不等式放缩技巧十法
第六章 不等式
第二节 不等式放缩技巧十法
证明不等式,其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下十种:
一 利用重要不等式放缩
1. 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证
.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k
=+=
2
1
21)1(+=++<
+ (1 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k , 即 .2 )1(22)1(2)1(2 +<++<<+n n n n S n n n 注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式2 b a a b +≤ ,若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2 1 +> ++=+<∑=n n n k S n k n ,就放过“度”了! ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 2111111++≤ ++≤≤++ 其中,3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 2 已知函数bx a x f 211)(?+= ,若5 4)1(= f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2 1 21)()2()1(1-+ >++++n n n f f f [简析] 411 ()11(0)141422x x x x f x x ==->-≠++? 1 (1)()(1)22 f f n ?++>- ?211 (1)(1)2222n +- ++- ?? 1111111(1).42 222 n n n n -+=-++ + =+- 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 简析 不等式左边1 2 3 n n n n n C C C C +++ +=12222112-++++=-n n n n n 122221-?????> =2 1 2 -?n n , 故原结论成立. 【例4】已知22 2121n a a a ++ +=,22 2121n x x x ++ +=, 求证:n n x a x a x a +++ 2211≤1. 【解析】使用均值不等式即可:因为22 (,)2 x y xy x y R +≤∈,所以有 222222 1122 1122222n n n n a x a x a x a x a x a x +++++ +≤++ + 22 2 22 2121211 1.2 2 22 n n a a a x x x ++++++=+ = += 其实,上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。本题还可以推广为: 若22212n p a a a ++ +=,22 2 12(,0)n q p q x x x ++ +=>, 试求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。 请分析下述求法:因为22 (,)2 x y xy x y R +≤∈,所以有 222222 1122 11 22222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++ 222222 1212.222 n n a a a x x x p q +++++++=+= 故n n x a x a x a +++ 2211的最大值为2p q +,且此时有(1,2, ,)k k a x k n ==。 上述解题过程貌似完美,其实细细推敲,是大有问题的:取“=”的条件是 (1,2, ,)k k a x k n ==,即必须有221 1 n n k k k k a x ===∑ ∑,即只有p=q 时才成立! 那么,p q ≠呢其实例6的方法照样可用,只需做稍稍变形转化: 222222122 2 2 2 1, 1, () () () () n n p q q q a x x x + =+ ++ = 则有 1122n n n n a x a x a x ++ += 222 2 22122 2 2 2 )( )] ()() () ()n n pq p q q q a x x x ++ ++ ++ = 于是,1122max ()n n a x a x a x +++1,2, ,). k n == 结合其结构特征,还可构造向量求解:设1212(,,,),(,,,)n n m a a a n x x x ==,则 由||||||m n m n ?≤立刻得解: 22 222 2 11221212||.n n n n a x a x a x a a a x x x pq ++ +≤++ ++++= 且取“=”的充要条件是:12 12n n x x x a a a == 。 特别提醒:上述题目可是我们课本上的原题啊!只是我们做了少许的推广而已! 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+ +++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有: 法1 利用假分数的一个性质 )0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??122563412n n =+??n n 212674523 )12(212654321+?-??n n n ?12)122563412(2 +>-??n n n 即.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-++++n n 法 2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+* x x n N n nx x n 的一个特例 1 21 21)1211(2-?+>-+ k k (此处121,2-==k x n )得 =-+∏?-+>-+=)1211(12121 21 11k k k k n k .121 21 21+=-+∏=n k k n k 注:例5是1985年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题;进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是: 证明.13)2 31 1()711)(41 1)(11(3+>-+ +++n n (可考虑用贝努利不等式3=n 的特例) 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤+-++++=*n N n a n n a n x f x x x x 给定 求证:)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意* ∈N n 且2≥n 恒成立。 [简析] 本题可用数学归纳法证明,详参高考评分标准;这里给出运用柯西(Cauchy )不 等式∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 1 21 22 1 ] )([ 的简捷证法: ?>)(2)2(x f x f >?+-++++n n a n x x x x 2222)1(321lg n n a n x x x x ?+-++++)1(321lg 2 2])1(321[x x x x n a n ?+-++++? ])1(321[2222x x x x n a n n ?+-++++?< 而由Cauchy 不等式得2 ))1(1312111(x x x x n a n ?+-?++?+?+? ?++<)11(22 ])1(321[22222x x x x n a n ?+-++++ (0=x 时取等号) ≤])1(32 1[2222x x x x n a n n ?+-++++? (10≤ 例7 已知112111,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828e ≈) [解析] )(II 结合第)(I 问结论及所给题设条件ln(1)x x +< (0x >)的结构特征,可得 放缩思路:?+++ ≤+n n n a n n a )21 11(211211ln ln(1)ln 2n n n a a n n +≤++++ n n n n a 21 1ln 2+++ ≤。 于是n n n n n a a 21 1ln ln 21+ +≤ -+, . 221122 11)21(111ln ln )2 11()ln (ln 1 1211 111 <--=--+-≤-?++≤---=+-=∑ ∑n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 2 1e a a a n n <- 【注】:题目所给条件ln(1)x x +< (0x >)为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放 缩方向的作用;当然,本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩: ?-+-+ ≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n 11 1(1)(1)(1) n n a a n n ++≤++- 111 ln(1)ln(1)ln(1). (1)(1) n n a a n n n n +?+-+≤+ <-- 11 1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 11 2 <-<+-+?-<+-+?∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i , 即.133ln 1)1ln(2 e e a a n n <-+<+ 【例8】已知不等式 211 11 [log ],,223 2 n n N n n *+++ >∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(1 1 1≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+< n n b b a n 【简析】 当2≥n 时n a a a n a a n na a n n n n n n n 1 1111111+=+≥?+≤ -----, 即 n a a n n 1111≥--.1 )11(212k a a n k k k n k ∑∑=-=≥-? 于是当3≥n 时有 ?>-][log 211121n a a n .] [log 222n b b a n +< 注:①本题涉及的和式 n 1 3121+++ 为调和级数,是发散的,不能求和;但是可以利用所给题设结论 ][log 2 1 131212n n >+++ 来进行有效地放缩; ②引入有用结论在解题中即时应用,是近年来高考创新型试题的一个显著特点,有利于培养学生的学习能力与创新意识。再如: 设函数()x f x e x =-。 (Ⅰ)求函数()f x 最小值; (Ⅱ)求证:对于任意n N * ∈,有1().1n n k k e n e =<-∑ 【解析】(Ⅰ)1; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得1x e x ≥+,对x>-1有(1)n nx x e +≤,利用此结论进行巧妙赋 值:取1,1,2,,k x k n n = -=,则有 121011()12 11 111()()()()()()()11111n n n n n n n e e n n n e e e e e e e ---+++≤++++= <=--- 即对于任意n N * ∈,有 1().1n n k k e n e =<-∑ 例9 设n n n a )11(+=,求证:数列}{n a 单调递增且.4 [解析] 引入一个结论:若0>>a b 则)()1(11a b b n a b n n n -+<-++ (可通过构造一个等比数列求和放缩来证明,略) 整理上式得].)1[(1 nb a n b a n n -+>+(?), 以n b n a 1 1,111+=++ =代入(?)式得>++ +1)111(n n .)11(n n + 即}{n a 单调递增。 以n b a 211,1+ ==代入(?)式得.4)211(21)211(12<+??+>n n n n 此式对一切正整数n 都成立,即对一切偶数有4)11(<+n n ,又因为数列}{n a 单调递增,所以对一切正整数n 有4)11(<+n n 。 注:上述不等式可加强为.3)11(2<+ ≤n n 简证如下: 利用二项展开式进行部分放缩: .1111)11(221n n n n n n n n C n C n C n a ++?+?+=+= 只取前两项有.21 11 =? +≥n C a n n 对通项作如下放缩: .212211!111!111-=?≤<+-?-??=k k k n k n k n n n n n k n C 故有.32/11)2/1(12122 12121111 12<--? +=+++++<--n n n a 二 部分放缩 例10 设++ =a n a 21111 ,23a a a n ++ ≥,求证:.2 =a n a 211.131211131222n n a a ++++≤++ 又2),1(2 ≥->?=k k k k k k (只将其中一个k 变成1-k ,进行部分放缩), k k k k k 1 11)1(112- -=-<∴ , 于是) 111()3121()211(11312112 22n n n a n --++-+-+<++++ ≤ .212<-=n 【例11】 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 12 1,当31≥a 时证明对所有,1≥n 有: 2)(+≥n a i n ; 2 1 111111) (21≤++++++n a a a ii . 