曲线运动知识点与考点归纳

曲线运动

考点梳理：

一.曲线运动

1.运动性质————变速运动，具有加速度

2.速度方向————沿曲线一点的切线方向

3.质点做曲线运动的条件

（1）从动力学看，物体所受合力方向跟物体的速度不再同一直线上，合力指向轨迹的凹侧。（2）从运动学看，物体加速度方向跟物体的速度方向不共线

例题：如图5-1-5在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它受的力反向，

而大小不变，即由F变为－F，在此力作用下，关于物体以后的运动情况的下列说法中

正确的是（）

A．物体不可能沿曲线Ba运动

B．物体不可能沿直线Bb运动

C．物体不可能沿曲线Bc运动

D．物体不可能沿原曲线由B返回A

2、图5-1-6簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（）

A．带电粒子所带电荷的符号；

B．带电粒子在a、b两点的受力方向；

C．带电粒子在a、b两点的速度何处较大；

D．带电粒子在a、b两点的电势能何处较大。图5-1-5

a

b

二.运动的合成与分解

1.合运动和分运动:当物体同时参与几个运动时,其实际运动就叫做这几个运动的合运动,这几个运动叫做实际运动的分运动.

2.运动的合成与分解

(1)已知分运动(速度v 、加速度a 、位移s)求合运动(速度v 、加速度a 、位移s),叫做运动的合成.

(2)已知合运动(速度v 、加速度a 、位移s)求分运动(速度v 、加速度a 、位移s),叫做运动的分解.

(3)运动的合成与分解遵循平行四边形定则. 3.合运动与分运动的关系

(1)等时性:合运动和分运动进行的时间相等.

(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,各自产生效果. (3)等效性:整体的合运动是各分运动决定的总效果,它替代所有的分运动. 三.平抛运动

1.定义:水平抛出的物体只在重力作用下的运动.

2.性质:是加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线.

3.平抛运动的研究方法

(1)平抛运动的两个分运动:水平方向是匀速直线运动,竖直方向是自由落体运动. (2)平抛运动的速度 水平方向:0v v x = ; 竖直方向:gt v y =

合速度:2

2

y x v v v +=

,方向:x

y v v tg =

θ

0 s y

s

φ

y

x

v

v 0

v y

θ

s x 图5-2-2

(3)平抛运动的位移 水平方向水平位移：s x =v 0t 竖直位移：s y =2

1gt 2 合位移：22y

x s

s s +=

,方向：tg φ＝

x

y s s

4.平抛运动的轨迹:抛物线；轨迹方程：2

20

2x v g y =

5.几个有用的结论

(1)运行时间和水平射程:水平方向和竖直方向的两个分运动既有独立性,又有等时性,所以运动时间为g h

t 2=

,即运行时间由高度h 决定,与初速度v 0无关.水平射程g

h

v x 20

=,即由v 0和h 共同决定. (2)相同时间内速度改变量相等,即△v=g △t, △v 的方向竖直向下.

【例题】1.证明:(一个有用的推论)平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半.

2. 一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下

v 0 v 1

v 2

v 1y

v 2y △v 图5-2-3

v 0 v t

v x

v y h

s

α

α s /

图5-2-4

落的距离与在水平方向通过的距离之比为 A ．

1tan θ B ．12tan θ

C ．tan θ

D ．2tan θ 四.匀速圆周运动

1.匀速圆周运动

(1)定义:做圆周运动的质点,若在相等的时间内通过的圆弧长度相等,叫做匀速圆周运动. (2)运动学特征: v 大小不变,T 不变,ω不变,a 向大小不变; v 和a 向的方向时刻在变.匀速圆周运动是变加速运动.

(3)动力学特征:合外力大小恒定,方向始终指向圆心. 2.描述圆周运动的物理量 (1)线速度

①物理意义:描述质点沿圆周运动的快慢.

②方向:质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向. ③大小:t

s

v =(s 是t 时间内通过的弧长). (2)角速度

①物理意义:描述质点绕圆心转动快慢. ②大小:t

φ

ω=

(单位rad/s),其中φ是连结质点和圆心的半径在t 时间内转过的角度.

