： B 1.如图，从A地到B地有3条路，走哪条路相对近一些？ 3 答：走第3条路相对近些。 2、从A地到B地能否修一条最短的路？如果能，你认为 2 应该怎么修，说说你的理由。 A 1 答：连接图中A,B两地的线段为最短的路。 3、由上述两小题的思考，你认为在两点之间的所有连线中，什么样是最短的？ 答：两点之间的所有连线2中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 2、认识角 （1）引：游戏：十秒钟内过一点可以画几条射线？试画,讨论 结论：过一点可以画无数条射线，这一点称为公共端点。 观察:找一找生活中的角，比一比 (2)概念：从一点引出两条射线所组成的图形是角 (3)通过操作，引导学生找出角的大小和什么有关。 学生用准备的两个硬纸条做成的活动角，按住一个纸条不动，转动另一个纸条，可以出现各种形状、大小不同的角 问题：角的大小和什么有关？（跟长度无关） （4）比较角的大小（三角板演示）：先使两个角的顶点和一边重合，再看另一边，哪个角的边在外面，哪个角就大，如果另一条边也重合，说明这两个角相等。 （5）角的分类及基本含义：直角、钝角、锐角、平角、周角 2、直线、射线和线段的画法
空间重构类图形推理不看后悔
【分享】立方体折叠专题一 一.判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图 1．最长的一行（或列）在中间，可为2、3、4个，超过4?个或长行不在中间的不是正方体表面展开图． 2．在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是． 3．规律： ①每一个顶点至多有3个邻面，不会有4个或更多个． ②“一”形排列的三个面中，两端的面一定是对面，字母相同． ③“L”形排列的三个面中，没有相同的字母，即没有对面，只有邻面．
二.快速确定正方体的“对面” 口诀是：相间、“Z”端是对面 如下图，我们先来统一以下认识： 把含有图（1）所示或可由其作旋转后的图形统称为“I”型图；把所给平面图中含有（2）、（3）、（4）所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z ”型图。 结论： 如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的“I”型图或“Z” 型图两端的正方形（阴影部分）必为折成正方体后的对面。 应用上面的结论，我们可以迅速地确定出正方体的“对面”。 例1．如图，一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是． 分析：自—信—沉—着—超，构成了竖着的Z字型，所以“自”与“超”对应，故应填“自”． 三. 间二、拐角邻面知 中间隔着两个小正方形或拐角型的三个面是正方体的邻面．
例2.如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（） 分析：我们把画有圆的一面记为a面，正方形阴影面记为b面，三角形阴影面记为c 面． 在选项A中，由Z字型结构知b与c对面，与已知正方体bc相邻不符，应排除；在选项B中，b面与c面隔着a面，b面与c面是对面，也应排除；在选项D中，虽然a、b、c三面成拐角型，是正方体的三个邻面，b面作为上面，a面为正面，则c面应在正方体的左面，与原图不符，应排除，故应选（C）． 四. 正方体展开图： 相对的两个面涂上相同颜色
七年级三线八角_练习题
三线八角练习 姓名 1.填空, （1）如图1-1，∠1和 ∠4是AB 、 被 所截得的 角，∠3和∠5是 、 被 所截得的 角，∠2和∠5是 、 被 所截得的 角，AC 、BC 被AB 所截得的同旁内角是 . （2）如图1-2，AB 、DC 被BD 所截得的内错角 是 ，AB 、CD 被AC 所截是的内错角 是 ，AD 、 BC 被BD 所截得的内错角是 ，AD 、BC 被AC 所截得的内错角是 . . 2.如图② (1)∠B 和∠1是两条 直线______和_______ 被第三条直线_______ 所截构成的_______角. ② (2)∠2和∠4是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (3)∠ACB 与∠6是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (4)∠A 与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (5)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (6)∠5与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. 3.如图③,同旁内角有( )对 A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 ③ 4.如图④,同位角共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ④ 5.如图⑤,内错角共有 ( )对 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ⑤ 6.如图⑥是同位角关系 的是（ ） ⑥ A.∠3和∠4 B.∠1和∠4 C.∠2和∠4 D.不存在 7.如图⑦内错角共有( ) A.10对 B.8对 C.6对 D.4对 ⑦ 8.如图⑧ ∠1与∠2是 角. ∠3与∠4是 角. ⑧ 9.如图⑨,∠BDE 的同 位角是∠______,∠BDE 的内错角是∠______, ∠BDE 的同旁内角是 ∠______,∠ADE 与∠DGC ⑨ 是两条直线______和______被直线______所 截成的_______角. 10.如图⑩,直线AD,BC 被CE 所截:∠C 的同位 角是∠______,同旁内 ⑩ 角是∠______,∠1与 ∠2是两条直线______和______被第三条直线 ______所截成的______角.