新课标人教版高中数学必修一 2.1基本初等函数--指数函数 教学设计
2.1 指数函数
[教学目标]
1．通过具体实例了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，理解扩张指数范围的必要性． 3．通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 4．理解指数函数的概念和意义．
5．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
6．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． [教学要求]
指数函数是本章的重点内容之一，也是高中新引进的第一个基本初等函数．学习指数函数时，建议首先通过实际问题引入分数指数幂，为此先将平方根与立方根的概念扩充到n 次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍分数指数幂及其运算性质，最后结合具体实例，通过有理数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数．在实数指数幂的基础上，学习指数函数及其图象和性质．
教学中应通过具体的实例从正整数指数幂开始到现实中出现的分数指数幂，引出指数的取值范围需要进行必要的扩充．
根式是教学的一个难点，教材第一部分安排根式这部分内容，为讲分数指数幂做准备，所以只需要讲根式的概念、方根的性质．为了分散难点，在教学中可以适当放慢进度，多举几个具体的例子，之后再给出n 次方根的一般定义．为突破方根的性质的难点，要抓住立方根与平方根的性质，通过探究得到当n 分奇偶数时方根的性质．
分数指数幂是教学上的又一个难点，也是指数概念的又一次推广．教学时应注意循序渐进．教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，明确它是根式的一种新的写法．
教科书通过比较本节开始时的问题引入指数函数，教学中要让学生体会指数函数的概念来自实践，并体会其中蕴含的函数关系，可引导学生在探究中获得函数的共同特征，这样就可以很自然地给指数函数下定义了．
教学中注意对底数规定的合理性解释：0>a 且1≠a ．
在理解指数函数定义的基础上，建议通过列表描点绘图或者利用信息技术绘图，教学中
要注意发挥指数函数图象的作用，让学生亲自作出图象．使得图象成为研究函数性质的直观工具，建议尽可能地引导学生通过观察图象自己归纳概括指数函数的一些性质．
本节容量较大，课时较多，建议教学中根据学生的实际情况合理划分每节课的教学内容，以便于学生的系统学习．
[教学重点]
指数函数的概念和图象 [教学难点] 根式和分数指数幂 [教学时数] 6课时
[教学过程]
第一课时
2.1.1指数与指数幂的运算——根式与运算 新课导入
通过课本第48页的两个问题引入本节的主题内容．
问题1 从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%．那么，在2001——2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？
引导学生逐年计算，并得出规律：
设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍，那么)20*,(073.1≤∈=x N x y x
．
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．
根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2
1
(t
P =．
当生物死亡了5730，2?5730，3?5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为
21，2
)2
1(，3)21(，…．是正整数指数幂．它们的值分别为21，41，8
1
，…． 当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为57306000
)2
1
(，
573010000
)21(，5730
100000
)2
1(，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．
新课进展 一、根式
1．回顾初中学习的内容：平方根、立方根
4的平方根为2±，3的平方根为3±，16的平方根为4±，等等．一般地，如果a x =2
，
那么x 叫做a 的平方根．
对于立方根则由师生一起举出若干例子． 2．根式
（1）类比平方根、立方根，我们看下面的一些例子：
3225=，那么2是32的5次方根，记作2325=；24335=，那么3是243的5次
方根，记作32435=；1624=，那么2是16的4次方根，记作2164=；8134
=，那么3是81的4次方根，记作3814=；32)2(5
-=-，那么-2是32的5次方根，记作
2325
-=-；16)2(4=-，那么-2也是16的4次方根，记作-2164=．
（2）根式
一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1>n ，且*N n ∈． 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的
n 次方根用符号n a 表示．
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成n a ±（0>a ）．例如负的n 次方根可以表示为2164±=±．
负数没有偶次方根．
0的任何次方根都是0，记作00=n ．
式子n a 叫做根式（radical ），其中n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．
（3）根式的性质
通过讨论探究得到：
a a n n =)( (1,*)n n >∈N ．
||a n a n ?=?
?
为奇数
为偶数． 例如，27)27(33=， 32)32(5
5-=-，2)2(33-=-， 4
43=3．
课堂例题
例1 （课本第50页例1）
本例是方根与根式性质的具体运用． 课堂练习
求值：（1）2)(b a -；（2）44)4(-；（3）55
)2(5-?． （4）本课小结
根式：如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根．
根式性质：a a n
n =)( (1,*)n n >∈N ．
||a n a n ?=?
?
