纹理、估计值、置信区间、p值与置信度

计算机图形学里的纹理既指物体表面凹凸不平的沟纹，也指光滑表面的彩色图案！

纹理的性质：

1、对比度

2、粗糙度

3、方向度

4、线像度

5、规整度

6、粗略度

p值与置信度是相对的

p值代表：虚无假设(Null Hypothesis)成立之下你却拒绝接受虚无假设所发生的机率值，这在统计上就是所谓的型一错误(Type I Error)。所以p值越小，代表犯这种错误的机会就越不可能发生，也就是虚无假设不成立。一般都会定一个所谓的alpha值，代表显著水平值，就数学上的意义代表p值的最大值。所以如果p值小于alpha值的话，就代表虚无假设不成立。

以前面所提的正态分配(Normal Distribution)检定，虚无假设为"数据是正态分配"，所以p值很小很小就表示：你犯这种错误几乎是不可能发生，代表"数据是正态分配"是不成立的。

而置信度=100(1-alpha)%，代表虚无假设成立之下做对判断的机会。

估计值与置信区间

置信区间的表达式 u=x+-tS/n-1/2

我们在工作过程中常常看到这样描叙：u值的90%的置信区间为[θL, θu]、MTBF的95%的置信下限为6753小时。其中一个常用的概念是：置信区间。这个词包含有什么样的物理意义？我们怎么样去求这一个物理量的置信区间[θ1, θ2]？这是本文要阐述的主要内容。

在理解这个概念之前，需要掌握一定的概率与统计知识。

一、概率的基本知识

概率的定义以及概率的基本性质这里不作说明，只用一例题对概率的知识作一个回顾。

例：从6双不同颜色的鞋中任意取4只，取到只有一双成对的鞋的概率是多少？

第一种根据古典定义计算。 P(A)=k/n=（A中所含样本点的个数）/（全体样本点的总数）

按照定义，最主要是要找出样本点的数量，通常要用到排列与组合的公式。这里对“分步完成”、“分类完成”、“排列”及“组合”的定义，不作说明；要强调一点：公式中k与n的计算方式要一致（如果n这个总数是用排列计算出来的，那么k就要用排列的个数）。

解1：

n的求法；从12只鞋中任意取4只组合：共有12*11*10*9/4*3*2种取法；

k的求法；从12只中取一双和另外2只组合：第一步取1双的取法有6种，第二步在剩下的10只中取两只不同颜色的鞋组合共有10*8/2种；所以k为6*10*8/2

求P(A)；运用公式直接求得P(A)= （6*10*8/2）/（12*11*10*9/4*3*2）＝16/33

第二种根据统计定义计算。 P(A)=k/n=（事件A发生的次数）/（重复试验次数）

当重复次数不断增加时，P(A)趋于稳定，这个稳定值就是事件A的概率。

解2：

从6双不同颜色的鞋里任意取出4只，4只鞋中“恰好只有2只配成一双”的概率=(1-四只鞋都不成对的概率-有两对鞋的概率)

全不成对的概率: 第一只鞋: P1=1 第二只鞋: P2=10/11 <不与前面所选鞋成对> 第三只鞋: P3=8/10 <不与前面所选鞋成对> 第四只鞋: P4=6/9 <

不与前面所选鞋成对> P不成对=P1*P2*P3*P4=16/33

两对鞋的概率: 六对鞋任取两对的取法/12只鞋取4只鞋的取法:

C6(2)/C12(4)=1/33

P=1-P不成对-P2对=1-16/33-1/33=16/33；

二、分布

对不同的事件A有不同的概率P(A)，全体事件Ω发生的概率P(Ω)＝1；也就是说：在不同的事件A上分布着不同的概率，所有事件中每个事件对应的P(A)之和为1。如果把“不同的事件A”抽象成“一个变量”，那么针对每一个变量A就有一个概率P(A)与之对应，分布就是描述P(A)与A之间的一

种对应关系（从函数的定义上讲，对应关系就是函数表达式，不同的分布有不同的表达式）。若以变量A为x轴、以P(A)为y轴，那么就可以得到相应的图像，不同的分布对应不同的图像，有离散的、有连续的。每个一个具体的x值都有一个相应的y值，图像与x轴围成的面积为1。

常见的分布有几种：二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、对数正态分布等等(这里不列出各种分布的表达) ；对一种分布而言，有三个比较重要的特征数：均值、方差与标准差。均值是指表示分布的中心位置、方差用来表示分布的散布大小（将方差开平方后就得到标准差）。就标准正态分布而言，图像关于y轴对称，y轴（也就是x=0）将“图像与x轴围成的面积”分为相等的二个部分；则可以这样的表达：x=0左边面积为0.5；0是标准正态分布的0.5的分位数；标准正态分布的0.5分位数为0；同样，某一分布的0.9分位数就是这样一个数：在x轴上的此数处做一垂直于x轴的直线，图像位于直线左侧的面积恰好为0.9，右侧一块面积恰好为0.1。大部份分位数可以查表得到。再如，查表得，对标准正态分布N(0,1)而言：

A、0.00135的分数位为-3，说明位于x=-3左侧的面积为0.00135；

B、0.99865的分数位为 3，说明位于x= 3左侧的面积为0.99865；

所以，位于x=-3和x=3之间的面积为0.9973，显然位于x=-3和x=3之外的面积为0.0027。那么，对非标准正态分布N(u,σ2)而言，如何求其0.975的分位数呢？先把非标准正态分布“标准化”，对上述分布而言，若令m=(x-u)/σ，而m就属于N(0,1)分布；再求“标准化”后的N(0,1)的0.975分位数（查

