《工程数学—线性代数》复习参考资料

《工程数学—线性代数》复习参考资料

——《线性代数》的复习尤其要求

．．．．详细阅读人手一册的《综合练习题》授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）

第一章行列式

一、全排列及其逆序数（理解）

1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列）

2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

例题求排列32514的逆序数

解

3的逆序数为0；

2的逆序数为1；

5的逆序数为0；

1的逆序数为3；

4的逆序数为1；

于是这个排列的逆序数为

5

1

3

1

0=

+

+

+

+

=

t

二、n阶行列式的定义（理解）

定义设有

2

n个数，排成n行n列的数表，

a11a12 (1)

a21a22 (2)

………………

a n1a n2…a nn

作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号t)1

(-，得到形如

n np p p t

a a a ???-2121)1( （1）

的项，其中n p p p ???21为自然数n ,,2,1???的一个排列，t 为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n ！个，因而形如（1）式的项共有n ！项，所有这n ！项的代数和

n np p p t

a a a ???-∑2121)1( 称为n 阶行列式，记作

nn

n n n n a a a a a a a a a D ?

??=

2

1

2222111211

，

简记为)det(ij a ，数ij a 称为行列式)det(ij a 的元素。元素ij a 的第一个下标

i 称为行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 称为列标，表明该元

素位于第j

列，

三、行列式的性质（掌握） 记

nn

n n n n a a a a a a a a a D ?

??=

2

1

2222111211

，

nn

n

n

n n T

a a a a a a a a a D

?

??=

212221212111

行列式D T 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式。

第

i 行（或列）乘以k ，记作k r i ?（或k c i ?） 推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 第

i 行（或列）提出公因子k ，记作k r i ÷（或k c i ÷）。

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如

nn

ni

ni n n n i

i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D

/2

1

2/

2222211/

111211

+++=

，

则D 等于下列两个行列式之和：

nn ni n n n i n i a a a a a a a a a a a a D

21222221111211

=

nn

ni

n n n i n i a a a a a a a a a a a a

/2

1

2/222211/

11211+ 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +； 以数k 乘第

j

行加到第

i 行上，记作j i kr r +；

计算行列式常用的一种方法就是利用运算j i kr r +把行列式化为上三角形

行列式，从而算得行列式的值。P16例7、8。 （可以证明，对于上三角行列式D 有：

nn

nn

n n a a a a a a a a a D

2211222

11211

==

当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。）

四、行列式按行（列）展开（掌握） 设

nn

n n in ij i i n n a a a a a a a a a a a a a D ?

??=

2

1

2122221

11211

在n 阶行列式中，把ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1

阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij

M ；记

ij j

i ij M A +-=)

1(，

ij A 叫做元素ij a 的代数余子式。

引理 一个n 阶行列式，如果其中第

i 行的元素除ij a 外都为零，那么这行列

式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即

ij

ij nn

n n ij n n A a a a a a a a a a a a D =?

??=

2

1

2222111211000

定理 行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=

或

),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=

推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

j i A a A a A a D jn in j i j i ≠=+++=,02211 ，

或 j i A a A a A a D nj ni j

i j i ≠=+++=,02211 。

五、四阶行列式的计算（重点掌握） 例1 计算行列式

1

1

2

3

211232114321

解：

2

)1214(7

432)1(7

4

4

323

01

11

8

4

653

111

)1(11

8

4

653111)

1(11

843

653211110001112

3

2112321143211

13

1

14321

3121

41312-=--=--=-=-=----------=---------=

+--+---c c c c c c c c c c

例2 计算行列式

321

4

214314324321 解：

160

)116144(36

4

44)1(36

4

440

7

21

13

10

7

1082

721

)1(13

10

7

1082721

)

1(13107

41082372120001321

4

2143143243211

1723

1

14321

3121

41312=---=-----=----=-=----------=---------=+--+---r r r r c c c c c c

五、克拉默法则（注意，计算量比较大） 设有n 个未知数

1x 、2x 、…、n x 的n 个线性方程的方程组

???

??

?

?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）

克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数笔列式不等于零，即

1

111

≠=

nn

n n a a a a D

那么，方程组（1）有唯一解

D

D x 11=

，

D

D x 22=

，…，

D

D x n n =

。

其中),,2,1(n j D j =是把第数行列式中第j

列的元素用方程组右端的常

数项代替后所得到的n 阶行列式，即

nn

j n n

j n n n j i j j a a b a a a a b a a D

1,1

,111,11,111

+-+-=

第二章 矩阵及其运算

一、矩阵的概念（理解） 1、由n m ?个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数

表

mn

m m n n a a a a a a a a a

2

1

22221

11211

称为m 行n 列矩阵，简称n m ?矩阵，记作

??????

?