为奇数
为偶数． （5）布置作业
课本第59页习题2.1A 组第1（1）——（4）题．
第二课时
2.1.1指数与指数幂的运算——分数指数幂 复习导入
通过提问复习上节课主要学习内容． 1．请讲一讲你所理解的根式．
2．根据n 次方根的定义和数的运算，能否把根式表示为分数指数的形式？ 通过讨论，探索新知． 新课进展
二、分数指数幂 1．实例引入，形成冲突 看下面的例子： 当0>a 时， （1）2
55
25
10
)(a a a
==，又5
10
2=，所以510
510a a =；
（2）3
4
4
3412
)(a a a
==，又4
12
3=，所以412
412a a =．
从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．
那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
2．复习旧知，导出新知
为此，我们先回顾初中所学的指数概念．
*)(N n a a a a a n ∈??= ，当0≠a 时，10=a ，0的0次幂没有意义，
*),0(1N n a a a n
n ∈≠=
-．
讨论：0
)(b a -的结果是什么？ 提示：注意分类讨论．
问：我们学习过整数指数幂哪些运算性质： 答：（1）),,0(Z n m a a a a n
m n
m
∈>=?+；
（2）),,0()(Z n m a a
a mn
n
m ∈>=；
（3）),0,0()(Z n b a b
a b a n
n
n ∈>>?=?
根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m n
m
a a
=（0>a ，
1*,,>∈n N n m ）．
0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义.
由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0 例如：3273-=-，而3)27(62=-． 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用． （1）),,0(Q n m a a a a n m n m ∈>=?+； （2）),,0()(Q n m a a a mn n m ∈>=； （3）),0,0()(Q n b a b a b a n n n ∈>>?=? 课堂例题 例1 （课本第51页例2） 求值：4 3 52 132 )81 16(,)21(,25,8--- ． 本例的目的是巩固分数指数幂的概念． 例2 求下列各式的值： （1）12 25； （2）3 227- ； （3）3 61-?? ? ??； （4）4 31000081-? ? ? ??． 解 (１) 55)5(252 122 12 2 1===?； （2）9 133 ) 3(27 2) 3 2(33 23 3 2= ===--?- - ； （3）2166)6(613313 ===? ? ? ??---； （4）27100031010310310000813 3 4344 3=?? ? ??=?? ? ??=?? ? ??=? ? ? ??-?? ? ??-?-． 课堂练习 课本第51页例3、第52页例4、例5． 上述三例是利用分数指数幂的运算性质进行计算和化简，学生练习时要严格按照书本的步骤进行对照，因为分数指数幂的定义和运算都刚刚学习，老师讲解时可以仿照单项式乘除法进行． 3．本课小结 （1）分数指数幂的定义，注意底数0>a 的限制条件． （2）分数指数幂的运算性质，是整数指数幂的运算性质的推广． 4．布置作业 课本第54页练习1、2（1）——（6）题； 课本第59页习题2.1A 组第2、3题． 第三课时 2.1.1指数与指数幂的运算——无理指数幂 复习导入 通过解答一组习题复习上节课主要学习内容． 课堂练习 1．课本第54页练习第3题． 2．课本第59页习题2.1A 组第4（1）——（4）题． 新课进展 三、无理指数幂 1．动手实验，探索新知 问：我们如何理解2 5呢？ 首先明确：2 5表示一个确定的实数．然后通过计算器的列表功能或者投影课本第53页的表格，计算2 5 的近似值，发现下面的规律： 当2的不足近似值从小于2的方向逼近2时，2 5的近似值从小于2 5 的方向逼近 25； 当2的过剩近似值从大于2的方向逼近2时，2 5的近似值从大于2 5 的方向逼近 25． 所以2 5 就是有理指数幂按上述变化规律变化的结果． 2．形成概念，扩充认知 一般地，无理指数幂αα ,0(>a a 是无理数)是一个确定的数． 有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂． 即：（1）),,0(R n m a a a a n m n m ∈>=?+； （2）),,0()(R n m a a a mn n m ∈>=； （3）),0,0()(R n b a b a b a n n n ∈>>?=?． 3．变式操作，巩固概念 2 2 表示一个确定的实数．按照前面的“用有理数逼近无理数”的思想，请你利用计算 器（或者计算机）进行实际操作，感受“逼近”过程． 操作过程： 取2的不足近似值或过剩近似值： 1．4，1．41，1．414，1．4142，1．41421……（2的不足近似值） 1．5，1．42，1．415，1．4143，1．41422……（2的过剩近似值） 可以得到4 .12 ，41 .12 ，414 .12 ，4142 .12 ，41421 .12 ……和5 .12 ，42 .12 ，415 .12 ，4143 .12 ，41422.12……， 当2的不足近似值从小于2的方向逼近2时，2 2的近似值从小于2 2 的 方向逼近2 2 ，当2的过剩近似值从大于2的方向逼近2时，2 2 的近似值从大于2 2 的方向逼近2 2 ． 4．本课小结 本节课我们通过“用有理数逼近无理数”的思想引进无理数指数幂．像分数指数幂一样，我们研究的无理数指数幂α a （其中α是无理数）的底数a 也是正数． 我们把指数幂的运算性质推广到幂指数为实数的情形．这样前面提到的5730)2 1 (t P =对 任意的0≥t 都是有意义的． 5．布置作业 课本第59页习题2.1A 组第4（5）——（8）题． 第四课时 2.1.2指数函数及其性质（1） 复习导入 通过提问导入本节课主要学习内容． 问：函数5730)2 1(t P =（0≥t ）的解析式与函数)20*,(073.1≤∈=x N x y x 的解析式 有什么共同特征？ 通过师生讨论，归纳概括得出： 如果用字母a 代替数57301 )2 1(和1.073，那么以上两个函数的解析式都可以表示为x a y =的形式． 问：底数a 的取值范围怎么规定合适？ 提示：当1=a 时，11=x ，所以规定1≠a ；当0 )3(-中，指数x 取 2 1 时，x )3(-就没有意义．0=a 时，当0>x 时，x a 恒为0；当0≤x 时，x a 无意义． 结论：规定0>a ，且1≠a ． 一、指数函数 1．指数函数的定义 一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域是R ． 课堂例题 例1 当动植物体死亡以后，体内14 C 的浓度就要因为它的衰变发生减少， 大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．这样,人们就可以根据生物体中含有的14 C 的多少来测定其生存的年代．考古学家得到一块鱼化石, 根据鱼化石中的14C 的残留量，考古学家推断这群鱼是6300多年前死亡的，求这块鱼化石中14C 的残留量约占原始含量的多少？ 