VAR模型与向量VECM模型

第7章 向量自回归模型（VAR ）与向量误差修正模型（VEC ）

§ 向量自回归模型（VAR(p)）

传统的经济计量学联立方程模型建摸方法, 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采

用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。

一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；

二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关， 从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；

三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。

为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（Vector Autoregression Model ）。VAR 模型最早是1980年，由引入到计量经济学中，它实质上是多元AR 模型在经济计量学中的应用，

VAR 模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元MA 模型、ARMA 模型，也可化为VAR 模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。 7.1.1 VAR 模型的一般形式

1、非限制性VAR 模型（高斯VAR 模型）,或简化式非限制性VAR 模型

设12(...)t t t kt y y y y '=为一k 维随机时间序列，p 为滞后阶数，12(...)t t t kt u u u u '=为一k 维随机扰动的时间序列，且有结构关系

(1)(1)(1)(2)(2)(2)111111221111112122212()()()11112211(1)(1)(1)(2)(2)2211122212121122222.........

.......t t t k kt t t k kt p p p t p t p k kt p t t t t k kt t t y a y a y a y a y a y a y a y a y a y u y a y a y a y a y a y --------------=+++++++++++++=++++++(2)

22()()()21212222(1)(1)111.....

........................................................................................................................k kt p p p t p t p k kt p t

kt k t k a y a y a y a y u y a y a -----+++++++=+(1)(2)(2)(2)

2211112122212()()()

1122............t kk kt k t t k kt p p p k t p k t p kk kt p kt y a y a y a y a y a y a y a y u --------??

?

????

??+++++++??+++++??

1,2,...,t T = （7．1．1） 若引入矩阵符号，记

()()()11121()()()21222()()()12......,1,2,...,........................................i i i k i i i k i i i i k k kk a a a a a a A i p a a a ??????==????????

可写成 1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （7．1．2） 进一步，若引入滞后算子L ，则又可表示成

(),1,2,...,t t A L y u t T == （7. 1. 3）

其中: 212()...p

k p A L I A L A L A L =----,为滞后算子多项式.

如果模型满足的条件: ①参数阵0,0;p A p ≠>

②特征方程 212det[()]...0p

k p A L I A L A L A L =

----=的根全在单位园外；

③~(0,)t u iidN ∑，1,2,...,t T =，即t u 相互独立，同服从以()0t E u =为期望向量、

ov()()t t t C u E u u '==∑为方差协方差阵的k 维正态分布。这时，t u 是k 维白噪声向量序列，由于t u 没有

结构性经济含义，也被称为冲击向量；()()0,1,2,...t t j t t j Cov u x E u x j --''===，即t u 与t x 及各滞后期不相关。则称上述模型为非限制性VAR 模型（高斯VAR 模型）,或简化式非限制性VAR 模型。 2、受限制性VAR 模型，或简化式受限制性VAR 模型

如果将12(...)t t t kt y y y y '=做为一k 维内生的随机时间序列，受d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '= 影响（限制），则VAR 模型为

1122...t t t p t p t t y A y A y A y Dx u ---=+++++，1,2,...,t T = （7．1．4） 或利用滞后算子表示成

(),1,2,...,t t t A L y Dx u t T =-+= （7. 1. 5）

其中： 11121212221

2.....................................d d k k kd d d d d d d D d d d ??

???

?=?????? 此时称该模型为受限制性VAR 模型，简化式受限制性VAR 模型。

对于受限制性VAR 模型，可通过12(...)t t t kt y y y y '=对12(..)t t t dt x x x x '=作OLS 回归，得到残差估计

?t t t y y y =-%，从而将t y %变换成（15.1.2）或（）形式的非限制性VAR 模型，即

1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++%%%%，1,2,...,t T = （7．1．6）

(),

1,2,...,t t A L y u t T ==% （7. 1. 7） 这说明受限制性VAR 模型可化为非限制性VAR 模型。

简化式非限制、受限制VAR 模型，皆简记为()VAR p 。 3、结构式非限制性VAR 模型

如果12(...)t t t kt y y y y '=中的每一分量受其它分量当期影响, 无d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '=影响（限制）,则模型化为

01122...t t t p t p t A y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （7．1．8） 或利用滞后算子表示成

(),1,2,...,t t A L y u t T == （7. 1. 9）

其中： (0)(0)121(0)(0)2120(0)(0)121...1..................................1k k k k a a a a A a a ??

????=????????

,这时的2012()...p p A L A A L A L A L =---- 此时称该模型为结构式非限制性VAR 模型。

如果0A 可逆，既逆阵10A -存在，则结构式非限制性VAR 模型可化为简化式非限制性VAR 模型

111101102200...t t t p t p t y A A y A A y A A y A u -------=++++，1,2,...,t T = （7．1．10）

或利用滞后算子表示成

10(),1,2,...,t t A L y A u t T -== （7. 1. 11）

这时，其中的1

12101

020()...p p A L I A A L A A L A A L ---=----

4、结构式受限制性VAR 模型

如果将12(...)t t t kt y y y y '=做为一k 维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响,且还受d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '=影响（限制），则VAR 模型为

01122...t t t p t p t t A y A y A y A y Dx u ---=+++++，1,2,...,t T = （7．1．12） 或利用滞后算子表示成

(),1,2,...,t t t A L y Dx u t T =-+= （7. 1. 13）

此时称该模型为结构式受限制性VAR 模型。

如果0A 可逆，既逆阵10A -存在，则结构式受限制性VAR 模型可化为简化式受限制性VAR 模型

11111011022000...t t t p t p t t y A A y A A y A A y A Dx A u --------=+++++，1,2,...,t T = （7．1．14）

