双曲线习题及标准答案

圆锥曲线习题——双曲线

1. 如果双曲线2

2y x -

＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（） (A)

64 (B)

2 (C)62 (D)32

2. 已知双曲线C ∶22

221(x y a a b

-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的

圆的半径是（A ）a

(B)b

(C)ab

(D)22b a +

3. 以双曲线

221916

x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（） A ．2

1090x y x +-+= B ．22

10160x y x +-+= C ．2

10160x y x +++=

D ．2

1090x y x +++=

4. 以双曲线2

2x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）Ａ．2

430x y x +--= Ｂ．22

430x y x +-+= Ｃ．2

450x y x ++-=

Ｄ．2

450x y x +++=

5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32

的点到右焦点的距离大于它到左准

线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)

B.(2,+∞)

C.(1,5)

D. (5,+∞)

6. 若双曲线122

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心

率是（）

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5

7. 过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的

两条渐近线的交点分别为,B C ．若1

AB BC =

，则双曲线的离心率是 ( )

8. 已知双曲线

)0(1222

2>=-b b

y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ?＝（）

A. -12

B. -2

C. 0

D. 4 二、填空题

9. 过双曲线

1916

x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为_______

10. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲

线上存在一点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c

=，则该双曲线的离心率的取值范围是．

11. 过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于

,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为______ 12. 已知点P 在双曲线

1169

x y -=上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P 点的横坐标是_________

13. 已知12,F F 是双曲线

1169

x y -=的两个焦点，PQ 是过点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为α，那么22||||||PF QF PQ +-的值是__________

14. 已知(6,0),(6,0)B C -是ABC 的两个顶点，内角,,A B C 满足

sin sin sin 2

B C A -=

，则顶点A 的轨迹方程是________________ 15. 过双曲线42

=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0

105的直线，交双曲线于PQ 两点，则

|FP||FQ|的值为__________.

16. 已知P 是双曲线22

221x y a b

-=上除顶点外任意一点，12,F F 为左右焦点，C 为半焦距，

12PF F 内切圆与12F F 切于点M ，则12||||F M F M ?的值为__________

三、解答题

17. 如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上

一点，30POB ∠=?，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线

C 过点P .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .

若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.

18. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直

于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA

同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

19. 已知双曲线2

2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交

于A B ，两点．

（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 已知双曲线C 的方程为22

221(0,0)y x a b a b

-=>>，离心率2e =，顶点到渐近线的距

离为

。（1）求双曲线C 的方程；

（2）如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的

两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,[,2]3

AP PB λλ=∈，求AOB ?面积的取值范围

双曲线习题解答题详细答案

选择题：

1. A

2. B

3. A

4. B

5. B

6. D

7. C

8. C 填空题：

10. (1,1+ 11. 2 12. 64

13. 16 14.

1(3)927

x y x -=<-

15. ||||3

FP FQ ?=

16. 2

12||||F M F M b ?=

17.

如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB

中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=?，曲线

C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .

若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.

解：（Ⅰ）以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得

｜MA ｜-｜MB ｜=｜P A ｜-｜PB ｜＝221321)32(2

＝）（+--++＜｜AB ｜＝4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.

设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.

∴曲线C 的方程为12

2=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜P A ｜-｜PB ｜＜｜AB ｜＝4.

∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为a b

y a x (122

22=-＞0，b ＞0）.

则由 ??

???=+=-411

3222

b a b

a ）（解得a 2=

b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12

2=-y x

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴?????-?+-=?≠0

)1(64)4(012

k k k －

?1k k ≠±???<

,142

,于是｜EF ｜＝22122

212

21))(1()()(x x k x y x x -+=

++-

＝.132214)(12

212212k

k k x x x x k --?

+=-+?+

而原点O 到直线l 的距离d ＝

12k

+，

∴S △DEF =.1322132211221212222

22k

k k k k k EF d --=--?+?+?=? 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有

　解得.22,022********

≤≤-≤--?≥--k k k k k ③

综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1,2). 解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴2

10(4)46(1)0

k k k ?≠???=-+?->??－

?1k k ≠±???<

212

21k

k k

x x x x --=

-?=

-+③

当E 、F 在同一去上时（如图1所示）， S △OEF ＝;2

212121x x OD x x OD S S ODE ODF -?=-?=

-?? 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.

+=??ODF OEF S S S △ODE =.2

)(212121x x OD x x OD -?=+? 综上得S △OEF ＝

21x x OD -?于是由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.13222

k --

若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥?OEF S

.22,022*******

≤≤-≤-?≥--k k k k k 解得④

综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.

18.（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+

由勾股定理可得：2

()()m d m m d -+=+ 得：14d m =

，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23

AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴2

431b

a b a =??

- ???，解得12b a =,

则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a

y x c b

=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立

将2a b =

，c =

代入，化简有

22152104x x b b

-+=

124x =-=

将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为

1369

x y -=。 19.解：由条件知1(20)F -，

，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）解法一：（I ）设()M x y ，，则则1

(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得 121226x x x y y y +=++??

=+?，即1212

4x x x y y y +=-??+=?，于是AB 的中点坐标为422x y -??

???

，．

当AB 不与x 轴垂直时，1212

24822

y y y x x x x -==

----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22

222x y -=，两式相减得

12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．

将1212()8

y y x x x -=

--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是2

(6)4x y --=．

解法二：同解法一的（I ）有12124x x x y y y

+=-??

+=?，

当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入2

2x y -=有2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2

12241

k x x k +=-．

21212244(4)411k k

y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??

．

由①②③得2

2441k x k -=-．…………………………………………………④

y k =

-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，

x k y

-=，将其代入⑤有 222

44(4)(4)(4)1x y x y y x x y

y -?

-==----．整理得22

(6)4x y --=．当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．

当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．

故点M 的轨迹方程是22

(6)4x y --=．

（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．

当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入2

2x y -=有2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421

k x x k +=-，

于是2

1212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--

22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++

22222222

(1)(42)4(2)

411k k k k m k m k k +++=-++-- 222

2(12)2442(12)11

m k m m m m k k -+-=+=-++--．因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．

当AB 与x 轴垂直时，点A B ，

的坐标可分别设为(2

，(2，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，

．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．

20.（Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a ）到渐近线05

by -=的距离为

，

5ab c =

由22252

12ab c a c

b a

c c a b ?=

???=???==????=??=+???

得

所以曲线C 的方程是2

y 4

21x -= （Ⅱ）设直线AB 的方程为,y kx m =+ 由题意知2,0k m <>

由2,),222y kx m m m

A y x

k k =+??

=--?得点的坐标为（

由2,),222y kx m m m

B y x k k =+?-?

=-++?

得点的坐标为（

121,(),()122122m m AP PB P k k k k

λλλλλ=-++-++-+得点的坐标为（uu u r uu r

将P 点的坐标代入2

1x -=2y 4得2224(1)4m k λλ

+=- 设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为（0，m ）

AOB S ?=AOQ BOQ S S ??+

111

()222114()2222411()12A B A B OQ x OQ x m x x m m m m k k k λλ=

+=-=+=-+-=++g g g