解 设鱼化石中14 C 的原始含量为1， 1年后残留量为x ，由于死亡机体中原有的14 C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡的年数t 与其体内每克组织的14 C 含量y 有如下关系： 因此，生物死亡t 年后体内14 C 的含量t y x = 由于大约每经过5730年，死亡生物体内的14 C 含量衰减为原来的一半，所以 57301 2 x =， 于是 15730 12x ??== ??? ， 这样生物死亡t 年后体内14 C 含量5730 12t y ??= ??? ． 当6300x =时，利用计算器， 得到63005730 146.67%2y ??=≈ ??? ． 即这块鱼化石中14 C 的残留量约占原始含量的46.67%． 下面我们来研究指数函数x y a =(0,1)a a >≠且图象与性质． 2．指数函数x y a =(0,1)a a >≠且的图象 在同一坐标系中画出下列函数的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机） ． （1）2x y = （2）12x y ??= ??? （3）3x y = （4）13x y ?? = ??? （5）5x y = 操作过程：（1）先画2x y =的图象，再画12x y ??= ??? 的图象，再单独观察两个函数的图 象特征，再比较两个图象的关系． （2）进行适当讨论之后，再画3x y =和13x y ?? = ??? 的图象，并与前面观察所得结论进行 比较． （3）画5x y =的图象． （4）通过观察以上函数的图象的特征，归纳出指数函数的性质． 3．指数函数的性质 一般地，指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象和性质如下表所示． 例2 （课本第56页例6）已知指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象经过点（3，π），求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值． 问：请你说出解决本例的步骤和过程．明确底数a 是确定指数函数的要素． 4．本课小结 本节课主要学习了指数函数的图象和性质．投影出一般的指数函数的特征图象，并再次显示指数函数的性质． 5．布置作业 课本第59页习题2.1A 组第5、6题． 第五课时 2.1.2指数函数及其性质（2） 复习导入 通过提问复习上节课主要学习内容． 问：我们是怎样研究指数函数的？ 通过一般的指数函数的特征图象，总结其单调性和特殊点． 新课进展 二、指数函数的应用 课堂例题 例1 （课本第57页例7） 引导学生利用函数单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系． 例2 （课本第57页例8） 结合本例给出第58页的“探究”，目的是让学生体会指数增长，初步感受“指数爆炸”的含义，另外这里可以适当插入思想教育． 课堂练习 1．比较下列各题中两个数的大小： （1） 3.54 1.9 1.9， ； （2）0.2 0.10.6 0.6--，； （3）0.3 3.1 1.80.7 ，． 解 （１）考察指数函数 1.9x y =，由于底数1.91>，所以指数函数 1.9x y =在 ()-∞∞，+上是增函数． ∵ 3.54<， ∴ 3.54 1.9 1.9<． （2）考察指数函数0.6x y =，由于底数00.61 <<，所以指数函数0.6x y =在()-∞∞，+上是减函数． ∵0.225x <0.20.1-<-， ∴0.2 0.10.6 0.6-->． （3）由指数函数的性质知 0.301.8 1.81>=， 3.100.70.71<=， 即0.3 3.1 1.80.71<>1， ，∴0.3 3.11.80.7>． 2．（1）已知3355m n ???? > ? ????? ，试比较m n 与的大小； （2）已知0.564x >，求实数x 的取值范围． 解 （１）考察指数函数35x y ??= ???，由于底数3015<<，所以指数函数35x y ?? = ???在 ()-∞∞，+上是减函数． ∵3355m n ???? > ? ????? ， ∴m n <． （2）考察指数函数12x y ??= ???，由于底数1012<<，所以指数函数12x y ?? = ???在 ()-∞∞，+上是减函数． ∵10.52=，6 616422-??== ??? ，0.564x >， ∴6 1122x -???? > ? ????? ， ∴6x <-，即x 的取值范围是(,6)-∞-． 布置作业 课本第59页习题2.1A 组第7、8、9题． 第六课时 2.1.2指数函数及其性质（3） 复习导入 通过提问复习前面5节课主要学习内容． 问1：我们按照怎样的顺序扩充指数及其运算？ 答：从具体的实际问题引出指数的取值范围应进行必要的扩充，先把整数指数幂扩充到分数指数幂，再进一步扩充到无理指数幂． 在扩充过程中整数指数幂的运算性质仍然保留，但分数指数幂n m n m a a =的意义以及 指数的运算性质中的限制条件“0>a ”是必不可少的． 问2：对于指数函数x a y =，你认为需要注意哪些方面？ 答：（1）底数a 的取值有范围限制：0>a 且1≠a ； （2）有些函数貌似指数函数，实际上却不是．例如k a y x +=（0>a 且1≠a ，0≠k ） ，x ka y =（0>a 且1≠a ，1≠k ）． 有些函数看起来不像是指数函数，实际上却是．例如x a y -=（0>a 且1≠a ）． 形如x ka y =（0>a 且1≠a ，0≠k ）的函数是一种指数型函数，上节课我们遇到的 x p N y )1(+=（N x ∈）模型，就是此类型． （3）指数函数x a y =从大的来说按照底数分为两类：10<a ．不要混淆这两类函数的性质． （4）函数x a y =的图象与x a y -=（0>a 且1≠a ）的图象关于y 轴对称，这是因为 点),(y x 与点),(y x -关于y 轴对称．根据这种对称性就可以通过函数x a y =的图象得到 x a y -=的图象． （5）利用指数函数的概念和性质比较大小，解决的方法主要是：抓底看增减进行比较．对于一般的字母底数要运用分类讨论的思想解决问题． 教学实施过程中师生一道完成归纳和总结． 新课进展 课堂例题 例1 解决下面问题： 1． 已知指数函数()()x a x f 1-=是R 上的单调减函数，求a 的取值范围. C C 2． 求x 的值: (1)2713=x ; (2)221=?? ? ??x . 3． 求x 的取值范围：(1)131>?? ? ??x ; (2)() 12 1 3 22< x ; (3)x x 2934?>?. [设计说明]:通过三个简单练习来巩固“指数函数的性质”，尤其是单调性；同时为本节课利用指数函数单调性解决实际问题埋下伏笔. 例2 在抗击“SARS ”中，某医药研究所开发出防治“SARS ”的M 、N 两种同类型新药.据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用两种药物后每毫升血液中的含药量y (微克)与服药后的时间t (小时)之间分别近似满足右图所示的曲线，其中OA 是线段,曲线ABC 是型如t a k y ?=()是常数且a k a t ,0,1>≥的函数图像. (1) 分别写出服用两种药后y 关于t 的函数关系式; (2) 据测定,每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效， 则两种药物中哪种药的药效持续时间较长？ (3) 假如两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，则何时两位病 人每毫升血液中含药量相等?何时开始,服用M 药的病人每毫升血液中含药量较高？ 解：（1）M 药?????>??? ???≤≤=1,21810,4t t t y t ，N 药?? ???>??? ???≤≤=1 ,31271 0,9t t t y t . [设计说明]:本例的设计意图：根据图像信息确定数学模型中的参数，这个环节由学生板演. （2）借助函数图像，对于M 药 221≤≤t ，持续时间为5.1小时；对于N 药37.29 2 ≤≤t ，持续时间约为15.2小时，故N 药的持续时间较长. [设计说明]:此处是利用指数函数的单调性解决实际问题.对于N 药,不需要知道第2次含药量为2毫克的时刻值,只需要利用指数函数的单调性,明确这个时刻应在2——3之间即可.由此即可判断出N 药的持续时间在78.1922=- (小时)到78.29 2 3=-(小时)之间.在判断出N 药持续时间长这个结论后，还可以顺势指出N 药比较好，因为见效快、药效持续时间长. （3）令33127218=??? ? ???=??? ???t t t ,即3=t 时两位病人的血液中含药量相等. 显然,当10≤≤t 时,服用M 药的含药量较低;当1>t 时,令33127218>??? ? ???>??? ???t t t ,即3小 时后服用M 药的含药量高. [设计说明]:这里重点研究两个不同底数的指数函数图象的关系.学生指出:当1>t 时 t y ??? ??=218图象在t y ?? ? ??=3127图象上方,此时应启发学生:如何能保证两个函数图象在1 >t 没有交点?接着与开始时的练习题3呼应. [设计说明]:在此处对问题稍作发散引申,主要是深化学生对数形结合思想的认识,从一定程度上起到了培养学生思维严密性的作用. 思考：1.假如某病人早上6点第一次服用M 药,为了保持每毫升血液中不少于2微克的含药量，第二次服药时间应该在当天几点钟? 分析：()224218≥-+??? ??=t y t 对任意2≥t 恒成立,即t t 214521-≥?? ? ??对任意2≥t 恒成立.研 究两个函数t y ?? ? ??=21与t y 2145-=的图象交点可以得到一个直观理解.但是利用图象并不一 定准确，这个问题留作课后思考. [设计说明]:这个思考题有较大难度,以高一学生的认知水平是很难解决的,但这种问题可以激发学有余力的学生学习数学的好奇心；在提倡研究性学习的今天，该问题也不失为一个值得思索的研究题材,而在课堂教学中挖掘研究课题不正是我们在新课程标准下开展研究性学习的良好途径么？ 2．外来物种水葫芦在1901年作为观赏植物引入中国，但是到了100年后的今天，水葫芦已经到了一发而不可收拾的地步了．水葫芦每5天就繁殖1倍，试建立水葫芦的数量关于时间变量的函数关系式． 本节课我们通过对一类药物残留量问题的探究,学习了如何根据实际问题建立指数函数模型、如何利用指数函数的单调性解决实际问题，同时也对数形结合的思想方法有了更深的认识.当然，指数函数的应用中还有很多问题值得我们继续探究. 布置作业 课本第82页复习参考题A 组第1、2、7、9题． 指数函数 典例分析 题型一 指数函数的定义与表示 【例1】 求下列函数的定义域 (1)32 x y -= (2)21 3 x y += (3)512x y ??= ??? (4)()10.7x y = 【例2】 求下列函数的定义域、值域 ⑴11 2 x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2 120.5x x y +-= 【例3】 求下列函数的定义域和值域： 1．x a y -=1 2．31 )2 1(+=x y 【例4】 求下列函数的定义域、值域 (1)11 0.4 x y -=； (2)y = (3)21x y =+ 【例5】 求下列函数的定义域 (1)13x y =; (2)y = 【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ， (3)f -的值． 【例7】 若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为（ ） A B ．2或2- C ．2- D ．2 题型二 指数函数的图象与性质 【例8】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小： ①___b c a a ；②1b a ?? ??? 1c a ?? ??? ；②11 ___b c a a ；②__a a b c ． 【例9】 比较下列各题中两个值的大小： ⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9． 【例10】 比较下列各题中两个值的大小 (1)0.80.733， (2)0.10.10.750.75-， (3) 2.7 3.51.01 1.01， (4) 3.3 4.50.990.99， 【例11】 已知下列不等式，比较m 、n 的大小 (1) 22m n < (2)0.20.2m n > (3)()01m n a a a <<< (4)()1m n a a a >> 指数函数说课稿 尊敬的各位评委、各位老师：大家好！ ◆ 我是来自说课的题目是《指数函数》 著名教育学家布鲁纳说过：“知识的获得是一个主动过程. 学习者不是信息的被动接受者，而是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展，从而激发学生数学学习兴趣，培养学生运用数学的意识与能力◆ 下面我将从几个部分具体阐述对本节课的分析和设计。 第一部分、教学内容分析◆ 二、教材分析 1.本节教材的地位、作用 本节课是《普通高中课程标准实验教科书（苏教版）数学必修1》第二章第二节第1课时《指数函数》。因为我所教的学生是省一级示范学校的平行班，根据学生的实际情况，同时也为了理顺知识间的逻辑关系，让学生能在观察、探究、比较、识别中把握概念和性质的内涵，教学中我对这部分内容进行了整合处理，我将《指数函数》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（细胞分裂和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但从学生学习的角度看,学生感受指数函数的实际背景的知识储备仍不够丰富,理解和掌握这些 内容仍有一定难度,因此, 教师在进行这一内容的教学时,不可拔高要求,追求一步到位,而要在今后的教学中滚动式逐步深化,使之与学生的知识结构同步发展、完善。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 2．教学目标 ⑴知识与技能： 初步理解指数函数的概念和意义；能够借助计算器画出具体的指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调的特点。 从实例探究中感知指数函数的概念，并体会指数函数是一类重要的函数模型。 利用计算工具比较指数函数增长差异，体会指数等不同函数的类型增长的含义。 ⑵过程与方法： 指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81 指数函数及其性质教案 一、教学目的 1、使学生掌握指数函数的概念、图象和性质；能初步简单应用。 2、使学生理解数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类 比、猜测、归纳的能力。 