知识讲解_基本不等式_基础

基本不等式

【学习目标】

1. 理解基本不等式的内容及其证明.

2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.

【要点梳理】

要点一、基本不等式

1.对公式222a b ab +≥

及2

a b +≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；

（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.

2.由公式222a b ab +≥

和

2a b +≥ ①2b a a b

+≥（,a b 同号）； ②2b a a b

+≤-（,a b 异号）；

③2

0,0)112a b a b a b +≤≤>>+或22

2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 22

2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤

，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.

a +

b 2

的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形

.

设直角三角形的两条直角边长为a 、b

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22

a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.

得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）

特别的，如果0a >，0b >,a 、b ，可得：

如果0a >，0b >,则a b +≥a b =时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2

a b +≤

，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法

∵2222()0a b ab a b +-=-≥，

当a b ≠时，2()0a b ->；

当a b =时，2()0a b -=.

所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.

要点诠释：

特别的，如果0a >，0b >,a 、b ，可得：

如果0a >，0b >,则a b +≥a b =时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：

如果0a >，0b >2

a b +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）.

2

a b +≤的几何意义 如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .

易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2CD CA CB =?，即CD =这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2

，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.

要点诠释：

1.在数学中，我们称2

b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙

述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.如果把2

b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2

a b +≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

要点诠释：

1．两个不等式：22

2a b ab +≥与2

a b +≥a ，b 都是实数，后者

要求a ，b 都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)-+-≥?-?-是成立的，而(3)(2)2-+-≥的.

2．两个不等式：222a b ab +≥与

2a b +≥对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.

当a=b 取等号，其含义是2a b a b +=?

=

仅当a=b 取等号，其含义是

2a b a b +==.

综合上述两条，a=b 是2

a b +=. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.

4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③各项能取得相等的值.

5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：

①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案.

【典型例题】

类型一：对公式222a b ab +≥

及

2a b +≥ 例1.下列结论正确的是( )

A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2lg x x +

≥ B ．当x >0

2≥ C ．当x ≥2时，1x x

+的最小值为2 D ．当0

-无最大值 【思路点拨】

利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。

【答案】 B

【解析】 A 中，当x>0且x≠1时，lg x 的正负不确定， ∴1lg 2lg x x +≥或1lg 2lg x x

+≤-； C 中，当x≥2时，min 152

x x ?

?+= ???； D 中，当0

在(0,2]上递增，max 132x x ??-= ???.故选B. 【总结升华】

在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可. 举一反三：

【变式1】0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.

（1

）a b ++

（2）1

1()()a b a b ++的最小值为4；

（3）14

a a ++的最小值为2-. 【答案】（1）；（2）

（1）∵0a >，0b >

，∴a b +≥≥

（当且仅当2a b ==时取等号）. （2）∵0a >，0b >

，∴1

1()()4a b a b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.

（3）∵0a >，∴11444244a a a a +

=++-≥=-++， （当且仅当144

a a +=+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即124

a a +>-+ 【变式2】给出下面四个推导过程：

① ∵,a b R +∈，∴2a b b a +≥=；

② ∵,x y R +∈，∴lg lg x y +≥

③ ∵a R ∈，0a ≠，∴ 44a a +≥=；

④ ∵,x y R ∈，0xy <，∴[()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-. 其中正确的推导为（ ）

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

【答案】D

【解析】①∵,a b R +∈，∴

,b a R a b +∈，符合基本不等式的条件，故①推导正确. ②虽然,x y R +∈，但当(0,1)x ∈或(0,1)y ∈时，lg ,lg x y 是负数，∴②的推导是错误的.

③由,a R ∈不符合基本不等式的条件，∴44a a +≥=是错误的. ④由0,xy <得,y x x y 均为负数，但在推导过程中，将整体x y y x

+提出负号后，()()x y y x -+-均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.

类型二：利用基本不等式证明不等式

例2.已知3a >，求证:473

a a +≥- 【思路点拨】

对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.

【解析】44(3)333733a a a a +=+-+≥==-- （当且仅当

433a a =--即5a =,等号成立）.

【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.

举一反三：

【变式】已知x 、y 都是正数，求证：2y x x y

+≥. 【答案】∵x 、y 都是正数 ，∴0x y

>，0y x >，

∴2x y y x +≥=（当且仅当y x x y =即x y =时,等号成立） 故2y x x y

+≥. 例3. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥

【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。

【解析】∵a 、b 、c 都是正数

∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）

0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）

0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）

∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号）

即()()()8a b b c c a abc +++≥.

