[2020理数]第七章 第三节 基本不等式

[基本知识]

1．基本不等式：ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0,b >0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式

?

????

(1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋a

b ≥2，ab >0；

(3)ab ≤???

?

a ＋

b 22

，a ，b ∈R ；(4)a 2

＋b 2

2≥

????

a ＋

b 22

，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时

等号成立.

3．算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为

a ＋b

2

,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则：

(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是p 2

4

.(简记：和定积最大)

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2.( )

(2)函数f (x )＝cos x ＋

4

cos x

,x ∈????0，π2的最小值为4.( ) (3)x >0,y >0是x y ＋y

x ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0,则a 3＋1

a 2的最小值为2a .( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、填空题

1．当x >0时,函数f (x )＝2x

x 2＋1

的最大值为________． 答案：1

2．已知a ,b ∈(0,＋∞),若ab ＝1,则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1,则ab 的最大值为________．

解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2,当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤????a ＋b 22

＝14,当且仅当a ＝b ＝1

2

时取到等号． 答案：2

1

4

3．若a ,b ∈R,ab >0,则a 4＋4b 4＋1

ab 的最小值为________．

解析：∵a ,b ∈R,ab >0,

∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋

1ab ≥2

4ab ·

1

ab ＝4,

当且仅当????

?

a 2＝2

b 2，4ab ＝1ab ，即???

a 2＝2

2，b 2＝24

时取得等号．

答案：4

4．已知a >0,b >0,a ＋2b ＝3,则2a ＋1

b

的最小值为________．

解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1,所以2a ＋1

b ＝????13a ＋23b ????2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝3

2时取等号． 答案：83

[全析考法]

考

法

一

通

过

拼

凑

法

利

用

基

本

不

等

式

求

最

值

利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．

[例1] (1)(2019·泉州检测)已知0

2

C.34

D ．23

(2)(2019·南昌调研)已知函数y ＝x ＋

m

x －2

(x >2)的最小值为6,则正数m 的值为________． [解析] (1)∵0

4. 当且仅当x ＝1－x ,即x ＝1

2时等号成立．

(2)∵x >2,m >0,∴y ＝x －2＋m

x －2

＋2≥2(x －2)·m

x －2

＋2＝2m ＋2,当且仅当x ＝2＋

m 时取等号,又函数y ＝x ＋m

x －2

(x >2)的最小值为6,∴2m ＋2＝6,解得m ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值

[例2] (1)(2019·青岛模拟)已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,则1x ＋1

3y 的最小值是( )

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．2 3

(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x >0,y >0,x ＋2y ＝1,有2x ＋1

y ≥m 恒成立,则m 的最大值是

________．

[解析] (1)因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,所以x ＋3y ＝1,所以1x ＋1

3y ＝????1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4当且仅当3y x ＝x 3y ,即x ＝12,y ＝1

6

时取等号． (2)∵x >0,y >0,x ＋2y ＝1,∴2x ＋1y ＝(x ＋2y )·????2x ＋1y ＝2＋2＋4y x ＋x y

≥4＋24y x ·x

y ＝8,当且

仅当x ＝12,y ＝14时取等号,∴2x ＋1y 的最小值为8,又2x ＋1

y ≥m 恒成立,∴m ≤8,即m 的最大值为

8.

[答案] (1)C (2)8 [方法技巧]

通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤

常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．

[集训冲关]

1.[考法一]已知x <0,则函数y ＝4

x ＋x 的最大值是( ) A ．－18 B ．18 C ．16

D ．－4

解析：选D ∵x <0,∴y ＝－???

?4

－x ＋(－x )≤－4,当且仅当x ＝－2时取等号．

2.[考法二]正数a ,b 满足1a ＋9

b ＝1,若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是________．

解析：因为a >0,b >0,1a ＋9b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·????1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16.由题意．得16≥－x 2＋4x ＋18－m ,即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立,又x 2－4x －2＝(x －2)2－6的最小值为－6,所以－6≥－m ,即m ≥6.

