陈家璧版光学信息技术原理及应用习题解答811章

习 题

8．1利用4f 系统做阿贝—波特实验，设物函数t （x 1，y 1）为一无限大正交光栅 ??????*?????

??*=)comb()rect()comb()rect(),(2121211111

1111b y a y b b x a x b y x t

其中a 1、a 2分别为x 、y 方向上缝的宽度，b 1、b 2则是相应的缝间隔。频谱面上得

到如图8-53（a ）所示的频谱。分别用图8-53（b ）（c ）（d ）所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。

图8.53（题8.1 图）

解答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为 T ( f x , f y ) = ? [ t ( x 1 , y 1 )] = { 11b ? [)rect(11a x ]·? [)comb(11b x ] } *{2

1

b ? [)rect(21a y ·? [comb(21b y ]} 将函数展开得 T ( f x , f y ) =

{}???++++)δ(sinc()δ()sinc()sinc(1

11111111b 1

b 1-x x x f b a f b a f a b a *

{

}???++++δ()sinc()δ()sinc()sinc(2

22222222b 1

b 1-y y y f b a f b a f a b a （1） 用滤波器（b ）时，其透过率函数可写为

1 f x = + 1/ b 1 f y = 0 F ( f x , f y ) =

0 f x 1/ b 1 f y = 任何值 滤波后的光振幅函数为 T ·F =

[])δ()δ()sinc(1

11111b 1b 1-++x x f f b a b a 输出平面光振幅函数为 t ’（x 3，y 3）= ? -1[ T ·F ] =

(exp[)](){exp [sinc(1

3131111b 2-b 2x j x j b a

b a ππ+

=

)(cos )sinc(1

31111b 22x b a

b a π? 输出强度分布为

I （x 3，y 3）= )(cos )(sinc 13

21122

12

1b 24x b a b a π? = )cos()(sinc 1311

22

1

2

1b 42x b a b a π? - C 其中C 是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。

（2）用滤波器（c ）时，其透过率函数可写为

1 f x ，f y 0

F ( f x , f y ) =

0 f x = f y = 0 滤波后的光振幅函数为 T ·F =

{}???+++)()sinc()()sinc(

11111111b 1

b 1-x x f b a f b a b a δδ *

{

}???+++)()sinc()()sinc(

2

222222

2b 1

b 1-y y f b a f b a b a δδ 输出平面光振幅函数为 t ’（x 3，y 3）= ? -1[ T ·F ] = {

[)(rect 1311

a x

b *])comb(1

3b x - )rect(1311b x b a }

× {

[)(rect 2321a y b *])comb(23b y - )rect(2

322b y b a

}

输出强度分布为

I （x 3，y 3）= t ’（x 3，y 3） 2 有两种可能的结果，见课本中图8．9和图8．10。

（3）用滤波器（d ）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b ’，它与物光栅周期b 1、b 2的关系为

2

2211

11b b b +=’

8．2 采用图8-53（b ）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm ，滤波器仅允许 + 2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。

解答：根据对8．1题的分析，当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应

表达为

t ’（x 3）= ? -1

{ )]()()[sinc(

1

1112

2-b f b f b a x x ++δδ} =

1

3111142b x b a

b a πcos )c(sin 其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布：

I = 13

21122

1

2

144b x b a b a πcos )(sinc =

1311

22

1

2

182b x b a b a πcos )(sinc - C 其中C 是一个常数。

答：干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm 。

8．3 在4f 系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d = 4，线宽a =1，最

大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响， （a ）写出傅里叶平面P 2上的频谱分布表达式；

（b ）写出输出平面复振幅和光强分布表达式； （c ）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出平面复振幅和光强分布表达 式； （d ）若将一个π位相滤波器 exp （j π） x 2，y 2 ≤ x 0，y 0 H （x 2，y 2）=

0 其它

放在P 2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。

解答：将8．1题结果代入，其中b 1 = d = 4，a 1 = a = 1，除去与y 分量有关的项，可得

（a ）P 2平面上的频谱分布为：

})()sinc()()sinc(){sinc()(???++++=4

1

4141-4141x x x x f f f f T δδ

（b ）输出平面：

复振幅 t （x 3）= ? -1 [T （f x ）]