3、使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相 互转化，培养学生用联系的观点看问题。 4、通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、 概括、分析、综合的能力。 二、教学重点、难点 教学重点：指数函数的定义、图象、性质. 教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。 三、教具、学具准备： 多媒体课件：使用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率与质量。 四、教学方法 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 五、学法指导 1.再现原有认知结构。在引入两个实例后，请学生回忆有关指数的概 念，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念做好准备。 2.领会常见数学思想方法。在借助图象研究指数函数的性质时会遇到 分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。 3.在互相交流和自主探究中获得发展。在实例的课堂导入、指数函数 的性质研究、例题与训练、课内小结等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。 4.注意学习过程的循序渐进。在概念、图象、性质、应用的过程中按 照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。 六、教学过程 1、复习回顾，以旧悟新 函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？ 答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 31)1-x （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 指数与指数函数 级级： 姓名： 学号： 得分： 一、选择题（每题5分，共40分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x -21 （B ）y=(3 1)1-x （C ）y=1)2 1 (-x （D ）y=x 21- 3．已知0 y A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 二、填空题（每题5分，共30分） 10.已知函数()14x f x a -=+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是___________ 11.方程96370x x -?-=的解是_________ 12.指数函数x a x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 13.函数221x x y a a =+-（0>a 且1≠a ）在区间]1,1[-上的最大值为14，a 的值是 14.计算：412121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---_______________ 15.若()10x f x =，则()3f =———————— 三、解答题（16/17/19题各5分，18题15分，共30分） 16.设关于x 的方程02 41=--+b x x 有实数解，求实数b 的取值范围。),1[+∞- 17.设0 [A 基础达标] 1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( ) A.??? ?－53，1 B ．[－1，1] C.????1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53 ，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是??? ?－53，1. 2．设f (x )＝????12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝????12x 为减函数，排除B.故选D. 3．函数y ＝6x 与y ＝－6－x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选C.y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称． 4．函数y ＝????12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析：选B.设u ＝x 2－2，u 在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝????12u 是 减函数， 所以y ＝????12x 2 －2在[0，＋∞)上是减少的． 5．下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝ ????b a x 的图像只可能是( ) 解析：选A.由指数函数图像可以看出0 人教版高中数学必修一《指数函数及其性质》说课稿 各位评委，你们好，今天我说课的内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修的第1个模块中第二章的2.1.2指数函数及其性质的第一节课。 下面我从教材分析；教学目标分析；教法、学法分析；教学过程分析；板书设计分析；评价分析等六个方面对本设计进行说明。 一、教材分析 1、教材的地位与作用 （1）本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数、三角函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。 （2）在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。 2、教材处理 根据学生的认知规律，本节课从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深地进行教学，使学生顺利地掌握知识，发展能力。在教学过程中，运用多媒体辅助教学，提高教学效率。本节教材我分两节完成，第一课时为指数函数的定义，图像及性质；第二课时为指数函数的应用。本节课是第一课时。 3、教学重点、难点 教学重点：指数函数的定义、图象、性质. 教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。 4、教具、学具准备：多媒体课件。 二、教学目标分析 根据教材特点及教学大纲要求，我认为学生通过本节内容的学习要达到以下目标： 1、知识目标：①掌握指数函数的概念；②掌握指数函数的图象和性质；③能初步利用指数函数的概念解决实际问题； 2、能力目标：①渗透数形结合的基本数学思想方法②培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力； 3、品德目标：①体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题②通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力③领会数学科学的应用价值。 