高考数学模拟试题全国新课标卷
高考数学模拟试题全国新
课标卷
Newly compiled on November 23, 2020
高考模拟数学试题(一)（全国新课
标卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题
5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．i 为虚数单位,复数i
i
++13=
A ．i +2
B ．i -2
C ．2-i
D ．2--i
2．等边三角形ABC 的边长为1，如果
,,,BC a CA b AB c ===那么a b b c c a
?-?+?等于
A ．32
B ．32-
C ．1
2
D ．12
-
3．已知集合}4|4||{2<-∈=x x Z x A ，
}8121|{≥??
?
??∈=+y
N y B ，记A card 为集合
A 的元素
个数，则下列说法不正确．．．的是 A ．5card =A B ．3card =B C ．2)card(=B A D ．5)card(=B A
4．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为 A ．6 3 B ．8 C ．8 3
D ．12
5．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若
126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
6．下列说法正确的是 A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 C ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 D ．事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B
中恰有一个发生的概率小
7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为 A ．
1030020(())a x a x a a x +++的值 B ．3020100(())a x a x a a x +++的值
C ．0010230(())a x a x a a x +++的值
D ．2000310(())a x a x a a x +++的值
8．若(9x －13x
)n
输入开始
01230,,,,a a a a x 3
3,k S a ==输出S 结束
0k >0k S a S x =+*1k k =-否
是
（n ∈N *）的展开式的第3项的二项式 系数为36，则其展开式中的常数项为
A ．252
B ．－252
C ．84
D ．－84
9．若S 1＝??121
x d x ，S 2＝??1
2(ln x ＋1)d x ，S 3＝
??1
2
x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 1＜S 3＜S 2 D ．S 3＜S 1＜S 2
10．在平面直角坐标系中,双曲线22
1124
x y -=的
右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点。若△F AB 的面识
为l 的斜率为
A ．1313
2 B ．21 C ．4
1 D ．7
7 11．已知三个正数a ，b ，c 满足a c b a 3≤+≤，225)(3b c a a b ≤+≤，则以下四个命题正确的是
p 1：对任意满足条件的a 、b 、c ，均有b ≤c ； p 2：存在一组实数a 、b 、c ，使得b >c ；
p 3：对任意满足条件的a 、b 、c ，均有6b ≤4a +c ； p 4：存在一组实数a 、b 、c ，使得6b >4a +c . A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4 12．四次多项式)(x f 的四个实根构成公差为2的等差数列，则()f x '的所有根中最大根与最小根之差是
A ．2
B ．2 3
C ．4
D ．52
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分.
13．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）．
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归
方程为y
^＝＋，则表中t 的值为 ． 14．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π
2
]上为
增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取
值集合为 ．
15．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上
的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥
S -ABC 的体积为 ．
16．等比数列{a n }中，首项a 1＝2，公比q ＝3，
a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝720(m ，n ∈N *，m ＞n )，则
m ＋n ＝ ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分） 在?ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c,证明： （1）cos cos b C c B a +=； （2）
2
2sin cos cos 2C A B
a b
c
+=
+.
18．（本小题满分12分）
直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．
（1）求证：直线BD A AB 11平面⊥； （2）求二面角B D A A --1的大小正弦
值；
19．（本小题满分12分）
对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记量x
率，并假设每天的车流量相互独立． （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量
低于5万辆的概率；
（2）用X 表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距
为2且过点)2
3,1(．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值． 21．（本小题满分12分）
设函数x c bx ax x f ln )(2++=，（其
中c b a ,,为实常数）
（1）当1,0==c b 时，讨论)(x f 的单调区间；
（2）曲线)(x f y =（其中0>a ）在点
))1(f 1(，处的切线方程为33-=x y ，
（ⅰ）若函数)(x f 无极值点且)('x f 存在零点，求c b a ,,的值；
（ⅱ）若函数)(x f 有两个极值点，证明
)(x f 的极小值小于4
3－.
请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参
数方程为22cos ()sin 2x y α
αα
?=?=?是参数，以
原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方
程为1
sin cos ρθθ
=
-.
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的
直角坐标方程；
（2）求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标.
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
设函数()|2|f x x a a =-+.
（1） 若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；
（2） 在（1）条件下，若存在实数n ，使得()()f n m f n --≤恒成立，求实数m 的取值范围.