表得1.96，所以m=1.96）；接着求出x（因为m=(x-u)/σ=1.96，所以x=1.96σ+u）。

最后要讨论的是，对于任意一个分布，如何求x1、x2。例如：对于N(3,4)这个非标准正态分布而言，x1、x2计算如下：

N(3,4) ==> u=3 ，σ=2（即4开方），所以

-1.96=(x1-3)/2 ==> x1=3-1.96*2=-0.92

1.96=(x2-3)/2 ==> x2=3+1.96*2=6.92

从计算结果看，分布N(3,4)的0.975分位数的x轴位置区间座标分别为（-0.92，6.92）。

如果将N(3,4)在x轴方向平移-3后得到N(0,4)，对应N(0,4)的0.975分位数的x轴位置区间座标分别就变成了（-0.92-3，6.92-3）=（-3.29，3.29）；如果再将N(0,4)转化“标准化”的为N(0,1)，因为σ由2变成了1，所在对应的x轴位置区间座标分别就变成了（-3.92/2，3.92/2）=（-1.96，1.96）,相对应的面积为0.95。

注：

正态分布（normal distribution）是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布。第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。

Z值是标准正态分布的一个分位数。Z值分为Zlt（长期Z值）和Zst（短期A值）,Zlt=Zst-1.5。

Z值是Cpk之后出现的代表制程能力的指数。我们在计算Cpk的时候，选择的是Cpu和Cpl中较差的一个，于是便忽略掉了较好的一边所产生的不良，所以Cpk描述制程能力不够全面。于是便产生的Z值，Z值是将所有的不良率计算出来，放到标准正态分布中，计算得出的值。所以只要能够得出不良率就可以算出Z值。一般使用时都是通过计算出缺陷率DPMO（每百万次采样数的缺陷率,Defects Million Opportunity），然后通过转换表查出相应的Z值。

三、统计的基础知识

统计的目的：一是为了找到被研究的总体是什么分布、一是为了找到这个总体的均值、方差（或标准差）。我们不可能把总体中所有单位量拿来一个一个地研究与分析（有些总体是无穷的），只从总体中取出一定的样本、对样本进行研究与分析，这种用有限的样品来推断总体性质的方法就是统计方法。

因为取样的随机性，导致“每一组取样”后所得到的计算值不全相等；如果更多组的取样，那么样本计算值也不会全相等，只会产生样本计算值的分布，也就是抽样分布。

统计研究最终是要确定总体的数量特征，但是有时总体的单位数很多，甚至无限，不可能或无必要对每个总体单位都做调查。这时，就要借助样本来研究总体了。所谓样本（Sample）就是按照一定的概率从总体中抽取并作为总体代表的一部分总体单位的集合体。也有学者称总体为母体，样本为子样。但是，绝对不允许将统计总体叫做“全及总体”，样本叫做“样本总体”，这类叫法十分不规范。

样本是统计学中非常重要的概念，对这一概念的理解要注意三方面问题：其一，构成某一样本的每一单位都必须取自某一特定的统计总体，不允许该总体之外的单位介入该总体的样本。

其二，样本单位的抽取应是按一定的概率进行的，而具体样本的产生应是随机的，因此必须排除人的主观因素对样本单位抽取和样本生成的干扰。

其三，样本是母体的代表，带有母体的信息，因而能够推断母体；然而，样本只是母体的一个子集，且具有随机性，故由样本去推断总体会产生代表性误差。其实，如何从母体中抽取子样，怎样控制样本对总体的代表性误差，是推断统计学研究的主要问题（统计学分描述性统计技术和推断性统计技术）。

四、点估计及区间估计

取了n个样品，进行了一系列的测试，得到n个样品的参数，把样品的数据经过分析、处理后拿来作为全体的参数。这就是（对整体的）点估计。数据处理时，为了方便快捷的操作，很多时候都是根据经验进行近似处理的。很多时候，因为取样的随机性，需要对这个点估计值的准确性做出判断，这就需要进行区间估计。

1、点估计：对要计算的具体值进行求解；

例：从生产线随机取5个圆形钢球，测试其直径分别为：0.75， 0.70，0.65， 0.70， 0.65。若“全体钢球的直径X”服从正态分布，求X的平均值和标准差。

解：

X的平均值一般取样本的平均值为：(0.75+0.70+…+0.65)/5=0.69；

X的标准差一般取样本的标准差修偏后得到：

样本的方差为[1/(5-1)]*(0.06＾2+0.01＾2+0.04＾2+0.01＾2+0.04

＾2)=0.00175、标准差为0.0418；

X的标准差为：样本的标准差/C4＝0.0418/0.940＝0.045；

说明：上式中的C4是修偏系数，不同取样时的修偏系数可以查表得到；

2、区间估计：对计算出来的具体值评估其准确性；

点估计仅仅给出参数的一个具体估计值，但是没有给出估计的精度，而区间估计是用一个区间来对未知参数进行估计，区间估计体现了估计的精度。就上例来说，用5个样品算出X的平均值为0.69mm，那么对下面决定，有多大的可能：

