打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性分析

目录

1课程设计目的…………………………………………页码

2课程设计题目描述和要求……………………………页码3课程设计报告内容……………………………………页码

3.1原理图

3.2系统参数取值情况

3.3状态空间方程

4系统分析………………………………………………页码

4.1 能控性分析

4.2 能观性分析

4.3 稳定性分析

5总结……………………………………………………页码打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性分析

1课程设计目的

综合运用自控现代理论分析皮带驱动系统的能控性、能观性以及稳定性，融会贯通并扩展有关方面的知识。加强大家对专业理论知识的理解和实际运用。培养学生熟练运用有关的仿真软件及分析，解决实际问题的能力，学会应用标准、手册、查阅有关技术资料。加强了大家的自学能力，为大家以后做毕业设计做很好的铺垫。

2课程设计题目描述和要求

?环节项目名称：能控能观判据及稳定性判据

?环节目的：

1．利用MATLAB分析线性定常系统的可控性和客观性。

2．利用MATLAB进行线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据。

?环节形式：课后上机仿真

?环节考核方式：

根据提交的仿真结果及分析报告确定成绩。

?环节内容、方法：

（1）给定系统状态空间方程，对系统进行可控性、可观性分析。（2）已知系统状态空间方程，判断其稳定性，并绘制出时间响应曲线验证

3课程设计报告内容

3.1原理图

在计算机外围设备中，常用的低价位喷墨式或针式打印机都配有

皮带驱动器。它用于驱动打印头沿打印页面横向移动。图1给出了一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的例子 。其光传感器用来测定 打印头的位置，皮带张力的变化用于调节皮带的实际弹性状态。

控制器

直流电机

电机电压

皮带

滑轮

光源打印机

打印头位置()

y t 光传感器

图1 打印机皮带驱动系统

3.2系统参数取值情况

表1打印装置的参数

质量 m=0.2kg 滑轮半径 r=0.015m 光传感器 k 1=1v/m 皮带弹性系数k 20 速度反馈系数

0.08

电机

电感

L ≈0

电机和滑轮的摩擦系数 f=0.25N ·m ·s 电枢电阻 R=2Ω 电机传递系数 K m =2kg ·m/A

电机和滑轮的转动惯量

J 电机+J 滑轮=J=0.01kg ·m 2

3.3打印机皮带驱动系统的状态空间方程

图2 打印机皮带驱动模型

状态空间建模及系统参数选择。图2为打印机皮带驱动器的基本模型。模型中记皮带弹性系数为k ，滑轮半径为r ，电机轴转角为θ，右滑轮的转角为θ

p ，

打印头质量为m ，打印头的位移为y(t)。光传感

器用来测量y(t)，光传感器的输出电压为v 1，且v 1=k 1y 。控制器输出电压为v 2，对系统进行速度反馈，即有dt

dv k v 1

22-=。注意到y=r θp ,可知皮带张力T1，T2分别为

()()()θθθθr y k T y r k r r r T p -=-=-=21,

于是作用在质量m 上的皮带净张力为()12122kx y r k T T =-=-θ。其中x 1=（r θ-y ）为第一个状态变量，表示打印头实际位移y 与预期位移r θ之间的位移差。则质量m 的运动方程为

121222kx T T dt

y

d m =-= 取第二个状态变量dt

dy

x =

2，于是有

122x m

k

dt dx = （1-1） 定义第三个状态变量dt

d x θ

=

3，x 1的导数 321rx x dt

dy

dt d r dt dx +-=-=θ （1-2） 推导电机旋转的运动方程：当L=0时，电机电枢电流R

v i 2

=，而电机转矩为M m =K m i ，于是有

2v R

K M m

m =

（1-3） 设作用在驱动皮带上的扰动转矩为M d ，则电机驱动皮带的有效转矩为M=M m -M d 。显然，只有有效转矩驱动电机轴带动滑轮运动，因此有

()2122T T r dt d f dt

d J M -++=θ

θ

由于 1212232,kx T T dt

d dt dx =-=θ

故得

1332x J

kr x J f J M M dt dx d m ---= 在上式中 代入（1-3）以及

dt

dv k v 1

2

2-= dt

dy x y k v =

=211, 得到 221122x RJ k

k K dt dv RJ k K v RJ K J M m m m m -=-== 最后可得

J

M x J f x RJ k k K x J kr dt dx d m ----=3221132

式（1-1）、（1-2）、（1-3）构成了描述打印机皮带驱动系统的一阶运动微分方程组，其向量矩阵形式为

d m M J x J f RJ

k k K J

kr m k r x ?