三、教法、学法分析 1、教法分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 2、学法指导 本节课是在学习完“指数”的概念和运算后编排的，针对学生实际情况，我主要在以下几个方面做了尝试： 指数与指数函数 一、选择题： 1已知集合11 -11=x|24,}2 x M N x Z +=<<∈｛，｝，｛ 则M N ?等于 A -11｛，｝ B -1｛｝ C 0｛｝ D -10｛，｝ 1、化简11111 32168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ）A 、1 132 1122--??- ? ?? B 、1 13212--??- ??? C 、1 3212-- D 、1321122-??- ??? 2、44366399 a a 等于（ ）A 、16 a B 、8 a C 、4 a D 、2 a 4、函数 ()2 ()1x f x a =-在R 上是减函数， 则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2 高一数学必修一指数 与指数函数测试题Revised on November 25, 2020 高一数学必修一指数与指数函数测试题 一、选择题： 1、化简111 1132 16 8 4 2 12 12121212-----? ?????????+++++ ????????? ? ???? ?? ???，结果是（）A 、1 132 1122--??- ???B 、1 132 12--??- ???C 、1 3212--D 、1321122-??- ??? 2 、44等于（）A 、16a B 、8a C 、4a D 、 2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于（）A 、6 B 、2± C 、2- D 、24、 函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A 、1>a B 、2≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3)b a 1 1<； (4)113 3 a b >；(5)1133a b ????< ? ????? 中恒成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121 x y =-的值域是（）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞C 、()1,-+∞D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知 01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ? ?=+?≠ ?-?? 是偶函数，且()f x 不恒等于零，则 ()f x ()A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不 是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -=。 2019秋季高一数学指数函数 一．指数运算计算公式：()Q s r a ∈>,,0 33223322(1)(2)(3)()()(4)()(0)(5)(6)(0)(7)()() (8)()() r r s r s r s r s s r rs r r r s m n n m n n a a a a a a a a a b a b a a a a a a a a n a b a b a ab b a b a b a ab b +-?=====≥?==? -a a 且过定点_____________ 2.在同一坐标系下，函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图象如下图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的 顺序是__________. 指数函数教案1(高一数学) 教学目标 1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用. 2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣. 教学重点和难点 重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质. 难点是认识底数对函数值影响的认识. 教学过程 一、复习回顾，新课引入 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出 细胞分裂 之间的函数关系式吗? 与 与之间的关系式,可以表示为. 由学生回答: 问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子 次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系. 的一半,……剪了 由学生回答:. 在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数. 二、师生互动，新课讲解： 1.定义:形如的函数称为指数函数. 2.几点说明 (1) 关于对的规定: 教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有 会有什么问题?如,此时,等在实 困难,可将问题分解为若 数范围内相应的函数值不存在. 若 x a对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有 且. 研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定 (2)关于指数函数的定义域 教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实 当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值. (3)关于是否是指数函数的判断 §2.1.2指数函数及其性质 第一课时（说课） 各位评委、老师，大家好！ 今天我说课的课题是：人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》， 必修一第二章第二节“指数函数及其性质”的第一课时——指数函数的定义、 图象及性质.下面我将从教材分析，教法学法分析、教学过程分析、板书设 计、教学反思几个方面加以说明. 一、教材分析 1、教材的地位和作用 (1)函数是高中数学学习的重点和难点，函数思想贯穿于整个高中数学之中； (2)学生已掌握函数的一般性质和简单的指数运算； (3)研究指数函数，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识； (4)为研究对数函数打下基础. 2、教学目标 （新课标指出教学目标应包括知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体， 学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确的价值观的过程.