北京市2011年中考数学真题试卷

2011年北京市高级中等学校招生考试

数 学 试 卷

一、选择题 (本题共32分，每小题4分) 1. 3

4-

的绝对值是( ) A. 43- B. 43

C. 3

4

-

D.

34

2. 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人。将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为( ) A. 766.610?

B. 80.66610?

C. 86.6610?

D. 76.6610?

3. 下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是( ) A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 矩形

4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若1AD =，

3BC =，则

AO

CO

的值为( ) A. 12

B. 13

C. 14

D. 1

9

则这10个区县该日最高气温的人数和中位数分别是( ) A. 32，32 B. 32，30 C. 30，32 D. 32，31

6. 一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其它区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为( ) A.

518

B.

13

C.

215

D.

115

7. 抛物线2

65y x x =-+

的顶点坐标为( )

A. （3，4-）

B. （3，4）

C. （3-，4-）

D. （3-，4）

8. 如图在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E 。设AD x =，CE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是( )

B

C

C

二、填空题 (本题共16分，每小题4分)

9. 若分式

8

x x

-的值为0，则x 的值等于________。 10. 分解因式：321025a a a -+=______________。

11. 若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是____________。

12. 在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为,i j a （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数,i j a ，规定如下：当i j ≥时，,1i j a =；当i j <时，,0i j a =。例如：当2i =，1j =时，,2,11i j a a ==。按此规定，1,3a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算1,1,11,2,21,3,31,4,41,5,5i i i i i a a a a a a a a a a ?+?+?+?+?的值为________。

三、解答题 (本题共30分，每小题5 分) 13. 计算：101

()2cos3027(22

--?++-π)。

14. 解不等式：4(1)56x x ->-。

15. 已知2220a ab b ++=，求代数式(4)(2)(2)a a b a b a b +-+-的值。

16. 如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，A F ∠=∠，AB FD =。 求证：AE FC =。

17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =-的图象与反比例函

1,1a 1,2a 1,3a 1,4a 1,5a 2,1a 2,2a 2,3a 2,4a 2,5a 3,1a

3,2a

3,3a

3,4a

3,5a

4,1a 4,2a 4,3a 4,4a 4,5a 5,1a

5,2a

5,3a

5,4a

5,5a

E

B C D

F

A

数k

y x

=

的图象的一个交点为A （1-，n ）。 （1）求反比例函数k

y x

=的解析式；

（2）若P 是坐标轴上一点，且满足PA OA =，直接写出点P 的坐标。

18. 列方程或方程组解应用题：

京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车。已知小王家距上班地点18千米。他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的3

7

。小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？

三、解答题 (本题共20分，每小题5 分)

19. 如图，在△ABC ，90ACB ∠=?中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若2AC =，4CE =，求四边形ACEB 的周长。

20. 如图，在△ABC ，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且1

2

CBF CAB ∠=∠。 （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若5AB =，5

sin CBF ∠=

，求BC 和BF 的长。

21. 以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分。

D

E

F A

O

C

B

F

E

D

A

B

C

图3

请根据以上信息解答下列问题：

（1）2008年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字）？ （2）补全条形统计图；

（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关。如：一辆排量为1.6L 的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它碳排放量约为2.7吨。于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示。

排量（L ） 小1.6 1.6 1.8 大于1.8

数量（辆）

29

75

31

15

车平均一行行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？ 22. 阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O 。若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，AD BC +的长度为三边长的三角形的面积。

O

A

D

C

E

O

A

D

C

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些 分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了

翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC ，BD ，AD BC +的长度为三

边长的三角形（如图2）。

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，△ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF 。

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF 的长度为三边

年份

年份

图1

图2

长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角 形的面积等于_______。

五、解答题 (本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)

23. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数

2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在

点B 的左侧），与y 轴交于点C 。 （1）求点A 的坐标；

（2）当45ABC ∠=?时，求m 的值；

（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数2

(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象于N 。若只有当22n -<<时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式。

24. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。

（1）在图1中证明CE CF =；

（2）若90ABC ∠=?，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若120ABC ∠=?，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数。

E

A

C

B

G

F

E

A

C

B

F

E A

C B

25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）。已知A （1-，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上。

（1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；

（2）当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；

当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围；

（3）已知□AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围。

2011 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要

过程正确写出即可。

2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

一、选择题(本题共32分，每小题4分)

题号

1 2 3 4 5 6 7 8 答案

D C D B A B A B

二、填空题 (本题共16分，每小题4分)

题号

9 10 11 12 答案 8 a(a -5)2

圆柱 0

15 1

三、解答题 (本题共30分，每小题5分) 13. (本小题满分5分) [解] (

2

1)-1

-2cos30?+27+(2-π)0 =2-2?

