Zeeman效应的理论解释

Zeeman 效应的理论解释

摘要: 关于塞曼效应的解释,可以采用经典理论、半经典半量子理论和量子理

论等多种方法进行解释.但是经典理论解释不涉及能量性质问题,也就未能反映原子内部客观本质,所以此法不宜采用.半经典半量子理论和量子理论解释塞曼效应,都反映了能量是量子化的，塞曼效应是原子能级在磁场作用下分裂,引起不同能级间(按选择定则)跃迁而发射不同频率的谱线.直接反映了原子内部本质.

关键词:经典理论,半经典半量子理论,量子理论,反常塞曼效应

1.引言:原子处在恒定外磁场中,它的光谱线常常发生复杂的分裂,且谱线间的

裂距正比于磁场强度,且谱线各分量有特殊的偏振和方向特性,这就是光谱的塞曼效应.根据谱线的分裂情况又可分为以下两种:相应于单态谱线在外磁场中的分裂称为正常塞曼效应;相应于非单态谱线在外磁场中的分裂称为反常塞曼效应.

2.塞曼效应的经典理论解释到量子理论解释

下面用经典理论,半经典半量子理论和量子理论三种方法对塞曼效应进行解释,并讨论其异同及结果的含义. 2.1.塞曼效应的经典理论

在氢原子或类氢原子中,核外电子处在磁感应强度为B 的均匀静磁场中,当它处在r 轨道时,受原子核对它的作用力为2

0=-F m r ω,这里

2

2

02

+z=0-(-

)=0

d z eB dx dt

m dt

ω

是它在r 轨道上的固有圆频率,设电子绕核运动的速率v c ,即0eB m

ω

时,并且

辐射阻尼力可略去,这时电子运动状态和它沿磁场方向和垂直于磁场方向发生的辐射的频率和偏振状态可求出.

根据电子运动过程中受核作用和磁场的作用可知,电子的运动方程为

2

2

02=-+(-e

)B d r dr m m r dt

dt

ω? (1.1)

以电子的平衡点为原点取笛卡儿坐标系,使z 轴沿B 的方向,则上式的三个分量应为

2

2

02+x-(-

)=0d x eB dy dt

m dt ω (1.2)

22

02

+y-(-

)=0d y eB dx dt

m dt

ω (1.3)

22

02

+z=0d z dt

ω (1.4)

对(1.2)、(1.3)两式,我们求得下列形式的解

-=i t x ae ω (1.5) -y='i t a e ω (1.6) 式中'a ,a 是任意常数,ω为待定常数,下面先求ω,现将(1.5)和(1.6)代入(1.2)和(1.3)两式得

220(-)a+(-a')=0ieB m ωωω (1.7)

220(-)a'+=0

ieB m

ω

ωω (1.8)

由(1.7)和(1.8)得

2222

0(-)=(-)

ieB m

ωωω (1.9)

所以

220-=()

eB m

ωωω (1.10)

即

2

2

0=+(

)22eB eB m

m

ωω±±

(1.11)

上式可简化为

0=2eB m

ωω± (1.12)

最后得到所求的圆频率为

-0+0=-2=+2eB

m

eB

m ωωωω???

现再求a 与'a 的关系.由(1.7)式得 2

2

0=+

'(-)

ieB a a m ωωω (1.15)

对+ω来说由(1.1O)、(1.13)、(1.15)得

'=-a ia (1.16) 于是得所求解为

+

-=i t x ae ω +

-y=-i t iae ω (1.17)

对于-ω来说,所求解为

--=b i t x e ω -

-y=-i t ibe ω (1.18)

再解方程(1.4)得

-z=c i t e ω (1.19)

最后得(1.1)的通解为

+

----()=(-)+b(+)+i t

i t i t x y x y z r t a e ie e e ie e ce e ωωω (1.20)

(1.20)结果表明,原子核外电子运动可以分解成三种不同频率(+ω,0ω,-ω)的简

谐振动,因此,它所发出的辐射便含有三种频率+ω,0ω,-ω. 下面讨论辐射和偏振状态:

(1)沿磁场=z B Be 进行的辐射,频率为0ω的辐射是沿磁场方向(Z 轴方向)的简谐振动发出的,根据带电粒子作简谐振动发生辐射的规律,沿振动方向(即Z 轴方向)辐射强度为零.频率为+ω的辐射由(1.20)式可见,是由振动

+-=i t

x ae

ω,+(+

)

2

y=i t ae

π

ω发出的,其中Y 方向的振动比X 方向的振动超前

2

π

,故射入观

察者(向Z 轴负方向看)的眼睛时,观察者观察到它是右旋圆偏振的.