直线AB 和CD 被AD 所截,∠A 的内错角是∠______,∠A 与∠ADC 是 _______角,直线AB 和CD 被BD 所截,∠______和∠ ______是内错角. 11.如图[11],已知AB,CD 被EG 截于F,G.则∠1的 同位角是∠______,∠1的 内错角是∠______,∠1的 同旁内角是∠______,∠1的 [11] 邻补角是∠______. 12.如图[12]已知AB,CB 被DG 截于E,F 两点,则∠1的同位角 是∠______,∠1的内错角是 ∠______,∠1的同旁内角是 ∠_____, ∠1的对顶角是 ∠______,∠1的邻补角 是∠______. [12] 13.如图[13],DE 经过 点C,则∠A 的内错角 是∠______,∠A 的同 旁内角是∠______和 ∠______. [13] 14.如图[14]三条直线 B C A D E 1 2 3 7 6 5 4 D A B C E F 1 2 3 4 A B C E F A B C D 1 2 3 4 A B C D E F G A B C D E 1 2 A B C D E F G 1 A B D E F C G 1 A B C D E L1 L2
(完整word)七年级三线八角练习题精华版
三线八角练习姓名 1.填空, （1）如图1-1，∠1和∠4是AB、被所截得的角，∠3和∠5是、被所截得的角，∠2和∠5是、被所截得的角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是 . （2）如图1-2，AB、DC被BD所截得的内错角 是，AB、CD被AC所截是的内错角 是，AD、BC被BD所截得的内错角 是，AD、BC被AC所截得的内错角 是 . 2.如图③,同旁内角有( )对 A.4对 B.3对 C.2对 D.1对③ 3.如图④,同位角共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对④ 4.如图⑤,内错角共有( )对 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对⑤5.如图，是同位角关系的是（） A.∠3和∠4 B.∠1和∠4 C.∠2和∠4 D.不存在 6.如图，内错角共有( ) A.10对 B.8对 C.6对 D.4对 7.如图，∠1与∠2是角. ∠3与∠4是角. 8.如图,直线AD,BC被CE所截:∠C的同位 角是∠______,同旁内角是∠______, ∠1与∠2是两条直线______和______被第三条直线 ____ __所截成的______角. 直线AB和CD被AD所截,∠A的内错角是∠______,∠A与∠ADC是_______角, 直线AB和CD被BD所截,∠______和∠______是内错角. 9.如图,已知AB,CD被EG截于F,G. 则∠1的同位角是∠______,∠1的内错角是∠______, ∠1的同旁内角是∠______,∠1的邻补角是∠______. D A B C E F 1 2 3 4 A B C E F A B C D 1 2 3 4 A B C D E 1 2 A B C D E F G 1 １
8.7几种简单的几何图形及其推理(3)三线八角
8.7几种简单的几何图形及其推理第三课时三线八角 【学习目标】1、理解三线八角的意义，并能从图形中识别它们 2、通过三线八角的特点的分析，培养抽象概括问题的能力。 3、认识图形是由简到繁组合而成，培养形成基本图形的结构的能力。 【学习重点】三线八角的意义，能在图形中找出这三类角。 【学习难点】能在各种图形中找出这三类角。 一、复习回顾 如图，两条直线相交，能形成多少个小于平角的角？它们之间有什么样的数量关系？ 二、自主探究 如图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，图中共有多少个小于平角的角？ 位于直线AB上方的有： 位于直线AB下方的有： 位于直线CD上方的有： 位于直线CD下方的有： 位于直线EF左方的有： 位于直线EF右方的有： 1、观察∠1和∠2在位置上有什么样的特点？ 在直线AB、CD的_________，又在第三条直线EF的_________，这样的一对角称为_________ 上图中有哪些是同位角？一组同位角所组成的基本图形是什么？ _______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________ _______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________ _______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________ _______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________ 2、观察∠1和∠6在位置上有什么样的特点？ 夹在直线AB、CD的_______，又分别在第三条直线EF的_______，这样的一对角称为_______ 上图中有哪些是内错角？一组内错角所组成的基本图形是什么？ _______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________ _______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________ 3、观察∠1和∠8在位置上有什么样的特点？ 夹在直线AB、CD的_______，又在第三条直线EF的________，这样的一对角称为__________ 上图中有哪些是同旁内角？一组同旁内角所组成的基本图形是什么？ _______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________ _______与_______是直线_______与直线_______被直线_______所截而形成_________ 注意：（1）截线是这一对角的公共边，另外两边分别是被截直线 （2）这三类角都是位置关系，它们之间不存在固定是数量关系。