【解析】 )(i 用数学归纳法:当1=n 时显然成立,假设当k n ≥时成立即2+≥k a k , 则当1+=k n 时312)2(1)2(1)(1+>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ,成立。 )(ii 利用上述部分放缩的结论121+≥+k k a a 来放缩通项,可得 ?+≥++)1(211k k a a 111112(1)242k k k k a a --++≥ ≥+≥?= 11112k k a +?≤+111 1 1()1 1112.11242 12 n n n i i i i a +==-?≤=? ≤+-∑∑ 【注】上述证明)(i 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: 31)2)(2(1+>+-++≥+k k k k a k ; 证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121+≥+k k a a 。 三 添减项放缩 上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。 例12 设N n n ∈>,1,求证) 2)(1(8)32( ++ )3 2(的结构,注意到n n )2 11()2 3 (+=,展开得 123231111(1)12222n n n n C C C +=+?+?+?+(1)(1)(2)6 1288 n n n n n -+++≥++= 即8 )2)(1()211(++>+n n n ,得证. 例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1 ,211 =+ ==+n a a a a n n n (Ⅰ)证明12+>n a n 对一切正整数n 成立; (Ⅱ)令),2,1( == n n a b n n ,判定n b 与1+n b 的大小,并说明理由。 [简析] 本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有 法1 用数学归纳法(只考虑第二步)1)1(22121 2221 2 ++=++>+ +=+k k a a a k k k ; 法2 2122221 2 +>+ +=+n n n n a a a a .1,,2,1,22 21-=>-?+n k a a k k 则?+>+>?->-1222)1(22 212 n n a n a a n n 12+>n a n 四 利用单调性放缩 1. 构造数列 如对上述例1,令2)1(2 +-=n S T n n 则02 32)2)(1(1<+- ++=-+n n n T T n n , }{,1n n n T T T ∴>?+递减,有0221<-=≤T T n ,故.2 )1(2 +< n S n 再如例5,令1 2)121 1()511)(311)(11(+-++++=n n T n 则13 212221>+++= =+n n n T T n n , 即}{,1n n n T T T ∴<+递增,有13 21>=≥T T n ,得证! 2.构造函数 例14 已知函数2 2 3)(x ax x f - =的最大值不大于61,又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)设*+∈=< 1 011,证明.11+< n a n [解析] (Ⅰ)a =1 ;(Ⅱ)由),(1n n a f a =+得 6 1 61)31(2323221≤+--=-=+n n n n a a a a 且.0>n a 用数学归纳法(只看第二步):)(1k k a f a =+在)1 1 , 0(+∈k a k 是增函数,则得.2 1)11(2311)11( )(21+<+-+=+<=+k k k k f a f a k k 例15 数列{}n x 由下列条件确定:01>=a x ,,211???? ? ?+= +n n n x a x x N n ∈. (I ) 证明:对2≥n 总有a x n ≥; (II) 证明:对2≥n 总有1+≥n n x x [解析] 构造函数,21)(?? ? ??+= x a x x f 易知)(x f 在),[+∞a 是增函数。 当1+=k n 时??? ? ??+= +k k k x a x x 211在),[+∞a 递增,故.)(1a a f x k =>+ 对(II)有=-+1n n x x ??? ? ??-n n x a x 21,构造函数,21)(??? ??-=x a x x f 它在),[+∞a 上是增函数,故有= -+1n n x x ≥??? ? ??-n n x a x 210)(=a f ,得证。 【注】①本题为02年高考北京卷题,有着深厚的科学背景:是计算机开平方设计迭代程序的根据;同时有着高等数学背景——数列{}n x 单调递减有下界因而有极限: ).(+∞→→n a a n ②??? ??+= x a x x f 21)(是递推数列??? ? ??+=+n n n x a x x 211的母函数,研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。 五 换元放缩 例16 求证).2,(1 2 11≥∈-+ <<*n N n n n n [简析] 令n n n h n a +==1,这里),1(0>>n h n 则有 )1(1 2 02)1()1(2 >-<-> +=n n h h n n h n n n n n , 从而有.1 2111-+ <+= 例17 设1>a ,N n n ∈≥,2,求证4 )1(2 2->a n a n . [简析] 令1+=b a ,则0>b ,b a =-1,应用二项式定理进行部分放缩有 2 2 2221102 )1()1(b n n b C C b C b C b C b a n n n n n n n n n n n n -= >++++=+=--- , 注意到N n n ∈≥,2,则4 2)1(222b n b n n ≥ -(证明从略),因此4)1(22->a n a n . 六 递推放缩 递推放缩的典型例子,可参考上述例11中利用)(i 部分放缩所得结论121+≥+k k a a 进行递推放缩来证明)(ii ,同理例7)(II 中所得n n n n n a a 2 11ln ln 21++≤ -+和) 1(1)1ln()1ln(1-< +-++n n a a n n 、例8中 n a a n n 1 111≥--、 例13(Ⅰ)之法2所得22 21>-+k k a a 都是进行递推放缩的关键式。 七 转化为加强命题放缩 如上述例10第)(ii 问所证不等式右边为常数,难以直接使用数学归纳法,我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题: .2 1 21111111121+-≤++++++n n a a a 再用数学归纳法证明此加强命题,就容易多了。 例18 设10< n += +=+1 ,111,求证:对一切正整数n 有.1>n a [解析] 用数学归纳法推1+=k n 时的结论11>+n a ,仅用归纳假设1>k a 及递推式 a a a k k += +1 1是难以证出的,因为k a 出现在分母上!