(3)周期T 、频率f

做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.单位:s.

做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数,叫做频率,也叫转速.单位:Hz. (4) v 、ω、T 、f 的关系

f T 1=

,f T ππ22==ω,ωr v

r v ==π2

(5)向心加速度

①物理意义:描述线速度方向改变的快慢.

②大小: 222

22222444v a w r r f r n r

r T πππ=====

③方向:总是指向圆心.所以不论a 的大小是否变化,它都是个变化的量. 3.向心力F 向

①作用效果:产生向心加速度,不断改变质点的速度方向,维持质点做圆周运动,不改变速度的大小.

②大小: 222

22222444v F m mw r m r m f r m n r

r T πππ=====

③来源:向心力是按效果命名的力.可以由某个力提供,也可由几个力的合力提供,或由某个力的分力提供.如同步卫星的向心力由万有引力提供,圆锥摆摆球的向心力由重力和绳上拉力提供(或由绳上拉力的水平分力提供).

④匀速圆周运动的向心力就是合外力,而在非匀速圆周运动中,半径方向的分力,而合外力沿切线方向的分力改变线速度的大小.

4.质点做匀速圆周运动的条件: (1)质点具有初速度;

(2)质点受到的合外力始终与速度方向垂直;

(3)合外力F 的大小保持不变,且r m r

v m F 22

ω== 若r m r v m F 2

2ω=<,质点做离心运动;若r m r

v m F 22ω=>,质点做向心运动; 若F =0,质点沿切线做直线运动.

F=0 F< mr ω2,

F= mr ω2, F> mr ω2, 图5-3-1

一.绳子与杆末端速度的分解方法

绳与杆问题的要点，物体运动为合运动，分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的分运动

例题：1.如图5-1-7岸上用绳拉船，拉绳的速度是v ,当绳与水平方向夹角为θ时，船的速度为多大？

2.如图5-1-3车甲以速度v 1拉汽车乙前进，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，求v 1∶v 2

二.小船过河问题

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间

θ

υυsin 1

船d

d

t =

=

，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小

为

v

d

，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小

图5-1-7

θ

v

甲

乙 α v 1 v 2 图5-1-3

水船

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船

水

υυθ=

cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，

设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水

船v v =

θcos 船头与河岸的夹角应为

水

船v v arccos

=θ，船沿河漂下的最短距离为：

θ

θsin )cos (min 船船水v d

v v x ?

-=

此时渡河的最短位移：船

水v dv d

s =

=θcos 问题：有没有船速等于水速时，渡河最短位移的情况

【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：

v 水

v 船

θ

v

v 水

θ v α

A E v 船

(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间

s s d

t 2030

60

2

==

=

υ (2)渡河航程最短有两种情况：

①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；

②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2

设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则

2

1

63cos 12===

υυθ， 60=θ 最短行程，m m d s 1202

660

cos ===

θ

小船的船头与上游河岸成600角时，渡河的最短航程为120m 。 问题三：绳杆模型

竖直平面内的圆周运动 （1）绳子模型

没有物体支持的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点： ①临界条件:小球在最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零,小球的重力充当圆周运动所需的向心力,设v 临是小球能通过最高点 的最小速度,则：

mg =r

v m 2

，v 临＝gr

②能过最高点的条件:v ≥v 临

③不能通过最高点的条件:v < v 临，实际上物体在到达最高点之前就脱离了圆轨道. （2）轻杆模型

.有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动情况 ①临界条件:由于硬杆或管壁的支撑作用,小球能到达最高点的临界速度v 临＝0,轻杆或轨道对小球的支持力:N =mg

②当最高点的速度v ＝gr 时,杆对小球的弹力为零. ③当0

N ＝mg －r

v

m

2

，而且：v ↑→N ↓ ④当v>gr 时,杆对小球有拉力（或管的外壁对小球有竖直向下的压力）：

F ＝r

v m 2

－mg ，而且：v ↑→N ↑

v

m

v

图5-3-4

v m

v m

图5-3-5

例题：如下图所示，光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同质量均为m，其直径

略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同的速度υ通过轨道的最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点.以下说法正确的是( )