A、全体钢球的X平均值就是0.69mm；－－也许只有不到10%的可能；

B、全体钢球的X平均值在[0.65, 0.75]内；－－也许只有50%的可能；

C、全体钢球的X平均值在[0.60, 0.80]内；－－也许有90%的可能；

D、全体钢球的X平均值在(0.01, 100.00)内；－－有100%的可能。

那么，如何从数学上去理解、去计算这个区间和对应的可能性呢？

2.1区间的意义

假设θ值是总体的一个待求参数，取n个样品对θ计算后，得到一个区间[θL, θu]。若对于任意θ，当θL<θ<θu时有P(θL<θ<θu) ≥1-a，则称随机区间[θL, θu]是θ的置信水平为1-a的置信区间，简称[θL, θu]是θ的1-a置信区间，θL和θu分别称为θ的1-a的置信下限与置信上限。

可以这样去理解置信区间：经过计算出来的区间[θL, θu]，它包含真实θ值的可能性为1-a；如果你把求区间[θL, θu]的方法从取样开始重复100次，那么会得到100个区间，将有100*（1-a）个区间包含了真实θ值。

注：

置信度Confidence level,也称为置信水平、可靠度、置信系数。它是指特定个体对待特定命题真实性相信的程度。也就是概率是对个人信念合理性的量度。即在抽样对总体参数作出估计时，由于样本的随机性，其结论总是不确定的。因此，采用一种概率的陈述方法，也就是数理统计中的区间估计法，即估计值与总体参数在一定允许的误差范围以内，其相应的概率有多大，这个相应的概率称作置信度。概率的置信度解释表明,事件本身并没有什么概率,事件之所以指派有概率只是指派概率的人头脑中所具有的信念证据。

置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。置信区间越大，置信水平越高。置信区间的跨度是置信水平的正函数,即要求的把握程度越大,势必得到一个较宽的置信区间,这就相应降低了估计的准确程度.

2.2区间的计算

为了精确地找到置信区间，有以下几个问题要确认（结合第二小结“分布”中的最后一个例题）：

A、置信度为多少？

B、位于置信区间以外的部分如何分配？

C、需要求的物理量属于什么分布？

D、如何“标准化”？

E、此种分布对应的分位数如何求出？

F、计算结果？还是以“点估计”中5个钢球的直径为例，求全体钢球直径X的平均值的95%的置信区间。

解：

A、按题目要求，置信度为95%；--- 即0.025和0.975两个分位数间包括的面积。

B、因为直径可以偏小、也可以偏大，且这种偏移是随机的，所以在置信区间两边的分布应相等。所以置信下上限对应的面积为0.025和0.975 ；--- 即对应（-1.96，1.96）的分位数。

C、“X平均值”的统计分布，一般情况属于正态分布（根据中心极限定理得知：“X平均值的统计分布”的方差是“X的分布”的方差n分之一）。因为不知X分布的方差，所以必须以样本的标准差来代替，此时：X平均值的统计分布就属于t分布。

D、标准化方，参见第二节最后的转化方法。

E、查表得到：当n为5时t分布的0.025及0.975的分位数为：±2.571；

F、所以：[(0.69-x)/0.045]*(51/2)=±2.571，解得：x1=0.638, x2=0.742. 要求的X平均值的95%的置信区间为[0.638, 0.742]. 按书面上的写法是这样的：要求x平均值的1－a置信区间，利用t分布计算后得到： x±

t(1-a/2)(n-1)*s/n’其中：t(1-a/2)(n-1)是自由度为n-1的t分布的1-a/2分位数； s是样本的标准差； n’是n的正平方根；

五、说明

本文都是以正态分布为例，而可靠性计算中多出现指数分布，虽然分布形式不一样，但对置信区间的理解与计算步骤是一样的。最主要的是在实际运用过程中，已经有可以直接套用的公式，没有必要去具体地分析是什么分布、用什么去“标准化”，如：在一次可靠性测定试验中，某种产品作累积T小时（T为3万小时）的定时截尾试验，共出现r次（r=5次）故障，求MTBF 在置信度为b(b=95%)时的置信下限θL。按照给定的计算公式：θL＝θ

*2r/X2b(2r+2)，其中：θ是MTBF的点估计值、X2b(2r+2)是自由度为2r＋2的X平方分布b分位数；计算后得到：θ＝30000/5=6000Hrs，所以：θ

L=6000*2*5/21.026=2853.6Hrs

一元线性回归模型的置信区间与预测

§2.5 一元线性回归模型的置信区间与预测多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计是研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是一个必须回答的重要问题。一、参数估计量的置信区间在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^ β是随机变量 i y 的函数，即：i i y k ∑=1?β，所以它也是随机变量。在多次重复抽样中，每次的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。现在我们用参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。即回答1β以何种置信水平位于() a a +-1 1?,?ββ之中，以及如何求得a 。在变量的显著性检验中已经知道 ) 1(~^ ^ ---= k n t s t i i i βββ (2.5.1) 这就是说，如果给定置信水平α-1，从t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值 2 αt ，那么t 值处在() 22,ααt t -的概率是α-1。表示为 α αα-=<<-1)(2 2 t t t P 即 α ββαβα-=<-< -1)(2 ^ 2 ^ t s t P i i i