若不考虑透镜尺寸的影响，它应该是原物的几何像，即

t (x 3) =

)[rect(341

x *)]comb(4

3x 光强分布 I (x 3) = | t (x 3)| 2 = )[rect(3161

x *234

)]comb(x

(c)挡住零频分量，输出平面情况与8．1题（3）相同，即 t (x 3) =

)[rect(341x *)]comb(43x -)rect(4

41

3x I = | t (x 3) | 2

由于a = d / 4，所以强度将出现对比度反转，像光栅常数仍为d = 4，线宽为 a ’= 3，见下图

t （x 3） I （x 3）

x 3

（d ）将一个 exp （j ） f x = f y = 0 H （f x ，f y ）=

1 f x ，f y 0 只考虑一维情况，频谱变为 T ’（f x ）= T （f x ）·H （f x ）

=

})()sinc()()sinc()exp(){sinc(???++++41

4141-4141x x x f f j f δδπ =})()sinc()()sinc()sinc({???++++4

14141-41-41x x x f f f δδ 输出平面上的复振幅为

t (x 3) = ? -1[T （f x ）·H （f x ）] = -

)[rect()rect(334141x x +*)]comb(43x - )rect(4

41

3x 8．4 图8-54所示的滤波器函数可表示为：

1 f x ＞0 H （f f ，f y ）= 0 f x ＝0

-1 f x ＜0 此滤波器称为希尔伯特滤波器。

证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。

L 1 L 2

f

x

x

图8.54（题8.4 图）

解答：位相物可表达为

t 0（x 1，y 1）= A ·exp [ j φ（x 1，y 1）]

对于弱位相物有φ 1弧度，上式近似为（忽略A ）

t 0（x 1，y 1） 1+ j φ（x 1，y 1）

滤波平面得到

T （f x ，f y ）= ? [t 0（x 1，y 1）]

=

（f x ，f y ）+ j

（f x ，f y ）

其中

（f x ，f y ）= ? [φ（x 1，y 1）]。 经希尔伯特滤波器，频谱面后的光

分布为T ’（f x ，f y ）= T （f x ，f y ）·H （f f ，f y ）

j

（f x ，f y ） f x 0

= 0 f x 0

- j （f x ，f y ） f x 0

像平面光场复振幅为 （以下无把握） t ’（x 3，y 3）= ? -1[T ’（f x ，f y ）]

j φ（-x 3，-y 3） x 3 0

= 0 x 3 0

- j φ（-x 3，-y 3） x 3 0

光强分布为 I = t ’· t ’?

-φ 2

（-x 3，-y 3） x 3 0

= 0 x 3 0

φ 2

（-x 3，-y 3） x 3 0

（此结论和于美文书上的答案不一样，建议取消此题）

8．5 如图8-55所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比

较均匀的照明光场，试说明其原理。

图8.55（题8.5 图）

8．6 光栅的复振幅透过率为

t （x ）= cos 2πf 0 x

把它放在4f 系统输入平面P 1上，在频谱面P 2上的某个一级谱位置放一块λ/ 2位相板，求像面的强度分布。

解答：将复振幅透过率函数变换为

t （x ）= cos 2πf 0 x = [1+cos 2πf 0 x ] / 2 其频谱为

T （f x ）= ? [t （x ）]

21=

δ（f x ）+ 21

? [cos 2πf 0 x ] = 21δ（f x ）+ 41 δ（f x - f 0）+ 4

1

δ（f x + f 0）

其中第一项为零级谱，后两项以次为+1级和-1级谱。设将λ/ 2位相板放在+1

级谱上，其透过率表达为

H （f x ）= exp （j π） 则频谱面P 2后的光振幅变为 T ’= T ·H

=

21δ（f x ）+ 41 δ（f x - f 0）·exp （j π）+ 41

δ（f x + f 0） = 21δ（f x ）- 41 δ（f x - f 0）+ 4

1

δ（f x + f 0）

像平面光场复振幅为

t ’（x ）= ? -1 [T ’] =

21 - 41exp （j 2πf 0x 3）+ 41

exp （-j 2πf 0x 3） = 21 - 2

1

j sin （2πf 0x 3）

像平面强度分布为

I = t ’（x ）

2 = t ’（x ）· t ’（x ）?