A.速度υ至少为，才能使小球在管内做圆运动

B.当υ=，小球b在轨道最高点对轨道无压力

C.当小球b在轨道最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大4mg

D.只要υ＞，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg

问题四：水平面内做圆周运动的临界问题

在水平面上做圆周运动的物体，当角速度w变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势，这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪，特别是一些静摩擦力，绳子的拉力等

例题：1.如图所示，细绳一端系着质量为M=0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离

为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面

绕中心轴转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？

（取g=10m/s2）

m

M

r O

ω

图5-3-11

2.水平转台上放有质量均为m的两个小物块A、B,A离转台的距离为L, A、B间用长为L的细线相连,开始时A、B与轴心在同一直线上,线被拉直, A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ.当转台的角速度达到多大时线上出现张力? 当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动?

ω

A B

图5-3-12

问题五：生活中的一些圆周运动

1.水流星问题

用一根绳子系着盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子在竖直平面内做圆周运动，此即为水流星。参照绳子模型

2.火车转弯问题

3.汽车过拱形问题

4.航天器中的失重现象

1．【2012?无锡期中】如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t 图象如图乙所示。人顶杆沿水平地面运动的s－t图象如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法中正确的是

（）

A．猴子的运动轨迹为直线

B．猴子在2s内做匀变速曲线运动

C．t＝0时猴子的速度大小为8m/s

D．t＝2s时猴子的加速度为4m/s2

【答案】BD

【解析】竖直方向为初速度v y ＝8m/s 、加速度a ＝-4m/s 2的匀减速直线运动，水平方向为速度v x ＝-4m/s 的匀速直线运动，初速度大小为，方向与合外力方向不

在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，故选项B 正确，选项A 错误；t=2s 时，a x ＝-4m/s 2，a y ＝0m/s ，则合加速度为-4m/s 2，选项C 错误，选项D 正确。 2．【2012?河南期中】一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图所示，云层底面距地面高h ，探照灯以匀角速度ω在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点的移动速度是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点转动的线速度为。设

云层底面上光点的移动速度为v ，则有vcos θ=

，解得云层底面上光点的移动速度v=，选项C 正确。

3．【2012?重庆联考】如右图所示，一根长为l 的轻杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，轻杆靠在一个高为h 的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v 向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B ，下列说法正确的是 （ ） （1）A 、B 的线速度相同 B ．A 、B 的角速度不相同 C ．轻杆转动的角速度为

()m /s 544822=+=

v h ωcos h ω

θ

2

cos h ω

θ

tan h ωθcos h ω

θ

cos h ω

θ

2cos h ω

θ

h

vl θ

2sin

D ．小球A 的线速度大小为

【答案】 C

【解析】同轴转动，角速度相同，选项B 错误。设图示时刻杆转动的角速度为ω。对于B

点有。而A 、B

两点角速度相同，则有，联立解得，故选项C

正确。

4．【2012?河北摸底】现在城市的滑板运动非常流行，在水平地面上一名滑板运动员双脚站在滑板上以一定速度向前滑行，在横杆前起跳并越过杆，从而使人与滑板分别从杆的上下通过，如图所示，假设人和滑板运动过程中受到的各种阻力忽略不计，运动员能顺利完成该动作，最终仍落在滑板原来的位置上，要

使这个表演成功，运动员除了跳起的高度足够外，在起跳时双脚对滑板作用力的合力方向应该( )

A ．竖直向下

B ．竖直向上

C ．向下适当偏后

D ．向下适当偏前

【答案】A

【解析】由于运动员最终仍落在滑板原来的位置上，所以运动员和滑板在水平方向上的运动不变，双脚对滑板作用力的合力只能沿竖直方向，由题意可以判断应竖直向下，选项A 正确．