α ββββαβα-=?+<

参数估计与假设检验的区别和联系

参数估计与假设检验的区别和联系统计学方法包括统计描述和统计推断两种方法，其中，推断统计又包括参数估计和假设检验。 1.参数估计就是用样本统计量去估计总体的参数，它的方法有点估计和区间估计两种。点估计是用估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。点估计的缺陷是没法给出估计的可靠性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近的程度。区间估计是在点估计的基础上给出总体参数估计的一个估计区间，该区间通常是由样本统计量加减估计误差得到的。在区间估计中，由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间称为置信区间。统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数。在区间统计中置信度越高，置信区间越大。置信水平为1-a, a为小概率事件或者不可能事件，常用的置信水平值为99%，95%，90%，对应的a为0.01, 0.05，0.1 置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化,而且不是所有的区间都包含总体参数。一个总体参数的区间估计需要考虑总体是否为正态分布,总体方差是否已知，用于估计的样本是大样本还是小样本等（1）来自正态分布的样本均值，不论抽取的是大样本还是小样本，均服从正态分布（2）总体不是正态分布，大样本的样本均值服从正态分布,小样本的服从t 分布（3）不论已判断是正态分布还是t 分布，如果总体方差未知,都按t 分布来处理（4）t 分布要比标准正态分布平坦，那么要比标准正态分布离散，随着自由度的增大越接近（5）样本均数服从的正态分布为N（u a^2/n）远远小于原变量离散程度N (u a^2) 2. 假设检验是推断统计的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同，参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。假设检验的基本思想：先提出假设，然后根据资料的特点，计算相应的统计量，来判断假设是否成立，如果成立的可能性是一个小概率的话，就拒绝该假设，因此称小概率的反证法。最重要的是看能否通过得到的概率去推翻原定的假设，而不是去证实它<2>统计学中假设检验的基本步骤：（1）建立假设，确定检验水准α--假设有零假设（H0）和备择假设（H1）两个，零假设又叫作无效假设或检验假设。H0和H1的关系是互相对立的，如果拒绝H0，就要接受H1，根据备择假设不同，假设检验有单、双侧检验两种。检验水准用α表示，通常取0.05或0.10，检验水准说明了该检验犯第一类错误的概率。（2）根据研究目的和设计类型选择适合的检验方法这里的检验方法，是指参数检验方法，有u检验、t检验和方差分析三种，对应于不同的检验公式。（3）确定P值并作出统计结论 u检验得到的是u统计量或称u值，t检验得到的是t统计量或称t值。方差分析得到的是F统计量或称F值。将求得的统计量绝对值与界值相比，可以确定P值。当α＝0.05时，u值要和u界值1.96相比较，确定P值。如果u＜1.96，则P＞0.05.反之，如u＞1.96，则P＜0.05.t值要和某自由度的t界值相比较，确定P值。如果t值＜t界值，故P＞0.05.反之，如t＞t 界值，则P＜0.05。相同自由度的情况下，单侧检验的t界值要小于双侧检验的t界值，因此有可能出现算得的t值大于单侧t界值，而小于双侧t界值的情况，即单侧检验显著，双侧检验未必就显著，反之，双侧检验显著，单侧检验必然会显著。即单侧检验更容易出现阳性结论。当P＞0.05时，接受零假设，认为差异无统计学意义，或者说二者不存在质的区别。当P＜0.05时，拒绝零假设，接受备择假设，认为差异有统计学意义，也可以理解为二者存在质的区别。但即使检验结果是P＜0.01甚至P＜0.001，都不说明差异相差很大，只表示更有把握认为二者存在差异。 3.参数估计与假设检验之间的联系与区别：（1）主要联系：a.都是根据样本信息推断总体参数；b.都以抽样分布为理论依据，建立在概率论基础之上的推断；c.二者可相互转换，形成对偶性。（2）主要区别：a.参数估计是以样本资料估计总体参数的真值，假设检验是以样本资料检验对总体参数的先验假设是否成立;b.区间估计求得的是求以样本估计值为中心的双侧置信区间，假设检验既有双侧检验，也有单侧检验；c.区间估计立足于大概率，假设检验立足于小概率。

EXCEL显著性水平置信度置信区间

帮我通俗的解释下显著性水平和置信水平这两个概念通俗的理解是咋样的啊，显著水平的0.05和0.01是什么意思，越高越好还是越低越好？除了0.05和0.01外还有别的值么？置信度和置信区间又是什么意思？置信度越高越好么？回答:首先，置信水平和置信度应该是一样的，就是变量落在置信区间的可能性，“置信水平”就是相信变量在设定的置信区间的程度，是个0~1的数，用1-α表示。置信区间，就是变量的一个范围，变量落在这个范围的可能性是就是1-α。显著性水平就是变量落在置信区间以外的可能性，“显著”就是与设想的置信区间不一样，用α表示。显然，显著性水平与置信水平的和为1。显著性水平为0.05时，α=0.05，1-α=0.95 如果置信区间为（-1，1），即代表变量x在（-1，1）之间的可能性为0.95。0.05和0.01是比较常用的，但换个数也是可以的，计算方法还是不变。总之，置信度越高，显著性水平越低，代表假设的可靠性越高，越好。置信度计算现认为置信度在此算法中应该是用户指定一个即可。“In general,due to the weak （logarithmic）dependence on T,small settings for T(i.e.,less than 0.1)do not have a large effect on the overall window size”。没找到较好的计算过程，先贴一段吧。置信度：置信度，是指特定个体对待特定命题真实性相信的程度，也就是概率是对个人信念合理性的量度。对概率的置信度解释表明，事件本身并没有什么概率，事件之所以指派有概率只是指派概率的人头脑中所具有的信念证据。置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。置信区间越大，置信水平越高。置信度，也称为可靠度，或置信水平、置信系数，即在抽样对总体参数作出估计时，由于样本的随机性，其结论总是不确定的。因此，采用一种概率的陈述方法，也就是数理统计中的区间估计法，即估计值与总体参数在一定允许的误差范围以内，其相应的概率有多大，这个相应的概率称作置信度。一般情况下，置信度是表明抽样指标和总体指标的误差不超过一定范围的概率保证度，用F(t)来表示，在大样本(n>30)条件下，置信度F(t)是概率度t函数，概率度越大，置信度越越大。假设我们指出测量结果的准确性有95％的可靠性，这个95％就称为置信度(P)，又称为置信水平，它是指人们对测量结果判断的可信程度。置信水平(Confidence level)，是描述GIS中线元素与面元素的位置不确定性的重要指标之一。置信水平表示区间估计的把握程度，置信区间的跨度是置信水平的正函数，即要求的把握程度越大，势必得到一个较宽的置信区间，这就相应降低了估计的准确程度.