=

41

[1- j sin （2πf 0x 3）][1+ j sin （2πf 0x 3）] =41+4

1

sin 2（2πf 0x 3） 像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小1倍，振幅减小4倍，本底也有所变化，并且出现图形的横向位移，位移量为1/2周期。

8．7 在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象A 、B 置于

输入平面P 1原点两侧，其振幅透过率分别为：t A （x 1- l ，y 1）和 t B （x 1+ l ，y 1）；P 2平面上光栅的空间频率为f 0，它与l 的关系为：f 0 = l /λf ，其中λ和f 分别表示入射光的波长和透镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的1/4处，光栅的振幅透过率表示为：

?

????

?

--+????????

?++=

)(exp )(exp ),(2222121202022ππππx f j x f j y x G

试从数学上证明：

1）在输出平面的原点位置得到图象A 、B 的相减运算；

2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。 8．8 如何实现图形O 1和O 2的卷积运算？画出光路图并写出相应的数学表达式。 解答：第一步，制作O 1的傅里叶变换全息图，光路如下：

2)

t H = | 1 |2 + R 02 + R 0 1（f x ，f y ）exp_[ -j 2πf x b ]

+R 0 1?（f x ，f y ）exp_[ j 2πf x b ]

其中 1= ? [O 1]，R 0为平面参考波的振幅，b 为参考点源的横向位移量。 第二步，进行卷积运算。在4f 系统中，将O 2置于输入平面（x 1，y 1），全息图置于频谱平面（x 2，y 2），如图

x 1,y 1 x 2,y 2

O 1

O 2

2几何像

1? O 2

y 3

频谱面后的光场为 U H '= ? [O 2]·t H

= 2·{| 1 |2 + R 02 + R 0 1（f x ，f y ）exp_[ -j 2πf x b ]

+R 0 1?（f x ，f y ）exp_[ j 2πf x b ]}

输出平面光场为

O 2? ? -1[ t H ]

= R 02O 2 + O 1

O 1? O 2 + R 0O 1(x 3-b ，y 3)?O 2 + R 0O 1?(-x 3-b ，-y 3)?O 2

式中第三项即为O 1 和O 2的卷积运算，位置在x 3 = b 处。

8．9 在4f 系统中用复合光栅滤波器实现图象的一维微分 ?g / ?x ，若输入图象g 在x 方

向的宽度为l ，光栅频率应如何选取？

解答：设复合光栅的空间频率为f 0和f 0+，则滤波的结果使像平面上得到两套物的三

重像，两个正一级像的位相差等于π，它们离零级像的角间距1、2分别由下式确定

sin 1 = f 0， （1）

sin 2 =（ f 0 +） （2）

因而正一级像离零级像的线间距分别为

l 1 = sin 1·f （3） l 2 = sin 2·f （4）

其中f 是透镜焦距。分析可知，得到微分结果的条件是

l 1 - l 2 l / 2 （l 为物的宽度） （5）

将（1）、（2）两式代入（3）、（4）两式，再代入（5）式，得到

l 1 - l 2 = · f l / 2

f

l λ2 （6）

因而复合光栅的空间频率差应满足（6）式关系，才能得到微分图像。

8．10 用4f 系统通过匹配滤波器作特征识别，物g （x ，y ）的匹配滤波器为G *（f x ，f y ），

当物在输入平面上平移后可表示为g （x - a ， y - b ），求证此时输出平面上相关亮点的位置坐标为x i = a ，y i = b 。

8．11 用一个单透镜系统对图象进行θ调制假彩色编码，如图8-55所示。已知调制物O m

的光栅空间频率为100线/mm ，物离透镜的距离为20cm ，图象的几何宽度为6 × 6cm ，试问透镜的孔径至少应多大，才能保证在频谱面上可进行成功的滤波操作。（工作波长范围为650.0—444.4nm ）。

O' 白光 解答：

设：f 0 = 100线/mm ，d = 20cm ，a ×b = 6×6cm ，max = 650．0nm ，min = 444．4cm 求：透镜最小孔径 min 解：调制物O m 的最大线度为