答案：[6,＋∞)

突破点二 基本不等式的综合问题

关于基本不等式的考题,涉及的知识点较多,常融合于函数、数列、立体几何、解析几何及实际问题中,此类问题一般难度较大,需要较强的分析问题、解决问题的能力．

[全析考法]

考

法

一

基

本

不

等

式

的

实

际

应

用

问

题

[例1] 如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔挡的材料为铝合金,宽均为6 cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2,此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm 2,设该铝合金窗的宽和高分别为a cm,b cm,铝合金窗的透光部分的面积为S cm 2.

(1)试用a ,b 表示S ；

(2)若要使S 最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少？ [解] (1)∵铝合金窗宽为a cm,高为b cm,a >0,b >0, ∴ab ＝28 800.①

设上栏框内高度为h cm,则下栏框内高度为2h cm,则3h ＋18＝b ,∴h ＝b －18

3

, ∴透光部分的面积S ＝(a －18)×

2(b －18)3＋(a －12)×(b －18)

3

＝(a －16)(b －18)＝ab －2(9a ＋8b )＋288＝28 800－2(9a ＋8b )＋288＝29 088－2(9a ＋8b )．

(2)∵9a ＋8b ≥29a ·8b ＝29×8×28 800＝2 880,当且仅当9a ＝8b 时等号成立,此时b

＝9

8

a ,代入①式得a ＝160,从而

b ＝180,即当a ＝160,b ＝180时,S 取得最大值． ∴铝合金窗的宽为160 cm,高为180 cm 时,可使透光部分的面积最大． [方法技巧]

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

考

法

二

基

本

不

等

式

与

其

他

知

识

的

交

汇

问

题

考向一 基本不等式与函数的交汇问题

[例2] (2019·北京西城区期末)已知A ,B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点,若点A ,B 到直线y ＝1

2

的距离相等,则点A ,B 的横坐标之和的取值范围是( )

A ．(－∞,－1)

B ．(－∞,－2)

C ．(－∞,－3)

D ．(－∞,－4)

[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),不妨设x 1

1

2的距离相等,则12－y 1＝y 2－1

2,即y 1＋y 2＝1,即2x 1＋2x 2＝1.由基本不等式得1＝2x 1＋

2x 2≥22x 1·2x 2,当且仅当x 1＝x 2＝－1时取等号,则2x 1＋x 2≤1

4,解得x 1＋x 2<－2(因为x 1≠x 2,

等号取不到),故选B.

[答案] B

考向二 基本不等式与数列的交汇问题

[例3] (2019·济宁期末)已知a >0,b >0,并且1a ,12,1

b 成等差数列,则a ＋9b 的最小值为( )

A ．16

B ．9

C ．5

D ．4

[解析] ∵1a ,12,1b 成等差数列,∴1a ＋1

b ＝1,∴a ＋9b ＝(a ＋9b )????1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2

a b ·9b a ＝16,当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1,即a ＝4,b ＝4

3时等号成立,故选A. [答案] A

考向三 基本不等式与解析几何的交汇问题

[例4] (2019·邢台月考)当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时,M 的渐近线方程

为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±22x

C ．y ＝±2x

D ．y ＝±1

2

x

[解析] 由题意得m >0,e ＝

1＋m 2＋4m ＝

1＋m ＋4

m ≥

1＋2

m ·4m ＝5,当且仅

当m ＝4

m ,即m ＝2时等号成立,所以双曲线的方程为x 22－y 28＝1,所以渐近线方程为y ＝±2x ,故

选A.

[答案] A [方法技巧]

求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解．

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

[集训冲关]

1.[考法二·

考向一]已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上,其中mn >0,则1m ＋1

n 的最小值为( )

A ．3－2 2

B ．5

C ．3＋2 2

D ．3＋ 2

解析：选C 令x ＋3＝1,得x ＝－2,故A (－2,－1)．又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上,∴－2m －n ＋1＝0,即2m ＋n ＝1,则1m ＋1

n ＝????1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋2 n m ·2m

n ＝3＋

2 2.当且仅当m ＝

12＋2,n ＝12＋1

时等号成立,所以1m ＋1

n 的最小值为3＋22,故选C.

