常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷

一、填空题。

1. 方程23

10d x

x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程

()x dy

f xy y dx

=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d y

y x dx

--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个.

4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x

y x e e xe =++，则此方程的系

数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的

条件.

6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .

7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .

8. 方程组20'05??

=??

x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.

10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一

解. 11.方程

的待定特解可取的形式:

12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.

2．求解方程13

dy x y dx x y +-=-+.

3. 求解方程22

2()0d x dx x dt dt

+= 。

4．用比较系数法解方程.

5．求方程 sin y y x '=+的通解.

6．验证微分方程22

(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

7．设 3124A -??=??-?? ， ??????-=11η ，试求方程组X A dt dX

=的一个基解基解矩阵)(t Φ，求

X A dt

=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程 2213dy

x y dx

=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.

9.求的通解

试求方程组x Ax '=的解(),t ? 12(0),η?ηη??==????

并求expAt 10.若

三、证明题

1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得

()()t t C ψ=Φ.

2. 设),()(0βα?≤≤x x x 是积分方程

]

,[,,

])([)(0200

βαξξξξ∈++=?x x d y y x y x

的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ?在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在

],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ?ψ≡.

3. 设都是区间上的连续函数, 且是二阶线性方程

的一个基本解组. 试证明:

(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);

(ii)

和没有共同的零点;

2114A ??=??-??32()480dy dy xy y dx dx -+=

(iii) 和没有共同的零点.

4.试证：如果)(t ?是AX dt

=满足初始条件η?=)(0t 的解，

那么η?)(ex p )(0t t A t -= .

答案

一.填空题。

1. 二，非线性

2.u xy

=，

(()1)du dx u f u x

=+ 3.无穷多

4.3,2,1αβγ=-==-

5.必要

6.3

7.1()()t t -'ΦΦ 8. 25 00t At

t e e e ??=??

10.

11.

12. 1,

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 解: 设曲线方程为 , 切点为(x ,y ), 切点到点(1,0)的连线的斜率为

, 则

由题意

可得如下初值问题:

分离变量, 积分并整理后可得 .

代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为

2.求解方程13

dy x y dx x y +-=-+.

解：由10,

30x y x y +-=??-+=? 求得1,2x

y =-= 令 1,

2,x y ξη=-??

=+?

则有

.d d ηξηξξη+=-令z ηξ=，解得2

(1)1z dz d z ξξ-=+,积分得2

1arctan ln(1)ln ||2

z z C ξ-+=+, 故原方程的解为 222

arctan ln (1)(2)1

y x y C x -=++-++.

3. 求解方程22

2()0d x dx x dt dt

解令

，直接计算可得，于是原方程化为

，故有

或

，积分后得

，即

，

所以就是原方程的通解，这里为任意常

数。

4.用比较系数法解方程. .

解：特征方程为 , 特征根为

对应齐方程的通解为 . 设原方程的特解有形如代如原方程可得利用对应系数相等可得

, 故

原方程的通解可以表示为( 是任意常数)

5.求方程 sin y y x '=+的通解.

解：先解y y '=得通解为x y ce =, 令()x y c x e =为原方程的解，

代入得()()()sin x x x c x e c x e c x e x '+=+, 即有()sin x c x e x -'=,

积分得1()(sin cos )2x c x e x x c -=-++ , 所以1

(sin cos )2

x y ce x x =-+ 为原方程的

通解.

6．验证微分方程22

(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

解：由于22(,)cos sin ,(,)(1)M x y x x xy N x y y x =-=-，因为2M N

xy y x

??=-=??所以原方程为恰当方程.

把原方程分项组合得22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=,

或写成2222111

(sin )()()0222d x d x y d y ++=, 故原方程的通解为

2222sin x x y y C -+=.

7．设 3124A -??=??-?? ， ??????-=11η ，试求方程组X A dt dX

=的一个基解基解矩阵)(t Φ，求

X A dt

=满足初始条件η=)0(x 的解. 解：特征方程为 31det()(2)(5)0,2

4A E λλλλλ

---=

=++=--

求得特征值122,5λλ=-=-,对应122,5λλ=-=-的特征向量分别为

1211,,(,0).12V V αβαβ????

==≠????-????

可得一个基解矩阵2525().2t

t t

t e e t e

e ----??Φ=??-??

，又因为1

211(0)113-??Φ=??-?? ，于是，所求的解为=ΦΦ=-η?)0()()(1

t t 2525211111132t

t t

t e e e e ----????????????---?????? 25252134t t t t e e e e ----??

+=??-??

8. 求方程

2213dy

x y dx

=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解. 解: 令0()0x ?=，于是

221001

()[213()],x

x y x x dx x x ??=+--=-?

