高中数学必修5第一章--解三角形检测题及答案
第一章 解三角形
一、选择题
1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )．
A ．10 km
B ．103km
C ．105km
D ．107km
2．在△ABC 中，若2
cos
A a ＝
2
cos
B b ＝
2
cos
C c
，则△ABC 是( )．
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )．
A ．15°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
4．在△ABC 中，三个角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )．
A ．3∶2∶1
B ．2∶3∶1
C ．1∶2∶3
D ．1∶3∶2
5．如果△A 1B 1C 1的三个角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个角的正弦值，则( )． A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形
D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )． A ．30°或150°
B ．60°
C ．60°或120°
D ．30°
7．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2
)sin C ＝0有两个不等的实根，则A 为( )．
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不存在
8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )．
A ．
22
3
B ．
2
3
3
C ．
2
3
D ．33 9．在△ABC 中，c b a c b a －＋－＋333＝c 2
，sin A ·sin B ＝43，则△ABC 一定是( )．
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
10．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．
A ．①只有一解，②也只有一解．
B ．①有两解，②也有两解．
C ．①有两解，②只有一解．
D ．①只有一解，②有两解．
二、填空题
11．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．
12．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos
2
2
A
，则此三角形是__________三角形． 13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，
b ＝5，S ＝53，求
c 的长度 ．
14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2
－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ．
15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为
4
39
3，则△ABC 的周长为________________． 16．在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．
三、解答题
17．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝3
3
b ，解此三角形．
18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角．
(第18题)
19．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ， (Ⅰ)求∠B 的大小；
(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：2
2
2c b a -＝C B A sin sin )(-．
参考答案
一、选择题 1．D
解析：AC 2
＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BC cos ∠ABC
＝102
＋202
－2×10×20cos 120° ＝700．
AC ＝107．
2．B
解析：由
2cos A a ＝
2cos B b ＝
2cos C c
及正弦定理，得2cos sin A A ＝2cos sin B B ＝2cos sin C C ，由2倍角
的正弦公式得2sin A ＝2sin B ＝2
sin C
，∠A ＝∠B ＝∠C ．
3．C
解析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得 a 2
＋b 2
－c 2
＝ab ．
∴ cos C ＝ab c b a 2222-+＝21
．
故C ＝60°． 4．D
解析：由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2． 5．D
解析：△A 1B 1C 1的三个角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 若△A 2B 2C 2不是钝角三角形，由?????????)－(＝＝)－(＝＝)－(＝＝1121121122πsin cos sin 2πsin cos sin 2
πsin cos sin C C C B B B A A A ，得???
?
?
????
12121
22π2π2πC C B B A A －＝－＝－＝，
那么，A 2＋B 2＋C 2＝
23π
－(A 1＋B 1＋C 1)＝2
π，与A 2＋B 2＋C 2＝π矛盾． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 6．C
解析：由
A a sin ＝
B b sin ，得sin A ＝b
B
a sin ＝2
222
32?
＝23，
而b ＜a ，
∴ 有两解，即∠A ＝60°或∠A ＝120°． 7．A
解析：由方程可得(sin A －sin C )x 2
＋2x sin B ＋sin A ＋sin C ＝0． ∵ 方程有两个不等的实根， ∴ 4sin 2
B －4(sin 2
A －sin 2
C )＞0． 由正弦定理
A a sin ＝
B b sin ＝C
c sin ，代入不等式中得 b 2－a 2＋c 2
＞0， 再由余弦定理，有2ac cos A ＝b 2
＋c 2
－a 2
＞0． ∴ 0＜∠A ＜90°． 8．B
解析：由余弦定理得cos A ＝2
1
，从而sin A ＝23，则AC 边上的高BD ＝233．
9．A
解析：由c
b a
c b a －＋－＋333＝c 2?a 3＋b 3－c 3＝(a ＋b －c )c 2?a 3＋b 3－c 2
(a ＋b )＝0?
(a ＋b )(a 2＋b 2－ab －c 2
)＝0．
∵ a ＋b ＞0，
∴ a 2
＋b 2
－c 2
－ab ＝0． (1) 由余弦定理(1)式可化为
a 2＋
b 2－(a 2＋b 2－2ab cos C )－ab ＝0，
得cos C ＝
2
1
，∠C ＝60°． 由正弦定理A a
sin ＝B b sin ＝?60sin c ，得sin A ＝c a ?60sin ，sin B ＝c b ?60sin ，
∴ sin A ·sin B ＝2
260sin c
ab )(?＝43
， ∴ 2c
ab ＝1，ab ＝c 2．将ab ＝c 2代入(1)式得，a 2＋b 2－2ab ＝0，即(a －b )2
＝0，a ＝b ．
△ABC 是等边三角形．
10．D
解析：由正弦定理得sin A ＝
b
B
a sin ，①中sin A ＝1，②中sin A ＝935．分析后可
知①有一解，∠A ＝90°；②有两解，∠A 可为锐角或钝角．
二、填空题 11．60°或120°． 解析：由正弦定理A a sin ＝B b sin 计算可得sin A ＝2
3
，∠A ＝60°或120°． 12．等腰．
解析：由已知得2sin B sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴ cos(B －C )＝1，得∠B ＝∠C ， ∴ 此三角形是等腰三角形． 13．21或61． 解：∵ S ＝
2
1
ab sin C ，∴ sin C ＝23，于是∠C ＝60°或∠C ＝120°．
又c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ，
当∠C ＝60°时，c 2
＝a 2
＋b 2
－ab ，c ＝21； 当∠C ＝120°时，c 2
＝a 2
＋b 2
＋ab ，c ＝61． ∴ c 的长度为21或61． 14．10＋53．
解析：由余弦定理可得c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ，然后运用函数思想加以处理． ∵ 2x 2
－3x －2＝0， ∴ x 1＝2，x 2＝－
2
1
． 又cos C 是方程2x 2
－3x －2＝0的一个根， ∴ cos C ＝－
2
1． 由余弦定理可得c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab ·(－
2
1)＝(a ＋b )2
－ab ，