求极限的几种方法

一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:

23lim 22=-+-→x x x x 证: 由

4122322-+-=

--+-x x x x x x

()2

-=--=

x x x

0>?ε

取

εδ= 则当δ

<-<20x 时,就有

ε<--+-12

32x x x

由函数极限

δε-定义有:

23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质

若

A x f x x =→)(lim 0

B x g x x =→)(lim 0

(I)

[]=±→)()(lim 0

x g x f x x )(lim 0

x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0

(II)

[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0

(III)若 B ≠0 则：

x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0

（IV ）

cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0

（c 为常数）

上述性质对于

时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,

例：求 4

3lim 22+++→x x x x

解: 4

53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+

3、约去零因式（此法适用于

型时0

,0x x →

例: 求12

16720

16lim 23232+++----→x x x x x x x

解:原式=

()

)

12102(65)

2062(103lim

223

2232

+++++--+---→x x x x x

x x x x x x

=)65)(2()

103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x

=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)

3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2

lim

-→x 73

-=+-x x

4、通分法（适用于∞-∞型）例: 求 )21

44(lim 22x

x x ---→

解: 原式=)

2()2()

2(4lim

2x x x x -?++-→

2)(2()

2(lim

2x x x x -+-→

21lim

2=+→x x

5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：

（I ）

0)(lim 0

=→x f x x

(II)

x g ≤)( (M 为正整数)

则：

0)()(lim 0

=→x f x g x x

例: 求 x

x x 1sin

lim

?→ 解: 由 0lim

=→x x 而 11

sin

≤x

故原式 =01

sin

lim

=?→x

x x

6、利用无穷小量与无穷大量的关系。

（I ）若：∞=)(lim x f 则 0)

lim

=x f

(II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)

lim

x f

例: 求下列极限 ① 51lim

+∞→x x ②1

lim 1-→x x

解: 由 ∞=+∞→)5(lim x

x 故 05

lim

=+∞→x x

由 0)1(lim 1=-→x x 故 1

lim 1-→x x =∞

7、等价无穷小代换法设

'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：

'~,~β

βαα，

lim β

α 存在，

则 β

lim

也存在，且有βα

lim

= '

lim

βα

例:求极限2

0sin cos 1lim

x x x x -→

解: ,~sin 2

x x 2

)(~

cos 12

x x -

∴ 2

0sin cos 1lim x x x x -→=

212)(2

2=x x x

注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

8、利用两个重要的极限。

1sin lim

)(0=→x x A x e x

B x x =+∞→)1

1(lim )(

但我们经常使用的是它们的变形：

)

)((,))(1

1lim()()0)((,1)

()

(sin lim

)()(''∞→=+→=x e x B x x x A x ??????

例：求下列函数极限

a x x 1lim )1(0-→、 bx ax

x cos ln cos ln lim

)2(0→、 )

1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a u x a a u x u a x x

-+==-于是则）令解：（

a u a

u u a u a u x

a u x u

u u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 0

10000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当

)]

1(cos 1ln[)]

1(cos 1ln[(lim

)2(0-+-+=→bx ax x 、原式

cos 1

cos 1cos )]

1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim

0--?

--+--+=→ax bx bx bx ax ax x 1cos 1

cos lim

0--=→ax bx x 2

2222

022

0)2

()2()2

(2sin )2(2

sin lim 2sin 22sin 2lim a

b x a x b x x b x a x a

x b x

x x =?=--=→→α

9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。

)

()](lim [))((lim )()(lim )]([)()

()(lim )()(0

00a f x f x f a u u f a x x f ii x f x f x x x f i x x x x x x x x ======→→→→????处连续，则在且

是复合函数，又若处连续，则在若

例：求下列函数的极限

)1ln(15cos lim )1(20x x x e x x -+++→、（2） x

x x )

1ln (lim 0+→

()1ln ))1(lim ln()1ln(lim )1ln(lim )1()1ln()

1ln()2(6)0()

1ln(15cos lim )1ln(15cos )(01

001

202

==+=+=++=+=+==-+++-+++==→→→→e x x x

x x x x x x f x x x e x x x e x f x x x x x x x

x x x 故有：

令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。属于初等函数解：由于?