可以逆向考虑: .11111a a a a a k k k ->+= + 故将原问题转化为证明其加强命题: 对一切正整数n 有.11 1a a n -< <(证略) 例19 数列{}n x 满足.,21 2211n x x x x n n n +==+证明.10012001 [简析] 将问题一般化:先证明其加强命题.2 n x n ≤ 用数学归纳法,只考虑第二步: .21 412)2(1222221+<+=?+≤+=+k k k k k k x x x k k k 因此对一切* ∈N x 有.2 n x n ≤ 例20 已知数列{a n }满足:a 1= 3 2 ,且a n =n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈--(,)+- (1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明:对一切正整数n 有a 1a 2……a n 2n ! [解析]:(1)将条件变为:1- n n a =n 1 1n 113a --(-) ,因此{1-n n a }为一个等比数列,其首项为1-11a =13,公比13,从而1-n n a =n 13,据此得a n =n n n 331?-(n 1) (1) (2)证:据1得,a 1a 2…a n = 2n n 111111333 ?! (-)(-)…(-) , 为证a 1a 2……a n 2n !, 只要证n N 时有2n 111 111333 ?(-)(-)…(-) 12……2 显然,左端每个因式都是正数,先证明一个加强不等式: 对每个n N ,有2n 1 11111333?(-)(-)…(-)1-(2n 111333 ++…+)……3 (用数学归纳法,证略) 利用3得2n 111111333 ?(-)(-)…(-)1-(2n 111333++…+) =1-n 111331 13 〔-()〕 - =1-n n 11111123223〔-()〕=+()12 。 故2式成立,从而结论成立。 八. 分项讨论 例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n (Ⅰ)写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)证明:对任意的整数4>m ,有 8 711154<+++m a a a . [简析] (Ⅰ)略,(Ⅱ) [] .)1(23 212 ---+= n n n a ; (Ⅲ)由于通项中含有n )1(-,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当3≥n 且n 为奇数时 1 2222223)121121(231121321 2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2 121(2322223123212-----+?=+? =+++m a a a 1 1154 )11()11(11654m m a a a a a +++++- .87 8321)2 11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++< --m m ②当4>m 且m 为奇数时 <+++m a a a 11154 1 541111+++++m m a a a a (添项放缩) 由①知 .8 7 1111154<+++++m m a a a a 由①②得证。 九. 借助数学归纳法 例22(Ⅰ)设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ,求)(x f 的最小值; (Ⅱ)设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ,求证: n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log [解析] 这道高考题为05年全国卷Ⅰ第22题,内蕴丰富,有着深厚的科学背景:直接与高等数学的凸函数有关!更为深层的是信息科学中有关熵的问题。(Ⅰ)略,只证(Ⅱ): 考虑试题的编拟初衷,是为了考查数学归纳法,于是借鉴詹森不等式的证明思路有: 法1(用数学归纳法) (i )当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立. (ii )假定当k n =时命题成立,即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p 满足, 则.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++ 当1+=k n 时,若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足(*) 为利用归纳假设,将(*)式左边均分成前后两段: 令.,,,,222211221x p q x p q x p q p p p x k k k === +++= 则k q q q 221,,, 为正数,且.1221=+++k q q q 由归纳假定知.log log log 222222121k q q p p p q k k -≥+++ k k k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++ ,log )()log 22x x k x x +-≥+ (1) 同理,由x p p p k k k -=++++++1122212 得 1122212212log log ++++++k k k k p p p p ).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥(2) 综合(1)(2)两式11222222121log log log +++++k k p p p p p p ).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x 即当1+=k n 时命题也成立. 根据(i )、(ii )可知对一切正整数n 命题成立. 法2 构造函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+= ],log )1(log )1(log [)(222c c x c x c x c x c x g +--+= 利用(Ⅰ)知,当.)(,)2 (21取得最小值 函数时即x g c x c x == 对任意都有,0,021>>x x 2 log 22log log 2 1 221222121x x x x x x x x ++? ≥+]1)()[log (21221-++=x x x x ② (②式是比①式更强的结果). 下面用数学归纳法证明结论. (i )当n=1时,由(I )知命题成立. (ii )设当n=k 时命题成立,即若正数有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p 1 1111122212212222121221221222222121log log log log . 