高考模拟数学试题（全国新课标卷）参考答案
一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分。
1-12 BDAA BBCC ABCD 二、填空题：
13. 50 14.{13，23，1} 15. 43
3 三、解答题:
17.证法一：（余弦定理法） （1）
2222222
2cos cos 222a b c a c b a b C c B b c a
ab ac a
+-+-+=+== （2）
222222
223223222cos cos 2222()2a c b b c a A B ac bc a b a b
ab ac a a b bc b ab a b c abc a b abc
+-+-+
+=
+++-++---+==
+
2222
22212sin
1cos 2222a c b C
C ab a b c ac c c c abc +-----+===
，所以等式成立
证法二：（正弦定理法）
（1）在?ABC 中由正弦定理得
2sin ,2sin b R B c R C ==，所以
（2）由（1）知cos cos b C c B a +=， 同理有 cos cos a C c A b +=
所以
cos cos cos cos b C c B a C c A a b +++=+
即
2
(cos cos )()(1cos )()2sin 2
C
c B A a b C a b +=+-=+?
所以
2
2sin cos cos 2C A B
a b
c +=
+
18. 解：（1）取BC 中点O ，连结AO ．
ABC ? 为正三角形，BC AO ⊥∴ 11B BCC ABC 平面平面⊥∴且相交于
BC 11B BCC AO 平面⊥∴ 取11C B 中点1O ，则
11//BB OO BC OO ⊥∴1
以O 为原点，如图建立空间直角坐标系xyz O -， 则
()()()()())0,0,1(,0,2,1,3,0,0,3,2,0,0,1,1,0,0,111--C B A A D B
0,0111=?=?BA AB BD AB ，
111,BA AB BD AB ⊥⊥∴． ⊥∴1AB 平面1A BD ． （2）设平面AD A 1的法向量为
()z y x ,,=．()()0,2,0,3,1,11=--=AA AD ．
令1=z 得()
1,0,3-=n 为平面AD A 1的一个法向量．
由（1）()
3,2,11-=AB 为平面1A BD 的法向量．
4
6
,cos 1-
>=<∴AB n ．∴所以二面角B D A A --1的大小的正弦值为
4
10
． 19. 解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则 P (A 1)＝＋＋＝， P (A 2)＝，
所以P (B )＝×××2＝
（Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率分别为
027.0)7.01()0(303=-?==C X P ，
189.0)7.01(7.0)1(21
3=-??==C X P ，
441.0)7.01(7.0)2(223=-??==C X P ，
343.07.0)3(333=?==C X P .
因为X ～B (3，，所以期望E (X )＝3×＝.
20. 解：（1）由已知可得
???
??=+=-=，149
1,2222222b a
b a
c 解得a 2＝4，b 2＝3，
所以椭圆C 的标准方程是13
42
2=+y x .
（2）由已知得：122F F =，由于四边形ABCD 是椭圆的内接四边形， 所以原点O 是其对称中心，且
()()
1211212
22AF F AF B AF F BF F S S S S ????=+=+()122A B A D F F y y y y =+=-，
当直线AD 的斜率存在时，设其方程为
()1y k x =-，
代入椭圆方程，整理得：
()2
2
22344120k x
k x k +-+-=，
由韦达定理得：
2222
8412
,3434A D A D k k x x x x k k -+==
++， ∴
()
()()((22
2
22
2
22
144434A D A D A D A D k k y y k x x k x x x x k
??-=-=+-=
??
+，
∴
2ABCD
A D S
y y =-==，
当直线AD 的斜率不存在时，易得：
331,,1,22A D ???
?- ? ????
?，∴
26ABCD
A D S
y y =-=，
综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是6．
21. 解：（1）当1,0==c b 时
x
ax x ax x f 1
212)('2+=+=，)0(>x ………
1分
当0≥a 时，0)('>x f 很成立，)(x f ∴在
),0(+∞上是增函数；………2分
当0 x 21- =或a x 21 - -=（舍）………3分 令0)('>x f 得a x 21 0- <<；令0)(' x 21- > )(x f ∴在上)21 ,0(a - 是增函数，在)+∞上是减函数………4分 (2) (i)x c b ax x f + +=2)('由题得? ? ?==3)1('0 )1(f f ， 即???=++=+320c b a b a ?? ?-=-=?a c a b 3． 则x a ax ax x f ln )3()(2-+-=， x a ax ax x a a ax x f -+-= -+-=3232)('2（ⅰ）由)(x f 无极值点且)('x f 存在零点，得0)3(82=--a a a )0(>a 解得38= a ，于是38-= b ，3 1 -=c ． （ⅱ）由(i)知 )0(32)('2>-+-=x x a ax ax x f ，要使函 数)(x f 有两个极值点，只要方程 0322=-+-a ax ax 有两个不等正根， 设两正根为21,x x ，且21x x <，可知当 2x x =时有极小值)(2x f ．其中这里 ,4 1 01< 2 1x 412<<， 且03222 2=-+-a ax ax ，得 1 2322 2---= x x a 【也可用以下解法：由(Ⅱ)知 )0(32)('2>-+-=x x a ax ax x f ，要使函 数)(x f 有两个极值点，只要方程 0322=-+-a ax ax 有两个不等正根， 那么实数a 应满足 ????? ???? >>->--0)2(2030)3(82a a a a a a ， 解得33 8