5．【2012?辽宁期末】 一个物体在光滑水平面上沿曲线MN 运动，如图5所示，其中A 点是曲线上的一点，虚线1、2分别是过A 点的切线和法线，已知该过程中物体所受到的合外力是恒力，则当物体运动到A 点时，合外力的方向可能是（ ）

A ．沿1F 或5F 的方向

B ．沿2F 或4F 的方向

h

vl sin2θθ

h

ω

θv sin sin =ωl v =A h

θ

vl v 2A sin =

图5

C ．沿2F 的方向

D ．不在MN 曲线所决定的水平面内 【答案】C

【解析】物体做曲线运动，必须有指向曲线内侧的合外力，或者合外力有沿法线指向内侧的分量，才能改变物体运动方向而做曲线运动，合力沿切线方向的分量只能改变物体运动的速率，故4F 、5F 的方向不可能是合外力的方向，只有1F 、2F 、3F 才有可能，故选项A 、B 是错误的，选项C 是正确的，合外力方向在过M 、N 两点的切线夹角之内的区域里，若合外力不在MN 曲线所决定的平面上，则必须有垂直水平面的分量，该方向上应有速度分量，这与事实不符，故合外力不可能不在曲线MN 所决定的水平面内，选项D 是错误的，故本题正确答案为选项C 。

6．【2012?江苏模拟】一小球自长为L 倾角为θ的斜面底端的正上方水平抛出如图所示，小球恰好垂直落到斜面中点，则据此可计算( )

A.小球在落到斜面时的重力的功率

B.小球平抛过程重力势能的减少量

C.小球抛出点距斜面底端的高度

D.抛出小球时小球的初动能 【答案】C

【解析】由末速度方向可知，此时水平速度

与竖直速度的关系，即tan θ= v 0/ v y ，v y = v 0/ tan θ=gt 而0sin v t L θ

=，所

以t =

，故平抛的时下落的高度为

21122cos 2cos L L h gt g g θθ

=

==；又因

小球落地点距斜面底端的高度的高度为

sin 2

L

θ，所以选项C 正确． 7．【2012?福建期末】如图所示，一长为2L 的木板，倾斜放置，倾角为0

45，今有一弹性小球，自与木板上端等高的某处自由释放，小球落到木板上反弹时，速度大小不变，碰撞前后，速度方向与木板夹角相等，欲使小球恰好落到木板下端，则小球释放点距木板上端的水平距离为（ ） A.

12L B. 1

3

L C.

1

4

L D.

15

L 【答案】D

【解析】设小球释放点距木板上端的水平距离为h ，由几何关系可知，0

45θ=，所以

下落高度为h ，根据自由落体运动规律，末速度2v gh =，也就是平抛运动的初速度，设

平抛运动的水平位移和位移，分别为x 和y ，因0

45θ=，所以x y =，由平抛运动规律x vt =

2

12

y gt =

，联立解得4x h =，由题意可知4222h h L +=，解得15h L =，所以选项

D 正确．

8．【2012?福建期末】在我国乒乓球运动有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，在2008年北京奥运会上中国选手包揽了四个项目的全部冠军．现讨论乒乓球发球问题，已知球台长L 、网高h ，若球在球台边缘O 点正上方某高度处，以一定的垂直球网的水平速度发出，如图1－3－15所示，球恰好在最高点时刚好越过球网．假设乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．则根据以上信息可以求出(设重力加速度为g)( )

A ．球的初速度大小

B ．发球时的高度

C ．球从发出到第一次落在球台上的时间

D ．球从发出到被对方运动员接住的时间 【答案】ABC

【解析】根据题意分析可知，乒乓球在球台上的运动轨迹具有对称性，显然发球时的高度等于h ，从发球到运动到P 1点的水平位移等于1

4L ，所以可以求出球的初速度大小，也可以求

出球从发出到第一次落在球台上的时间．由于对方运动员接球的位置未知，所以无法求出球从发出到被对方运动员接住的时间．

9．【2012?四川摸底】如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a 、b 、c ，开始均静止于同一高度处，其中b 小球在两斜面之间，a 、c 两小球在斜面顶端．若同时释放，小球a 、b 、c 到达该

