2018年北京人大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

2018年北京人大附中新高一分班考试

数学试题-真题2018.8

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=2

2.5°，OC=4，CD的长为()

A. 2√2

B. 4

C. 4√2

D. 8

2.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为()

A. 购买A类会员年卡

B. 购买B类会员年卡

C. 购买C类会员年卡

D. 不购买会员年卡

3.10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高(单位：cm)如下表所示：

设两队队员身高的平均数依次为?甲，?乙，身高的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是()

A. 甲=?乙，>

B. 甲=?乙，<

C. 甲>?乙，>

D. 甲

4.如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2.设弦AP的长为x，△APO的面积为

y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()

A. B.

C. D.

5.小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时

30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t(单位：秒)，他与教练的距离为y(单位：米)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()

A. 点M

B. 点N

C. 点P

D. 点Q

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

6.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边

DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=________m．

7.在平面直角坐标系xO y中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A(0,4)，点B是x轴

正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m=________(用含n的代数式表示．)

8.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：如图，

AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点;

(1)分别以点A和点B为圆心，大于1

2

(2)作直线CD．

所以直线CD就是所求作的垂直平分线．

老师说：“小芸的作法正确.”

请回答：小芸的作图依据是.

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2.写出一个函数y=k

(k≠0)，使它的图象

x

与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为______．

11题图12题图

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=?x?1，双曲线y=1

，在l上取一点A1，过A1作

x

x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，…记点A n的横坐标为a n，若a1=2，则a2=______，a2013=______；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是______．

11.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把点P′(?y+1,x+1)叫做点P伴随点．已知点A1的

伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(3,1)，则点A3的坐标为______，点A2014的坐标为______；若点A1的坐标为

(a,b)，对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为______．

12.在下表中，我们把第i行第j列的数记为a i,j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a i,j

规定如下：当i≥j时，a i,j=1；当i

三、解答题（本大题共8小题，共44分）

13. 在?ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF =BE ，连接AF ，BF ．

(1)求证：四边形BFDE 是矩形;

(2)若CF =3，BF =4，DF =5，求证：AF 平分∠DAB ．

14. 第九届中国国际园林博览会(园博会)已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的

相关数据绘制的统计图的一部分．

(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为______平方千米；

(2)第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；

(3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表)，发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量(直接写出结果，精确到百位)． 第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：

15.如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点

P，连接EF，PD．

(1)求证：四边形ABEF是菱形；

(2)若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

16.如图，在平面直角坐标系xOy，一次函数y=?2x的图象与反比例函数的图象的一个交点为

A(?1,n).(1)求反比例函数解析式；

(2)若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．

17.列方程或方程组解应用题：

京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的.小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米?

18.小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形

ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段。构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).请你回答：图2中△BDE的面积等于________．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的二个三角形(保留画图痕迹)；

(2)若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于_________．

19.(1)对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单

位，得到点P的对应点P′．

点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点A，B的对应点分别为A′,B′.如图1，若点A表示的数是，则点A′表示的数是_________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_________；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E 表示的数是_________；

(2)如图2，在平面直角坐标系xO y中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点

的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m>0，n>0)，得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．

20.已知：如图，AB是的直径，C是上一点，于点D，过点C作的切线，交OD 的延长线于点E，连接BE．

(1)求证：BE与相切；

(2)连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．

21.阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm.现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动……如图1所示．问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．

小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A?1B?1CD.由轴对称的知识，发现P?2P?3=P?2E，P?1A=P?1E．

请你参考小贝的思路解决下列问题：(1)P点第一次与D点重合前与边相碰________次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是________cm；

(2)进一步探究：改变矩形ABCD中AD，AB的长，且满足AD>AB.动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则AB∶AD的值为________．

22.有这样一个问题：探究函数y=1

2x2+1

x

的图象与性质．

小东根据学习函数的经验，对函数y=1

2x2+1

x

的图象与性质进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)函数y=1

2x2+1

x

的自变量x的取值范围是;

(2)下表是y与x的几组对应值．

求m的值；

(3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出

该函数的图象;

(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,3

2

).结合函数的图象，写出该函数的其他性质(一条即可):.

