数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编
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数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编
部分习题参考解答
P.4 习题
1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是a
ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。
证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，
1
再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
5．证明：对任何R x ∈有
（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，
所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+
∈R c b a ,,证明|
|||
2222c b c a b a -≤+-+
证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA
的长度是
2
2b
a +，OC 的长度是2
2c a +，
a
c
b
)
,(b a A )
,(c a C x
y
O
n 有公约数 p 。这与“m 、n 互素”矛盾。所以
p
是无理数。
P.9 习题
2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义：
（1）S 无上界； 若M ?，S
x
∈?0
，使得M
x
>0
，则称S 无上界。
（请与S 有上界的定义相比较：若M ?，使得S x ∈?，有M x ≤，则称S 有上界）
（2）S 无界。 若0>?M ，S
x
∈?0
，使得M
x
>||0
，则称S 无界。
（请与S 有界的定义相比较：若0>?M ，使得S x ∈?，有M x ≤||，则称S 有界）
3．试证明数集}
,2|{2
R x x
y y S ∈-==有上界而无
下界。
1
证明 S
x ∈?，有2
22
≤-=x
y ，故2是S 的一个
上界。
而对0>?M ，取M
x
+=30
，S
M x y
∈--=-=122
00
，但
M
y -<0。故数集S 无下界。
4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：
（1）}
,2|{2
R x x x S ∈<=
解 2
sup =S ，2inf -=S 。下面依定义加以验
证2
sup =
S （2inf -=S 可类似进行）。 S
x ∈?，有2
2<<-
x ，即2是S 的一个上界，
2
-是S 的一个下界。
2
x
∈?0
，都有α
>0
x
；若
2
2<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，
使得2
2<<<-
r α，即S r ∈，α不是上界，所以
2
2
sup =S 。
（2）},!|{+
∈==N n n x x S
解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup 。
1
inf =S 。
S
x ∈?，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界； 1
>?β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界。所
以
1
inf =S 。
(3)})1,0(|{内的无理数为x x S =
解 仿照教材P .6例2的方法，可以验证：
1
sup =S 。
inf =S
7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+
证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+； （2）B A B A inf inf )inf(+=+
证明 （1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在。
3
B
A z +∈?，由定义分别存在
B y A x ∈∈,，使得
y
x z +=。由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，
即B A sup sup +是数集B A +的一个上界。
B
A sup sup +
B A +的上界），
A
B sup sup <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A
x
∈0
，
使得B
x
sup 0
->α。于是B
x
sup 0
<-α，再由上确界B sup 的定义，知存在B
y ∈0
，使得00
x y
->α。从而α
>+=000
y x z
，
且B
A z
+∈0
。因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即
B
A B A sup sup )sup(+=+
另证
B
A z +∈?，由定义分别存在
B y A x ∈∈,，
使得y x z +=。由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是
B
A B A sup sup )sup(+≤+。 ①
由上确界的定义，0>?ε，A
x
∈?0
，使得
4
2
sup 0ε
-
>A x ，
B
y ∈?0，使得
2
sup 0ε
-
>B y ，从而
ε
-+>+≥+B A y x B A sup sup )sup(00，由教材P.3 例2，可得 B
A B A sup sup )sup(+≥+ ②
由①、②，可得
B
A B A sup sup )sup(+=+
类似地可证明：B A B A inf inf )inf(+=+
P.15 习题 9．试作函数)arcsin(sin x y =的图象
解
)
arcsin(sin x y =是以2π为周期，
定义域为),(∞+-∞，值域为]2
,2[π
π- 的分段线性函数，其图象如图。 11．试问||x y =是初等函数吗？ 解 因为2
||x x y =
=，可看成是两个初等函数
u
y =与2
x u =的复合，所以||x y =是初等函数。 12．证明关于函数[]x y =的如下不等式：
2
π
2
π
2
π-
2
π-
x
π
y
5
（1）当0>x 时，111≤??
?
???<-x x x （2）
当0 x x - ? ???≤111 证明 （1）因为 1111+?? ? ???<≤??????x x x ，所以当0>x 时， 有x x x x x +?? ????<≤?? ????111，从而有111≤?? ? ???<-x x x 。 （2）当0 ????<≤?? ????x x x 中同时 乘以x ，可得?? ? ???≤<+?? ????x x x x x 111， 从而得到所需要的不等式x x x - ? ???≤111。 P.20 习题 1．证明1)(2 +=x x x f 是R 上的有界函数。 证明 因为对R 中的任何实数x 有 2 1 212=≤+x x x x ) ||21(2x x ≥+ 所以 f 在R 上有界。 2．（1）叙述无界函数的定义； （2）证明2 1)(x x f =为（0，1）上的无界函数； 6 （3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数。 解 （1）设函数D x x f ∈) (，若对任何0>M ， 都存在D x ∈0 ，使得M x f >|)(|0 ，则称 f 是D 上的无 界函数。 （2）分析：0>?M ，要找) 1,0(0∈x ，使得M x >20 1 。 为此只需M x 10 < 。 证明 0>?M ，取1 10 += M x ，则) 1,0(0 ∈x ，且 M M x >+=11 20 ，所以f 为区间（0，1）上的无界函 数。 （3）函数?????=≤<=0 101)(x x x x f 是闭区间 [0，1] 上 的无界函数。 10．讨论狄利克雷函数 ?? ?=为无理数 当为有理数 当x ，x x D 0,1)(，的 有界性，单调性与周期性。 解函数)(x D是有界函数：1|)(|≤ D。不是单 x 调函数。 (x D是周期函数，任何一个正有理数都是它) 的周期，故它没有最小周期。证明如下：设r是 任一正有理数。若x是有理数，则r x±是有理数， 于是)( r D= = ±；若x是无理数，则r x±是无理 x 1 ) (x D 数，于是)( D= x = ±。 (x r ) D 任何无理数都不是)(x D的周期。 7