第一讲 有关三线八角的几何证明
第一讲 有关三线八角的几何证明 一．三线八角模型 两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）： 同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角； 内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角； 同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角； 二．平行线判定定理： 如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？ 两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行： 平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行 如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD 平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行 如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就可以说AB//CD 平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行 如图所示，只要满足∠5+∠2＝180?（或者∠6+∠4＝180?），就 可以说AB//CD 平行线判定定理4：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行 三．平行线的性质定理 两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系： 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等； 两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等 两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。 概念巩固 1. 如图，下面结论正确的是（） A. ∠∠12和是同位角 B. ∠∠23和是内错角 C. ∠∠24和是同位角 D. ∠∠14和是内错角 2. 如图，图中同旁内角的对数是（） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 3. 如图，能与α构成同位角的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，图中的内错角的对数是（）
第15章简单几何体复习与小结(教师版)
第15章 简单几何体(教师版) 复习与小结 一．要点呈现 1、多面体的结构特征： （1）棱柱：有两个面 互相平行 ，其余各面是 平行四边形 ，且相邻两个面的交线都 互相平行 ． （2）棱锥：有一个面是 多边形 ，而其余各面都是有一个 公共顶点 的三角形． （3）圆柱：旋转图形 矩形 ，旋转轴： 矩形的一条边 所在的直线． （4）圆锥：旋转图形 直角三角形 ，旋转轴： 一条直角边 所在的直线． （5）球：旋转图形 半圆 ，旋转轴： 半圆的直径 所在的直线． 2、平行投影与直观图：空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则是： （1）原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x 轴、y 轴的夹角为45?，z 轴与x 轴和y 轴所在平面 垂直 ． （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 平行于坐标轴 ．平行于y 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于x 轴的线段长度在直观图中 取原长度一半 ． 3、特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为 斜 棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直 棱柱；底面是正多边形的直棱柱是 正 棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做 平行六面体 ；侧棱垂直于底面的平行六面体叫做 直平行六面体 ；底面是矩形的直平行六面体叫做 长方体 ；棱长都相等的长方体叫做 正方体 ；其中长方体对角线的平方等于同一顶点上 三条棱长度的平方和 . 4、特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为 正棱锥 ，它的各侧面底边上的高均 相等 ，叫做 斜高 ；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为 正四面体 . 5、在推导几何体体积公式时，我们应用了祖暅原理，该原理的意思是 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 . 6、两点间的球面距离的定义是： 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长度叫两点间的球面距离 . 二．范例导析 【例1】三棱锥O-ABC 的三条棱OA, OB, OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，求： （1）内切球表面积； （2）外接球体积. 分析：通过体积相等法求内切球的半径；怎样找外接球的球心？ 解答：（1）内切球的半径为：45r -=8825 -； （2）外接球的半径为：32R =，体积为92 π.