以此为指导我制定了以下的教学目标） 1）知识与技能： 了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用; 2）过程与方法： 借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，根据图象归纳出指数函数的性质，体会数形结合和分类讨论思想，体验从特殊到一般的学习方法； 3）、情感、态度与价值观： （通过本节课的学习使学生在数学活动中感受数学思想方法之美，体会数学思想方法之重要，并培养学生主动学习的意识）. 3、教学的重点和难点 教学重点： 指数函数的定义、性质及简单的应用. 教学难点： 指数函数图象和性质，以及指数函数图象与底数的关系. 二、教法学法分析 1、学情分析 1）知识层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数概念的学习后初步具备了数形结合的思想. 2）能力层面：学生已经初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能. 3）情感层面：学生对数学新内容的学习有一定的兴趣和积极性. 4）不足之处：学生的分析能力和概括能力不是很强. 2、教法分析： 1）教学方法：探究式的教学（本节课我采用“探究式”的教学方法，通过教师在教学过程中的点拨，引导学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和同化，培养学生的观察、分析、归纳等思维能力） 2）教学工具：利用多媒体辅助教学（并充分利用多媒体辅助教学） (从指数函数的研究过程中得到相应结论固然重要，但是更重要的是应该使学生了解系统研究一类函数的方法，使得他们以后可以迁移到其他函数的研究中去.) 3、学法分析 1）观察、思考问题 2）描点画图 3）观察图像、合作交流总结出指数函数的性质 （先让学生仔细观察书中给出的实际例子，使他们发现指数函数与现实生活息息相关.再根据高一学生爱动脑懒动手的特点，让学生自己描点画图，画出指数函数的图像，最后观察图像、合作交流总结出指数函数的性质，学生经历了探究的过程，培养探究能力和抽象概括的能力.） 三、教学过程分析 总体设计：引入—讲授新课—课堂练习—课时小结—课后作业—教学反思 具体安排： （一）引入(5分钟) 高一数学必修一指数与指数函数测试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 高一数学必修一指数与指数函数测试题 一、选择题： 1、化简111 1132 16 8 4 2 12 12121212-----? ?????????+++++ ????????? ? ???? ?? ???，结果是（）A 、1 132 1122--??- ???B 、1 132 12--??- ???C 、1 3212--D 、1321122-??- ??? 2 、44等于（）A 、16a B 、8a C 、4a D 、 2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于（）A 、6 B 、2± C 、2- D 、24、 函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A 、1>a B 、2≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3)b a 1 1<； (4)113 3 a b >；(5)1133a b ????< ? ????? 中恒成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121 x y =-的值域是（）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞C 、()1,-+∞D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知 01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ? ?=+?≠ ?-?? 是偶函数，且()f x 不恒等于零，则 ()f x ()A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不 是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -=。 2.1 指数函数 [教学目标] 1．通过具体实例了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，理解扩张指数范围的必要性． 3．通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 4．理解指数函数的概念和意义． 5．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 6．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． [教学要求] 指数函数是本章的重点内容之一，也是高中新引进的第一个基本初等函数．学习指数函数时，建议首先通过实际问题引入分数指数幂，为此先将平方根与立方根的概念扩充到n 次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍分数指数幂及其运算性质，最后结合具体实例，通过有理数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数．在实数指数幂的基础上，学习指数函数及其图象和性质． 教学中应通过具体的实例从正整数指数幂开始到现实中出现的分数指数幂，引出指数的取值范围需要进行必要的扩充． 根式是教学的一个难点，教材第一部分安排根式这部分内容，为讲分数指数幂做准备，所以只需要讲根式的概念、方根的性质．为了分散难点，在教学中可以适当放慢进度，多举几个具体的例子，之后再给出n 次方根的一般定义．为突破方根的性质的难点，要抓住立方根与平方根的性质，通过探究得到当n 分奇偶数时方根的性质． 分数指数幂是教学上的又一个难点，也是指数概念的又一次推广．教学时应注意循序渐进．教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，明确它是根式的一种新的写法． 教科书通过比较本节开始时的问题引入指数函数，教学中要让学生体会指数函数的概念来自实践，并体会其中蕴含的函数关系，可引导学生在探究中获得函数的共同特征，这样就可以很自然地给指数函数下定义了． 教学中注意对底数规定的合理性解释：0>a 且1≠a ． 在理解指数函数定义的基础上，建议通过列表描点绘图或者利用信息技术绘图，教学中 第8课时 指数运算性质及指数函数 知识点一 分数指数幂 给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，我们把b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝m n a . 指数运算性质 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.当a >0，b >0时，有： (1)a m ·a n ＝ ；(2)(a m )n ＝ ；(3)(ab )n ＝ ，其中m ，n ∈R . 例1 计算下列各式(式中字母都是正数). (1)10.5 23 3 277(0.027)21259- ???? +- ? ????? ； 2)2 115113 3 6 6 2 2 (2)(6)(3)a b a b a b ÷－－； 21 5 2.5 30.064-0 ??