2l =（a 2+b 2）1/2 = 6√2cm

l = 3√2cm

欲在频谱面上进行成功的滤波操作，必须使所有物点的一级衍射波都能进入透 镜，最大衍射角θmax 应与max 相应，即

sin θmax / f 0 = max 由几何关系得到

sin θmax = [（ / 2）- l ] / d 所以有

= 2 [d ·f 0·max + l ] 代入数据，得 = 110．85mm ? 111mm

答：透镜孔径至少应达到111mm ，才能保证在频谱面上进行成功的滤波操作。

第九章习题解答

9-1. 用白光再现彩虹全息时，如果彩虹全息有实狭缝象，在狭缝实象处观察全息图，人眼将能观察到单色的全息象，试分析人眼在狭缝前后位置时的全息象的颜色分布情况。如彩虹全息再现的是虚狭缝，再分析人眼观察到的全息象情况。 答：

在图示的情况下，物的两个端点为A和B点，它们被全息记录在一条线区域上，当白光再现时，这一区域的衍射光是色散的，长波长的衍射角较大，而短波长的衍射较小，。按图示的光路结构，A点的长波长沿AM方向衍射，短波长沿AN方向衍射，B点的长波长沿BN方向衍射，短波长沿BM方向衍射。假设沿AP和BP方向衍射的波长相同，那么人眼在P处观察将看到单色象，当眼睛靠近全息图时，将看到象的上方偏蓝，而下方偏红，反之则相反。

对于虚狭缝的情况，如上图所示，P点是某一衍射波长的虚狭缝，A和B两点是两线全息图，象上的两点与它们对应，AM是线全息图A最短波长的衍射方向，BM是线全息图B 的最长波长衍射方向。显然，眼睛在M点观察，将能看到A、B之间的所有象点，但它们的颜色呈光谱色分布，在图示情况下，上部是紫色，下部是红色。眼睛观察到的象的范围由眼睛离全息图的距离决定，离得越远，观察到的范围越大。

9-2. 用白光点光源再现彩虹全息时，人眼将能观察到由光谱色组成的单色象。如果用白光线光源作为再现光源，线光源的扩展方向与狭缝方向垂直，这时观察到的是消色差的黑白象，试解释其原因。

答：线光源可以看成由无数个点光源组成，每一个点光源都按光谱色排列形成一组彩色狭缝，线光源上不同点形成的狭缝的位置各不相同，它们在与狭缝垂直的方向上平移。这无数个狭缝相互迭合在一起，使人眼在该处观察时，无数个不同波长的再现象重合在一起，这也就形成了消色差的黑白象。

9-3. 在一步法彩虹全息记录光路中，物的大小为10cm，人双眼的瞳孔间距为6.5cm，透镜的孔径为20cm，对物体1：1成像，如狭缝距全息图30cm，要求人双眼能同时看见完整的象，试计算成像透镜的焦比。

解：

设透镜L对物1:1成象，由上图可见，只有人眼在POQ三角区域内才能观察到整个物体的象，显然狭缝应在使MN大于等于双眼间距处。设透镜孔径为D，焦距为f，物体AB大小为a，人眼瞳孔间距为d，狭缝距象的距离为L。由图中的几何关系可以得到

d a aL

MN

AB L AB O O +=+?=

' O

O a

f a D '=-2 所以

a

D D L d a f D -+=2 将D=20cm ，a=10cm ，d=6.5cm ，L=30cm 代入上式，得到D/f=2.2，这是一个很不切合实际的数据。实际上用一步彩虹全息是不可能获得大观察范围。

9-4. 在用横向面积分割法制作彩色彩虹全息母板的方法中，已知下列条件：三色光的中心波长分别为645.2nm 、526.3nm 和444.4nm ；第一步记录时被记录物中心位于建在母全息图H M 的坐标系的z 轴，物体距H M 30cm ；第二步记录时参考光为平行光，入射角30?；白光再现时入射光是入射角为45?的平行光，三色再现狭缝位于z 轴；设两次记录的波长均为442nm 。试据以上条件，确定H M 上H 1、H 2、和H 3的位置。如果每个狭缝的光谱带宽为10nm ，试确定狭缝宽度。 解：