1,,,,1. log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p p p k n k p p p p p p 令满足时当 对(*)式的连续两项进行两两结合变成k 2项后使用归纳假设,并充分利用②式有 , 1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H 因为 由归纳法假设 ,)(log )()(log )(1111 212221 2 21221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++-- 得).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k 即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立. 【评注】(1)式②也可以直接使用函数x x x g 2log )(=下凸用(Ⅰ)中结论得到; (2)为利用归纳假设,也可对(*)式进行对应结合:i i i n p p q +-+=12而变成k 2项; (3)本题用凸函数知识分析如下: 先介绍詹森(jensen )不等式:若 ()f x 为],[b a 上的下凸函数,则 对任意1),,,1(0],,[1=++=>∈n i i n i b a x λλλ ,有 ).()()(1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ 特别地,若n i 1= λ,则有)].()([1)(11n n x f x f n n x x f +≤++ 若为上凸函数则改“≤”为“≥”。 由) (x g 为下凸函数 得 ) 2( 2) ()()(221221n n n n p p p g p g p g p g +++≥+++ 又 1 2321=++++n p p p p , 所以 ≥++++n n p p p p p p p p 222323222121log log log log . )21 ( 2n g n n -≥ (4)本题可作推广如下: 若正数n p p p ,,,21 满足121=+++n p p p ,则 .ln ln ln ln 2211n p p p p p p n n -≥+++ 简证:构造函数1ln )(+-=x x x x f , 易得.1ln 0)1()(-≥?=≥x x x f x f ?-≥?1)ln()(i i i np np np .1 )ln(n p np p i i i -≥ 故 .0ln ln 01])ln([1 1 ≥+?=-≥∑∑∑==i n i i i n i i i p p n p np p 十. 构造辅助函数法 【例23】已知()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()() *11 2 ,02 1 1N n a f a n a n ∈=<<- ++ (1)求()f x 在?? ? ???-021,上的最大值和最小值; (2)证明:1 02 n a - <<; (3)判断n a 与1()n a n N * +∈的大小,并说明理由. 【解析】(1) 求导可得()f x 在1-,0 2??????上是增函数,()()max min 5 f =2;f -ln2.2x x ∴= (2)(数学归纳法证明)①当1n =时,由已知成立; ②假设当n k =时命题成立,即1 02 k a - <<成立, 那么当1n k =+时,由(1)得1 15 2 ()(ln 2,2)2 k k a f a ++=∈-, 1135ln 22222k a ++<<-<<,11 112 k a +<+<, 11 02 k a +∴- <<,这就是说1n k =+时命题成立. 由①、②知,命题对于n N * ∈都成立 (3) 由()1 1112 22n n n a a a n f a ++++-=-, 构造辅助函数()()12+-=x x f x g ,得 () 4ln 4212ln 2)()('1x x x x f x g --=-'=+, 当1 02 x - << 时,121,4 1.22x x <<<< 故11241022x x --<- -<,所以)('x g <0 得g(x)在?? ????021-,是减函数, ∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0,∴()n a n a f +-12>0,即n n a a ++-+1122 1 >0,得1+n a >n a 。 【例24】已知数列{}n a 的首项13 5 a =,1321n n n a a a +=+,12n =,,. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的0x >,21121(1)3n n a x x x ??-- ?++?? ≥ ,12n =,,; (Ⅲ)证明:2 121 n n a a a n ++ +>+. 【解析】(Ⅰ)332 n n n a =+. (Ⅱ)提供如下两种思路: 思路1 观察式子右边特征,按 1 1x +为元进行配方,确定其最大值。 法1 由(Ⅰ)知3032n n n a =>+,21121(1)3n x x x ?? -- ?++?? 2112111(1)3n x x x ?? = -+-- ?++??2 111(1)1(1) n x x x a ??=--+??++?? 2 112 (1)1n a x x =-+++ 2 111n n n a a a x ?? =--+ ?+?? n a ≤, ∴原不等式成立. 思路2 将右边看成是关于x 的函数,通过求导研究其最值来解决: 法2 设2112()1(1)3n f x x x x ?? = -- ?++?? , 则2222 22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ???? -+--+- ? ?????'=- -=+++ 0x >,∴当23n x < 时,()0f x '>;当2 3 n x >时,()0f x '<, ∴当2 3 n x = 时,()f x 取得最大值212313n n n f a ?? == ???+. ∴原不等式成立. (Ⅲ)思路1 考虑本题是递进式设问,利用(Ⅱ)的结论来探究解题思路: 由(Ⅱ)知,对任意的0x >,有 12222 1121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ????+++--+-- ? ?++++???? ≥ 21121(1)3n x x x ?? ++ -- ?++?? 22 122 21(1)333n n nx x x ??= -+++ - ?++?? . ∴取2 21112221133113 3 33 13n n n x n n n ?? - ???????=++ +==- ? ??????? - ??? , 则22 12111111133n n n n n n a a a n n n ++ +=> +?? +-+- ??? ≥. ∴原不等式成立. 