或利用滞后算子表示成

1100(),1,2,...,t t t A L y A Dx A u t T --=-+= （7. 1. 15）

这时，其中的112101

020()...p p A L I A

A L A A L A A L ---=----

结构式非限制、受限制VAR 模型，皆简记为()SVAR p 。

7.1.2 简化式VAR 模型的参数估计

VAR 模型参数估计, 简化式VAR 模型比较简单可采用Yule-Walker 估计、OLS 估计、极大似然估计法等进行估计,且可获得具有良好统计性质的估计量。结构式VAR 模型参数估计比较复杂，可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。另一种途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有众多内生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？这也与结构式模型的识别性有关。

对于简化式VAR 模型（15.1.1）—（），在冲击向量满足假设~(0,)t u iidN ∑，1,2,...,t T =，即t u 相互独立，同服从以()0t E u =为期望向量、ov()()t t t C u E u u '==∑为方差协方差阵的k 维正态分布。这时，

t u 是k 维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵12,,...,p A A A 及∑也可采用Yule-Walker 估计、OLS 估计、

极大似然估计。

设12(...)t t t kt y y y y '=,1,2,...,t T =为长度为T 的样本向量 1、Yule-Walker 估计

在T 充分大时, 首先估计自协方差阵

1

?/T

h t

t h

t h y y T γ

-=+'

=∑ (7.1.16)

令 011102120???...???...?............???...p p p p γγγγγγγγγ----????'??∏=????

''????,1

122??????,??p P A A A A γγγ??''??????''????Γ==????

????'????'????

M M

则可得模型参数阵的Yule-Walker 估计(矩估计)为

112??????P A A A A -??'??'??==∏Γ=??????'??

M 1

011102120???...???...............???...p p p p γγγγγγγγγ-----??

??'??????''????

12??,?p γγγ'??

??

'??????'????

M （7.1.17） 2、OLS 估计

模型参数阵12,,...,p A A A 的OLS 估计，即求使

121

1

1

1?????(,,...,)()()min

p

p

T p

t

j t j

t j t j

j p j j Q A A A y A

y

y A y T

--=+=='=--=∑∑∑

下的12???,,...,p

A A A 作为12,,...,p A A A 估计。

记 1

?/T

h t

t h

t p y y T γ

-=+''

=∑ (7.1.18)

由此可推得

1

12??????P A A A A -??'??'??==∏Γ=??????'??

M 1

01110

2120???...???...............???...p p p p γγγγγγγγγ-----??

??

'??????''????

12??,?p γγγ'??

??

'??????'????

M （7.1.19） 由此可见, 模型参数阵12,,...,p A A A 的OLS 估计(7.1.15)与Yule-Walker 估计形式相同,

但式中的?h γ的计算不同. 但是, 当T 充分大时,(7.1.16)与相差很小, 这时与相差也很小,这时二者的估计及估计量的性质等价。因此，在T 充分大时, 可直接采用Yule-Walker 估计比较简单方便。

而∑的估计为 01

1???????T

t t t A A u

u T γ=''∑=-∏=∑ （7.1.20） 其中：1122????...t t t t p t p

u y A y A y A y ---=---- 3、极大似然估计

可证明, 模型参数阵12,,...,p A A A 的极大似然估计与OLS 估计完全等价。

除此之外，还有递推估计法（参见：马树才，《经济时序分析》，辽宁大学出版社，）, 这里不在赘述。

7.1.3 简化式VAR 模型的预测

在已知12,,...t t y y --时，对t y 的一步线性预测

1?(1)t y -1122...t t p t p AY A y A y ---=+++ （7.1.21）

其一步预测误差为 1?(1)t t t t y y y e -=-=% 一步预测误差的方差阵为t t t t Ey y Ee e S ''==%%的估计为

101

????(1)()p

i i

i kp S A T γγ-='=--∑ （7.1.22） 在已知12,,...t t y y --时，如果利用模型参数的估计量12???,,...,p

A A A ，对t y 进行一步线性预测，则 t y 的实际一步线性预测为 1?(1)t y -1122???...t t p t p AY A y A y ---=+++ （7.1.23）

其一步预测误差为 1?(1)t t t y y y -=-%

111222???()()...()t t p p t p t

A A Y A A y A A y e ---=-+-++-= 一步预测误差的方差阵为t t t t Ey y Ee e D ''==%%的估计为

101

????(1)(1)()p

i i i kp kp D A T T γγ-='=+--∑ （7.1.24） 7.1.4 VAR 模型阶数p 的确定

VAR 模型的定阶是一个矛盾过程，阶数p 的确定，既不能太大，又不能太小，必须兼顾。因为，一方 面，希望滞后阶数p 要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则，阶数p 太大，会造成需要估计的模型参数过多，而使模型自由度减少。因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项，又能有足够大的自由度为原则确定阶数。

VAR 模型的定阶方法有多种： 1、FPE 准则(最小最终预测误差准则)

FPE 准则(最小最终预测误差准则)，即利用一步预测误差方差进行定阶。因为，如果模型阶数合适，则模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；反之，则相反。

设给定时间序列向量长度为T 的样本向量为12(...)t t t kt y y y y '=,1,2,...,t T =，则其一步预测误差方差阵的估计量为（7.1.24）式,它是一个k k ?阶阵,因此可定义其最终预测误差为