(a) (b)

图(a)和图(b)是本习题的记录和再现光路。在图(a)中设三个狭缝图象中心的入射角分别是θR 、θG 和θB ，参考光入射角是θr ，图(b)是共轭再现光路，再现光入射角是θc ，图象中心三狭缝的不同色光的衍射光方向相同，设衍射角为θi 。由光栅方程

()r o c i θ-θλλ

±

θ=θsin sin sin sin 0

， 得到共轭再现时的θo ，

()c i r o θ-θλ

λ-

θ=θsin sin sin sin 0

， 式中λ0和λ分别为记录波长和再现波长，θo 的下标o 分别对应于R 、G 和B 。按题中条件及图(a)的坐标系，

S R

S G

S B

?=θ?=θ?-=θ180,135,30i c r

以λ0=442.0nm 和λ=444.4nm 、526.3nm 、645.2代入上式，得到

?-=θ-=θ73.11,203.0sin B B ?-=θ-=θ38.5,094.0sin G G

?=θ=θ89.0,016.0sin R R

以l =-30cm 计算，得到

cm l x B B 23.6tan =θ= cm l x G G 82.2tan =θ=

cm l x R R 47.0tan -=θ=

由于狭缝有一定宽度而引起的带宽可对光栅方程微分得到，即

λ?θθ-θλλ=

θ?o c

i o cos sin sin 2

0。

由此可得到狭缝宽度

cm w B 97.0= cm w G 34.0=

cm w R 22.0=

9-5. 采用图示的双狭缝彩虹全息记录光路，可以在同一张底片上记录两个物体的彩虹全息图，记录的方法步骤是：第一步，用挡板挡住S 2，用S 1对物体O 1曝光；第二步，用挡板挡住S 1，用S 2对物体O 2曝光。然后将显影的全息图用白光照明，人眼在不同位置即可看到不同物体的再现象。 （1）画出再现狭缝实象的示意图，说明再现象的特点。 （2）解释多狭缝彩虹全息图作多目标存储和假彩色编码的原理。

图 习题9-5 答：（1）以R 的共轭光再现全息图，在原狭缝处得到实狭缝，此时在实狭缝处观察，观察

到的是赝象，即凹凸与原记录物体相反的象。

（2）记录多目标时，在透镜处放置多个狭缝，分别对应于不同的物体进行全息记录，再现时用单色光，眼睛位于不同的狭缝处，将能见到不同的物体。进行假彩色编码时，将待编码的物体分别置于透镜的物面，在透镜处分别遮挡不同的狭缝，记录在同一张全息图上，再现时用白光再现，不同编码图象按不同颜色重叠在一起，结果形成假彩色图象。

9-6. 有人提出用蓝色单色激光以反射全息的方式也可以记录二维彩色照片，方法是：将三张分色片分别置于记录介质一侧，并用散射屏照明，在记录介质另一侧分别用三个不同角度的参考光入射，在同一记录介质上记录三张分色片，当白光以某一角度再现全息图时，三分色片将分别被三原色再现，呈现彩色图象。试说明其原理，并作相应的三参考光入射角设计计算。（提示：用三棱镜与记录介质用匹配液匹配的方法可以增加参考光入射角；用布喇格条件和光栅方程进行设计，参考第5章和第7章体全息部分）。

答：反射体全息有很好的波长选择性，利用布喇格条件，可以按所要求的衍射方向和衍射波长推算出两束相干记录光束的入射角，这也就是本习题提出的记录彩色二维图片的原理。体全息中记录光与再现光之间的布喇格条件关系是

0cos cos cos cos 2211=λθ-λθ+λθ-λθi

c r o 0sin sin sin sin 2

211=λθ-λθ+λθ-λθi

c r o 式中角度量θ的下标o 、r 、c 、i 分别表示记录时的物光、参考光和再现时的再现光、衍射

光，它们均是介质内的量，λ1和λ2分别表示记录光和满足布喇格条件的再现光波长。按题意，θc 、θi 和λ2均由使用条件决定，利用上式求出θo 和θr ，从上式可以求出

????