七年级三线八角练习题-精华版
A B C.∠2 和∠4 D. 不存在 3 A B C.6 对 D.4 对 C 角是∠______,同旁内角是∠______, 1 D ____ __所截成的______角. B 2 B 三线八角练习 姓名 1.填空,（1）如图 1-1，∠1 和∠4 是 AB 、 被 所 截得的 角，∠ 3 和∠ 5 是 、 被 所截得的 角，∠ 2 和∠ 5 是 、 被 所截得的 角，AC 、BC 被 AB 所截得 的同旁内角是 . （ 2 ）如图 1-2 ， A B 、 D C 被 BD 所截得的内错角 是 ， A B 、 C D 被 AC 所截是的内错角 是 ，AD 、BC 被 BD 所截得的内错角 是 ，AD 、BC 被 AC 所截得的内错角 是 . 2.如图③,同旁内角有( )对 A.4 对 B.3 对 C.2 对 D.1 对 ③ 3.如图④,同位角共有( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 ④ 4.如图⑤,内错角共有( )对 D A.1 对 B.2 对 C C.3 对 D.4 对 ⑤ F E 学习必备 欢迎下载 5.如图，是同位角关系的是（ ） 1 A.∠3 和∠4 B.∠1 和∠4 2 4 E 6.如图，内错角共有( ) A.10 对 B.8 对 F 7.如图，∠1 与∠2 是 角. A 1 D ∠3 与∠4 是 角. 3 2 4 C E 8.如图,直线 AD,BC 被 CE 所截:∠C 的同位 A ∠1 与∠2 是两条直线______和______被第三条直线 C 直线 AB 和 CD 被 AD 所截,∠A 的内错角是∠______,∠A 与∠ADC 是_______角, 直线 AB 和 CD 被 BD 所截,∠______和∠______是内错角. 9.如图,已知 AB,CD 被 EG 截于 F,G. 则∠1 的同位角是∠______,∠1 的内错角是∠______, E ∠1 的同旁内角是∠______,∠1 的邻补角是∠______. A B F 1 C G D
北京版七年级数学下册 几种简单几何图形及其推理 教案
《几种简单几何图形及其推理》教案2 教学目标 1. 探索和掌握常规图形的常用辅助线（过某一点作平行线）及结论. 2. 感受数学问题，发展学生的观察、探究、归纳、猜测、验证能力以及严谨的语言叙述. . 3. 认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论,体验数学活动充满着探索性和创造性. 教学重点 探索和掌握常用的辅助线及结论. 教学难点 探索在证明角的关系的问题中如何适当进行平行线的添加 教学方法 师生活动 教学过程 一、复习引入 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 二、探索新知 例观察：用几何画板测量三角形的内角度数，计算出：三角形内角和180°，你是怎样知道的？引导学生回忆小学如何验证此结论。（每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，做拼角实验。即撕掉三角粘在一起） 思考：屏幕上的三角形不能撕， 如何搬到一起__添加辅助线： (过点A 作MN ∥ BC) 引导学生用几种方法证明 三角形内角和180° 已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° _ H _ G _ A _ B _ C D _E _F
（法一）证明：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换) 已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° （法二）证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等） ∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换) 证明的基本思路： （1）把三个角转化为平角 （2）转化为平行时的同旁内角 三、课堂小结 1.没有熟悉的可以直接运用结论的图形时，可以作什么？ 2.添加辅助线的目的是什么？构造新的平行线或三角形 3.构造三角形，应用三角和内角和定理
七年级三线八角练习题
1.填空, ∠2与∠3∠2与∠4∠5与∠7是 角. ∠2与∠5是 角. ∠3与∠8是 角. ∠1与∠5是 角. ∠4与∠8是 角. ∠2与∠6是 角. ∠3与∠7是 角. ① ∠3与∠5是 角. ∠2与∠8是 角. 2.如图② (1)∠B 和∠1是两条 直线______和_______ 被第三条直线_______ 所截构成的_______角. ② (2)∠2和∠4是两条直线 ________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (3)∠ACB 与∠6是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (4)∠A 与∠B 是两条直线 ________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (5)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (6)∠与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (7)∠3与∠B 是两条直线 ________和______被第三条直线 7 6 B C A D E 1 2 3 7 6 54 七年级三线八角 练习题
______所截构成的_______角. (8)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (9)∠B 与∠BDE 是两条直线________和______ ______所截构成的 3.如图③,同旁内角有 ( )对对 对 对 对 ③ 4.如图④,同位角共有 ( )对对 对 对 对 ④ 5.如图⑤,内错角共有 ( )对 对 对 对 对 ⑤ 6.如图⑥是同位角关系 的是（ ） A.∠3和∠4 B.∠1和∠4 C.∠2和∠4 D.不存在 ⑥ 7.如图⑦内错角共有 ( )对 对 对 对 对 ⑦ 8.如图⑧ ∠1与∠2是 角. ∠3与∠4是 角. ⑧ 9.如图⑨,∠BDE 的同 位角是∠______,∠BDE 的内错角是∠______, ∠BDE 的同旁内角是∠ D A B C E F B C D 2A B C D E F G
几种简单的几何图形及其推理复习