01

????()det (1)(1)det()p

k k k i i i kp kp FPE p D A T T γγ-='==+--∑ （7.1.25） 显然, ()k FPE p 是p 的函数。

所谓最小最终预测误差准则，就是分别取p =1，2,…，M, 来计算()k FPE p , 使()min k FPE p =值

所对应的p , 为模型合适阶数。相应的模型参数估计12???,,...,p

A A A 为最佳模型参数估计。其中，M 为预先选定的阶数上界,一般取/10~/5M T k T k =之间。 在实际计算过程中，可如下判断：

①如果()k FPE p 的值，随着p 从1开始逐渐增大就一直上升，则可判定p =1；

②如果()k FPE p 的值，随着p 从1开始逐渐增大就一直下降，则可判定该随机时间序列不能用AR （p ）模型来描述；

③如果()k FPE p 的值，在某一p 值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该p 值为所确定的阶数； ④如果()k FPE p 的值，随着p 从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样本数据长度T 太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型。

利用FPE 信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前()r r k ≤个分量12...t t rt y y y ，

1,2,...,t T =来进行，方法如下： 记（7.1.21）式中的k k ?阶矩阵01

???()p

i i

i A γ

γ='-∑的左上角r 阶子方阵为0

1

???()

p

i i r r

i A γγ?='-∑, 则前r 个分

量12...t t rt y y y ，1,2,...,t T =的最终预测误差为

01

????()det (1)(1)det()p

r r r r i i r r i kp kp FPE p D A T T γγ-?='==+--∑ （7.1.26） 当r k =时，（7.1.26）为式。

如果，min ()min ()r k FPE p FPE p ≤，则可认为仅用前r 个分量12...t t rt y y y ，1,2,...,t T =建立模型即可，没有必要采用k 维随机时间序列12(...)t t t kt y y y y '=建立模型，因为从最小最终预测误差准则角度，用k 维随机时间序列12(...)t t t kt y y y y '=建立模型比仅采前r 个分量12...t t rt y y y ，1,2,...,t T =建立模型，带来拟合优度的显著改善；反之，则相反。

2、AIC(Akaike Information Criterion)与SC （Bayes Information Criterion ）信息准则 AIC 、SC 信息准则，也称最小信息准则，定义

2/2/AIC l T n T =-+，2/ln /SC l T n T T =-+ （7.1.27） 其中：?(1ln 2)ln ,22

Tk T l n π=-

+-∑

为模型需要估计参数个数，对（7.1.1）,2n pk =；对于()n k d pk =+；对于（ 2(1)n p k =+；对于（），2()n k d pk k =++。

所谓最小信息准则，就是分别取p =1，2,…, 来计算AIC 或者SC, 使AIC 或SC min =值所对应的p , 为

模型合适阶数。相应的模型参数估计12???,,...,p

A A A 为最佳模型参数估计。 3、似然比检验法（Likelihood Ratio,LR 检验）：

由于~(0,)t u iidN ∑，1,2,...,t T =，即t u 相互独立，同服从以()0t E u =为期望向量、

ov()()t t t C u E u u '==∑为方差协方差阵的k 维正态分布。因此，

记[]121

2,t t t P t p y y Y A A A A y ---??????

==???????

?L

M ，则在给121,,...,t t p y y y ---+的条件下，12(...)t t t kt y y y y '=的

条件分布为 121,,...,~(,)t t t p t y y y y N AY ---+∑

于是，在给121,,...,t t p y y y ---+的条件下，12,,...,T y y y 的联合分布密度，即似然函数为

/2

/2

111

1(,)(2)

exp{([()()]}2T

T Tk t t t t t L A y AY y AY π---='∑=∑

--∑-∑

对数似然函数为 1

11

1ln (,)ln(2)ln [()()]222T t t t t t Tk T L A y AY y AY π--='∑=-+∑--∑-∑ 将参数估计代入，则有

111

1??ln (,)ln(2)ln ()222T t t

t Tk T L A u u π--='∑=-+∑-∑∑， 又 11???T

t t t u u T ='∑=∑

因此，有 1?ln (,)ln(2)ln 222

Tk T Tk L A π-∑=-

+∑- （7.1.28） 现在，欲检验假设0:H 样本数据是由滞后阶数为p 的VAR 模型生成；1:H 样本数据是由滞后阶数为

1p +的VAR 模型生成

取似然比统计量为

1111????2[ln (,)ln (,)](ln ln )p p p p

LR L A L A T --++=∑-∑=∑-∑:22()k χ分布 （7.1.29） 在给定的显著性水平α下，当22

()LR k αχ>，则拒绝0H ，表明增加滞后阶数，可显著增大似然函数值；

否则，则相反。

LR 检验在小样本下，可取似然比统计量为

111??()(ln ln )p p

LR T m --+=-∑-∑:22()k χ分布 （7.1.30） 其中,m d kp =+.

7.1.5 VAR 模型的Granger 因果关系检验

VAR 模型的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在Granger 因果关系，这也是建立VAR 模型所需要的。

1、 Granger 因果关系的涵义

设12()t t t y y y '=为一2维随机时间序列，如果在给定12t t y y 、的滞后值下1t y 的条件分布与仅在给定的1t y 的滞后值下1t y 的条件分布相同，即

11112121222111121(,,...,,,,...,)(,,...,)t t t t p t t t p t t t t p f y y y y y y y f y y y y ---------= 则称2t y 对1t y 存在Granger 非因果性关系，否则，2t y 对1t y 存在Granger 因果性关系。

Granger 因果性关系涵义的另一表述：在其条件不变下，如果加上2t y 的滞后值，并不对只由1t y 的滞后值下对1t y 进行预测有显著改善，则称2t y 对1t y 存在Granger 非因果性关系，否则，2t y 对1t y 存在Granger 因果性关系。

2、 Granger 因果关系检验

设12()t t t y y y '=为一2维随机时间序列，p 为滞后阶数，12()t t t u u u '=为一2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR 模型为

(1)(1)(2)(2)()()111111221111212221111221(1)(1)(2)(2)()()

221112221211222222121222......p p t t t t t t p t p t

p p t t t t t t p t p t

y a y a y a y a y a y a y u y a y a y a y a y a y a y u ------------?=+++++++?=+++++++??