水平面的时间分别为t 1、t 2、t 3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a 、b 、c 到达该水平面的时间分别为t 1′、t 2′、t 3′.下列关于时间的关系正确的是( ) A ．t 1＞t 3＞t 2 B ．t 1＝t 1′、t 2＝t 2′、t 3＝t 3′ C. t 1′＞t 2′＞t 3′ D ．t 1＜t 1′、t 2＜t 2′、t 3＜t 3′

【答案】AB

【解析】设三小球在高为h 的同一高度处．由静止释放三小球时 对a ：h

sin30°＝12gsin30°·t 12，则t 12＝8h g . 对b ：h ＝12gt 22，则t 22＝2h

g .

对c ：h sin45°＝12gsin45°·t 32，则t 32＝4h

g

.，所以t 1＞t 3＞t 2.

当平抛三小球时：小球b 做平抛运动，竖直方向运动情况同第一种情况；小球a 、c 在斜面内做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动同第一种情况，所以t 1＝t 1′、t 2＝ t 2′、t 3＝t 3′.故选A 、B.

10．【2012?湖北联考】如图为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B 点的速度与加速度相互垂横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如

图1－3－21所示．它们的竖直边长都是底边长的一半．现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其落点分别是a 、b 、c.下列判断正确的是( )

A ．图中三小球比较，落在a 点的小球飞行时间最短

B ．图中三小球比较，落在c 点的小球飞行过程速度变化最大

C ．图中三小球比较，落在c 点的小球飞行过程速度变化最快

D ．无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直 【答案】D

【解析】如图所示，由于小球在平抛运动过程中，可分解为 竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，由 于竖直方向的位移为落在c 点处的最小，而落在a 点处的最大，所以落在a 点的小球飞行时间最长，A 错误；而速度的变化量

Δv ＝gt ，所以落在c 点的小球速度变化最小，B 错误；三个小球做平抛运动的加速度都为重力加速度，故三个小球飞行过程中速度变化一样快，C 错误；因为平抛运动可等效为从水平位移中点处做直线运动，故小球不可能垂直落到左边的斜面上．假设小球落在右边斜面的b 点处的速度与斜面垂直，则tan θ＝v 0v y ＝1

2，由于两斜面的竖直边是底边长的一半，故小

球落在左边斜面最低点处时，因为2x ＝v 0t ，x ＝v ym

2t ，所以v ym ＝v 0，而v y ≤v ym ，所以tan

θ＝v 0

v y ≥1，与假设矛盾，故在右边斜面上，小球也不可能垂直落在斜面上，D 正确．

11．【2012?安徽联考】如右图所示，质量为m 的小球置于立方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间作用力恰为mg ，则 （ ） A ．该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于 B ．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于

g R

2πg

R 2π

C ．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于3mg

D ．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于3mg 【答案】B

【解析】要使在最高点时盒子与小球之间恰好为mg ，则盒子顶部对小球必然有向下的弹力

mg ，则有，解得该盒子做匀速圆周运动的速度，该盒子做匀速圆周

运动的周期为，选项A 错误，选项B 正确；在最低点时，盒子与小球之间

的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由，解得F ＝3mg ，选项

C 、

D 错误。

12．【2012?重庆模拟】如图1所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线

相连的质量相等的两个物体A 和B ，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况是( )

A ．两物体均沿切线方向滑动

B C ．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动

D ．物体B 仍随圆盘一起做匀速率圆周运动，物体A 发生滑动，离圆盘圆心越来越远 【答案】D

【解析】在烧断细线前，A 、B 两物体做圆周运动的向心力均是静摩擦力及绳子拉力的合力提供的，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力．因为两个物体在同一圆盘上随盘转动，故角速度ω相同．设此时细线对物体的的拉力为T ，则有

R

mv mg mg 2

=

+gR

v 2=

g

R

πv πR T 22==

R

mv mg F 2

=-对物体；对物体A T f m R B f T m R m A m m B

+=-=ωω22 B A