23.已知反比例函数的图象经过点A(，1).(1)试确定此反比例函数的解析式；

(2)点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数

的图象上，并说明理由；

(3)已知点P(m，m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m<0)，过P点作x轴的垂线，交x轴

于点M.若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求

的值．

24.在中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

(2)在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；

(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

25.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足?M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．

(x>0)和y=x+1(?4

(1)分别判断函数y=1

x

(2)若函数y=?x+1(a≤x≤b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

(3)将函数y=x2(?1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么

≤t≤1？

范围时，满足3

4

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．

根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=√2

OC=2√2，然后利用CD=2CE进行计算．

2

【解答】

解：如图，

∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，

∴CE=√2

OC=2√2，

2

∴CD=2CE=4√2．

故选C．

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，属中档题．

设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得到y1=30x，y A=50+25x，y B=200+20x，y C=400+15x，当x=45和x=55时，确定x的值，再根据函数的增减性即可解答．

解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x 次，消费的钱数为y 元， 根据题意得：

当不购买会员年卡时，y 1=30x ， 当购买A 类会员年卡时，y A =50+25x ， 当购买B 类会员年卡时，y B =200+20x ， 当购买C 类会员年卡时，y C =400+15x ，

当x =45时，y 1=1350，y A =1175，y B =1100，y C =1075， 此时y C 最小，

当x =55时，y 1=1650，y A =1425，y B =1300，y C =1225， 此时y C 最小，

∵y 1，y A ，y B ，y C 均随x 的增大而增大， ∴购买C 类会员年卡最省钱． 故选C ．

3.【答案】B

【解析】本题考查了统计知识中的平均数和方差的计算及二者的求法；解题的关键是分别求出他们的平均数和方差后进行比较．方差的计算公式：S 2=[(x 1?)2+( x 2?)2+?+( x n ?)2]，甲、乙

两队队员的平均数分别为：甲

==175，

乙

==

175，

甲

=

乙

；甲、乙两队队员的方差分别为

=

[(177?175)2+(176?175)2+?+

(175—175)2]=，

=

[(170?175)2+(175?175)2+?+(183?175)2]=

，而

<

，

即

<

，故选B ．

4.【答案】A

【解析】解：作OC ⊥AP ，如图，则AC =1

2AP =1

2x ，

在Rt △AOC 中，OA =1，OC =22=√1?1

4x 2=1

22，

所以y =1

2OC ?AP =1

4x ?√4?x 2(0≤x ≤2)， 所以y 与x 的函数关系的图象为A 选项．

排除法：

很显然，并非二次函数，排除B选项；

采用特殊位置法；

当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；

当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S

△PAO =√3

4

；

排除B、C、D选项，故选：A．

作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=1

2AP=1

2

x，再根据勾股定理可计算出OC=1

2

√4?x2，然后根据三角

形面积公式得到y=1

4

x?√4?x2(0≤x≤2)，再根据解析式对四个图形进行判断．

本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．

5.【答案】B

【解析】本题考查了动态几何与二次函数结合．解题关键是根据点D的运动情况，找出点E的运动趋势．并选择合适的图象．当x=0时，当D点在A处时，，所以图象过，故可排除选项D；当点D在向右移动的过程中，x的值越来越大，y的值先逐渐变小，后逐渐变大，故排除选项A；当∠CDA=90o时，，当时，点E在AC的延长线上，即，且逐渐增大，故可排除选项C.故选B．

6.【答案】D

【解析】本题考查考生阅读理解与逻辑推理能力，难度较大．本题可用排除法，首先排除选项A和C，若教练位于点P处，小翔最后是离教授越来越近，最后图象应呈下降趋势，而若教练位于点M处，因为点M是圆心，所以开始时小翔离教授距离不变，即图象应是平行于x轴的线段，与实际函数图象不符．对于选项B，若教练位于点N处，因为NA=NB=NC，即图象的起点与终点的纵坐标应相同，这与实际函数图象也不符，故应选D．

7.【答案】解：(1)5，.(2)4∶5．

解题思路示意图：

【解析】略

8.【答案】5.5

【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，难度中等．求树高AB，可先求出BC的长，由题意可知△DEF～△DCB，∴，即，∴BC=4(m)，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m).

9.【答案】3，4 6n?3

【解析】本题考查作图并且能根据所作图形探索、发现规律的能力，难度较大．当m=3时，考生可通过尝试作出图形，找出符合条件的两个点(3,0)，(4,0).当点B的横坐标是4n(n是正整数)时，考生可作出图形并得到当n=1时，m=3=6×1?3；当n=2时，m=9=6×2?3；当n=3时，m=15=6×3?3；当n=4时，m=21=6×4?3；…，从而找出规律m=6n?3．