1,2,...,t T = （7．1．31）

显然，欲检验2t y 对1t y 是否存在Granger 非因果性关系，等价地，

检验假设0:H (1)(2)()121212...0p a a a ====；1:H (1)(2)()

121212,,...p a a a 中至少有一个不为0。

其用于检验的统计量为 11212,,()/~(,21)/(21)

y y y y y SSR SSR p F F p T p SSR T p -=

---- （7．1．32）

其中，12,y y SSR 为模型（7.1.31）中第1方程残差平方和, 1y SSR 为模型（）中第1方程去掉2y 各期滞后项后拟合残差平方和。

在给定的显著性水平α下，当(,21)F F p T p α>--时，拒绝0H 。

如果模型（7．1．31）满足~(0,)t u iidN ∑，1,2,...,t T =，即t u 相互独立，同服从以()0t E u =为 期望向量、ov()()t t t C u E u u '==∑为方差协方差阵的k 维正态分布条件，则 也可采用如下统计量进行检验

11212

,2

2,()

~()y y y y y T SSR SSR p SSR χχ-=

（7．1．33）

在给定的显著性水平α下，当22

()p αχχ>时，拒绝0H ，

上述Granger 因果性关系检验，可推广到对任意k 维VAR 模型以及SVAR 模型中的某一或某几个随机时 间序列（包括内生、外生变量）是否对另一时间序列具有Granger 因果性的检验上去。

§ VAR （p ）模型的脉冲响应函数与方差分解

在实际应用中，由于通常所设定的VAR 模型都是非经济理论性的简化式模型，出它无需对变量作任何先验性约束，因此，在分析应用中，往往并不利用VAR 模型去分析某一变量的变化对另一变量的影响如何，而是分析当某一扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，这钟分析方法称为脉冲响应函数方法（Impulse Response Function,IRF ）。 7.2.1 脉冲响应函数基本思想

对VAR 模型采用脉冲响应函数分析扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，就是分析扰动项发生变化是如何传播到各变量的。

设12()t t t y y y '=为一2维随机时间序列，滞后阶数p =2，12()t t t u u u '=为一2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR 模型为

(1)(1)(2)(2)111111221111212221(1)(1)(2)(2)

221112221211222222t t t t t t

t t t t t t

y a y a y a y a y u y a y a y a y a y u --------?=++++?=++++?? 1,2,...,t T = （7．2．1）

扰动项满足白噪声假设条件，即

()0,1,2,...,t E u t T ==；

()()[],1,2,...,t t t ij Cov u E u u t T σ'==∑==；

(,)()0(),,1,2,...,t s t s

Cov u u E u u t s t s T '==≠= 现在假设上述VAR 模型系统从0t =时期开始运行，并设1,11,22,12,20y y y y ----====，在0t =时给定扰动项102010,u u ==、 并且其后120,(1,2,...)t t u u t ===，即在0t =时给定1t y 一脉冲，我们来讨论

12t t y y 、的响应。

由于102010,u u ==、 由（7．2．1），在0t =时，于是有，1,02,010y y ==、； 将上述结果再代入（7．2．1），在1t =时，于是有，(1)(1)1,12,121y a y a ==11、； 再将上述结果代入（15．2．1），在t =2时，于是有，

(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)(1)1,21211212,22111222121(,y a a a a y a a a a a =++=++2

11)

如此下去，可求得结果1,01,11,21,3,,,,....y y y y ，称此结果为由1y 的冲脉冲引起的1t y 的响应函数； 所求得的2,02,12,22,3,,,,....y y y y ，称为由1y 的冲脉冲引起的2t y 的响应函数。

反过来，也可求得在0t =时，给定扰动项102001,u u ==、并且其后120,(1,2,...)t t u u t ===，即在

0t =给定2t y 一脉冲时，由2y 的冲脉冲引起的1t y 、2t y 的响应函数。

7.2.2 VAR 模型的脉冲响应函数

假设有VAR(p)模型 1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （7．2．2） 引入滞后算子B ，表示成 (),

1,2,...,t t A L y u t T == （7.2. 3）

其中: 2

12()...p

k p A L I A L A L A L =----,为滞后算子多项式. 在满足特征方程 212det[()]...0p

k p A L I A L A L A L =

----=的根全在单位园外条件下，则

VAR(p)是可逆的，即可将t y 表示成白噪声t u 滑动和形式

()t t y C L u = （7.2. 4）

其中：12

0120()()....,

(k C L A L C C L C L C I k -==+++=阶单位阵）

（7.2. 4）中第i 方程为 (0)

(1)(2)

121

(...),

1,2,,,.k

it ij jt ij jt ij jt j y c

u c u c u t T --==

+++=∑ （7. 2. 5） 当2k =时, (7.2.4)为

(0)(0)(1)(1)(2)(2)

111112111211121112(0)(0)(1)(1)(2)(2)222122212221222122...t t t t t t t t y u u u c c c c c c y u u u c c c c c c ----??????????????

=+++????????????????????????????

?????? 1,2,...,t T = （7．2．6）

现在假定在基期给1y 一个单位脉冲, 即 11,0

0,0

t t u t =?=?