??=mn m m n n a a a a a a a a a A

2

1

22221

11211

也常记作n

m A ?。

这n m

?个数称为矩阵A 的元素，简称元，数ij a 称为),(j i 元。

以数ij a 为),

(j i 元的矩阵可简记作（ij a ）或n m ij a ?)(。

2、行数和列数都等于n 的矩阵A 称为n 阶矩阵或n 阶方阵，n 阶方阵A 也记作

n A 。

3、只有一行的矩阵

()n a a a A

2

1

=

称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作

),,,(21n a a a A =

只有一列的矩阵

??????

?

??=m

b b b B 2

1 称为列矩阵，又称列向量。

4、两个矩阵的行数相等，就称它们是同型矩阵，如果()ij a A =与()ij b B =是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即

),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij === 那么就称矩阵A 与矩阵B 相等，记作

B

A =

5、元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。注意不同型的零矩阵是不同的。

6、单位矩阵 简记作E ，即

??????

?

?

?=10

0010001

n E 7、对角矩阵 简记作),,,(211n diag A λλλ = 即

??????

?

?

?=n A λλλ

000002

1

二、矩阵的运算与性质（掌握） 1、矩阵的加法 设有两个矩阵n

m ?()ij a A =、()ij b B =，那么矩阵A 与B 的和记作

A+B ，规定为

??

??

?

?

?

??+++++++++=+mn mn m m m m n n nn n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A

2

21

1

2222

222121

1112121111

注意： 只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。 矩阵加法满足下列运算规律： 设A 、B 、C 都是m ×n 矩阵，则 （1）

A

B B A +=+；

（2）)()(C B A C B A ++=++

（3）

)(B A B A -+=-

设设矩阵()

ij a A =，记

()ij a A -=-

—A 称为矩阵A 的负矩阵。 2、数与矩阵相乘

数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或A λ，规定为

??????

?

??==mn

m m n

n a a a a a a a a a A A λλλλλλλλλλλ

2

1

222

21

11211 数乘矩阵满足下列运算规律：

设A 、B 、为m ×n 矩阵，λ、μ为数，则 （1）)()(A A μλλμ=；

（2）A A A μλμλ

+=+)(；

（3）B A B A

λλλ+=+)(。

3、矩阵与矩阵相乘 设()

ij a A =是一个

s m ?矩阵，()ij b B =是一个n

s ?矩阵，那么规定

矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个

n m ?矩阵()ij c C

=,其中

sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 并把此乘积记作

C = AB

必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下BA

AB ≠，但仍满足下列结合

律和分配律（假设运算都是可行的）：

（1）)()(BC A C AB =

（2）),()()(B A B A AB λλλ==（其中λ为数）

（3）

AC

AB C B A +=+)(

CA

BA A C B +=+)(

（重要）例1 已知矩阵

???

??

?

?--=10

0310

1131A ，

????

?

??-=4052

61B 求AB 。 解：

???

?

?

???-+?+??-+-?+??+?-+??+-?-+??+?+??+-?+?=4)1(50600)1()2(010435)1(600

3)2()1(1041153610

11)2(311AB

??

??

?

?

?--=4072655

4、方阵的行列式、伴随矩阵

定义 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A 的行列式。记作A 。

行列式

A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵

??????

?

?

?=*

nn n

n

n n n a a A a a A a a A A λλλλλλ

21222

121211

称为方阵A 的伴随矩阵．．．．，记为*

A

。

5、逆矩阵

定义 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使

E

BA AB ==

则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵。

定理 若

0≠A ，则矩阵A 可逆，且

*

-=

A

A

A

11

。

重要例题 P56-57例10

方阵的逆矩阵满足下述运算规律： 1）若A 可逆，则

1

-A

亦可逆，且A A

=--1

1)

(。

2）若A 可逆，数0

≠λ

则λA 可逆，且A A λ

λ1

)

(1

=

-。

3）若A ，B 为同阶矩阵，且均可逆，则AB 亦可逆，且

1

11

)

(---=A

B AB 。

例题：设n 阶方阵A 满足A 2—A —2E = 0， 证明：A —E 是可逆矩阵，并求A —E 的逆矩阵。 证明：由A 2—A —2E = 0得 A 2—A = 2E A （A —E ）= 2E

E E A A =-)(2

1

∴A —E 是可逆矩阵

且 A E A 2

1)(1

=

--。

复习说明——大家重点要掌握的是第一、二章的关于行列式、矩阵的各种

计算，必须非常熟练、坚定不移地掌握！！

第三章略为次要一些，试题比重不会太大，第四章一般只考一些基本的概念、定理、推论，这两章建议大家按《综合练习》的题型进行复习即可。

《综合练习》还是看《通信工程专业——《线性代数》综合练习题与答案》那本，题型较为全面，比较保险。

比较重要的题目有：

第一大题的1至8；第二大题的1至7；第三大题的1至11；第四大题的1、2。