参数估计与置信区间

参数估计与置信区间我们总是希望能够从一些样本数据中去探究数据总体的表现特征，在网站数据分析中也是如此，我们试图从最近几天的数据表现来推测目前网站的整体形势是怎么样的，有没有变好或者变差的信号，但当前几天的数据无法完全代表总体，所以这里只能使用“估计”。同时，网站的数据始终存在波动，将最近时间段的数据作为抽样样本很可能数据正好处于较低或者较高水平，所以我们用样本得到的估计值不可能是无偏差的，我们同时需要去评估这个估计值可能的变化区间。参数估计（Parameter Estimation）是指用样本的统计量去估计总体参数的方法，包括点估计和区间估计。点估计点估计（Point Estimation）是用抽样得到的样本统计指标作为总体某个未知参数特征值的估计，是一种统计推断方法。一般对总体参数的估计会包括两类：一种是用样本均值去估计总体均值，对应到网站数据中的数值型指标，比如网站每天的UV，我们可以用近一周的日均UV去估计目前网站每天唯一访客数量的大体情况；另外一种是用样本概率去估计总体概率，对应到网站数据中的比率型指标，比如网站的目标转化率，我

们可以用近3天的转化率去预估网站当天目标转化的水平；同时我们会计算样本的标准差来说明样本均值或者概率的波动幅度的大小，从而估计总体数据的波动情况。点估计还包括了使用最小二乘法对线性回归做曲线参数的拟合，以及最大似然估计的方法计算样本集分布的概率密度函数的参数。区间估计区间估计（Interval Estimation）是依据抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，估算总体的未知参数可能的取值区间。区间估计一般是在一个既定的置信水平下计算得到总体均值或者总体概率的置信区间（Confidence Interval），一般会根据样本的个数和标准差估算得到总体的标准误差，根据点估计中用样本均值或样本概率估计总体均值或总体概率，进而得出一个取值的上下临界点。我们可以将样本标准差记作S，如果我们抽样获取的有n个样本，那么总体的标准差σ就可以用样本标准差估算得到：从这个公式中我们可以看到大数定理的作用，当样本个数n越大时，总体指标差σ越小，样本估计值越接近总体的真实值。Excel的图表里面也提供了添加“误差线”的功能：

Excel求置信区间的方法

应用Excel求置信区间一、总体均值的区间估计（一）总体方差未知例：为研究某种汽车轮胎的磨损情况，随机选取16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止。记录所行驶的里程（以公里计）如下：假设汽车轮胎的行驶里程服从正态分布，均值、方差未知。试求总体均值μ的置信度为的置信区间。步骤：

1.在单元格A1中输入“样本数据”，在单元格B4中输入“指标名称”，在单元格C4中输入“指标数值”，并在单元格A2：A17中输入样本数据。 2.在单元格B5中输入“样本容量”，在单元格C5中输入“16”。 3.计算样本平均行驶里程。在单元格B6中输入“样本均值”，在单元格C6中输入公式：“=AVERAGE（A2，A17）”，回车后得到的结果为。

4.计算样本标准差。在单元格B7中输入“样本标准差”，在单元格C7中输入公式：“＝STDEV(A2，A17)”，回车后得到的结果为。 5.计算抽样平均误差。在单元格B8中输入“抽样平均误差”，在单元格C8中输入公式：“＝C7/SQRT(C5)” ，回车后得到的结果为。 6.在单元格B9中输入“置信度”，在单元格C9中输入“”。 7.在单元格B10中输入“自由度”，在单元格C10中输入“15”。 8.在单元格B11中输入“t分布的双侧分位数”，在单元格C11中输入公式：“ ＝TINV(1-C9，C10)”，回车后得到α＝的t分布的双侧分位数t＝。 9.计算允许误差。在单元格B12中输入“允许误差”，在单元格C12中输入公式：“＝C11*C8”，回车后得到的结果为。

10.计算置信区间下限。在单元格B13中输入“置信下限”，在单元格C13中输入置信区间下限公式：“＝C6－C12”，回车后得到的结果为。 11.计算置信区间上限。在单元格B14中输入“置信上限”，在单元格C14中输入置信区间上限公式：“＝C6＋C12”，回车后得到的结果为。（二）总体方差已知仍以上例为例，假设汽车轮胎的行驶里程服从正态总体，方差为10002，试求总体均值μ的置信度为的置信区间。