-π.???? （） 知识点二 指数函数 一般地，函数 叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 注意①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x 的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y ＝2x ＋1不是指数函数. 知识点三 指数函数的图像和性质 例2 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2 x －1 ；③y ＝??? ?π2x ；④y ＝1 3x -；⑤y ＝1 3x . (2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. (3)若函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 例3 (1)函数y ＝a x －1 a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( ) (2)函数f (x )＝1＋a x － 2(a >0，且a ≠1)恒过定点________. (3)已知函数y ＝3x 的图像，怎样变换得到y ＝????13x ＋1 ＋2的图像？并画出相应图像. 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋ 1(a >0，且a ≠1)的图像经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0) 例4 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7－2.5 ，1.7－ 3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1. 跟踪训练4 比较下列各题中的两个值的大小. 第二章 第一节 指数计算与指数函数 一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0 练习 计算下列各式的值： （1）)4()3)((6 36131212132 b a b a b a ÷- （2）() 3 22 1 75.00 3 129721687064 .0+?? ? ??++??? ??--- （3）4 21 03 3 )2 1(25.0)21()4(--?+-- （4）33)3(625π-+- 2．已知31 =+-x x ， 则=+-22x x 已知23=a ,5 13=b ，则=-b a 23＝____________. 3. 若210 25x =，则10x -等于_________________ 1、2)(f 1 -=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________ 2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________ 3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f 题型2、 图像问题 1.下列说法中： ①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a － x ；③函数y =(3)－ x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－ x 的图象对称于y 轴。正确的是___________________ 2.在同一坐标系下，函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图象如下图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是__________. 3、函数y =2x +k －1(a >0,a ≠1)的图象不经过第四象限，则k 的取值范围是__________. 指数与指数函数练习 一、选择题： 1、若R a ∈,* 1N n n ∈>且则下列各式中正确的是（ ） A 、25 a = B 、10 =a C 、2 2a a n n = D 、3 21213)()(a a = 2、下列各式中错误的是（ ） A 、2552222?= B 、13 1() 327 - = C D 、2311 ()84 -= 3．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．43 433)(y x y x +=+ D ． 33 39= 4．化简)3 1 ()3)((656131 212132b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 5．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ． )()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 6．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y 的定义城是 （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 必修1 数学 ——指数函数及幂函数 一、指数函数 1．整数指数幂 )0(10 ≠=a a ； )0,(1≠∈= -a N n a a n n ； n m n m a a = 2、指数函数 【1】一般形式：()0,1x y a a a =>≠； 【2】定义域：(,)-∞+∞；值域：(0,)+∞； 【3】函数值变化情况： 当1a >时，1(0)1(0)1(0)x x a x x >>??==??<?? ==??>时，x y a =是增函数；当01a <<时，x y a =是减函数 【类型题归纳】 【例题1】下列哪些是指数函数：（1）(4)x y =-；（2）2 1 2 x y -=；（3）x y a =； （4）1(21)(,1)2 x y a a a =-> ≠；（5）23x y =?. 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数，要紧扣指数函数的定义：其一，底数大于0且不等于1；其二，幂指数是单一的自变量x ；其三，系数为1，且没有其他的项. 2、设137 x = ，则（ ） A 、21x -<<- B 、32x -<<- C 、10x -<< D 、01x << 3、若函数()(0,1)x f x a a a =>≠，则下列等式不正确的是（ ） A 、()()()f x y f x f y += B 、 ()()()n n n f xy f x f y ??=?? C 、 ()()() f x f x y f y -= D 、 ()()n f nx f x = 【总结】对于()()()f x y f x f y +=类型的抽象函数，x y a =可以作为它的一个经典原型，用来解决实际 问题。 4、化简4 63 9436 9)( )( a a ?的结果为（ ） A 、a 16 B 、a 8 C 、a 4 D 、a 2 【例题5】求下列函数的定义域、值域：必修一指数与指数函数
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