2.[考法二·

考向二]已知a >0,b >0,a ,b 的等比中项是1,且m ＝b ＋1a ,n ＝a ＋1

b ,则m ＋n 的最小值是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解析：选B 由题意知ab ＝1,∴m ＝b ＋1a ＝2b ,n ＝a ＋1

b ＝2a ,∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4,当且仅当a ＝b ＝1时取等号．

3.[考法二·

考向三]两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线,若m ∈R,n ∈R,且mn ≠0,则

4m 2＋1

n 2

的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选D 由题意可知两圆内切,x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0化为x 2＋(y －m )2＝1,x 2＋y 2

－4nx ＋4n 2－9＝0化为(x －2n )2＋y 2＝9,故4n 2＋m 2＝3－1＝2,即4n 2＋m 2＝4,

4m 2

＋1n 2＝14

????4m 2＋1n 2(4n 2＋m 2)＝2＋4n 2m 2＋m 2

4n 2

≥2＋24n 2m 2·m 2

4n 2

＝4. 4.[考法一]某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现,产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2

t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,

产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是多少万元？

解：由题意知t ＝2

3－x －1(1

2－3＝45.5－????16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5,当且仅

当x ＝11

4

时取等号,即最大月利润为37.5万元.

[课时跟踪检测]

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1．函数f (x )＝x

x ＋1的最大值为( )

A.2

5 B ．12

C.22

D ．1

解析：选B 显然x ≥0.当x ＝0时,f (x )＝0；当x >0时,x ＋1≥2x ,∴f (x )≤1

2,当且仅当x

＝1时取等号,f (x )max ＝1

2

.

2,若a ,b ∈R,则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b |2≥|ab |

B ．b a ＋a

b ≥2 C.a 2＋b 22≥

????a ＋b 22

D ．(a ＋b )????

1a ＋1b ≥4

解析：选C 由于a ,b ∈R,所以A 、B 、D 项不能直接运用基本不等式考察,先考虑C 项． ∵a 2＋b 22－????a ＋b 22＝2(a 2＋b 2)－(a 2＋2ab ＋b 2)4＝a 2－2ab ＋b 24＝(a －b )24≥0,∴

a 2＋

b 2

2≥????a ＋b 22

.

3．(2018·东北三省四市一模)已知x >0,y >0,且4x ＋y ＝xy ,则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12

D ．16

解析：选B 由题意可得4y ＋1x ＝1,则x ＋y ＝(x ＋y )·????4y ＋1x ＝5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×y

x ＝

9,当且仅当4x y ＝y

x ,即x ＝3,y ＝6时等号成立,故x ＋y 的最小值为9.

4．已知x ,y 都为正实数,且x ＋y ＋1x ＋1

y ＝5,则x ＋y 的最大值是( ) A ．3 B ．3.5 C ．4

D ．4.5

解析：选C 因为x ＋y ＋1x ＋1y ＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ????x ＋y 22

＝x ＋y ＋4

x ＋y ,

所以x ＋y ＋

4

x ＋y

≤5.令x ＋y ＝t .则t 2－5t ＋4≤0,解得1≤t ≤4. 5．(2019·西藏林芝期中)若x ,y 均为正数,则3x y ＋12y

x ＋13的最小值是( )

A ．24

B ．28

C ．25

D ．26

解析：选C 因为x ,y 均为正数,所以由基本不等式得3x y ＋12y

x ＋13≥23x y ·12y

x ＋13＝

25,当且仅当x ＝2y 时等号成立,故3x y ＋12y

x ＋13的最小值是25,故选C.

[B 级 保分题——准做快做达标]

1．(2019·郑州外国语学校月考)若a >b >1,P ＝lg a ·lg b ,Q ＝1

2(lg a ＋lg b ),R ＝ lg

a ＋b

2

,则( ) A ．R

D ．P

解析：选C ∵a >b >1,∴lg a >lg b >0,1

2(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ,即Q >P .