≠? 而 20,0,1,2,...t u t ==

则可求得由1y 的脉冲引起2y 的响应函数为：

(0)2021(1)2121(2)2221

0,

1,2,t y c t y c t y c

======M

由此可看出，对于（7.2. 4）式的一般情形，由j y 的脉冲引起i y 的响应函数为：

(0)0(1)1(2)20,1,2,i ij i ij i ij

t y c t y c t y c

======M

由j y 的脉冲引起i y 的累积响应函数为：

()0

q ij

q c

∞

=∑

由（7. 2. 4）式, 其中的q C 中的第i 行、第j 列元素可表示为 ()/,

0,1,2,...;1,2,...,q ij it q jt c y u q t T +=??== （7. 2. 7）

作为q 的函数，它描述了在时期t ，其他变量和早期变量不变的情况下，it q y +对jt y 的一个冲击的反应，称 为脉冲——响应函数。

用矩阵可表示为 q C =/t q t y u +'?? （7. 2. 8） 即q C 中的第i 行、第j 列元素等于时期t 的第j 变量扰动项增加一个单位，其它时期扰动项为常数时，对 时期t q +的第i 个变量值的影响。

7．2．3 方差分解

VAR 模型的脉冲响应函数是用来描述VAR 模型中一个内生变量的冲击给其它内生变量所带来的影响的， 它是随时间的推移，观察模型中各变量对于冲击是如何反应的。而方差分解是要通过分析每一结构冲击对内生变量变化（通常用方差来度量）的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性的，与脉冲响应函数相比，方差分解是一种比较粗糙的把握变量间关系的方法，它给出的是对VAR 模型中的变量产生影响的每个扰动项的相对重要信息。

方差分解的基本思想是： 由（7. 2. 5）式

(0)(1)(2)121

(...),1,2,...,;1,2,,,.k

it ij jt ij jt ij jt j y c

u c u c u i k t T --==

+++==∑ （7. 2. 9）

可知，左边括号内为是第j 扰动项j u 从过去无限远至现在时点对第i 内生变量i y 影响的总和。

在()0j E u =，j u 无序列相关的假设下，对其求方差，可得

(0)(1)(2)2

()2120

(...)(),,1,2,...,q ij

jt ij

jt ij

jt ij jj q E c

u c

u c

u c i j k σ∞

--=+++==∑ （7. 2. 10）

它是把第j 扰动项j u 从过去无限远至现在时点对第i 内生变量i y 影响总和，用方差加以评价的结果。

如果ov()()t t t C u E u u '==∑为对角阵，则it y 的方差为 ()210

()[())],

1,2,...,;1,2,...,k q it ij jj j q Var y c

j k t T σ∞

===

==∑∑ （7. 2. 11）

由此可知，it y 的方差可分解成k 个不相关的

()20

()q ij jj q c

σ∞

=∑（1,2,...,j k =）的影响。

由此，可测定出各个扰动项对it y 方差的相对方差贡献率为

()2

()20

()2

10

()()()()

[()]

q q ij jj

ij jj

q q k j i q it ij

jj j q c

c

RVC Var y c

σσσ∞

∞

==∞

→==∞=

=∑∑∑∑ （7. 2. 12）

,1,2,..,i j k = 在实际应用计算中，不可能从过去无限远的()

q ij c

来评价。

在模型满足平稳性条件下，由于()q ij c 随着

q 的增大是按几何级数衰减的，故只要取前s 有限项计算即可。其近似相对方差贡献率为

1

()2

01

()210

()()[()]

s q ij jj q k s j i q ij

jj j q c RVC s c

σσ-=-→===

∑∑∑，,1,2,..,i j k = （7. 2. 13）

()JI RVC s 有如下性质：

①0()1j i RVC s →≤≤ （7. 2. 14）

②

1

()1,1,2,...,k

j i

j RVC

s i k →===∑ （7. 2. 15）

如果()JI RVC s 大，则意味着第j 变量（第j 扰动项）对第i 变量i y 影响大，反之，则相反。

§ Johansen 协整检验与向量误差修正模型(VEC)

前面我们已经介绍了单方程的协整检验与误差修正模型。且其协整检验方法是以回归模型为基础的

基于回归残差序列的ADF 检验法进行检验的。现在我们把它推广到VAR 模型上去，并给出以VAR 模型为基础基于回归系数的协整检验方法。

在单方程协整检验中，由于是基于回归残差序列进行，故在第一阶段需要采用OLS 进行回归分析，应

用很不方便。为此，Johansen （1988）及Juselius(1990)提出了一个以VAR 模型为基础的基于回归系数的特别适合于多变量的协整检验法。 7．3．1 Johansen 协整检验

1、协整定义：设12(,,...,)t t t kt y y y y '=为一k 维随机时间序列，t 1,2,...,T =，如果

①~(),t y I d 且每一~()it y I d ，1,2,...,i k = ②存在非零向量β=12(,,...,)k βββ'，使~(),0t y I d b b d β'-<≤

则称t y 为协整，记为~(,)t y CI d b ，β为协整向量。

若t y 为协整，则最多存在1k -个线性无关的协整向量。即若记由t y 的所有协整向量组成的矩阵为A ， 则A 秩，0()1rant A r k ≤=≤-。

例如，k =2，12(,)t t t y y y '=，12,~(1)t t y y I ，若有1c 使112~(0)t t y c y I -，按照上述，最多存在

1211k -=-=个线性无关的协整向量，则协整向量β11((1),)c c =-唯一。

因为若有2122~(0),t t c y c Y I -也使得则

112t t y c y -（）-122212)~(0)t t t y c Y c c y I -=-（）（ 这与已知2~(1)t y I 矛盾，故12c c =，即β11((1),)c c =-唯一。

2、Johansen 协整检验基本思想

设12(,,...,)t t t kt y y y y '=为一k 维随机时间序列，t 1,2,...,T =，且~(1),t y I 即每一~(1)it y I ，

1,2,...,i k =，受d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '=影响（限制），则首先可建立VAR 模型