置信区间的解释及求取

置信区间的解释及求取-学习了解 95%置信区间（Confidence Interval,CI）：当给出某个估计值的95%置信区间为【a,b】时，可以理解为我们有95%的信心（Confidence）可以说样本的平均值介于a到b之间，而发生错误的概率为5%。有时也会说90%，99%的置信区间，具体含义可参考95%置信区间。置信区间具体计算方式为: (1) 知道样本均值(M)和标准差(ST)时：置信区间下限：a=M - n*ST; 置信区间上限：a=M + n*ST; 当求取90% 置信区间时n=1.645 当求取95% 置信区间时n=1.96 当求取99% 置信区间时n=2.576 (2) 通过利用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法获得估计值分布时：先对所有估计值样本进行排序，置信区间下限：a为排序后第lower%百分位值; 置信区间上限：b为排序后第upper%百分位值. 当求取90% 置信区间时 lower=5 upper=95; 当求取95% 置信区间时lower=2.5 upper=97.5 当求取99% 置信区间时lower=0.5 upper=99.5 当样本足够大时，（1）和（2）获取的结果基本相等。参考资料：http://140.116.72.80/~smallko/ns2/confidence_interval.htm Confidence Limits: The range of confidence interval 附MATLAB 求取置信区间源码： %%% 置信区间的定义90%，95%，99%-------Liumin 2010.04.28 clear clc sampledata=randn(10000,1); a=0.01; %0.01 对应99%置信区间，0.05 对应95%置信区间，0.1 对应90%置信区间 if a==0.01 n=2.576; % 2.576 对应99%置信区间，1.96 对应95%置信区间，1.645 对应90%置信区间 elseif a==0.05 n=1.96; elseif a==0.1 n=1.645; end %计算对应百分位值 meana=mean(sampledata); stda=std(sampledata); sorta=sort(sampledata); %对数据从小到大排序 leng=size(sampledata,1); CIa(1:2,1)=[sorta(leng*a/2);sorta(leng*(1-a/2))]; %利用公式计算置信区间 CIf(1:2,1)=[meana-n*stda;meana+n*stda];

计算可信区间

循证医学中常用可信区间的研究作者：刘关键洪旗四川大学华西医院临床流行病学教研室成都610041 Study of statistical measures in evidence-based medicine LIU Guan-jian, HONG Qi.( Department of Clinical Epidemiology, The West China Hospital of Sichuan University, Chengdu, 610041 China) ABSTRACTS: In this paper, we introduce meaning and purpose of confidence interval (CI) in Evidence-Based Medicine, For example, RRR、ARR、NNT. It's referance for user and doer of EBM in China. Key words: Confidence interval;evidence-based medicine 在循证医学的研究或应用中，经常使用可信区间（confidence interval，CI）对某事件的总体进行推断。可信区间是按一定的概率去估计总体参数（均数或率）所在的范围，它是按预先给定的概率（1-a，常取95%或99%）确定未知参数值的可能范围，这个范围被称为所估计参数值的可信区间或置信区间。如95%可信区间，就是从被估计的总体中随机抽取含量为n 的样本，由每一个样本计算一个可信区间，理论上其中有95%的可能性（概率）将包含被估计的参数。故任何一个样本所得95%可信区间用于估计总体参数时，被估计的参数不在该区间内的可能性（概率）仅有5%。可信区间是以上、下可信限为界的一个开区间（不包含界值在内）。可信限（confidence limit，CL）或置信限只是可信区间的上、下界值。可信区间的用途主要有两个：（1）估计总体参数，在临床科研工作，许多指标都是从样本资料获取，若要得到某个指标的总体值（参数）时，常用可信区间来估计。如率的可信区间是用于估计总体率、均数的可信区间用于估计总体均数。（2）假设检验，可信区间也可用于假设检验，95%的可信区间与a为的假设检验等价。若某研究的样本RR或OR的95%可信区间不包含1，即上下限均大于1或上下限均小于1时，有统计学意义（P<）；若它的RR或OR值95%可信区间包含1时，没有统计学意义（P> ）。再如某研究两疗效差值的95%可信区间不包含0，即上下限均大于0或上下限均小于0时，有统计学意义（P<）；两疗效差值的95%可信区间包含0时，两疗效无差别（P>）。各种指标的可信区间计算，最常采用正态近似法，其中标准误的计算是其关键。标准误是由于抽样所致的样本与总体间的误差，用以衡量样本指标估计总体参数的可靠性，标准误越大，用样本估计总体的误差也就越大，反之就越小。在数值资料（计量资料）中，标准误的大小与个体变异(s)成正比，与样本含量(n)的平方根成反比。在分类资料（计数资料）中，标准误主要受样本含量(n)和某事件发生率(p)大小的影响，样本含量愈大，抽样误差愈小；某事件发生率愈接近于，其抽样误差愈小，某事件发生率离愈远（即发生率愈接近于0或1），抽样误差愈大。可信区间的范围愈窄，样本估计总体的可靠性愈好；可信区间的范围愈宽，样本估计总体的可靠性愈差。 1．率的可信区间总体率的可信区间可用于估计总体率、样本率与总体率比较，两样本率比较。计算总体率的可信区间时要考虑样本率（p）的大小。（1）正态近似法当n足够大，如n＞100，且样本率p与1- p均不太小，且np与n(1-p)均大于5时，可用下式求总体率的1-a可信区间率的标准误：SE=p(1-p)/n 率的可信区间：p±uaSE = (p－uaSE ，p+uaSE) 式中ua以a查u值表，若计算95%的可信区间，这时=，a=。例如：采用某治疗措施治