10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：

ml x x m

n k

l x =

--→1

1lim

m 、n 、k 、l 为正整数。

例：求下列函数极限

① m x

x m n x (11lim

--→ 、n )N ∈ ②1

232(

lim +∞

→++x x x x

解: ①令 t=

x 则当1→x 时 1→t ,于是

原式=n

t t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=----→→)1)(1()1)(1(lim 11lim

121211

②由于1)1232(

lim +∞→++x x x x =1

)1221(lim +∞→++x x x

令：t x 1212=+ 则 2

111+=+t x

∴1)1232(

lim +∞→++x x x x =1

221(lim +∞→++x x x =2

10)1(lim +→+t t t =e e t t t t

t =?=+?+→→1)1(lim )

1(lim 2

11、利用函数极限的存在性定理定理: 设在

0x 的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:

A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0

则极限

)(lim 0

x f x x → 存在, 且有

A x f x x =→)(lim 0

例: 求 x

x a x +∞→lim

(a>1,n>0)

解: 当 x ≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x ≤k+1

于是当 n>0 时有:

n a k a x )1(+<

及 a

a k a k a x k n k n x n 1

=>+

又

当x +∞→时,k +∞→ 有

=++∞→k n k a k )1(lim 00)1(lim 1=?=?+++∞→a a a k k n

及 =

++∞→1lim k n

k a k 0101lim =?=?+∞→a

a a k k n k ∴

x a x +∞→lim =0

12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限

)(lim 0

x f x x →存在且等于A 的充分必要条件是左极限)(lim 0

x f x x -→及右极限)(lim 0

x f x x +→都存在且

都等于A 。即有：

?=→A x f x x )(lim 0

)(lim 0

x f x x -→=)(lim 0

x f x x +→=A

例：设

)(x f =??

??≥<<-≤--1,10,0,212x x x x x x x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1

x f x →

)1(lim )(

lim )(lim 1

)21(lim )(lim 0

-=-=-=-=-=+++

--→→→-→→x x

x x x f e x f x x x x x x 解：

由

)(lim )(lim 0

0-==+-

→→x f x f x x

1)(lim 0

-=∴→x f x

不存在

由（又)(lim )01()01(1

lim )(lim 0)1lim lim )(lim 1

x f f f x x f x x

x x x f x x x x x x →→→→→→∴+≠-===-=-=++-

13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若

A x g x f x g x f A A x g x f iii x g x u x g f ii x g x f i x x x x x x x x x x ==∞∞±=≠==→→→→→)

()(lim )()(lim ()()

(lim )(0)()()(0

)(lim ,0)(lim )('''''0000000

），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与

此定理是对

型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。

注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点： 1、要注意条件，也就是说，在没有化为

∞

,00时不可求导。 2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比

塔法则，否则会引起错误。

4、当)

()

(lim ''x g x f a x → 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。

例：求下列函数的极限

①)

1ln()21(lim 22

0x x e x

x ++-→ ②

)0,0(ln lim

>>+∞→x a x x

a x

解：①令f(x)=

)

21(x e x

+-, g(x)= l )1n(

2x +

)

21()(-+-=x e x f x

'12)(x x x g +=

22"

")1()

1(2)(,)

21()(x x x g x e x f x

+-=++=-

由于

0)0()0(,0)0()0(''====g g f f

但

2)0(,2)0(""==g f

从而运用罗比塔法则两次后得到

2)1()

1(2)21(lim 12)

21(lim )

1ln()21(lim 2

222

022

0==

+-++=++-=++--→-→→x x x e x x

x e x x e x x x x x x ② 由

∞=∞=+∞

→+∞

→a x x x x lim ,ln lim 故此例属于

∞

型，由罗比塔法则有： )0,0(01lim 1

lim ln lim 1>>===+∞→-+∞→+∞→x a ax ax x x x a

x a x a x

14、利用泰勒公式

对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：

1、)(!

!212n n

x o n x x x e +++++= 2、)()!

12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-

=-- 3、)()!

2()1(!4!21cos 12242++-+++-

=n n n x o n x x x x 4、)()1(2)1ln(12n n

n x o n

x x x x +-++-=+- 5、)(!

)

1()1(!

1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--+

+-+

+=+

ααααααα

6、

)(x x 1 11

2n n x o x x

+++++=-

上述展开式中的符号)(n

x o 都有:

0)(lim 0=→n n x x

x o

例:求)0(2lim

>+-+→a x

a x a x

解:利用泰勒公式，当0→x 有

)(2

11x o x

x ++

=+ 于是 x

a x a x +-+→2lim

x a x a x )121(lim

+-+

→

x o a x x o a x a x ?

???-?--++→)(211)()2(211lim

x x o x a x x o a x a x x 21)(21lim )

(2lim

+=+?

→→

15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f 满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点

ξ,使得

b a f b f f --=

)()()('ξ

此式变形可为:

)10( ))(()

()('<<-+=--θθa b a f a

b a f b f

例: 求 x

x e e x

x x sin lim

sin 0--→

解:令

x e x f =)( 对它应用中值定理得

)

1(0 ))sin ((sin )sin ()(sin )('sin <<-+-=-=-θθx x x f x x x f x f e e x x 即

1)(0 ))sin ((sin sin 'sin <<-+=--θθx x x f x x e e x

x e x f =)(' 连续

1)0())sin ((sin lim ''0

==-+∴→f x x x f x θ

从而有: 1sin lim

sin 0=--→x

x e e x

x x 16、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况，即若:

)0,0(a )()()(001

10110≠≠++++++==--b b x b x b a x a x a x Q x P x R n

n n m

m m

(I)当

∞→x 时，有

???