1122...t t t p t p t t y A y A y A y Dx u ---=+++++，1,2,...,t T = （7．3．1）

将上式进行差分变换，也称为协整变换，可写成 1

11p t t i t i

t t i y y y

Dx u ---=?=∏+

Γ?++∑ （7．3．2）

其中， 1

1

,

p

p

i

i j i j i A I A ==+∏=

-Γ=-∑∑ （7．3．3）

在（7．3．2）中，由于~(1),t y I 所以~(0)t y I ?、~(0),0,1,...,t j y I j p -?=，

1

1

~(0)

p i t i

i y

I --=Γ?∑因此，只要1~(0),t y I -∏ 则11211,,...,t t kt y y y ---，亦即12,,...,t t kt y y y 之间具有协整关系，而

11211,,...,t t kt y y y ---之间是否具有协整关系取决于k k ?阶矩阵∏的秩()rank ∏。因为，∏与模型全部参

数阵12,,...,p A A A 有关，故称∏为压缩矩阵（影响矩阵）。

设()rank ∏r =，则r 有3种情况：

①如果r k =，这意味着∏是一列满秩阵，则只有当11211,,...,t t kt y y y ---~(0)I 时，才能保证

1~(0),t y I -∏ 但这与已知~(1)t y I 相矛盾，故,r k ≠只能有r

②如果0r =，则0,∏= 由（7．3．2），这时用不着讨论11211,,...,t t kt y y y ---之间是否具有有协整关系。

除上述两种极端情形外，一般情况是：

③如果0r k <<，这意味着12,,...,t t kt y y y 中一定存在r 个协整关系（协整组合），其余k r -个关系仍然为(1)I 关系。在这种情况下，可将∏分解成两个k r ?阶阵αβ、的乘积

αβ'∏= 且()rank αr =、()rank βr =。 将其代入到（7．4．2）式中，有 1

11

p t t i t i

t t i y y y

Dx u αβ---='?=+

Γ?++∑ （7．3．4）

上式要求，1t y β-'~(0)I 向量，其每一行都是(0)I 变量，即12(...)r ββββ=的每一列都是一协整向量， 所以β决定了11211,,...,t t kt y y y ---之间协整向量的个数和形式，故称β称为协整向量阵，r 为协整向量个数。

α的每一行是出现在上述每一方程中的r 个协整组合的一组权数，故称为调整参数阵，或修正参数阵。显

然，在~(1)t y I 假定条件下，最大可能1r k =-，这就是对于k 维向量12(,,...,)t t t kt y y y y =最大可能存在1k -个线性无关的协整向量的道理。

根据上述分析，可知欲检验12(,,...,)t t t kt y y y y =是否具有协整关系，就转化为对矩阵∏的秩数的检验，由于()rank ∏=∏的非零特征根的个数，因此，就可以通过检验∏的非零特征根的个数，来检验

()rank ∏，从而来判定12(,,...,)t t t kt y y y y =是否具有协整关系。这就是Johansen 协整检验的基本思想。

3、 Johansen 协整检验

现在假设∏的k 个特征根为12...k λλλ>>>。 Johansen 协整检验有两种方法：

1、特征根迹检验（trace 检验）

由于r 个最大特征根可得到r 个协整向量，而对于其余k r -个非协整组合而言，应该有

12...0r r k λλλ++===≡，因此，检验()rank ∏是否等于r ，等价地

检验假设0111:0,0;

:0,0,1,2,...,1r r r r r H H r k λλλ++>=>=-

可用于检验的特征根迹统计量为 1

ln(1),

0,1,2, (1)

r i

i r T r k ξλ=+=--=-∑ （7．3．5）

具体显著性检验程序如下：

①当0ξ<某一显著性水平下的Johansen 分布临界值，即不显著时，接受00(0)H r =，表明有k 个特征根，0个协整向量，即12(,,...,)t t t kt y y y y =不存在协整关系。

当0ξ>某一显著性水平下的Johansen 分布临界值，即显著时，拒绝00(0)H r =，表明至少有1协整向量。这时必须接着检验1ξ。

②当1ξ<某一显著性水平下的Johansen 分布临界值，即不显著时，接受10(1)H r =，表明只有1个协整向量。

依次进行下去，直到接受0r H ，说明存在r 个协整向量时为止。这时，这r 个协整向量就是最大的r 个特征根所对应的经过正规化的特征向量。

显然整个检验过程应该是序贯进行的，整个序贯检验过程如下：

当0ξ<某一显著性水平下的Johansen 分布临界值，即不显著时，接受00(0)H r =，表明只有0个协整向量（即不存在协整关系）。

当0ξ>某一显著性水平下的Johansen 分布临界值，即显著时，拒绝00(0)H r =，表明至少有1协整向量。这时必须接着检验1ξ。

当1ξ<某一显著性水平下的Johansen 分布临界值，即不显著时，接受10(1)H r =，表明只有1个协整向量。

当1ξ>某一显著性水平下的Johansen 分布临界值，即显著时，拒绝10(1)H r =，表明只少2个协整向量。

M

当r ξ<某一显著性水平下的Johansen 分布临界值，即不显著时，接受0r H ，表明只有r 个协整向量。 2、最大特征根检验

由于r 个最大特征根可得到r 个协整向量，而对于其余k r -个非协整组合而言，应该有

12...0r r k λλλ++===≡，因此，最大特征根检验用于检验假设

0111:0;

:0,0,1,2,...,1r r r r H H r k λλ++=>=-

用于检验的最大特征根检验的统计量为 1ln(1),0,1,2,...,1r r T r k ηλ+=--=- （7．3．6）

具体显著性检验程序如下：

当0η<临界值，不显著时，接受00(0)H r =，表明最大特征根为0，无协整向量；

当0η>临界值，显著时，拒绝00(0)H r =，接受10H ，表明至少有1个最大特征根不为0，至少有1个协整向量。须接着检验1η。

当1η<临界值，不显著时，接受10(1)H r =，表明最大特征根不为0，其余特征根皆为0，只有1个协

整向量；检验截止。

当1η>临界值，显著时，拒绝10(1)H r =，接受11H ，表明至少有两个最大特征根不为0，，至少有2个协整向量。须接着检验2η。

依次进行下去，直到接受0r H ，共有r 个协整向量时为止。 4、协整方程形式

7．3．2 向量误差修正模型(VEC)