利用EXCEL求置信区间

利用EXCEL求置信区间一、总体均值的区间估计（一）总体方差未知例1 为研究某种汽车轮胎的磨损情况，随机选取16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止。记录所行驶的里程（以公里计）如下： 4125040187431754101039265418724265441287 3897040200425504109540680435003977540400 假设汽车轮胎的行驶里程服从正态分布，均值、方差未知。试求总体均值的置信度为0.95的置信区间。解 1.在单元格A1中输入“样本数据”，在单元格B4中输入“指标名称”，在单元格C4中输入“指标数值”，并在单元格A2：A17中输入样本数据。 2.在单元格B5中输入“样本容量”，在单元格C5中输入“16”。 3.计算样本平均行驶里程。在单元格B6中输入“样本均值”，在单元格C6中输入公式： “ ”，回车后得到的结果为41116.875。 4.计算样本标准差(标准偏差)。在单元格B7中输入“样本标准差”，在单元格C7中输入公式： “STDEV(A2:A17)，回车后得到的结果为1346.842771。 5.计算抽样平均误差。在单元格B8中输入“抽样平均误差”，在单元格C8中输入公式： “ ” ，回车后得到的结果为336.7106928。 6.在单元格B9中输入“置信度”，在单元格C9中输入“0.95”。 7.在单元格B10中输入“自由度”，在单元格C10中输入“15”。 8.在单元格B11中输入“ 分布的双侧分位数”，在单元格C11中输入公式： “ ”，回车后得到

的分布的双侧分位数。 9.计算允许误差。在单元格B12中输入“允许误差”，在单元格C12中输入公式： “ ”，回车后得到的结果为717.6822943。 10.计算置信区间下限。在单元格B13中输入“置信下限”，在单元格C13中输入置信区间下限公式：“ ”，回车后得到的结果为40399.19271。 11.计算置信区间上限。在单元格B14中输入“置信上限”，在单元格C14中输入置信区间上限公式：“ ”，回车后得到的结果为41834.55729。结果如下图所示：（二）总体方差已知

方差的参数估计和置信区间估计(doc 11页)

正态总体均值、方差的参数估计与置信区间估计 P316 例6.5.1 置信区间估计 clear; Y=[14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 12.38]; X=normrnd(15,2,10,1) % 随机产生数 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) % 正态拟合[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(Y,0.1) % 正态拟合 X = 15.2573 16.3129 12.6644 14.0788 14.4751 12.5737 12.3611 16.8624 15.0225 13.7097 muhat = 14.3318 sigmahat = 1.5595 muci = 13.4278 15.2358 sigmaci = 1.1374 2.5657 muhat = 14.7050 sigmahat = 1.8432

13.6365 15.7735 sigmaci = 1.3443 3.0324 P320例6.5.5 置信区间估计 clear; Y=[4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70]; [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(Y,0.05) muhat = 4.7092 sigmahat = 0.2480 muci = 4.5516 4.8667 sigmaci = 0.1757 0.4211 P321 例6.5.6 置信区间估计 clear; Y=[45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6]; [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(Y,0.05) muhat = 45.4000 sigmahat = 0.1803 muci = 45.2614 45.5386 sigmaci = 0.1218 0.3454 单正态总体均值的假设检验方差sigma已知时 P338 例7.2.1 %[h,p,ci,zval]=ztest(X,mu,sigma,alpha,tail,dim) clear all; X=[ 8.05 8.15 8.2 8.1 8.25]; [h,p,ci,zval]=ztest(X,8,0.2,0.05) h = p = 0.0935

第章统计学参数估计练习题

第7章参数估计练习题一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1．参数估计就是用_______ __去估计_______ __。 2. 点估计就是用_______ __的某个取值直接作为总体参数的_______ __。 3．区间估计是在_______ __的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减_______ __得到。 4. 如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为_______ __，也成为_______ __。 5．当样本量给定时，置信区间的宽度随着置信系数的增大而_______ __；当置信水平固定时，置信区间的宽度随着样本量的增大而_______ __。 6. 评价估计量的标准包含无偏性、_______ __和_______ __。 7. 在参数估计中，总是希望提高估计的可靠程度，但在一定的样本量下，要提高估计的可靠程度，就会_______ __置信区间的宽度；如要缩小置信区间的宽度，又不降低置信程度，就要_______ __样本量。 8. 估计总体均值置信区间时的估计误差受总体标准差、_______ __和_______ __的影响。 9. 估计方差未知的正态总体均值置信区间用公式_______ __；当样本容量大于等于30时，可以用近似公式_______ __。 10. 估计正态总体方差的置信区间时，用_____ __分布，公式为______ __。二、选择题（共10题，每题1分，共计10分） 1．根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间 ( )。 A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C．一定包含总体均值 D. 要么包含总体均值，要么不包含总体均值 2．估计量的含义是指( )。 A. 用来估计总体参数的统计量的名称

方差的参数估计和置信区间估计(doc 11页)

