2020高一数学下学期期中试卷及答案

雅安中学2020—2020学年高2020届第二学期

期中试题

数 学 试 题

（审题人：鲜继裕 命题人：姜志远）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至4页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将你认为正确的答案填涂在机读卡上，在试卷上作答无效）

1 ．计算212sin 22.5?-的结果等于（ ） A.

1

2

B.22

C.33

D.32

2．sin15cos75cos15sin105+等于（ ） Ａ. 0

Ｂ.

1

2

Ｃ.

32

Ｄ. 1

3 ．在等比数列{}n a 中，243,6,a a =-=-则8a 的值为（ ） A ．－2

4 B ．24 C ．24± D ．－12

4 ．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且2()()a c a c b bc +-=+,则角A 等于（ ） A.150? B.120? C. 60? D. 30?

5 ．在等差数列{}n a 中，已知521,a =则456a a a ++等于（ ）

A ．15

B ．33

C ．51

D ．63 6 ．若αtan ，βtan 是方程0762=+-x x 的两个根，则=+βα（ ）

A ．π43

B ．4

π

C ．()Ζ∈+k k ππ432

D ．()Ζ∈-k k 4

π

π

7 ．已知等差数列{}n a 中，前15项之和为9015=S ，则8a 等于（ ） A ．

4

45 B ．6 C ．12 D ．

2

45 8 ．函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是（ ） A ．

4π

B ． 2

π C ．π2 D ．π

9 ．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

A ．13项

B ．12项

C ．11项

D ．10项 10．已知sin α=

5

5

，则sin 4α-cos 4α的值为（ ） A ．-5

1

B ．-5

3

C ．5

1

D ．5

3

11．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,

n a n >=，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时，

2123221log log log n a a a -++

+=（ ） A. (21)n n - B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 12．已知函数()y f x =的定义域为R,当0x <时,()1f x >,且对任意的实数,x y ∈R,等式()()()f x f y f x y =+成立.若数列{}n a 满足1(0)a f =,且11

()(2)

n n f a f a +=--

(n ∈N*),则2009a 的值为（ ）

A. 4016

B.4017

C.4018

D.4019

第Ⅱ卷（选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，直接把答案填在横线上）

13．已知216tan =??? ??+πα,3

167tan =??? ??

-πβ,则()=+βαtan _____________

14．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若191720,a S S ==,则当___=n 时,n S 取最大值.

15．?ABC 中,已知tan

sin 2

A B

C +=,则?ABC 的形状为 . 16．在等差数列{}n a 中,n S 是其前n 项的和,且12a =,20102008220102008

S S

-= ,则数列

1n S ??

???? 的前n 项的和是__________.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，直接给出结果概不给分）

17、(12分)设函数()2sin cos cos(2)6f x x x x π

=--.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)当2[0, ]3

x π

∈时,求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值.

18、(12分)设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，17,184==S S ，求数列}{n a 的通项公式.

19、(12分)已知α为锐角,且tan()24

π

α+=.

(Ⅰ)求tan α的值；

(Ⅱ)求sin 2cos sin cos 2ααα

α

-的值.

20、(12分)在社会实践中,小明观察一棵桃树。他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为?54,往正前方走4米后,在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为?75. （I ） 求BC 的长;

（II ） 若小明身高为1.70米,求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01米,其中3 1.732≈).

21、(12分)已知数列{a n }的前n 项和为)1n (n 2

1

S n +=

(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;

(Ⅱ)若111,20,n n n n n b b b c a b -=-==，数列{C n }的前项和为T n ,求证：T n <4.

22、(14分)已知函数5

55)(+=

x

x f ,m 为正整数.