由（7.3.1）式可知，设12(,,...,)t t t kt y y y y '=为一k 维随机时间序列，t 1,2,...,T =，且~(1),t y I 即每一~(1)it y I ，1,2,...,i k =，如果t y 不受d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '=影响（限制），VAR 模型变为

1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （7．3．7）

将上式进行协整变换，可写成 1

11p t t i t i

t i y y y

u ---=?=∏+

Γ?+∑ （7．3．8）

其中， 1

1

,

p

p

i

i j i j i A I A ==+∏=

-Γ=-∑∑ （7．3．9）

如果t y 存在协整关系，则（7.3.8）的1~(0),t y I -∏这时可写成

1

11

p t t i t i t i y y y u αβ---='?=+Γ?+∑ (7．3．10）

其中, 1t y β-'1t ecm -=即为误差修正项, 反映的是变量之间的长期均衡关系。即，上式可写成

1

11

p t t i t i t i y ecm y u α---=?=+Γ?+∑ (7．3．11）

(7.3.11)即为向量误差修正模型（VEC ）,其中每一方程都是一个误差修正模型（ECM ）。

VEC 模型中的参数向量，反映的是变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度，故称其为调整参数阵，或修正参数阵。所有作为解释变量的差分项(1,2,...,1)t i y i p -?=-的系数向量(1,2,...,1)i i p Γ=-，反映的是各变量的短期波动t i y -?对作为被解释变量t y 的短期变化t y ?的影响。在实际应用中，对于影响不显著的那些短期波动t i y -?的项可以从模型中剔除。

上述只是讨论了简单的VEC 模型，我们也可以象VAR 模型那样构造结构式VEC 模型，也可以对VEC 模型讨论Granger 因果关系检验、脉冲响应函数和方差分解等等。关于这些更详细的内容，可参见Davidson 和Mackinnon(1993)以及汉蜜而顿（1999）的著作。

①Davidson,Russell and James and Inference in :Oxford University Press,1993,715-730. ②詹姆。汉密尔顿：时间序列分析（刘明志译），中国社会科学出版社，1999，第19章。

§ SVAR(p)模型

7．4．1 SVAR 模型的识别与约束条件

如果12(...)t t t kt y y y y '=中的每一分量受其它分量当期影响, 无d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '=影响（限制）,则由（7．1．8）式，结构式非限制性SVAR （p ）模型为

01122...t t t p t p t A y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （7．4．1） 或利用滞后算子表示成

(),1,2,...,t t A L y u t T == （7. 4. 2）

其中： (0)(0)121(0)(0)2120(0)(0)121...1..................................1k k k k a a a a A a a ??

????=????????

, 这时的2012()...p p A L A A L A L A L =---- 此时称该模型为结构式非限制性SVAR 模型。

结构式非限制性SVAR 模型，即使在扰动项满足白噪声条件下也不能采用普通最小二乘法估计模型参数来建立模型，因为每一方程含有同期相关的变量。

如果0A 可逆，既逆阵10A -存在，则结构式非限制性SVAR 模型可化为简化式非限制性VAR 模型

111101102200...t t t p t p t y A A y A A y A A y A u -------=++++，1,2,...,t T = （7．4．3）

或利用滞后算子表示成

10(),1,2,...,t t A L y A u t T -== （7. 4. 4）

这时，其中的112101

020()...p p A L I A A L A A L A A L ---=----

若记 1

11101

102200,,...,,p p t t A A D A A D A A D A u v ----==== （7．4．5）

则（7. 3. 4）可写成

1122...t t t p t p t y D y D y D y v ---=++++，1,2,...,t T = （7．4．6）

简化式非限制性模型VAR 所含需要估计参数个数为

22()/2k p k k ++ （7．4．7）

其中，2

()/2k k +为扰动项t u 的方差协方差阵ov()()t t t C u E u u '==∑所含未知待估计参数个数。在扰动项满足白噪声条件下，（7．4．6）式可采用普通最小二乘法估计上述模型参数，来建立其简化式非限制

性VAR 模型。

我们知道，结构式非限制性SVAR 模型（7．4．1），即使在扰动项满足白噪声条件下也不能采用普通最小二乘法估计模型参数来建立模型，因为每一方程含有同期相关的变量。既然其简化式非限制性VAR 模型（7．4．6）模型参数可以通过普通最小二乘法估计，那么，可否根据上述简化式非限制性VAR 模型的模型参数与结构式非限制性SVAR 模型的模型参数之间的关系式（7．4．5），通过已估计的简化式非限制性VAR 模型参数，得到相应的结构式非限制性SVAR 模型参数建立模型？这就涉及到结构式非限制性SVAR 模型（7．4．1）的识别性（关于识别性及其方法，可见14章联立方程内容），或者说取决于对结构式非限制性SVAR 模型所施加的约束条件。

因为，由结构式非限制性SVAR 模型（7．4．1）可知，其需要估计的模型参数个数共

22k p k + （7．4．8）

22k p k +>22()/2k p k k ++，所以，如果不对结构式非限制性SVAR 模型（7．4．1）施加限制条件，其

模型参数不可估计。那么，对结构式非限制性SVAR 模型（7．4．1）需要施加多少限制或约束条件？需要施加的约束条件数恰好为

[2

2

k p k +]—[2

2

()/2k p k k ++](1)/2k k =- （7．4．9）

即只要施加(1)/2k k -个约束条件，则结构式非限制性SVAR 模型（7．3．1）的模型参数就可估计。所施加的约束条件既可以是短期（同期）的，也可以是长期的。

1、 短期约束

结构式非限制性SVAR 模型（7．4．1）式

01122...t t t p t p t A y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T =

其中： (0)(0)121(0)(0)2120(0)(0)121...1..................................1k k k k a a a a A a a ??????=????????