2

3

+33+1 =2-3+33+1 =23+3。

14. (本小题满分5分)

[解] 去括号，得4x -4>5x -6， 移项，得4x -5x>4-6， 合并，得-x>-2 解得x<2，

所以原不等式的解集是x<2。 15. (本小题满分5分)

[解] a(a +4b)-(a +2b)(a -2b) =a 2+4ab -(a 2-4b 2) =4ab +4b 2

∵ a 2+2ab +b 2=0， ∴ a +b=0，

∴ 原式=4b(a +b)=0。

16. (小题满分5分)

证明：∵ BE//DF ，∴ ∠ABE=∠D ，

在△ABE 和△FDC 中，∠ABE=∠D ，AB=FD ，∠A=∠F ， ∴ △ABE ? △FDC ， ∴ AE=FC 。

17. (本小题满分5分)

[解] (1) ∵ 点A (-1，n)在一次函数y= -2x 的图象上， ∴ n= -2?(-1)=2。

∴ 点A 的坐标为(-1,2)。 ∵ 点A 在反比例函数y=x

k

的图象上， ∴ k= -2，

∴ 反比例函数的解析式为y= -

x

2。 (2) 点P 的坐标为(-2,0)或(0,4)。

18. (本小题满分5分)

[解] 设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x 千米，

依题意,得

x

x 18

739218?=+, 解得x=27，

经检验，x=27是原方程的解，且符合题意。

答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米。 四、解答题 (本题共20分，每小题5分) 19. (本小题满分5分)

[解] ∵ ∠ACB=90?，DE ⊥BC ， ∴ AC//DE ，又∵ CE//AD ，

∴ 四边形ACED 是平行四边形， ∴ DE=AC=2，

在Rt △CDE 中，由勾股定理得CD=22DE CE -=23, ∵ D 是BC 的中点， ∴ BC=2CD=43.

在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB=22BC AC +=213, ∵ D 是BC 的中点，DE ⊥BC ， ∴ EB=EC=4,

∴ 四边形ACEB 的周长=AC +CE +EB +BA=10+213。 20. (本小题满分5分)

(1) 证明：连结AE. ∵ AB 是圆O 的直径， ∴ ∠AEB=90?.∴∠1+∠2=90?.

∵ AB=AC, ∴ ∠1=

21∠CAB. ∵∠CBF=2

1

∠CAB. ∴ ∠1=∠CBF ，∴ ∠CBF +∠2=90?.

∵ 即∠ABF=90?. ∵ AB 是圆O 的直径， ∴ 直线BF 是圆O 的切线。

(2) [解] 过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵ sin ∠CBF=

55，∠1=∠CBF ，∴ sin ∠1=5

5， ∵ ∠AEB=90?,AB=5, ∴BE=AB·sin ∠1=5, ∵ AB=AC ，∠AEB=90?, ∴ BC=2BE=25,

在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=22BE AB -=25,

∴ sin ∠2=

5

5

2，cos ∠2=55，

在Rt △CBG 中，可求得GC=4,GB=2。

∴ AG=3， ∵ GC // BF ，∴ △AGC ~ △ABF. ∴AB AG BF GC =

，∴ BF=AG AB GC ?=3

20

. 21. (本小题满分5分)

[解] (1) 146?(1+19%)=173.74≈174(万辆).

所以2008年北京市私人轿车拥有量约 是174万辆. (2) 如右图. (3) 276?

150

75

?2.7=372.6(万吨). 估计2010年北京市仅排量为1.6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372.6(万吨). 22. (本小题满分5分)

[解] △BDE 的面积等于 1 .