??θ-θλλ+θ+θ=

θ-2sin sin 2211c

i c i o ???

? ??θ-θλλ-θ+θ=

θ-2sin sin 22

11c i c i r 。 在本习题中，θc 取207.7°（在记录介质中角度，空气中为225°），θI 取0°，λ2则取三原色波长，利用上式可求出在记录介质内的物光和参考光入射角。如取三原色波长为450nm 、530nm 和630nm ，得到参考光和物光入射角如下表

显然，如果在参考光入射的一边不采取其他措施，530nm 和630nm 的介质内入射角是无法实现的。采用45°直角三棱镜匹配的光路如下图所示。

三棱镜

散射照明

把上表的数据折算成空气中的入射角如下表所示（表中r θ'为在直角三棱镜斜边的入射角），如果物光由散射角非常大的散射屏照明，表中的物光散射角没有什么意义，因照明光中总有一部分物光满足表中的入射条件。实际上大散射角的照明会降低衍射效率，采用有一定散射角的散射屏更适合物光照明，散射的中心光线因满足下表中物光入射角。作全息记录时，在全息干板前分别换三原色掩膜，对应于它们的光路参数作三次曝光。在对全息干板进

第十章

习题解答

10.1

试比较被动三维传感和主动三维传感系统的原理、系统结构、适用范围和优缺点。（思

考题）

10.2 在三角测量法中通常采用的三种坐标系统如图10.6所示。试推导三种坐标关系中，物体的距离或高度z 与测量变量△x 之间的关系式，即三角测量法中的测量方程。

解答：

（1）投影光轴与成像光轴平行。所构成的物三角形和像三角形是相似的直角三角形, 测量方程是。

x

bh

z ?=

式中：b 是物三角形的基线，h 是像三角形的高度，△x 是像三角形的基线，z 是物体的距离或高度。

（2）投影光轴和成像光轴相交。θ是投影光轴与成像光轴的夹角，O 是两光轴交点并作为物体高度计量的原点，I 和I ′是成像系统的入瞳和出瞳，线阵探测器与成像光轴垂直，与I ′点的距离为f;当物距l 较大时，f 近似地等于成像透镜的焦距。由图中所示的几何关系可以导出。

x

f x

l z ?θθ??+?=

cos sin

(3) 投影光轴和成像光轴相交,探测器基线与成像光轴成一倾角β，当满足Scheimpflug 条件，即满足关系 βθtg k tg ?= 时，待测距离z 和可测变量△x 之间的关系式为

x

f x

f OI z ?βθθ?β?+?-=

sin cos sin sin )(

10.3 为什么说激光散斑对三角法测量精度具有重要影响，试解释公式(10.16)和(10.17)的物理含义，并说明如何提高激光三角法测量精度。

解答：由于物体表面的微观起伏的不确定性，在探测器上的像点的散斑分布也是不确定的，这种不确定性引起的光点中心的定位误差，因此激光散斑对三角法测量精度具有重要影响。公式(10.16)和(10.17)表明，这种不确定性与透镜的数值孔径、激光的波长和散斑的对比度有关。通过增大透镜的数值孔径，减小波长C ，降低散斑的对比度可以提高激光三角法测量精度。

10.4 在位相测量剖面术中，由于变形光栅像与传统的干涉条纹图相类似，因此变形光栅像有时又被称为“干涉图”。 在干涉计量中，光波长被作为度量微观起伏的尺度，而在位相测量剖面术中与投影条纹间距有关的“等效波长”被作为度量三维宏观面形的尺度。试比较这两种方法在物理概念上和条纹处理方法上的异同性。（思考题）

10.5 由于实际得到的位相数据是一个二维的采样点阵列，所以位相展开应针对二维进行。模仿一维位相函数的位相展开过程，推导二维截断位相函数φw(i,j) 展开过程的数学表达式.