在0A 可逆，既逆阵10A -存在时，可化成简化式非限制性VAR 模型（7．4．6）

1122...t t t p t p t y D y D y D y v ---=++++，1,2,...,t T =

进一步，在满足特征方程 212det[()]...0p

k p D L I D L D L D L =

----=的根全在单位园外条件下，则

VAR(p)可逆，从而又可将t y 表示成白噪声t v 滑动和形式

()t t y C L v = 01122...t t t C v C v C v --=+++， 其中，1

00C A -= （7.4.10）

根据Cholesky 分解基本思想，短期约束可直接施加在矩阵0A 上，只要使0A 成为主对角线上元素为1的下三角形矩阵，即

(0)210(0)(0)121

0.........01.........0...............................1k k a A a a ?????

?=????????

则结构式非限制性SVAR 模型（7．4．1）式就可变成一递归形式的结构式非限制性SVAR 模型，从而为恰好识别，可直接采用OLS 从第1方程开始估计该结构式模型的模型参数，建立模型。

在实际中，对结构式非限制性SVAR 模型（7．4．1）式施加短期约束，0A 也可以不呈下三角形，只要施加约束条件数(1)/2k k =-，即可。

例如，如果我们要建立一个以1y （GDP ）、2y （税收）、3y （政府支出）为变量的3k =的结构式非限制性SVAR 模型，则只需施加(1)/23k k -=个约束条件：(0)23

0a =，当期1y （GDP ）影响当期2y （税

收），不影响当期3y （G 政府支出）；(0)12

0a

=，当期2y （税收）影响当期3y （G 政府支出）；(0)13 1.71a =，

根据以往研究已得知，税收关于产出弹性为, 则所建结构式非限制性SVAR 模型即可识别,从而可估计。

2、 长期约束

所谓长期约束, 通常是指施加在（7．4．10）式12,,...C C 上的约束, 也可是单独施加在某一(1,2,...)i C i =上的约束而言。比较简单的是一般都施加在1C 上，与短期约束类似，也可将长期约束直接施加在1A 上来进行。

7．4．2 SVAR 模型的三种类型

SVAR 模型根据模型特点主要有三种类型：K 型、C 型和AB 型。其中最常用的是AB 型，K 型和C 型可视为是AB 型的特殊形式。

1、：K 型SVAR 模型

设12(...)t t t kt y y y y '=为一k 维随机时间序列，p 为滞后阶数，12(...)t t t kt u u u u '=为一k 维随机扰动的时间序列，且其VAR 模型结构关系为

即 1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （7．4．11） 或写成滞后算子形式

(),1,2,...,t t A L y u t T == （7. 4. 12）

其中: 2

12()...p

k p A L I A L A L A L =----,为滞后算子多项式.

设K 为一个k k ?阶可逆阵，左乘（7. 4. 12），则

(),

1,2,...,t t KA L y Ku t T == （7. 4. 13）

如果,()0,()()t t t t t t Ku v E v Cov v E v v I '====且，则称满足上述条件的（7.4.13）为K 型SVAR 模型。 由于

,()()0,

()()()(),t t t t t t t t t t Ku v E Ku E v Cov Ku E Ku u K K K Cov v E v v I K K I

==='''

==∑''==∑=而从而有

在∑已知下，这意味着对K 已施加了k(k+1)/2个非线性约束条件，K 中还余下(1)/2k k -个自由参数，因此，只需给出(1)/2k k -个短期约束条件即可。

3、 C 型SVAR 模型

对于VAR 模型（7．4．11）

1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = 或写成滞后算子形式

(),1,2,...,t t A L y u t T == （7. 4. 14）

设C 为一个k k ?阶可逆阵，如果t t u Cv =，且()0,()()t t t t E v Cov v E v v I '===，则称满足上述条

件的（7. 4. 14）模型为C 型SVAR 模型。

由于()()()()t t t t t t Cov u E u u Cov Cv E Cv v C CC ''''∑=====，在∑已知下，这意味着对C 已施加了

k(k+1)/2个非线性约束条件，C 中还余下(1)/2k k -个自由参数。

3、AB 型SVAR 模型

设A B 、为k k ?阶可逆阵，左乘（7. 4. 12），则

(),

1,2,...,t t AA L y Au t T == （7. 4. 15）

且满足条件：,0,()()t t t t t t Au Bv Ev Cov v E v v I '====，则称（7. 4. 15）为AB 型SVAR 模型。 显然，当A 为单位阵时，AB 型SVAR 模型就化为C 型SVAR 模型；当B 为单位阵时，AB 型SVAR 模型就化为K 型SVAR 模型。

由 ()()()()t t t t t t Cov Au E Au u A E Bv v B Cov Bv ''''=== 可知 A A BB ''∑=

在∑已知下，它是对A B 、施加了k(k+1)/2个非线性约束条件，余下了2

2(1)/2k k k -+个自由参数。 7.3.3 SVAR 模型的脉冲响应函数

设有VAR(p)模型（参见7．2．2）

1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T =

写成滞后算子形式为

(),1,2,...,t t A L y u t T ==

其中: 2

12()...p

k p A L I A L A L A L =----,为滞后算子多项式. 在满足特征方程 212det[()]...0p

k p A L I A L A L A L =

----=的根全在单位园外条件下，则