频率为-ω的辐射则是由振动--=i t

x be ω,--(-

)

2

y=b i t e

π

ω发出的，其中Y 方向振动比X

方向的振动落后

2

π

,故射入观察者的眼睛时,观察者观察到它是左旋圆偏振的.所

以结果在Z 方向上的观察者只观察到两种频率的辐射,右旋圆偏振+ω的和左旋圆偏振的-ω.

(2)垂直于磁场B 进行(如沿X 轴进行)的辐射.这时沿X 方向振动所发出的辐射强度为零,故只有沿Y 和Z 两个方向的振动所发出的辐射.结果在X 轴方向的观察者便观察到三种辐射0ω,+ω,-ω.其中0ω是平行于Z 轴的线偏振波,而+ω和-ω则都是平行于Y 轴的线偏振波.这就解释了塞曼效应现象. 2.2.塞曼效应的半经典半量子理论 2.2.1.原子总磁矩

原子中电子总磁矩为电子的轨道磁矩和自旋磁矩的合成.略去核磁矩对单电子原子的总磁矩为

=2j j e g

P m

μ

其中 =(+1)j P j j , (+1)-(+1)+(+1)=1+

2(+1)j j l l s s g j j ????

?

?

2.2.2.拉莫尔旋进

原子有磁矩j μ处在磁场中就要受磁场的作用,其效果是磁矩绕磁场的方向作旋进,旋进引起能量的增减.

2.2.

3.原子受磁场作用的附加能量一能级分裂

由于原子受磁场作用而旋进引起的附加能量,可证明是 =-cos =cos 2j j e E B g P B m

μαβ

?

其中 cos =2j P B M

βπ

,

故 =B E M g B μ? (M=j,j-1,…,-j)

因此在稳定的磁场下E ?有2j+1个可能的数值,即是说无磁场时的一个能级,因有磁场的作用要再加能量E ?,而E ?有2j+1个不同的可能值,所以这能级裂成2j+1层,且从同一能级分裂的诸能级的间隔是相等的,但从不同的原子能级分裂出来的能级间隔彼此不一定相同,因为g 因子不一定相同.

这样在没有磁场时由能级1E 和2E 之间的跃迁产生的光谱线频率同能级的关系为021=-h E E ν,而在磁场中,上下两能级一般都要分裂,因此新的光谱线频率同能级有下列关系:

02211=+(-)

4B e M g M g m

ννπ

上式表达塞曼效应中分裂后的谱线同原谱线的频率关系.

根据跃迁选择定则:=0M ?产生π型偏振线(21=0=0M M →除外).=1M ?±产生σ型偏振能. 2.3.塞曼效应的量子理论

在这里只讨论简单塞曼效应的量子理论,即考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情况.由于电子的轨道磁矩和自旋磁矩受到磁场的作用,电子除了在原

子中所具有的动能和势能外,还有磁场引起的附加能量.另外,电子的自旋和轨道运动之间也有相互作用能量,我们假设外磁场较强,以致它和外磁场引起的附加能量比较起来可略去.

取磁场方向为Z 轴,则磁场引起的附加能是 =

(+2S )2z z e U L B

m

∧

∧

?

于是体系的定态薛定谔方程为

2

2

-+(r)+

(+2S )=e 22z z eB u L m

m

ψψψψ∧∧

?

当有外磁场时,由于nlM ψ是z L ∧

的本征函数

=z nlM nlM L M ψψ∧

故 =

2z S 时, =+

(+1)2nlM nl e B E E M m =-2

z S 时, =+

(-1)2nlM nl e B E E M m

由此可见在外磁场中,能级与M 有关,原来M 不同而能量相同的简并现象被外磁场消除.其次由于外磁场的存在,能量与自旋有关.

当原子处于S 态时==0l M ,因而原来的能级nl E 分裂为两个能级,P 态时,=1,=1,0,-1l M 在外磁场B 作用下分裂为三个能级,所以,在外磁场中电子由能级nlM E 跃迁到'''n l M E 时,谱线频率为

'''

0-=

+

2nlM n l M E E eB M

m

ωω?

由选择定则知,=0,1M ?±,所以ω可以取三个值 00=,2eB m

ωωω±

即是在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条,这就是简单塞曼效应.