∵

a ＋

b 2>ab ,∴lg a ＋b 2>lg ab ＝1

2

(lg a ＋lg b ),即R >Q ,∴P 0,y >0,则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( )

A ．x ＝y

B ．x ＝2y

C ．x ＝2且y ＝1

D ．x ＝y 或y ＝1

解析：选C ∵x >0,y >0,∴x ＋2y ≥22xy ,当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件,故选C.

3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{a n }的公比为2,若a m a n ＝4a 22

,则2m ＋12n 的最小值为( )

A ．1

B ．12

C.34

D ．32

解析：选C 由题意知a m a n ＝a 21

2m

＋n －2

＝4a 2122＝a 2124

,∴m ＋n ＝6,则2m ＋12n ＝ 16

????2m ＋12n (m ＋n )＝16( 52＋2n m ＋m 2n )≥16×????52＋2＝34

,当且仅当m ＝2n 时取等号,∴2m ＋12n 的最

小值为3

4

,故选C.

4．(2019·岳阳一中模拟)已知a >b >0,则2a ＋4a ＋b ＋1

a －b

的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．2 3

D ．3 2

解析：选A 因为

4a ＋b ＋1a －b ＝12a ( 4a ＋b ＋1a －b )·[](a ＋b )＋(a －b )＝1

2a [ 5＋a ＋b a －b

＋

4(a －b )a ＋b ]≥12a (5＋4)＝92a (当且仅当a ＝3b 时取等号),所以2a ＋4a ＋b ＋1a －b ≥2a ＋9

2a ≥6(当且仅当a ＝3

2

时后一个不等式取等号),故选A.

5．(2019·甘肃诊断)已知向量a ＝(3,－2),b ＝(x ,y －1),且a ∥b ,若x ,y 均为正数,则3x ＋2

y 的

最小值是( )

A.53 B ．83

C ．8

D ．24

解析：选C 因为a ∥b ,故3(y －1)＝－2x ,整理得2x ＋3y ＝3,所以3x ＋2y ＝1

3(2x ＋3y )????3x ＋2y ＝13( 12＋9y x ＋4x y )≥13??

?

?

12＋2 9y x ·4x y ＝8,当且仅当x ＝34,y ＝12时等号成立,所以3x ＋2y 的最小值为8,故选C.

6．若实数a ,b ,c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8,则a ＋b ＋c 的最大值为( ) A ．9 B ．2 3 C ．3 2

D ．2 6

解析：选D (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc . ∵a 2＋b 2≥2ab ,a 2＋c 2≥2ac ,b 2＋c 2≥2bc ,

∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24,当且仅当a ＝b ＝c 时取等号, ∴a ＋b ＋c ≤2 6.

7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 8－2S 4＝5,则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )

A ．10

B ．15

C ．20

D ．25

解析：选C 由题意可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8,由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5,由等比数列的性质可得S 4,S 8－S 4,S 12－S 8成等比数列,则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2,综上可得：a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝(S 4＋5)2S 4＝S 4＋25S 4＋10≥2

S 4×25

S 4

＋10＝20,当且仅当S 4＝5时

等号成立．故a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.

8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB ＝4,O 为圆心,C 是半圆上不同于A ,B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→

的最小值是( )

A ．2

B ．0

C ．－1

D ．－2

解析：选D ∵O 为AB 的中点,∴PA ―→＋PB ―→＝2PO ―→,从而(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→＝2PO ―→·PC ―→

＝－2|PO ―→ |·|PC ―→|.又|PO ―→|＋|PC ―→|＝|OC ―→|＝12

AB ＝2≥2

|PO ―→|·|PC ―→|,∴|PO ―→|·|PC ―→|≤1,∴

－2|PO ―→|·|PC ―→|≥－2,∴当且仅当|PO ―→|＝|PC ―→|＝1,即P 为OC 的中点时,(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→

取得

最小值－2,故选D.

