高一数学抽象函数常见题型解法综述
抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:
一、定义域问题
例1. 已知函数)(2
x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。
解:)(2
x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2
x f 中的2x 满足412
≤≤x
从而函数f (x )的定义域是[1,4]
评析:一般地,已知函数))((x f ?的定义域是A ,求f (x )的定义域问题,相当于已知))((x f ?中x 的取值范围为A ,据此求)(x ?的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2
1x f -的定义域。
解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,
由此可得4
111)
2
1(3)2
1
(2)3(log 11
2
2
1≤
≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2
1x f -的定义域是]4
111[,
评析:这类问题的一般形式是:已知函数f (x )的定义域是A ,求函数))((x f ?的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x ?的值域B ,且A B ?,据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3. 已知定义域为+
R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5
1
)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。
解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f +=
因为51)6(1)2(=
=f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x ,得5
8
)3()3()9(-=+=f f f 评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取32==y x ,,这样便把已知条件5
1
)6(1
)2(==f f ,与欲求的f (3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题
例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。
解:令0==y x ,得2
)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。
若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠, 使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。
由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,
有0)]2
([)2()2()22(
)(2≥==+=x
f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x ,
设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x ,,所以0)(>x f
评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题
1.换元法:即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出
()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生
的灵活性及变形能力。
例1:已知
(
)211x
f x x =++,求()f x . 解:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u
f u u u
-=+=
--∴
2()1x
f x x
-=
- 2.凑配法:在已知
(())()f g x h x =的条件下,把()h x 拼凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求()f x .此解法简洁,
还能进一步复习代换法。
例2:已知
33
11()f x x x x
+=+,求
()f x
解:∵
22211111
()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x
+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+
≥ ∴
23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)
3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。 例3. 已知
()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解:设
()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+
=22
222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4
1321
,1,2222
a c a a
b
c b +=??=?===??=?
∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解:∵
()f x 为奇函数,
∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵
()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0
()lg(1),0x x f x x x +≥?=?
--
例5.一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1
()1
g x x =
-, 求()f x ,()g x . 解:∵
()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换
()f x +()g x =
1
1x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x -1
()1
g x x =-+……②
显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1
x
g x x =-
五、单调性问题
例6. 设f (x )定义于实数集上,当0>x 时,1)(>x f ,且对于任意实数x 、y ,有)()()(y f x f y x f ?=+,求证:)(x f 在R 上为增函数。
证明:在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ,得2
)]0([)0(f f =
若0)0(=f ,令00=>y x ,,则0)(=x f ,与1)(>x f 矛盾,所以0)0(≠f ,即有1)0(=f
当0>x 时,01)(>>x f ;当0
而1)0()()(==-?f x f x f ,所以0)
(1
)(>-=
x f x f
又当0=x 时,01)0(>=f ,所以对任意R x ∈,恒有0)(>x f
设+∞<<<∞-21x x ,则1
)(01212>->-x x f x x ,
所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+=,所以)(x f y =在R 上为增函数。
评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题
例7. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ,对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=?,试判断函数f (x )的奇偶性。
解:取11
21=-=x x ,得:)1()1()1(f f f +-=-,所以0)1(=f 又取121-==x x 得:)1()1()1(-+-=f f f ,所以0)1(=-f 再取121-==x x x ,则)()1()(x f f x f +-=-,即)()(x f x f =- 因为)(x f 为非零函数,所以)(x f 为偶函数。 七、对称性问题
例8. 已知函数)(x f y =满足2002)()(=-+x f x f ,求)2002()(1
1
x f
x f
-+--的值。
解:已知式即在对称关系式b x a f x a f 2)()(=-++中取20020==b a ,,所以函数)(x f y =的图象关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数)(1
x f
y -=的图象关于点(2002,0)对称。
所以0)1001()1001(1
1
=-++--x f
x f
将上式中的x 用1001-x 代换,得0)2002()(1
1
=-+--x f
x f
评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设a 、b 均为常数,函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++,则函数)(x f y =的图象关于点(a ,b )成中心对称图形。
八、五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0,f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数f (x )是的抽象函数,因此求函数f (x )的值域,关键在于研究它的单调性。
解:设,∵当
,∴
,
∵
,
∴,即,∴f(x)为增函数。
在条件中,令y=-x,则,再令x=y=0,则f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0,故f(-x)=f(x),f (x)为奇函数,
∴f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2 f(-1)=-4,
∴ f(x)的值域为[-4,2]。
例2、已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不
等式的解。
分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。解:设,∵当,∴,则
,
即,∴f(x)为单调增函数。
∵,又∵f(3)=5,∴f(1)=3。
∴,∴,即,解得不等式的解为-1 < a < 3。
2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x和y,
成立。求:
(1)f(0);(2)对任意值x,判断f(x)值的正负。
分析:由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。
解:(1)令y=0代入,则,∴
。若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。
(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。
例4、是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。
分析:由题设可猜想存在,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下:
(1)x=1时,∵,又∵x∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。
(2)假设时有,则x=k+1时,,∴x=k+1时,结论正确。
综上所述,x为一切自然数时。
3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足,求:
(1)f(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。
分析:由题设可猜测f(x)是对数函数的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。
解:(1)∵,∴f(1)=0。
(2),从而有f(x)+f(x-8)≤f(9),
即,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故
,解之得:8<x≤9。