(1) 如图.以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是

△CFP.

(2) 以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形面积等于

4

3.

五、解答题 (本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23. (本小题满分7分)

[解] (1) ∵ 点A 、B 是二次函数y=mx 2+(m -3)x -3 (m>0)的图象与x 轴的交点, ∴ 令y=0，即mx 2+(m -3)x -3=0，解得x 1= -1, x 2=m

3

,又∵ 点A 在点B 左侧且m>0, ∴ 点A 的坐标为(-1,0). (2) 由(1)可知点B 的坐标为(

m

3,0). ∵ 二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴ 点C 的坐标为(0, -3). ∵ ∠ABC=45?,∴

m

3

=3，∴m=1。

(3) 由(2)得，二次函数解析式为y=x 2-2x -3.依题意并结合图象 可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别

为-2和2,由此可得交点坐标为(-2,5)和(2, -3). 将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx +b 中， 得 -2k +b=5,且2k +b= -3,解得k= -2，b=1， ∴ 一次函数的解析式为y= -2x +1。

24. (本小题满分7分) (1) 证明：如图1.

∵ AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠DAF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD//BC ，AB//CD 。

∴ ∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠F ， ∴ ∠CEF=∠F ，∴ CE=CF 。

(2) ∠BDG=45?.

(3) [解] 分别连结GB 、GE 、GC(如图2). ∵ AB//DC ，∠ABC=120?， ∴ ∠ECF=∠ABC=120?， ∵ FG //CE 且FG=CE,

∴ 四边形CEGF 是平行四边形. 由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF 是菱形, ∴ EG=EC ，∠GCF=∠GCE=2

1

∠ECF=60?. ∴ △ ECG 是等边三角形. ∴ EG=CG… , ∠GEC=∠EGC=60?, ∴∠GEC=∠GCF, ∴∠BEG=∠DCG… ,

由AD//BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE=∠AEB ， ∴AB=BE.

在□ ABCD 中，AB=DC. ∴BE=DC…●,

由 ?●得△BEG ? △DCG. ∴ BG=DG ，∠1=∠2,

∴ ∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60?. ∴ ∠BDG=

2

1

(180?-∠BGD)=60?.

25. (本小题满分8分)

[解] (1) 分别连结AD 、DB ，则点D 在直线AE 上，

如图1,

∵ 点D 在以AB 为直径的半圆上， ∴ ∠ADB=90?, ∴ BD ⊥AD.

在Rt △DOB 中，由勾股定理得 BD=22OB OD +=2.

∵ AE//BF,两条射线AE 、BF 所在直线的距离为2．

(2) 当一次函数y=x +b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是 b=2或-1

当一次函数y=x +b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 1

(3) 假设存在满足题意的□ AMPQ ，根据点M 的位置，分以下四种情况讨论： 当点M 在射线AE 上时，如图2.

∵ A 、M 、P 、Q 四点按顺时针方向排列， ∴ 直线PQ 必在直线AM 的上方，

∴ P 、Q 两点都在AD 弧上，且不与A 、D 重合. ∴ 0

当点M 在AD 弧(不包括点D)上时，如图3. ∵ A 、M 、P 、Q 四点按顺时针方向排列， ∴ 直线PQ 必在直线AM 的下方。

此时，不存在满足题意的平行四边形。

● 当点M 在DB 弧上时，设DB 弧的中点为R ， 则OR//BF.

(i) 当点M 在DR 弧(不包括点R)上时，如图4. 过点M 作OR 的垂线交DB 弧于点O ， 垂足为点S ，可得S 是MQ 的中点. 连结AS 并延长交直线BF 于点P .

∵ O 为AB 的中点，可证S 为AP 的中点. ∴ 四边形AMPQ 为满足题意的平行四边形.

∴ 0≤x<

2

2. (ii) 当点M 在RB 上时，如图5. 直线PQ 必在直线AM 的下方.

此时，不存在满足题意的平行四边形.

当点M 在射线BF(不包括点B)上时，如图6. 直线PQ 必在直线AM 的下方.

此时，不存在满足题意的平行四边形.

综上，点M 的横坐标x 的取值范围是-2

2.