9．(2019·玉溪月考)在△ABC 中,若a 2＋b 2＝2c 2,则内角C 的最大值为( ) A.π6 B ．π4

C.π3 D ．

2π3

解析：选C

∵a 2＋b 2＝2c 2,∴由余弦定理得

cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2

＝2c 2－c 2

2c 2＝

12,当且仅当a ＝b 时取等号．∵C 是三角形的内角,∴角C 的最大值为π

3

,故选C. 10．(2019·淮安学情调研)已知正数x ,y 满足x ＋2y ＝3,则y x ＋1

y 的最小值为________． 解析：∵x >0,y >0,x ＋2y ＝3,∴y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y

3y ＝y x ＋x 3y ＋2

3

≥2

y x ·x 3y ＋23＝23＋2

3

,当且仅当y x ＝x 3y 即x ＝63－9,y ＝6－33时等号成立,∴y x ＋1

y 的最小值为23＋23

.

答案：

23＋2

3

11．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m ,n 满足2m ＋n ＋6＝mn ,则mn 的最小值是________． 解析：由2m ＋n ＋6＝mn ,m >0,n >0,得22mn ＋6≤2m ＋n ＋6＝mn ,令2mn ＝t (t >0),则2t ＋6≤t 2

2

,即t 2－4t －12≥0,解得t ≤－2(舍)或t ≥6,即2mn ≥6,mn ≥18,则mn 的最小值是18.

答案：18

12．(2019·张掖月考)设a >0,b >1,若a ＋b ＝2,则3a ＋1

b －1的最小值为________．

解析：∵a >0,b >1,a ＋b ＝2, ∴3a ＋1

b －1＝????3a ＋1b －1(a ＋b －1)

＝3＋3(b －1)a ＋a

b －1＋1

＝4＋3(b －1)a ＋a b －1≥4＋23,

当

3(b －1)a ＝a

b －1

, 即a ＝3－32,b ＝3＋12时取等号,

故最小值为4＋2 3. 答案：4＋2 3

13．(2019·石家庄高三一检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0,b >0)经过点(2,3),则a ＋b 的最小值为________．

解析：因为直线l 经过点(2,3),所以2a ＋3b －ab ＝0,所以b ＝2a

a －3

>0,所以a －3>0,所以a ＋b ＝a ＋2a a －3＝a －3＋6a －3＋5≥5＋2

(a －3)·6a －3＝5＋26,当且仅当a －3＝6

a －3

,即a ＝

3＋6,b ＝2＋6时等号成立．

答案：5＋2 6

14．(2018·唐山二模)已知a >0,b >0,c >0,d >0,a 2＋b 2＝ab ＋1,cd >1. (1)求证：a ＋b ≤2；

(2)判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立,并说明理由．

解：(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3????a ＋b 22

＋1,当且仅当a ＝b 时取等号． 解得(a ＋b )2≤4,又a ,b >0, 所以a ＋b ≤2. (2)不能成立．

理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d

2

,当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立． 因为a ＋b ≤2, 所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d

2

. 因为c >0,d >0,cd >1, 所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d

2

＋1≥ac ＋bd ,故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．

15．(2019·孝感模拟)经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度

x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝???

1

75(x 2

－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，

12－x

60，x ∈[80，120].

(1)该型号汽车的速度为多少时,可使得每小时耗油量最少？

(2)已知A ,B 两地相距120 km,假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地,则汽车速度为多少时总耗油量最少？

解：(1)当x ∈[50,80)时,y ＝

175(x 2－130x ＋4 900)＝1

75

[(x －65)2＋675], 所以当x ＝65时,y 取得最小值,最小值为1

75

×675＝9.

当x ∈[80,120]时,函数y ＝12－x

60

单调递减,

故当x ＝120时,y 取得最小值,最小值为12－120

60＝10.

因为9<10,所以当x ＝65,

即该型号汽车的速度为65 km/h 时,可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L,由题意可知l ＝y ·120

x ,

①当x ∈[50,80)时,l ＝y ·120x ＝85?

???x ＋4 900x －130≥85???

?2 x ×

4 900x －130＝16,

当且仅当x ＝4 900

x ,即x ＝70时,l 取得最小值,最小值为16；

②当x ∈[80,120]时,l ＝y ·120x ＝1 440

x －2为减函数,

所以当x ＝120时,l 取得最小值,最小值为10.

因为10<16,所以当速度为120 km/h 时,总耗油量最少．