例6、设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是y=g(x),∴y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想g(a+b)=g(a)·g(b)正确。
解:设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b,从而
,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a +b)=g(a)·g(b)。
4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当是定义域中的数时,有;
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0。
试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。
(2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。
分析: 由题设知f(x)是的抽象函数,从而由及题设条件猜想:f(x)是奇函数且在(0,4a)上是增函数(这里把a看成进行猜想)。
解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且是定义域中的数时有
,∴在定义域中。∵
,
∴f(x)是奇函数。
(2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上f(x)<0,
∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知中的,于是f(x1)<f(x2),∴在(0,2a)上f(x)是增函数。
又,∵f(a)=-1,∴,∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0<x-2a<2a,
,于是f(x)>0,即在(2a,4a)上f(x)>0。设2a<x1<x2<4a,则0<x2
-x1<2a,从而知f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0,∵,∴,即f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当时,。(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若,求a的取值范围。
分析:由题设可知f(x)是幂函数的抽象函数,从而可猜想f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数。
解:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴
f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。
(2)设,∴,,
∵时,,∴,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在0,+∞)上是增函数。
(3)∵f(27)=9,又,
∴,∴,∵,∴,
∵,∴,又,故。
(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D
7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:
()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 (1)若=)(x f 10,则x= ;(2))(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象(请使用直尺) (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A , 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法(3)13)2(2++=-x x x f D P C P A P B
待定系数法 (4)已知()x f 是一次函数,且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 (复合函数的解析式)---代入法 (5)已知1)(2-=x x f ,1)(+=x x g ,求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-,则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-,则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习:1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ,求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数,且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+,求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ,)()2(x f x g =+,求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-,(3,0),且(0)3h =-,求()h x ;
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性: 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x-a)(或f(x-2a)=f(x))(a >0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数; 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数; 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数; 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b (a ≠b ),则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数; 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a ;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a ; 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数; 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数; 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 (7、8应掌握具体推导方法,如7) 函数图像的对称性: 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称; 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称; 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ,则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形; 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0; 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知:对称中心是点,d a c c ??- ???; 6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称; 7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++
高一数学抽象函数常见题型
抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f +=
因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(,
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数的解题技巧 1.换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2) 2.方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥?-≥?得由 例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x 1x ( f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x 1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x -11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x 1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x 111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例4.已知f(x)是多项式函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式,设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 4.赋值法
抽 象 函 数 的 解 题 方 法
解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力,以及对一般和特殊关系的认识,因此备受命题者的青睐,成为高考热点。然而,由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性,大多数学生在解决这类问题时,感到束手无策。 我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考. 一、 利用线性函数模型 在中学数学教材中,大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的,解题时最根本点是将抽象函数具体化,这种方法虽不能代替具体证明,但却能找到这些抽象函数的解题途径,特别是填空题、选择题,直接用满足条件的特殊函数求解,得出答案即可。常见的抽象函数模型有: 例1、函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且f (1)=2, f (x )在区间[-4,2]上的值域为 。 0a a ≠且
解析:由题设可知,函数f (x )是正比例()y kx k =为常数的抽象函数,由f (1)=2可求得 k=2,∴ f (x )的值域为[-8,4]。 例2、已知函数f (x )对任意,x y R ∈,满足条件()()()2f x y f x f y +=+-,且当x >0时, f (x )>2,f (3)=5,求不等式2(22)3f a a --的解。 分析:由题设条件可猜测:f (x )是y =x +2的抽象函数,且f (x )为单调增函数,如果 这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设1221,0x x x x -则,∵当x >0时,f (x )>2,∴21()2f x x -,则 , 即,∴f (x )为单调增函数。 ∵, 又∵f (3)=5,∴f (1)=3。∴2(22) (1)f a a f --,∴2221a a --, 解得不等式的解为-1 < a < 3。 例3、定义在R上的函数()y f x =,对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠,且有 ()()()f x y f x f y +=成立。求: (1)f (0); (2)对任意值x ,判断f (x )值的正负。 分析:由题设可猜测f (x )是指数函数()(01)x f x a a a =≠且的抽象函数, 从而猜想f (0)=1且f (x )>0。 解:(1)令y =0代入()()()f x y f x f y +=,则()()(0)f x f x f =, ∴[]()1(0)0f x f -=。若f (x )=0,则对任意12x x ≠,有12()()0f x f x ==,
抽象函数题型Word版
高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,