223452011133

()[213()],1025x x y x x dx x x x x x ??=+--=-+-+-?

9.求的通解

解：方程可化为3

84dy y dx x dy y

dx ??+ ???= ，令dy p dx

=则有3284p y x yp +=（*），

（*）两边对y 求导得

322322(4)

(8)4dp

y p y p y p y p dy -+-=，

即

32(4)(2)0dp p y y

p dy --=，由20dp y p dy -=得12p cy =，即

()p y c =. 将y 代入（*）得

24c p x c =+，即方程的含参数形式的通解为：222

24()c p

x c p y c ?=+???

?=??，p 为参数；

又由

40p y -=得1

(4)p y =代入（*）得

3427y x

=也是方程的解 .

试求方程组x Ax '=的解(),t ? 12(0),η?ηη??==???? 并求expAt 10.若

解：特征方程

()690

4p λλλλλ--=

=-+=-，解得1,23λ=，此时 k=1,12n =。

12v ηηη??==????，

111123322120()()(3)()!i

t i t i t t t e A E e t i ηηηη?ηηηη=??+-+????

=-=??????+-+??????∑ 由公式expAt = 10()!i

n t

i t

e A E i λλ-=-∑ 得

32()480dy dy

xy y dx dx -+=2114A ??=??-??

[]33310111exp (3)01111t

t t t At e E t A E e t e t t ?-?-??????

=+-=+=????????--+????????

三、证明题

1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得

()()t t C ψ=Φ.

证：()t Φ是基解矩阵，故1()t -Φ存在，令1()()()X t t t -=Φψ ，则()X t 可微且det ()0X t ≠，易知()()()t t X t ψ=Φ.

所以()()()()()t t X t t X t '''ψ=Φ+Φ()()()()()A t t X t t X t '=Φ+Φ()()()()A t t t X t '=ψ+Φ 而()()()t A t t 'ψ=ψ，所以()()0t X t 'Φ=, ()0,X t '=()X t C =（常数矩阵），故()()t t C ψ=Φ .

2. 设),()(0βα?≤≤x x x 是积分方程

]

,[,,

])([)(0200

βαξξξξ∈++=?x x d y y x y x

的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ?在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在

],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ?ψ≡.

证明：由题设，有?++≡x

x d y x 0

,])([)(20ξξξψξψ

,)(00y x =??∈++≡-x

x n n x x d y x 0

],[,,])([)(0120βαξξξ?ξ?，),2,1( =n .

下面只就区间β≤≤x x 0上讨论，对于0x x ≤≤α的讨论完全一样。

因为 ),()|||)(|(|)()(|0200

x x M d x x x

x -≤+≤-?ξξξψξ?ψ 其中

|}||)(|{max 2]

,[x x x M x +=∈ψβα，

所以0

21000|()()|(|()()|)()(),2!

x x ML

x x d L M x d x x ψ?ξψξ?ξξξξ-≤-≤-=

-??

其中}{max 2

],[x L x βα∈=, 设对正整数n 有n n n x x n ML x x )(!

|)()(|01

1-≤---?ψ,则有

n n x

|(x )(x )|(|()()|)d ψφξψξφξξ--≤-?

,)(!)1()(!10010

+--+=-≤?n x

x n n

n x x n ML d x n ML L ξξ,

故由归纳法，对一切正整数k ，有

1110|()()|()()!!

k k k

k k ML ML x x x x k k ψ?βα----≤-≤-.

而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当k

→∞时，它0→,

因而函数序列)}({x n ?在β≤≤x x 0上一致收敛于)(x ψ.根据极限的唯一性, 即得

)()(x x ?ψ≡, β≤≤x x 0 . 3. 设

都是区间

上的连续函数, 且

是二阶线性方程

的一个基本解组. 试证明:

(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点. 证明:

和

的伏朗斯基行列式为

因

和

是基本解组, 故

若存在 , 使得

, 则由行列式性质可得

矛盾. 即

最多只能有简单零点. 同理对

有同样的性质, 故(i)得证.

若存在 , 使得

, 则由行列式性质可得

矛盾. 即

与

无共同零点. 故(ii)得证.

若存在

, 使得

, 则同样由行列式性质可得

, 矛盾.

即与

无共同零点. 故(iii)得证.

4.试证：如果)(t ?是

AX dt

=满足初始条件η?=)(0t 的解，

那么η?)(ex p )(0t t A t -= .证明：因为At t exp )(=Φ是AX dt

=的基本解矩阵，)(t ?是其解，

所以存在常向量C 使得：(t )exp At C φ=?，

令0t t =，则：C At 0ex p =η，所以 η10)(ex p -=At C ，

故 1000(t )exp At (exp At )exp At exp(At )exp A(t t )φηηη

-=?=?-=-