10.【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线

【解析】

【分析】

本题考查了作线段的垂直平分线的依据，需要学生对相关的定理非常熟悉，题目不难，但对于学生而言题目非常新颖，同时提醒教师在平时授课中要重视尺规作图.属基础题．

【解答】

解：由小芸的作法可知，AC=BC，AD=BD，

所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知点C、D在线段AB的垂直平分线上，

再由“两点确定一条直线”可知直线CD就是所求作的垂直平分线．

故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．

11.【答案】y =1x ，y =k

x (0

【解析】解：∵正方形OABC 的边长为2， ∴B 点坐标为(2,2)，

当函数y =k

x (k ≠0)过B 点时，k =2×2=4， ∴满足条件的一个反比例函数解析式为y =1

x ． 故答案为：y =1

x ，y =k

x (0

先根据正方形的性质得到B 点坐标为(2,2)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B 点的反比例函数解析式即可．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y =k

x (k 为常数，k ≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k ，即xy =k ．

12.【答案】?32；?1

3；0、?1

【解析】解：当a 1=2时，B 1的纵坐标为1

2，

B 1的纵坐标和A 2的纵坐标相同，则A 2的横坐标为a 2=?3

2，

A 2的横坐标和

B 2的横坐标相同，则B 2的纵坐标为b 2=?23， B 2的纵坐标和A 3的纵坐标相同，则A 3的横坐标为a 3=?13， A 3的横坐标和B 3的横坐标相同，则B 3的纵坐标为b 3=?3， B 3的纵坐标和A 4的纵坐标相同，则A 4的横坐标为a 4=2， A 4的横坐标和B 4的横坐标相同，则B 4的纵坐标为b 4=12， 即当a 1=2时，a 2=?3

2，a 3=?1

3，a 4=2，a 5=?32， b 1=1

2，b 2=?2

3，b 3=?3，b 4=1

2，b 5=?2

3， ∵

20133=671，

∴a 2013=a 3=?1

3；

点A 1不能在y 轴上(此时找不到B 1)，即x ≠0，

点A 1不能在x 轴上(此时A 2，在y 轴上，找不到B 2)，即y =?x ?1≠0，

解得：x≠?1；

综上可得a1不可取0、?1．

故答案为：?3

2；?1

3

；0、?1．

求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出a2013的值，根据题意可得A1不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a1不可能取的值．

本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．

13.【答案】(?3,1)；(0,4)；?1

【解析】解：∵A1的坐标为(3,1)，

∴A2(0,4)，A3(?3,1)，A4(0,?2)，A5(3,1)，

…，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

∵2014÷4=503余2，

∴点A2014的坐标与A2的坐标相同，为(0,4)；

∵点A1的坐标为(a,b)，

∴A2(?b+1,a+1)，A3(?a,?b+2)，A4(b?1,?a+1)，A5(a,b)，

…，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

∵对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，

∴{a+1>0

?a+1>0

，{

?b+2>0

b>0

，

解得?1

故答案为：(?3,1)，(0,4)；?1

根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A2014的坐标即可；再写出点A1(a,b)的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．

本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．

14.【答案】0 15 1

【解析】本题属阅读理解题，难度较大．当i≥j时，a i,j=1，当i

a i,?4+a?1?,?5·a i,?5=1+0+0+0+0=1．

15.【答案】证明：(1)在?ABCD中，AB//CD，

∵DF=BE，

∴四边形BFDE为平行四边形.

∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°.

∴平行四边形BFDE是矩形；

(2)由(1)可得矩形BFDE中，∠BFD=90°，则∠BFC=90°.

在Rt△BFC中，BF=4，FC=3，

则由勾股定理可得BC=5.

∴在平行四边形ABCD中，AD=BC=5．

∵DF=5，∴AD=DF=5，

∴∠DAF=∠DFA.

∵AB//CD，

∴∠DFA=∠FAB，

∴∠DAF=∠FAB.

∴AF平分∠DAB．

【解析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，角分线的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得到∠DAF=∠DFA是解题关键．

(1)根据平行四边形的性质，可得AB//CD，根据平行四边形的判定，可得四边形BFDE是平行四边形，再由DE⊥AB，根据矩形的判定可得答案；

(2)首先由勾股定理求得BC=5，进而得DA=DF，根据等腰三角形的判定与性质可得∠DAF=∠AFD，根据平行的性质，可得∠DFA=∠FAB，即可证得∠DAF=∠FAB，根据角平分线的判定即可得结论．16.【答案】解：(1)分别连接AD，DB，则点D在直线AE上，如图1．

∵点D在以AB为直径的半圆上，

∴∠ADB=90o.∴BD⊥AD．

在Rt△DOB中，由勾股定理得

∵AE//BF，

∴两条射线AE，BF所在直线的距离为．

(2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是或?1

(3)假设存在满足题意的AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：

①当点M在射线AE上时，如图2．

∵A，M，P，Q四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的上方．

∴P，Q两点都在上，且不与点A，D重合．