x x x
x
<+<+)1l n (1.
三、柯西中值定理
设曲线弧C 由参数方程
??
?==)
()
(x f Y x F X (a ≤x ≤b ) 表示, 其中x 为参数. 如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C 上必有一点x =ξ , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB , 曲线C 上点x =ξ 处的切线的斜率为
)
()
(ξξF f dX
dY ''=,
弦AB 的斜率为 )
()()()(a F b F a f b f --.
于是
)()
()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=
--.
柯西中值定理 如果函数f (x )及F (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且F '(x )在(a , b )内的每一点处均不为零, 那么在(a , b )内至少有一点ξ , 使等式 )
()
()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=
--.
成立.
显然, 如果取F (x )=x , 那么F (b )-F (a )=b -a , F '(x )=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ) (a <ξ
这样就变成了拉格朗日中值公式了.
§4. 2 洛必达法则
未定式: 如果当x →a (或x →∞)时, 两个函数f (x )与F (x )都趋于零或都趋于无穷大, 那么极限
)
()(lim
)
(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式, 并分别简记为00或
∞
∞. 其它类型的未定式: 0?∞ 、∞-∞ 、00
、1∞
、∞0
. x x x s i n lim
0→(00型), n x x x ln lim +∞→(n >0) (∞
∞
型), x x n x ln lim 0+→(n >0) (0?∞型),
)t a n (s e c l i m 2
x x x -→
π(∞-∞型), x
x x 0
lim
+→(00
型), x x x
)11(lim +∞→(1∞型), 21
2
2)(lim x x a x +∞→(∞0型).
定理 如果函数f (x )及g (x )满足如下条件:
(1)当x →a 时, 函数f (x )及g (x )都趋于零; (2)在点a 的某去心邻域内可导g '(x )≠0;
(3))
()(lim
x g x f a
x ''→存在(或为无穷大);
那么 )()(l i m
x g x f a
x →)
()(l i m
x g x f a
x ''=→.
这种在一定条件下通过分子分母别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证明: 因为极限)
()(lim
x g x f a
x →与f (a ) 及g (a )无关, 所以可以假定f (a )=g (a )=0, 于是由条件(1)、(2)
知, f (x )及g (x )在点a 的某一邻域内是连续的. 设x 是这邻域内的一点, 那么在以x 及a 为端点的区间上, 柯西中值定理的条件均满足, 因此有
)
()
()()()()()()(ξξg f a g x g a f x f x g x f ''=
--=(ξ 在x 与a 之间).
令x →a , 并对上式两端求极限, 注意到x →a 时ξ →a , 再根据条件(3)便得要证明的结论. 简要证明: 令f (a )=g (a )=0, 于是f (x )及g (x )在点a 的某邻域内连续. 在该邻域内有 )()(lim )()()()(lim )()(lim
ξξg f a g x g a f x f x g x f a x a x a
x ''=--=→→→)
()(l i m ξξξg f a ''=→)()
(l i m
x g x f a x ''=→.
令x →a , 并对上式两端求极限, 注意到x →a 时ξ →a , 再根据条件(3)便得要证明的结论.
求“0
0”型未定式的极限:
例1.．求bx
ax
x sin sin lim
0→(b ≠0).
解: b
a
bx b ax a bx ax bx ax x x x =='
'=→→→cos cos lim )(sin )(sin lim sin sin lim 0
.
例2．求1
2
3lim
2331+--+-→x x x x x x .
解: )1()23(lim
12
3lim 2
331
2331
'
+--'+-=+--+-→→x x x x x x x x x x x x 2
3
266lim 12333lim 1221=-=---=→→x x x x x x x .
例3. 求3
sin lim
x x
x x -→. 解: 3
sin lim x
x x x -→203cos 1lim x
x x -=→x
x x 6sin lim 0
→=6
1
=. 我们指出, 对于x →∞时的未定式
00, 以及对于x →a 或x →∞时的未定式∞∞
也有相应的洛必达法则. 例如, 对于x →∞时的未定式0
0有: 如果 (1)当x →∞时, 函数f (x )及g (x )都趋于零;
(2)当|x |>N 时f '(x )及g '(x )都存在且g '(x )≠0; (3))()
(lim x g x f x ''∞
→存在(或为无穷大); 那么)()(lim
x g x f x ∞
→)()
(lim
x g x f x ''=∞
→. 例4. 求x
x x 1arctan 2
lim
-+∞
→π
.