几种简单的几何图形及其推理复习专题 一、基础知识 1．线段的中点（如图） ∵点O 是AB 的中点（已知） ∴ = （ ） 2．角的平分线（如图） ∵OC 是∠AOB 的平分线（已知） ∴∠ =∠ （ ） 3．垂线（互相垂直） ∵CD ⊥AB 于点O （已知） ∴∠ = °（ ） 4．对项角 ①∵直线 AB 、CD 相交于O （已知） ∴∠AOD=∠BOC （ ） ②∵AOB 是一条直线（已知） ∴∠AOC +∠BOC=180°（ ） 5．互余与互补 ① ∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°(已知) ∴∠ =∠ ( ) ② ∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°(已知) ∴∠ =∠ ( ) ③ ∵∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°且∠2=∠4 (已知) ∴∠ =∠ ( ) ④ ∵∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°且∠2=∠4 (已知) ∴∠ =∠ ( ) 6．平行线的判定与性质 如图 ① ∵ ∠1=∠A(已知) ∴ AB ∥CD ( ) ② ∵ ∠1=∠C(已知) ∴ AB ∥CD ( ) ③ ∵ AB ∥CD(已知) ∴ ∠1=∠A( ) ④ ∵ AD ∥BC(已知) ∴ ∠1=∠C( ) ⑤ ∵ ∠3=∠4(已知) ∴ ∥ ( ) ⑥ ∵ ∠2=∠5(已知) ∴ ∥ ( ) ⑦ ∵ ∠A+∠ABC=180°(已知) ∴ ∥ ( ) ⑧ ∵ AD ∥BC(已知) ∴ ∠ =∠ ( ) ⑨ ∵ AB ∥CD(已知) ∴ ∠ =∠ ( ) 7．等量公理（等式性质） 如图 ① ∵∠AOD=∠BOC(已知) ∴∠AOD-∠COD=∠BOC-∠COD( ) 即∠1=∠2 A B O · · · A B O C 1 2 A B O · · C D C A B D O A B C D E 1 3 4 2 5 A O C D B 2 1 3
(完整word版)平行线典型例题
例、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4． 例、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数． 例、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮 筋上的一点，拽动E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。(提示：先画出示意图，再说明理由)提示： 这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。本题可分为AB ，CD 之间或之外。 结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A ④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ． 例、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ） A 、80 B 、50 C 、30 D 、20 例、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ） A 、43° B 、47° C 、30° D 、60° 例、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ． （1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ； （2）如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、1BP ．求证： BD P B AP CAP 111∠+∠+∠=360°； （3）如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、21P P 、B P 2． 试求BD P B P P P AP CAP 221211∠+∠+∠+∠的度数； （4）若按以上规律，猜想并直接写出+∠+∠211P AP CAP …BD P 5∠+的度数（不必写出过程）． A M B C N D P 1 A M B C N D 图2 P 1 P 2 A M B C N D 图3
行测图形推理技巧之三种方法
行测图形推理技巧之三种方法应对折、拆纸盒问题折纸盒与拆纸盒问题，是公务员考试真题中常见考点。 折纸盒，泛指题干为平面展开图，四个选项均为立体图形，提问方式一般为“将题干图形折叠后，得到的图形是?”拆纸盒，泛指题干为立体图形，四个选项均为平面展开图，提问方式一般为“将题干图形展开后应为?” 针对这一类问题，根据选项情况可采用区分相邻面及相对面、时针法、标点法来应对。 一、区分相邻面及相对面 平面图形中相邻的两个面折成立体图形后也相邻，立体图形中相对的两个面拆成平面图形后不相邻，区别相邻面与相对面往往能快速排除错误选项，得出符合要求的答案。 例题：左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成? 解析：左边的图形折成立体图形后，有两个空白面相对，含有圆点的两个面相对，含有斜线的面与另外一个空白面相对。A项，应有两个空白面相对，故A项错误;B项，可由左边纸盒折成;C项，含有圆点的两个面相对，故C项错误;D项，带斜线的面不可能与两个空白面两两相邻，故D项错误。由此，可确定正确答案为B。 例题：下列四个选项中，哪个可以折出左边指定的图形?
解析：左边给定的立体图形中，带阴影的两个面相对。折成立方体后，A、C、D三项的两个阴影面相邻，所以是错误的;B项折成后带阴影的面相对，因此，应选择B项。 提醒：区分相对面与相邻面是解决空间型图形推理的基础。分清相对面与相邻面往往也能快速地排除一些选项，从而更快地解决问题。 二、时针法 对于立方体纸盒，折成后只能看到图形的三个面，时针法就是比较这三个面在立体图形与平面图形中的旋转方向来判断选项的正确与否。时针法只适用于解决面中的小图形不涉及方向的折纸盒问题。 例题：左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成? 解析：首先通过相对面与相邻面可排除C项，C项中1和2应为相对的面，不可能相邻。A项，按1-4-6的顺序，顺时针旋转，题干平面图形中1-4-6则按逆时针旋转，如下图所示，两者的旋转方向不一致，则A项不能由左边的图形折成;同理可判定B项可由左边图形折成，D项不能由左边图形折成。 三、标点法 折、拆纸盒的实质就是一个点与点重合、边与边重合的过程，当确定两个点重合并确定该点放置的位置时，该纸盒也就确定了。标点法就是根据已知点确定由这个点出发的线条的情况，从而确定“纸盒”的形式。下面介绍标点法的具体应用。 例题：左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成?