(Ⅰ)求)0()1(f f +和)1()(x f x f -+的值;

(Ⅱ)数列}{n a 的通项公式为)(m

n

f a n =(m n ,,2,1 =),求数列}{n a 的前m 项和m S ;

(Ⅲ) (4分)设数列}{n b 满足:2

11=

b ,n n n b b b +=+2

1,设11111121++++++=n n b b b T ,若(Ⅱ)中的m S 满足：对任意不小于3的正整数n,57774+

雅安中学2020—2020学年高2020届第二学期期中试题 数 学 参考答案

一、 选择题（每题5分，共60分） 题

号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答

案

B D A B D D B B A B C

B

13、1 ; 14、13； 15、直角三角形 16、1

n

n +

三、解答题（共74分）

17、解:(Ⅰ)因为()2sin cos cos(2)6

f x x x x π

=--

sin 2(cos 2cos

sin 2sin )66

x x x π

π

=-+ 13

sin 2cos 222

x x =- sin(2)3

x π

=-,

所以()sin(2)3f x x π

=-.

函数()f x 的最小正周期为π (Ⅱ)因为2[0, ]3

x π

∈,所以2,33x πππ??-∈-????.

所以,当π23

2x π

-

=

,即5π

12

x =时 函数()f x 的最大值为1

18、解：设}{n a 的公比为q ,由14=S ,178=S 知1≠q ,

所以

11)1(41=--q q a 且171)

1(81=--q

q a ①

两式相除，得17114

8

=--q

q ，解得164=q ，2=∴q 或2-=q . 将2=q 代入①式,得151

1=a ,所以1521-=n n a ;

将2-=q 代入①式,得5

1

1-=a ,所以52)1(1-?-=n n n a .

19、解:(Ⅰ)1tan tan()41tan πα

αα

++=-,

所以1tan 21tan αα

+=-,1tan 22tan αα+=-,

所以1

tan 3

α=

(Ⅱ)2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααα

αα--=

2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2αααα

ααα

-===

因为1

tan 3α=,所以cos 3sin αα=,又22sin cos 1αα+=,

所以21

sin 10

α=,

又α为锐角,所以10

sin α=

所以

sin 2cos sin 10

cos 2αααα-=

20、解: ( I )在ABC ?中, 45,75,CAB DBC ∠=∠=又 则754530ACB ∠=-= 由正弦定理得到,

sin 45sin 30

BC AB

=, 将AB=4代入上式, 得到 42BC =米)

( II ) 在CBD ?中, 90CDB ∠=, BC =所以 75sin 24=DC 因为 30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin +=+=, 得到4

2

675sin +=

, 则 322+=DC ,

所以 3.70 3.70 3.4647.16DE =+≈+≈ (米)

答:BC 的长为;桃树顶端点C 离地面的高度为7.16米。 21、解:(Ⅰ)∵数列{a n }的前n 项和为)1n (n 2

1

S n += ∴当n=1时，a 1= S 1=1

当n≥2时,a n = S n - S n-1=n ∴a n =n

(Ⅱ)由若b 1=1,2b n -b n-1=0得2

1

b b 1n n =- ∴{b n }是以b 1=1为首项,

1

2

为公比的等比数列. ∴11

();2

n n b -=

11

()2n n n n C a b n -∴==

∴2211111

123()(1)()()2222

n n n T n n --=+?+?++-?+?

2311111112()3()(1)()()222222

n n n T n n -=+?+?++-?+? 两式相减得: 1n n 1n n n )2

1

(n )21(44)21(n ])21(1[4T ----=--=

∴ T n <4

22、 解:(Ⅰ)515555)0()1(+++=

+f f =1;

)1()(x f x f -+=

55

5

5

551++

+-x

x

=

x

x x

5

55555

55

?+?+

+=1;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 )11( 1)1()(-≤≤=-+m k m

k

f m k f ,

即,1 1)()(=+∴=-+-k m k a a , m

k m f m k f

由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ② 由①+②, 得,21)1(2m m a m S +?-= ∴4

5

521)1()1(21)1(-+?-=+?-=m f m S m , (Ⅲ) 解：∵,2

1

1=

b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+,∴对任意的0 *,>∈n b N n . ∴

,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1

n +-=+=

+即1

n n n b 1

b 11b 1+-=+.

∴1

11132211211)11()11()11(

+++-=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T . ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++

∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当3≥n , 且+∈N n 时, 3T T n ≥. ∵256

777

)11621(1621,1621)143(43 ,43)121(21,214321=

+==+==+==

b b b b ∴.777

256

21243-=-

=≥b T T n ∴,577743+

∴m 的最大值为650