【总结升华】

1. 在运用ab b a ≥+2

时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.

3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.

举一反三：

【高清课堂：基本不等式392186 例题3】

【变式】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：

bc ca ab a b c a b c

++≥++. 【答案】证明： ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，

∴2bc ac c a b +≥=，

2ac ab a b c +≥=，

2bc ab b a c +≥=. ∴bc ca ab a b c a b c

++≥++. 类型三：利用基本不等式求最值 例4. 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为 ．

【思路点拨】要求最小值的式子中有两个未知数x 、y,先利用已知条件转化为一个未知数，然后利用

a b +≥求最小值。 【答案】22

【解析】∵xy ＝1，∴x y 1=

∴222222222222=?≥+

=+x x x x y x 当且仅当222x

x =，即42±=x 时取等号， 故答案为：22

【总结升华】

1. 形如()B f x Ax x

=+（0x >，0A >，0B >）的函数的最值可以用基本不等式求最值； 2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.

举一反三：

【变式1】若0x <,求9()4f x x x

=+的最大值. 【答案】因为0x <,所以0x ->, 由基本不等式得:

99

()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==, （当且仅当94x x -=-即32

x =-时, 取等号） 故当32x =-时,9()4f x x x =+取得最大值12-. 【变式2】已知0x ≠，当x 取什么值时，函数2281()f x x x =+

的值最小？最小值是多少？

【答案】∵0x ≠，∴20x >，∴2281()18f x x x =+≥

（当且仅当2

2

81x x =即3x =±时，取等号） 故当3x =±时，2281x x +的值最小为18. 例5. 已知x ＞0，y ＞0，且191x y

+=，求x+y 的最小值. 【思路点拨】

要求x y +的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.

【解析】

方法一：∵191x y +=，∴199()10y x x y x y x y x y ??+=+?+=++ ???

∵x ＞0，y ＞0，∴96y x x y +≥= （当且仅当9y x x y

=，即y=3x 时，取等号） 又191x y

+=，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16.

方法二：由191x y +=，得9

y x y =- ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9

99991(9)109999

y y x y y y y y y y y y -++=+=+=++=-++---- ∵y ＞9，∴y －9＞0，

∴9969y y -+≥=- （当且仅当999y y -=

-，即y=12时，取等号，此时x=4） ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16.

【总结升华】方法一是条件最值常用的变形方法，方法二利用了代数消元的方式变为函数的最值来求. 举一反三：

【变式1】 (2015 福建)若直线1(00)x y a b a b

+=>>，过点(1，1)，则a+b 的最小值等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 【答案】由已知得

111a b

+=， 则11()()2b a a b a b a b a b +=++=++，

因为a ＞0，b ＞0，所以2，+≥=b a a b

因为a ＞0，b ＞0，所以

2，+≥=b a a b 故a+b ≥4，当b a a b

=，即a=b=2时取等号． 【高清课堂：基本不等式392186 例题1】 【变式2】已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则

11x y +的最小值为________；

【答案】 3+【变式3】（2016 湖南校级模拟）设二次函数f （x ）=ax 2－4x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则19c a +的最小值为（ ）

A ．3

B ．92

C ．5

D ．7 【答案】由题意知，a ＞0，Δ=1－4ac =0，∴ac =4，c ＞0，

则1923c a +≥=，当且仅当19c a =时取等号， 则

19c a +的最小值是3。 故选A 。

类型四：利用基本不等式解应用题

例6. 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的

一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧

墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知

旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙

长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元).

（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

【思路点拨】

对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题。

【解析】（Ⅰ）设矩形的另一边长为a m ，

则45180(2)2180225360360y x x a x a =+-+?=+-

由已知xa=360,得a=x

360, 所以y=225x+2

360360(0)x x

-> (Ⅱ

)2

3600,22510800x x x

>∴+≥= 104403603602252≥-+=∴x x y .当且仅当225x=x

2

360时，等号成立. 即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

【总结升华】

用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

举一反三：

【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？

【答案】设购买x 张游泳卡，活动开支为y 元， 则488402403840.y x x

?=?+≥（当且仅当x=8时取“=”） 此时每人最少交80元.

【变式2】 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单

位：m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为28m . 问x 、y 分别

为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【解析】由题意可得1822

x x y x ?+?=，

∴2

884(04

x x y x x x -==-<<

.

于是，框架用料长度为2222

l x y x =++?

316(2x x =+≥=

当3

16(2x x +=

，即8x ==-.

此时， 2.343x ≈

， 2.828y =≈.

故当x 约为2.343 m ，y 约为2.828 m 时用料最省.