解答：可以首先沿二维数据阵列中某一列进行位相展开，然后以该列展开后的位相为基准，沿每一行进行位相展开，得到连续分布的二维位相函数。例如首先沿二维数据阵列中第一列展开，然后以该列展开后的位相为基准，沿每一行展开。

()()[]{}()()()

()()()[]0

5021120

50211121101101

=++--=++==++--=+=--,,.,,,,,./,,int ),(),(i j w w j u j w u i w w i i w u n n πj i φj i φINT n i φn πj i φj i φn n πi φi φn n πi φi φ 10.6采用远心光路的PMP 系统如图10.22所示。设图中=300 ，’=00，在参考平面上看到的投影正弦光栅是等周期分布的，其周斯0P =5mm ，求该系统的等效波长。如果系统对条纹位相的测量精度为2π/100, 求系统的测量精度。试讨论提高系统的测量精度的方法。

解答：等效波长 θλtg P e /0=＝8.7mm,系统的测量精度为0.087mm. 减小等效波长e λ可以提高系统的测量精度。 10.7

位相测量轮廓术和傅立叶变换轮廓术是基于三角测量原理，试比较调制度测量轮廓术

与上面两种方法在原理上的区别，并比较三种方法的测量精度。（思考题） 10.8

飞行时间法(TOF)是基于直接测量激光或其他光源脉冲的飞行时间来确定物

体面形的方法。图10.43是采用位相检测技术的TOF 系统框图，对时间的测量可以通过对调制光波的位相测量来实现。光束经9MHz 的调制器调制后投射到物接收的信号经9MHz 的滤波器后与基准信号比较，然后从位相变化计算出距离的变化。假定位相的测量精度为2π/100，求系统的测量精度。如果保持位相的测量精度不变，光束的调制频率提高到90MHz, 系统的测量精度是多少。

解答：系统的测量精度为0.33m 。如果光束的调制频率提高到90MHz, 系统的测量精度提高到0.03m 。

第十一章习题

11.1 试证明任意两个相互统计独立的随机变量之间相关系数为零。 答：参阅《统计光学（基本概念个习题）》P21。

证明 设V U 为两相互统计独立的随机变量，由于其相互独立，V U 的联合概率密度函数可为边缘概率密度函数的乘积：

)()(),(v p u p v u p V U V U ?=

因而V U 和的相关函数为

根据定义，V U 和的协方差则为

0=-Γ=-

-v u C V U V U

故相关系数)/(V U UV C σσρρ=为零。

11.2 若N 个微小随机相幅矢量

k j k e a N

φ1之和中每一个幅值

N

a k 及相位k φ都相互独立；

所有的k a 具有相同的概率分布，数学期望与二阶矩分别为a 和2a ；随机位相k φ均布于(]ππ,-区间内。试计算：（1）当N 趋近于无穷大时这N 个随机相幅矢量之和的实部和虚部的均值与方差及相关系数；（2）实部和虚部的联合概率密度函数并绘出复平面上等概率密度曲线图。如果随机位相k φ均布于???

?

?22-ππ,区间内计算结果及函数图象有何变化？

答：参阅《统计光学》P42-45及《统计光学（基本概念个习题）》P30-34。

解：设和矢量为a （用复数表示），即

1

k

N

j j k k ae

a e φθ

===

a

其实部与虚部分别为

{

}1

Re cos N

j k

k k r ae

a θ

φ===

{

}1

Im sin N

j k

k k i ae

a

θ

φ===

根据N 个微元矢量的相互独立性可得

-

-∞

∞

-==Γ?v

u dudv v u uvp V U V U ),(

1cos N

k k

k r a φ==

1

sin N

k k

k i a φ==

对于均布与,22ππ??

-

???

之中的Φk 有 /2

/2

1

2

cos cos k k k d ππφφφπ

π

-==

?

/2

/2

1

sin sin 0k k k d ππφφφπ

-==?

所以

2

0r i π

π

=

?

=

=

为了要计算2r

σ及2

i σ，首先计算二阶矩2

r 及2

i ，

2

11

1cos cos N N

k n k n k n r a a N φφ===∑∑

2

11

1sin sin N N

k n k n k n i a a N φφ===∑∑

式中

2

2/2/22

cos cos ,

cos cos cos ,4,11(1cos2),24

,1,2

k n k n k k k d n k n k ππφφφφφπφφππ-??=?

???

??=?

?+???≠??=?