平行线与三线八角
平行线与三线八角 平行线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如图，直线a与直线b互相平行，记作“a ∥b”。念为a平行于b。 1.根据所学的知识，在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有几种呢？ 两种：平行或相交。 2.利用直尺和三角板画已知直线的平行线。 （1）工具：直尺、三角板 （2）方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线。 例1：请你根据上述方法练习画平行线： 已知:直线a ，,点B,，点C. （1）过点B画直线a的平行线,能画几条? （2）过点C画直线a的平行线,它与过点B且与直线a平行线的直线平行吗? 思考：上图中，①过点B画直线a的平行线，能画条； ②过点C画直线a的平行线，能画条； ③你画的两条直线有什么位置关系？。 练习： 1.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条必__________.
c b a 2.两条直线相交,交点的个数是______,两条直线平行,交点的个数是_____个. 3.在同一平面内，与已知直线L 平行的直线有 条，而经过L 外一点，与已知直线L 平行的直线有且只有 条。 平行公理及推论 ①公理内容： 。 ②比较平行公理和垂线的第一条性质： 共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外, 垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外. 例2、下列命题： （1）长方形的对边所在的直线平行； （2）经过一点可作一条直线与已知直线平行； （3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交； (4)经过一点可作一条直线与已知直线垂直． 其中正确的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、推论： 。 ①符号语言：∵b∥a，c∥a（已知） ∴b∥c（如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行） 例3、（1）下列推理正确的是 （ ） A 、因为a//d, b//c,所以c//d B 、因为a//c, b//d,所以c//d C 、因为a//b, a//c,所以b//c D 、因为a//b, d//c,所以a//c （2）在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 （3）下列说法正确的有( ) ①不相交的两条直线是平行线; ②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD; ④若a ∥b,b ∥c,则a 与c 不相交. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
七年级三线八角_练习题
1.填空,如图① " ∠2与∠3是 角. ∠2与∠4是 角. ∠5与∠7是 角. ∠2与∠5是 角. ∠3与∠8是 角. ∠1与∠5是 角. ∠4与∠8是 角. ∠2与∠6是 角. ∠3与∠7是 角. ① ∠3与∠5是 角. ∠2与∠8是 角. 2.如图② (1)∠B 和∠1是两条 直线______和_______ 被第三条直线_______ 所截构成的_______角. ② (2)∠2和∠4是两条直线________ 和______被第三条直线______所截构成的_______角. (3)∠ACB 与∠6是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. & (4)∠A 与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (5)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (6)∠与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (7)∠3与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (8)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (9)∠B 与∠BDE 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. 3.如图③,同旁内角有 ( )对对 对 对 对 ③ 4.如图④,同位角共有 } ( )对对 对 对 对 ④ 5.如图⑤,内错角共有 ( )对 @ 对 对 对 对 ⑤ 6.如图⑥是同位角关系 的是（ ） A.∠3和∠4 B.∠1和∠4 C.∠2和∠4 D.不存在 ⑥ 7.如图⑦内错角共有 ( )对 对 对 对 对 ⑦ 8.如图⑧ ∠1与∠2是 角. ∠3与∠4是 角. 9.如图⑨,∠BDE 的同 位角是∠______,∠BDE 的内错角是∠______, ∠BDE 的同旁内角是∠ ______,∠ADE 与∠DGC ⑨ 是两条直线______和 | ______被直线______所 截成的_______角. 10.如图⑩,直线AD,BC 被CE 所截:∠C 的同位 角是∠______,同旁内 ⑩ 角是∠______,∠1与 ∠2是两条直线______ 和______被第三条直线 ______所截成的______ 角.直线AB 和CD 被AD 所截,∠A 的内错角是∠ ______,∠A 与∠ADC 是 [11] 】 _______角,直线AB 和CD 被BD 所截,∠______和∠______是内 1 2 3 4 8 7 6 5 B - C D E 1 2 3 7 6 5 . 4 七年级三线八角 练习题 D A B C E F 1 2 3 4 、 A B C E F } B D ￥ A \ C D E F G B E A B C D \ E F G 1