方差的参数估计和置信区间估计 (doc 11页) 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

正态总体均值、方差的参数估计与置信区间估计 P316 例6.5.1 置信区间估计 clear; Y=[14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 12.38]; X=normrnd(15,2,10,1) % 随机产生数 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) % 正态拟合 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(Y,0.1) % 正态拟合 X = 15.2573 16.3129 12.6644 14.0788 14.4751 12.5737 12.3611 16.8624 15.0225 13.7097 muhat = 14.3318 sigmahat = 1.5595 muci = 13.4278 15.2358 sigmaci = 1.1374 2.5657 muhat = 14.7050 sigmahat = 1.8432

参数估计与置信区间

我们总是希望能够从一些样本数据中去探究数据总体的表现特征，在网站数据分析中也是如此，我们试图从最近几天的数据表现来推测目前网站的整体形势是怎么样的，有没有变好或者变差的信号，但当前几天的数据无法完全代表总体，所以这里只能使用“估计”。同时，网站的数据始终存在波动，将最近时间段的数据作为抽样样本很可能数据正好处于较低或者较高水平，所以我们用样本得到的估计值不可能是无偏差的，我们同时需要去评估这个估计值可能的变化区间。参数估计（Parameter Estimati on）是指用样本的统计量去估计总体参数的方法，包括点估计和区间估计。点估计点估计（Point Estimatio n）是用抽样得到的样本统计指标作为总体某个未知参数特征值的估计，是一种统计推断方法。一般对总体参数的估计会包括两类：一种是用样本均值去估计总体均值，对应到网站数据中的数值型指标，比如网站每天的UV，我们可以用近一周的日均UV去估计目前网站每天唯一访客数量的大体情况；另外一种是用样本概率去估计总体概率，对应到网站数据中的比率型指标，比如网站的目标转化率，我们可以用近3天的转化率去预估网站当天目标转化的水平；同时我们会计算样本的标准差来说明样本均值或者概率的波动幅度的大小，从而估计总体数据的波动情况。点估计还包括了使用最小二乘法对线性回归做曲线参数的拟合，以及最大似然估计的方法计算样本集分布的概率密度函数的参数。区间估计区间估计（Interval Estimation）是依据抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，估算总体的未知参数可能的取值区间。区间估计一般是在一个既定的置信水平下计算得到总体均值或者总体概率的置信区间（Confidence Inter val），一般会根据样本的个数和标准差估算得到总体的标准误差，根据点估计中用样本均值或样本概率估计总体均值或总体概率，进而得出一个取值的上下临界点。我们可以将样本标准差记作S，如果我们抽样获取的有n个样本，那么总体的标准差σ就可以用样本标准差估算得到：

参数估计习题教学文案

参数估计习题

第5章参数估计练习题一．选择题 1.估计量的含义是指（） A.用来估计总体参数的统计量的名称 B.用来估计总体参数的统计量的具体数值 C．总体参数的名称 D．总体参数的具体取值 2．一个95%的置信区间是指（） A.总体参数有95%的概率落在这一区间内 B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。 D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。 3.95%的置信水平是指（） A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95% B．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5% D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5% 4.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（）

A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D．要么包含总体均值，要么不包含总体均值 5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（） A.随着置信水平的增大而减小 B. .随着置信水平的增大而增大 C．与置信水平的大小无关 D。与置信水平的平方成反比 6.当置信水平一定时，置信区间的宽度（） A.随着样本量的增大而减小 B. 随着样本量的增大而增大 C．与样本量的大小无关 D.与样本量的平方根成正比 7.在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（） A．无偏性B. 有效性 C. 一致性 D. 充分性 8、对一总体均值进行估计，得到95%的置信区间为（24, 38），则该总体均值的点估计为（） A．24 B. 48 C. 31 D. 无法确定 9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（） A．置信水平决定 B. 统计量的抽样标准差确定 C. 置信水平和统计量的抽样标准差 D. 统计量的抽样方差确定

R软件公式：第二章参数估计【置信区间】

c(100.0,200.0,300.0,400.0,) 数据xbar: x{ x的平均值(ξ)} ybar: y{ y的平均值(η)} mean(x)：求x的平均值xbar:<- mean(x)：用法sigma: σ alpha: α sqrt: length: X的自由度n sd（x）: S*样本修正标准差 Sum: ∑求和 ^2: 平方 qnom: ￠（μ qchisq: 2 χ {他方分布} qt: T分布 qf: F分布 list: 求答案 ★区间估计的手写过程参照书P31页【例2.3.1】不用查表，先写用到的样本函数及其分布，然后写区间，

正态总体参数的置信区间一、一个正态总体 ~N (μ , 2σ)的情形第1公式：2 σ已知求μ的水平为1-α的置信区间（PPT 教材轴承例题）例：某工厂生产一批滚珠, 其直径服从正态分布 N(μ，2σ), 现从某天的产品中随机抽取6件,测得直径为： 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1 (1) 若2σ=0.06, 求μ的置信区间置信度均为0.95 (2) 若2σ未知,求μ的置信区间 (3) 求方差2σ的置信区间. 置信区间公式： )1,0(/U N n x →-= σμ ) (21ασμ-±∈u n x R 软件求解过程：第一问 x<-c(15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1) sigma<-sqrt(0.06) alpha<-0.05 xbar<-mean(x) n<-length(x) t1<-xbar-qnorm(1-alpha/2)*sigma/sqrt(n) t2<-xbar+qnorm(1-alpha/2)*sigma/sqrt(n) list(t1,t2) 正态分布表达：qnorm(1-alpha/2)