?=???当当

2

2/2/2sin sin ,

sin sin sin ,4,11(1cos2),20,1

,2

k n k n k k k d n k n k ππφφφφφπφφπ-??=?

???

??=?

?-??≠??=?=???当当 因而

2

22

2224(1),22

a a r N a i π=+-=

故有

2

222

22222

4,22

r i a a a r r i i σσπ=-=-=-=

要计算相关函数，还需要计算实部与虚部之间相关函数，

N

11

1a cos cos N i k n k n k n r a N φφ===∑∑

其中

/2/2cos sin ,

cos sin cos sin ,0,1

sin2,20

k n k n k n k k n k d n k ππφφφφφφφφπ

-??=

?

??≠?

?

?=??=?当当 最后可得出

0i r i

r r i

ρσσ-=

=

这说明实部与虚部之间仍是不相关的。

因为N 是个很大的数，由中心极限定理知实部r 与虚部i 分别为高斯随机变量，即

2222()422R r p r a a ππ?????- ??????=

-?????? ?-?? ??????

?

2

2

()

2

2

I

i

p i

a

??

??

??

=-??

??

??

??

因为r与i不相关，其联合概率密度函数仍为高斯型，可写作

2

2

22

2

(,)

8

RI

p r i

r

i

a

a

a

π

??

??

?

??

??

-

??

??

??

=--

??

??

??

??

-

??

??

??

??

图1.12为r与i的联合等概率密度曲线简图，若图中各椭圆之长短轴分别为a n与b n，则有

2

22

8

::()

n n

a

a b a a

π

=-

图(,)

RI

p r i的等概率密度曲线简图

11.3若图11.3中光学成像系统的脉冲响应函数为()y

x

h,，光瞳函数为()η

ξ,

P，试证明全息再现的变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式（11.27b）可以转化为（11.13）式中复自相干度的表达形式。

证明：变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式(11.27b)为

[]

?

?

-

-

-

-

=

2

r

r

r

r

(r)

d

r

r

)

r

(r

d

h

d

h

h

2

*

)

(

μ

该式右边分子是脉冲响应函数的自相关函数，根据自相关定理，可以表示成脉冲响应函数的傅氏变换的模平方的傅氏反变换，即

[]

???

??

????+2=

---2ηξηΔξΔλπηξd d y x z j exp P d h h )(),(*

0200r (r)d r r )r (r

式中(r)d 2是和y x ΔΔ的两个分量。当(r)d 2即和y x ΔΔ为零时，式 (11.27b) 右边分子变为分母的形式，因而有 []

???

2

=

--ηξηξd d P d h h ),(*

000r r r )r (r

将上述两式代回相关因子的表达式中，（11.27b ）即可转化为（11.13）式中复自相干度的表达形式。

()????2

2??????+2=η

ξηξηξηΔξΔλπηξΔΔμd d P d d y x z j exp P y x ),()(),(, （11.13）

11.4 在如图11.2的全息干涉记录光路中置于物面处的被测物在激振器驱动下垂直于物面

进行稳态振动，照明参考光与物面法线方向夹角可近似为不变的30°。用时间平均法记录下的全息图处理后放到图11.3的全息干涉再现光路中，再现参考光与物面之间几何关系与记录光路中完全相同。如果在再现时观察到的两条节线之间正好有五条暗纹，试问稳态振型的振幅最大值是多少？假设记录和再现的光波长为633纳米。 答：因为在时间平均法记录下的全息图重现像的振动图样中，不运动的区域即节线处显示最亮的条纹，随着条纹级次的增加，亮条纹的强度逐渐下降。如果在再现时观察到的两条节线之间正好有五条暗纹，稳态振型的振幅最大值处是第三条暗纹。因此

65378=4.max B λ

π

故振幅最大值为

μπ

λ

B 4360=4?65378=..max

11.5 分离再现外差全息干涉方法中，如果被测物的空间频谱分布在0-f 与0f 之间，而且

两束参考光均为平面波，试问参考角α，β（参阅图11.7）需满足什么条件才能保证外差全息干涉图与噪声项完全分离？

答：分离再现外差全息干涉方法中，复原到全息记录面上的处理好的全息图振幅透过率可表示为