【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的x 进行巧妙赋值,当然,赋值方法不止一种,如: 还可令1 x n = ,得 22 2122 21111111(1)3333 1(1)n n n n nx n x x n n n ????-+++ -=---? ? ?++????++ 22211.1131(1)n n n n n n =+?>+++ 思路2 所证不等式是与正整数n 有关的命题,能否直接用数学归纳法给予证明尝试: 12 212333.3232 321 n n n n ?++ +>++++ (1)当1n =时12 133********=>=++,成立; (2)假设命题对n k =成立,即12 212333.3232 321 k k k k ++ +>++++ 则当1n k =+时,有 12 121 1211333333232 3232132 k k k k k k k k ++++++ ++>+ ++++++, 只要证明212 13(1)1322 k k k k k k ++++>+++; 即证12232212 3(1)(1)(2)31 3221(2)(1)32 k k k k k k k k k k k k k k k ++++-+++>-==+++++++, 即证 12121212 32232121 322(32)32323232 k k k k k k k k k k k k +++++-++->?+>++++++++ 用二项式定理(展开式部分项)证明,再验证前几项即可。 如下证明是否正确,请分析: 易于证明3321 n n n n a n =>++对任意n N * ∈成立; 于是 2 3.3211 n n n n n a n n =>=+++∑∑ ∑ 【注】上述证明是错误的!因为:()1 k f k k =+是递增的,不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下: 考虑21n n +是某数列{}n b 的前n 项和,则2222(1)1 1n n n n n b n n n n -+-=-=++, 只要证明22231 322 2.32k k k k k k k a b k k k k +->?>?>+-++ 思路3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证: 由1321n n n a a a +=+取倒数易得:3032 n n n a =>+,用n 项的均值不等式: 121212 111222 11133 3 n n n a a a n n n a a a ++ +> = +++++++++ 1 111 [1()]12331 313 n n n n n n n n = = > +-+- +-, 2 12.1 n n a a a n ?++ +>+ 【例25】已知函数f(x)=x 2 -1(x>0),设曲线y=f(x)在点(x n ,f(x n ))处的切线与x 轴的交点为(x n+1,0)(n ∈N * ). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1; (Ⅱ)求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件,并说明理由; (Ⅲ)若x 1=2,求证:.3 1 211111121-≤++++++n n x x x 【解析】(Ⅰ) .212 1 n n n x x x +=+ (Ⅱ)使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件是x 1≥1. (Ⅲ) 基本思路:寻求合适的放缩途径。 探索1 着眼于通项特征,结合求证式特点,尝试进行递推放缩: ?+=++n n n x x x 2)1(121 )2(12)1(2)1(2)1(21112 1 1211≥+≤+-+=+=+-----n x x x x x x n n n n n n 即 )2(12 111 ≥+≤+-n x x n n 。于是由此递推放缩式逐步放缩得 .3 2121212111 11221----=+≤≤+≤+≤+n n n n n x x x x 探索2 从求证式特征尝试分析:结论式可作如下变形: .3 12)2221(311111111 221-=++++≤++++++-n n n x x x 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一.先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二.先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: (1)用数学归纳法证明: (2),求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 用放缩法证明不等式的方法与技巧 一.常用公式 1. )1(11)1(12-<<+k k k k k 2. 1 21 12-+<<++k k k k k 3.22 k k ≥()4≥k 4.1232k k ???????≥(2≥k ) 5. ?? ????--≤!!(!k k k 1)11211 6.b a b a +≤+ 二.放缩技巧 所谓放缩的技巧:即欲证A B ≤,欲寻找一个(或多个)中间变量C ,使A C B ≤≤, 由A 到C 叫做“放”,由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 (1)若0,,t a t a a t a >+>-< (2) < > 11> n >= (3)21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- (4 )= <=<= (5)若,,a b m R + ∈,则,a a a a m b b m b b +>< + (6)21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ (7)22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--(因为211(1)n n n < -) (7)1111111112321111 n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111 123222222n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ (8 )1???+>???+== 三.常见题型 (一).先求和再放缩: 1.设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +,求证:1n S < 2.设1n b n = (n N *∈),数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ,求证:34 n T < 用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例1. 设a ,b 为不相等的两正数,且a 3-b 3=a 2-b 2,求证143 <+<a b 。 