????

?????????>∞<==++++++=--∞→∞→n m n m 0 lim )()(lim 0

0110110n m b a b x b x b a x a x a x Q x P n n n m m m x x (II)当

0→x 时有:

①若0)

(0≠x Q 则 )

()

()()(lim

000x Q x P x Q x P x =→

②若0)(0=x Q 而 0)(0≠x P 则∞=→)

()

(lim

0x Q x P x

③若

0)(0=x Q ,

)(0=x P ,则分别考虑若

x 为

)(=x P 的s 重根,

即:)()()

(10x P x x x P s -= 也为0)(=x Q 的r 重根,即:

)()()(10x Q x x x Q r -= 可得结论如下：

?????????<∞=>=-=-→→r s , r s , )()(P r s , 0)()()(lim )()(lim 010111000x Q x x Q x P x x x Q x P r s x x x x 例：求下列函数的极限

①5030

20)12()23()32(lim

++-∞→x x x x ②3

3lim 431+-+-→x x x x x

解: ①分子，分母的最高次方相同，故

503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x =30

503020)23(2

32=?

②0)1(,23)

(3=∴+-=P x x x P

0)1(,34)(4=∴+-=Q x x x Q

)(),(x Q x P ∴必含有（x-1）之因子，即有1的重根故有:

322lim )32()1()2()1(lim 3423lim 212221431=+++=++-+-=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x x x (2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例：求

)(lim x x x x x -+++∞

→

解:

)(lim x x x x x -+++∞

→

1111111lim

lim

+++

=++++=+++-++=+∞

→+∞

→x x

x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

二、多种方法的综合运用

上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。

例:求 2

0sin cos 1lim

x x x x -→

[解法一]:

20sin cos 1lim x x x x -→

22220sin 2cos 2sin 2lim x x x x x x x x +?=→ 2

222

0sin cos sin lim x x x x x +=→

0sin cos sin lim

x x x x x x +

=→=

1 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。

[解法二]:

222

0sin cos 1lim x x x x -→=21222sin sin 122sin lim sin 2sin 2lim 2

22202222

0=?

?=→→x x x x x x x x x x x 注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。

[解法三]:

sin 42lim 4sin 2lim cos 1lim sin cos 1lim 22032022202220=?==?-=-→→→→x x x x x

x x x x x x x x x x x x

注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则

[解法四]:

1sin 2)(lim sin cos 1lim sin cos 1lim 2242

20224202220=?=?-=-→→→x x x x x x x x x x x x x x 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。

[解法五]:

121lim )()2(2lim sin 2sin 2lim sin cos 1lim 44

022*******

0222

0====-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。

[解法六]：令2x u

sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos 1lim sin cos 1lim 0002220=-+=+=-=-→→→→u u u u u u

u u u u u u x x x u u u x

注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。

[解法七]:

11lim sin cos sin lim sin cos 1lim 2

222202220=+=+=-→→→tgx x

x x x x x x x x x x 注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。

1.利用极限定义求极限

(3)利用有界量与无穷小乘积的极限为零

3、利用两个重要极限

利用两个重要极限时，要注意成立的条件。

4、利用等价无穷小代换

利用等价无穷小代换能使得求极限过程简化，在乘积因子中可以用与其等价的无穷小量来替换。但是在两个无穷小量相减时，如果分别用它们的等价无穷小量代换要注意条件。

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域为

关于计算极限的几种方法

目录摘要 (1) 引言 (2) 一．利用导数定义求极限 (2) 二．利用中值定理求极限 (2) 三．利用定积分定义求极限 (3) 四．利用施笃兹公式 (4)

五．利用泰勒公式 (5) 六．级数法 (5) 七．结论 (6) 参考文献 (6)

内容摘要

引言：极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。如函数()x f y =在 0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。一．利用导数定义求极限据文[]1定理1导数的定义：函数)(x f 在0x 附近有定义，对于任意的x ?，则)()(00x f x x f y -?+=? 如果x x f x x f x x ?-?+=→?→? ) ()(lim lim 000 0存在，则此极限值就称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )('0000在这种方法的运用过程中。首先要选好)(x f ，然后把所求极限。表示成)(x f 在定点0x 的导数。例1：求a x x a a x x a a a a x --→lim 解：原式0)(lim lim 1lim 0---?=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a a a x x a a a a x a a a a a x x a x x ，令a x x a y -=，当a x →时，0→y ，故原式a a a a a a a y y a ln |)'(0=?== 一般地，能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求，值得注意的是许

