11与圆锥有关的计算.习题集(2014-2015)-教师版
题型一：求圆锥的侧面积与全面积
【例1】如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸杯的侧面积为__________cm2．（结果保留π）
【答案】75π
【例2】圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为_____________2
cm
（2014年泰州）【答案】60π
【例3】如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且
1
3
sinθ=，则该圆锥的侧面积是（）
A．242πB．24πC．16πD．12π
【答案】D
【例4】如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具，那么这个教具的用纸面积是______ cm2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）．
（2013年盘锦）【答案】300π
课堂练习
与圆锥有关的计算学案
【例5】 一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1．则这个圆锥形零件的全面积是____． 【答案】5π
【例6】 将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是33，则圆锥的侧面积
是________． 【答案】18π
【例7】 在Rt ABC ?中，9034C AC BC ∠=?==，
，，将ABC ?绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是________．
【答案】20π
【例8】 如图，圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，那么这个圆锥的侧面积是_________cm 2．
（2014年双柏县二模）
【答案】15π
【例9】 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，母线AB 与底面半径OB 的夹角
为α，4
tan 3
α=
，则圆锥的侧面积是__________平方米。（结果保留π） （2014年永州模拟）
【答案】60π
【例10】 已知某几何体的三视图（单位：cm ），则这个圆锥的侧面积等于______________
（2014年杭州）
【答案】215πcm
【例11】 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是______________
（2014年宁夏）
【答案】210πcm
【例12】 （1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？
（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？ （3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．
【答案】解：（1）连接BC ，则20BC = ，
∵90BAC AB AC ∠=?=， ， ∴102AB AC == ∴2
90π(102)50π360
S ?==扇形
（290π102
52?=
∴52r =
（3）延长AO 交O 于点F ，交扇形于点E ，20102EF =-1052r < ， ∴不能
题型二：求圆锥的母线、底面半径、高以及展开以后扇形的圆心角等
【例13】 已知圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ，则此圆锥侧面展开图的圆心角是________
（2014年安顺）
【答案】180°
【例14】 圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为_________
（2014年鄂州）
【答案】180°
【例15】 如图，如果从半径为5cm 的圆形纸片上剪去1
5
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接
缝处不重叠），那么这个圆锥的高是______________cm ．
【答案】3
【解析】∵从半径为5cm 的圆形纸片上剪去1
5
圆周的一个扇形，
∴留下的扇形的弧长4(2π5)
8π5
l ?=
= 根据底面圆的周长等于扇形弧长，
∴圆锥的底面半径8π
42π
r =
=， ∴圆锥的高为22543h cm =-=
【例16】 如图，圆锥的侧面积为15π，底面积半径为3，则该圆锥的高AO 为________
（2014年黔南州）
【答案】4
【例17】 如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒
的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是_________cm ．
【答案】4
【解析】∵把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，
∴扇形的弧长为：1
283r ππ?=
∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴28r ππ=，解得：4r cm =
【例18】 若圆锥的侧面展开是一个弧长为l6π的扇形，则这个圆锥的底面半经是_______． 【答案】8
【例19】 在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的
半径为R ，扇形的圆心角等于120°（如图），则r 与R 之间的关系是_________
（2014年玉林一模）
【答案】
3R r = 【例20】 如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为_______
（2014年绍兴）
【答案】3π2
【例21】 一个圆锥的底面半径是6cm ，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为_______． 【答案】12cm
【例22】 如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径13OA cm =，扇形的弧
长为10πcm ，那么这个圆锥形帽子的高是__________cm ．（不考虑接缝）
（2014年盘锦）
【答案】12
【例23】 用一圆心角为120°，半径为6cm 的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是_________
（2013年眉山）
【答案】2cm
题型三：与圆锥有关的最短路径问题
【例24】 圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．求在圆锥的侧面上从B 点到
P 点的最短路线的长．
【答案】解：圆锥底面是以BC 为直径的圆，圆的周长是6BC ππ=，
以AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以A 为圆心，以AB 为半径的扇形，弧长是6l π=， 设展开后的圆心角是n°，则π6
6π180
n ?=， 解得：180n = ，
即展开后1
180902
BAC ∠=??=? ，
1
362
AP AC AB ===，，
则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长就是展开后线段BP 的长， 由勾股定理得：35BP = ，
答：在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长是35
【例25】 如图，圆锥的轴截面ABC ?是一个以圆锥的底面直径为底边，圆锥的母线为腰的等腰三角形，若
圆锥的底面直径4BC cm =，母线6AB cm =，则由点B 出发，经过圆锥的侧面到达母线AC 的最短路程是？
（2014年新泰市一模）
【答案】沿母线AB 把圆锥展开，如图，
过B 作BD AC ⊥'于D ，
弧1
2π22π2BC '=??=
设C AB n ∠'=?， ∴π6
2180n π?=
?
∴60n =?，即60DAB ∠=?， 在Rt ADB ?中，3AD = ∴33BD =
所以由点B 出发，经过圆锥的侧面到达母线AC 的最短路程为33
【例26】如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．
【答案】把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形，
则蚂蚁运动的最短路程为AA'（线段）．
由此知：3
OA OA r
='=，'
ADA的长即为圆锥的底面周长为2πr．
∴
π3
2
180
n r
r
π
?
=
?
，120
n=?，
即120
AOA
∠'=?，30
OAC
∠=?．
∵'
OA OA
=，
∴OC AA
⊥'，
∴
13
22
OC OA r
==
∴22
3
3
2
AC OA CO r
=-=
∴233
AA AC r
'==
即蚂蚁运动的最短路程是33r
【练1】某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，底面半径OB=6米，则圆锥的侧面积是__________平方米（结果保留π）．
A
B
O 【答案】60π
课后作业
【练2】 若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆
的半径的长_______．
【答案】4．
【练3】 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（ ）
（2014年临沂）
【答案】24πcm
【练4】 如图，一个圆锥的高为33cm ，侧面展开图是半圆．求：
（1）圆锥的母线长与底面半径之比； （2）求BAC ∠的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
【答案】解（1）设此圆锥的高为h ，底面半径为r ，母线长AC l =，
∵2r l ππ= ，
∴2l
r
= （2）∵AO OC ⊥ ，2l
r
=，
∴圆锥高与母线的夹角为30°， 则60BAC ∠=? ；
（3）由图可知22233l h r h cm =+=， ，
∴22
2233r r =+（）（） ，即22427r r =+ ，
解得3r cm = ， ∴26l r cm == ，
∴圆锥的侧面积为18π（cm 2）．
【练5】 如图，圆锥底面圆的半径为2cm ，母线长为4cm ，点B 为母线的中点．若一只蚂蚁从A 点开始经
过圆锥的侧面爬行到B 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为?
【答案】由题意知，圆锥底面圆的半径为2cm ，故底面周长等于4πcm ．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n ?， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，π4
4π180n ?=
?
解得：180n =，所以展开图中90AOB
∠'=?， 根据勾股定理求得22'16425A B OA BO '=+=+=