证明:由题设得a 2+ab +b 2=a +b ,于是(a +b )2>a 2+ab +b 2=a +b ,又a +b >0,得a +b >1,又ab <14(a +b )2,而(a +b )2=a +b +ab <a +b +14(a +b )2,即34(a +b )2<a +b ,所以 a + b <43,故有1<a +b <43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零,求证: a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++>() 证明:因为a ab b a b b a b a b a b 222 22 234 2 22++=+++=++()>()≥,同理b bc c b c 222 +++>,c ac a c a 222+++>。 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++>() 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边,求证:12<++<a b c b a c c a b +++。 证明:由于a 、b 、c 为正数,所以a b c a a b c +++>,b a c b a b c +++>,c a b c a b c +++>,所以 放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中, 常渗透不等式证明的内容, 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是,高考中可以用 证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合, 而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度, 些高考试题,例谈 放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩) n J k 例 3、已知 a n =n ,求证:k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性,对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标, 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明:Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 ( 1 1 二(二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大, 多项式中加上一些负的值, 明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2,从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ,求证: (1)+f ( 2) +…+f (n ) 证明:由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: a a >+12;n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+;2) 1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2 222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论: Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) : 2111(1)(1) k k k k k <<+-(程度大) Ⅲ. 21k 的放缩(2):22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+(程度小) Ⅳ. 2 1k 的放缩(3):221 4112()412121k k k k <=+--+(程度更小) Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=,222121n x x x +++=,求证:n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤+-++++=*n N n a n n a n x f x x x x 给定 求证:)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828 e ≈) 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 数列型不等式放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一 利用重要不等式放缩 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+ 用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径 不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教. 根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分. 常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等. 对于“和式”数列不等式,若能够直接求和,则考虑先求和,再证不等式;若不能或甚难求和,则可考虑使用放缩法证明不等式. 而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列. 下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论: 途径1:放缩为等差 等差?1类. 例1.求证:2131211222<++++n 同类不等式还有: ⑴ 8 11131211333<++++n ⑵ ()() 12216712151311222+->-++++n n (n>1) ⑶ 33322 1222<++++n n (n>1) 途径2:放缩为等比类. 例2.求证:3 512112112112132<-++-+-+-n 同类不等式还有: ⑴ 5 412112112112132<++++++++n ⑵ 3 4131213513313132<--++-+-+-n n 途径4:增大(减小)分子(分母)或被开方数放缩类. 例5.求证:()()2 2)1(322121+<+++?+?<+n n n n n n常用放缩方法技巧
数列不等式(放缩法)
典型例题:用放缩法证明不等式
放缩法证明不等式的基本策略
常用放缩方法技巧
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)
不等式证明的常用基本方法
数列型不等式放缩技巧
不等式解法(放缩法)
大学中常用不等式 放缩技巧