求函数极限的方法和技巧

求函数极限的方法和技巧在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义：例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质：若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x

求极限的方法总结

学号：0 学年论文求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级学生指导教师（职称）完成时间年月日至年月日

摘要极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

浅析洛必达法则求函数极限

本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法学生姓名：卫瑞娟学号： 1004970232 专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师：严惠云完成日期： 2013 年 3月 8 日

用洛必达法则求未定式极限的方法内容摘要极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。关键词：洛必达法则函数极限无穷小量

目录一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1) （一）洛必达法则定理 (1) （二）洛必达法则使用条件 (2) 二、洛必达法则的应用 (2) （一）洛必达法则应用于基本不定型 (2) （二）洛必达法则应用于其他不定型 (3) 三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5) （一）使用洛必达法则后极限不存在 (5) （二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6) （三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6) （四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6) 四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6) （一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7) （二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8) （三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9) 五、洛必达法则求极限小结 (10) （一）洛必达法则条件不可逆 (10) （二）使用洛必达法则时及时化简 (11) （三）使用洛必达法则前不定型转化 (11) 参考文献 (13)

考点数列的极限函数的极限与连续性

温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点42 数列的极限、函数的极限与连续性一、选择题 1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-??+= ?-? ?,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6 【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值. 【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞??-+--??+= ???--???? 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3→∞??+-+===??-?? 所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞ )上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，当[ 0,2)x ∈时，()f x =2 2x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且{}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞ =（）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32 【思路点拨】首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2)f x f x =+可推得 1()(2)3 f x f x = -，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求解. 【精讲精析】选D ， [)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，， ()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴= [)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则， 2(2)22(2)f x x x -=--+-（）

极限求解的若干方法

学科分类号0703 本科毕业论文题目（中文）：极限求解的若干方法（英文）：Some methods of limit solving 院（系）数学与计算机科学学院专业、年级 2008级数学与应用数学

湖南师范大学本科毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。本科毕业论文作者签名：二○一二年五月四日

湖南师范大学本科毕业论文开题报告书论文题目极限求解的若干方法作者姓名陈明波所属院、专业、年级数计院数学与应用数学专业2008年级指导教师姓名、职称李小燕教授预计字数7000开题日期2012年2月18日选题的根据：1）说明本选题的理论、实际意义 2）综述国内外有关本选题的研究动态和自己的见解高等数学是以函数为研究对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门科学，换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论，由于极限贯穿整个高等数学，故极限的计算就显得尤为重要。极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际问题不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用。因此，求极限是学生必须练好的一门基本功。然而，极限的题目错综复杂，针对不同的问题我们的解决方法不尽相同。定义固然要掌握牢固，但“具体问题具体分析”，面对这五花八门的极限问题有些方法是可以让我们在解决具体问题的时候走捷径的。主要内容：极限是高等数学基础，在高等数学中占有十分重要的位置。极限可分为函数极限和数列极限，本 -定义求极限；2、利用极限的课题主要讨论极限的求法，预计总结极限的十六种求法，1、利用εδ 四则运算性质求极限；3、利用两个准则求极限；4、利用两个重要极限公式求极限；5、换元法求极限； 6、利用单侧极限求极限； 7、利用导数的定义求极限； 8、利用函数的连续性求极限； 9、利用级数收敛的必要条件求极限；10、利用无穷小量的性质求极限；11、利用中值定理求极限；12、洛必达法则求极限；13、利用定积分求和式的极限；14、利用泰勒展开式求极限；15、利用海涅定理（归结原理）求极限；16、利用Stoltz公式法求极限。研究方法：研究步骤：到图书馆电子阅览室查找相关的期刊文献，并利用中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找论文相关的资料. 从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作. 研究方法：本课题研究方法主要是理论研究法，文献研究法、经验总结法．措施：查阅资料，理解函数极限的定义，对函数极限的求法加以归纳.

g3.1030数列与函数的极限(1)

g3.1030数列与函数的极限（1）一、知识回顾 1、数列极限定义（1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim ∞→n a n =a 。对前任何有限项情况无关。 *（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε0，则特别地 01 lim =∞→n n ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞ →n q n =0；;1lim ,1==∞ →n n q q ,1-=q 或n n q q ∞ →>lim ,1不存在。

若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：q a s s n n -= =∞ →1lim 1 3、数列极限的运算法则如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B (3)lim ∞ →n n n b a =B A (B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞ →n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1…. 注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限; (2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练 1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322 lim n n n n n →∞+++= 2、135(21) lim 2462n n n →∞+++???+-+++???+=_________________ 3．已知a 、b 、c 是实常数，且a cn c an b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是……… （） A . 121 B .61 C .2 3 D .6