???????????-+?????

??

?

????

????

----=?

1002002102

1

将表1打印装置的参数代入得

u x x ??

??

??????-+??????????----=?

100002586000200015.010 []x y 001=

4系统分析

4.1 能控性分析

根据能控性的秩判据

[]001,10000,2586000200015.010=??

??

?

?????-=??????????----=C B A ，D=0; 经计算可控性判别阵为

??

??

??????---=62412500100300075.35.10

Sc 由上可知，rank(Sc)=3=rank （A ），故系统能控。 4.2 能观性分析 根据能观性的秩判据

[]001,10000,2586000200015.010=??

??

?

?????-=??????????----=C B A ，D=0;

经计算可观测性判别阵为

??

??

??????----=375.012.09.200015.010001

Sc 由上可知，rank(S0)=3=rank （A ），故系统能观。 4.3 稳定性分析

由打印机皮带驱动器系统的状态方程，可利用MATLAB 求出其特征值： 代码：

A=[0 -1 0.015;200 0 0;-60 -8 -25]; Q=eye(3); p=lyap(A',Q) val=eig(A) 结果：p = 1.0e+004 *

-6.0523 -0.0008 -0.0028 -0.0008 -0.0303 0.0001 -0.0028 0.0001 0.0000 val =

0.0009 +14.1755i 0.0009 -14.1755i -25.0018

解的特征值为0.0090+14.4724i,0.0090-14.4724i,-25.0180。

三个特征值中存在两个正实部根，一个负根，这说明打印机皮带驱动器系统，即被控系统是不稳定的。

采用MATLAB对被控对象进行仿真，如下图所示为打印机皮带驱动器没有添加任何控制器下三个变量的单位阶跃响应。如图可知，系统不稳定，不能到达控制目的。

代码：

A=[0 -1 0.015;200 0 0; -60 -8 -25];

b=[0;0;-100];c=[1,0,0];d=0;

sys0=ss(A,b,c,d);

t=0:0.01:5;

[y,t,x]=step(sys0,t);

subplot(2,2,1);

plot(t,x(:,1));grid

xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');

title('z');

subplot(2,2,2);

plot(t,x(:,2));grid;

xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');

title('zμ??￠·?');

subplot(2,2,3);

plot(t,x(:,3));grid

xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');

title('\theta')

仿真结果如下：

5总结

六、附录：判断能控性代码：

A=[0 -1 0.015;200 0 0;-60 -8 -25]; B=[0;0;-100];

C=[1 0 0];

D=0;

Sc=ctrb(A,B)

求秩代码：rank(Sc)

判断能观性代码：

A=[0 -1 0.015;200 0 0;-60 -8 -25];

B=[0;0;-100];

C=[1 0 0];

D=0;

S0=ctrb(A',C')

求秩代码：rank(S0)

判断稳定性代码：

A=[0 -1 0.015;200 0 0;-60 -8 -25];

Q=eye(3);

p=lyap(A',Q)

val=eiq(A)

单位阶跃响应代码：

A=[0 -1 0.015;200 0 0; -60 -8 -25];

b=[0;0;-100];c=[1,0,0];d=0;

sys0=ss(A,b,c,d);

t=0:0.01:5;

[y,t,x]=step(sys0,t);

subplot(2,2,1);

plot(t,x(:,1));grid

xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');

title('z');

subplot(2,2,2);

plot(t,x(:,2));grid;

xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');

title('zμ??￠·?');

subplot(2,2,3);

plot(t,x(:,3));grid

xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');

title('\theta')

参考书目：

[1]薛定宇，控制系统计算机辅助系统，清华大学出版社

[2]胡寿松，自动控制原理简明教程，科学出版社

[3]方水良，现代控制理论及其MATAB实践

[4] 王晓凯，基于简化模型的倒立摆控制实验研究[J]，计算机技术与自动化，1997(1).

[5] 王海英,袁丽英,吴勃.控制系统的MATLAB仿真与设计(第1版)

[M]，高等教育出版社.2009(1).

[6]MATLAB程序设计与应用（第二版）刘卫国主编