3.正常塞曼效应与反常塞曼效应的比较

谱线的分裂来自能级差的变化,因原子具有磁矩,当它处于磁场B 中时,受到磁场的作用而引起的附加能量可表示为=B E M g B μ?.磁量子数M 有2j+1个取值,因此无磁场时原子的一个能级在磁场的作用下分裂成2j+1个支能级,两相邻支能级的间距为=B E g B μ?.从同一能级分裂出来的诸能级的间距是相等的,而从不同能级分裂出来的能级间距则不一定相等.若有一条光谱线是由能级1E 和

2E (21>E E )之间跃迁产生的,无磁场B 时,这条谱线的频率为21

-=

E E h

ν;在外磁场B

中,因能级分裂而观察到的新光谱线与原光谱的频率差为2211=(-)M g M g L ν?其中

=

4B e L m

π称为洛仑兹单位.

实验发现塞曼支能级之间的跃迁服从下列选择定则:

21=-=0M M M ?产生π

线(当=0J ?时,21=0=0M M →除外); 21=-=1M M M ?±产生σ

线.

从垂直于磁场B 方向观察,原来谱线分裂为三条,且相邻两条谱线之间的间隔相等,均为一个洛仑兹单位,这样的现象称为正常塞曼效应.如果谱线中分裂条数超过三条,或者有的谱线即使只分裂成三条,但相邻两谱线之间的间隔不等于一个洛仑兹单位,这样的现象称为反常塞曼效应.

实验表明,在强磁场情况下一般都会出现正常塞曼效应,在磁场不很强的情况下则出现反常塞曼效应.所谓磁场的强弱是相对的,当外磁场引起的反常塞曼分裂不超过无外磁场时由电子自旋和轨道相互作用引起的能级分裂(精细结构分裂)时,则L 与S 的耦合不能忽略,这时的磁场为弱磁场.若塞曼裂距远大于精细结构裂距,则L 与S 的耦合就可以被忽略,这时的磁场为强磁场.不同原子内部的内磁场大小不同,所以作用在原子上的外磁场的强弱对不同原子是不同的.

当外加磁场的强度不足以破坏自旋--轨道耦合时,自旋、轨道角动量分别绕

合成角动量J,作快速运动,而J 绕外磁场作慢进动;当外磁场强度超过LS 耦合作用的内磁场时,LS 耦合被破坏,自旋、轨道角动量分别绕外磁场旋进,这时描述原子状态的量子数要用,,,,l s n l s m m .原子因受外磁场作用而引起的能量变化为

=(m +2)l s B E m B μ?

所以新的光谱线与原来谱线的频率差为=(m +2)L l s m ν??,由选择定则可得

=(0,1)L ν?±.可见在强磁场中反常塞曼效应趋于正常塞曼效应,这现象被称为帕

型-巴克效应.例如,导致两条钠D 线分裂的内磁场约为18特斯拉,而导致锂光谱主线系第一谱线分裂的内磁场只有0．35特斯拉,所以当外磁场B=3特斯拉时,对于钠D 线来说是一个弱磁场,而对于锂原子主线系第一谱线来说却是一个强磁场,在这样的磁场中钠D 线发生反常塞曼效应,锂原子主线系第一谱线将产生正常塞曼效应.

4.结论

(1)关于塞曼效应的解释,可以采用经典理论、半经典半量子理论和量子理论等多种方法进行解释.经典理论是从经典牛顿力学理论出发,通过求解电子运动方程,得出反映带电粒子(电子)的运动是由3种不同频率的简谐振动合成的,因此电子的这种振动所发的辐射便含有3种频率的辐射谱线.因为采用经典理论解释不涉及能量性质问题,也就未能反映原子内部客观本质,所以此法不宜采用.而采用半经典半量子理论和量子理论的解释直接反映了原子内部本质.

不管半经典半量子理论还是量子理论解释塞曼效应,都反映了能量是量子化的,塞曼效应是原子能级在磁场作用下分裂,引起不同能级间(按选择定则)跃迁而发射不同频率的谱线.虽然这两种解释涉及的问题较多,且较复杂,但这两种解释直接反映了原子内部本质.

(2)只有当外磁场的强度比较弱,不足以破坏自旋-轨道耦合时才会出现反常塞曼效应,这时自旋角动量和轨道角动量分别围绕总角动量作快速进动,总角动量绕外磁场作慢速进动.当磁场很强时,自旋角动量和轨道角动量不再合成总角动量,而是分别围绕外磁场进动.这时反常塞曼效应被帕邢-巴克效应所取代,其效果是恢复到正常塞曼效应,即谱线分裂成3条,相互之间间隔一个洛伦兹单位.

参考文献:

[1]杨亚培,张晓霞光电物理基础电子科技大学出版社

[2]周世勋量子力学教程高等教育出版社

[3]杨福家原子物理学(第3版) 高等教育出版社