解: x
x x 1arctan 2
lim -+∞
→π
2
2111
lim
x x x -+-
=+∞
→11lim 22=+=+∞→x x x .
2、求“ ∞
∞”型未定式的极限.
例5. 求n x x
x
ln lim +∞
→(n >0).
解: n x x x ln lim +∞→1
1
lim -+∞→=n x nx x 01lim ==+∞→n x nx . 例6. 求x n
x e
x λ+∞
→lim (n 为正整数, λ>0).
解: x n x e
x λ+∞
→lim x n x e
nx λλ1
lim -+∞
→=x
n x e
x n n λλ22)1(lim -+∞
→-== ? ? ? 0!
l i m ==+∞
→x n x e
n λλ.
其它类型未定式0?∞、∞-∞、00、1 ∞、∞0
都可以转化为00
或∞
∞型未定式来计算. 例7. 求x x n x ln lim 0
+→(n >0).
解:
x x n x ln lim 0+→n x x x -+→=ln lim 0101
lim --+→-=n x nx x 0lim 0=-=+→n
x n x .
例9. 求)tan (sec lim 2
x x x -→
π
.
解: )tan (sec lim 2
x x x -→
π
x
x x cos sin 1lim 2
-=→
π
0sin cos lim 2
=-=→
x
x x π
.
例8. 求x x x 0
lim +→.
解: x x x 0
lim +→1lim 0ln 0
===+→e e x x x (根据例7).
洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但最好能与其它求极限的方法结合使用. 例如能化简时应尽可能先化简, 可以应用等价无穷小替代或重要极限时, 应尽可能应用, 这样可以使运算简捷.
例10. 求x
x x
x x sin tan lim 2
-→. 解: x
x x x x sin tan lim 20
-→30
tan lim x
x x x -=→2
20
31sec lim
x
x x -=→ x x x x 6t a n s e c 2lim 20
→=3
1
t a n s e c lim 3120=?=→x x x x .
最后, 我们指出, 本节定理给出的是求未定式的一种方法. 当定理条件满足时, 所求的极限当然存在（或为∞）, 但定理条件不满足时, 所求极限却不一定不存在.
例11. 求x
x
x x sin lim ++∞
→.
解: 因为极限)()sin (lim
'
'++∞
→x x x x 1cos 1lim x
x +=+∞→不存在,
所以不能用洛必达法则.
x
x
x x s i n lim
++∞
→1)s i n 1(l i m =+=+∞
→x
x x . 求极限的方法小结:
（1）单调有界序列必有极限; （2）用夹逼定理;
（3）用极限运算法则 （4）用函数的连续性; （5）用两个重要极限;
（6）无穷小乘有界函数仍是无穷小; （7）用洛必达法则;
补充例题: 例11 求极限0
lim
→x x
b a
x
x
-(a >0, b >0).
解 0
l i m
→x x
b a x
x
-=0
lim
→x )()('
'-x b a x
x
=0
lim
→x 1
ln ln b
b a a x
x -=ln a -ln b = ln
b
a .
例12 0
lim
→x x
x
x x 3
sin
cos sin -=0
lim
→x 3
cos sin x
x
x x -=0
lim
→x )()cos (sin 3
'
'
-x x x x
=0
lim
→x 2
3sin cos cos x
x
x x x +-=3
10
lim
→x x
x sin =
3
1.
例13 2
lim
π
→
x x
tg tgx 3=2
lim
π
→
x )3()('
'x tg tgx =2
lim
π
→
x x
x
3cos 3cos 1
2
2
=312
lim π→x x
x 22
cos 3cos =
3
12
lim
π
→
x x
x x
x sin cos 23sin 3cos 6--
=2
lim
π
→
x x
x 2sin 6sin =2
lim
π
→
x x
x 2cos 26cos 6=3.
例14 求极限∞
→x lim x ln ??
?
??-+a x a x (a ≠ 0).
解 ∞→x l i m x ln ??? ??-+a x a x =∞→x lim x a x a x 1ln ??? ??-+=∞→x lim 2
111x
a
x a x ---+=2a ∞→x lim 222
a x x -=2a . 例15 +∞→x lim x
x 1
=+∞
→x lim x
x e
ln 1,
其中+∞
→x lim
x
1ln x =+∞
→x lim
x
x ln =+∞
→x lim
1
1
x
=0, 于是+∞
→x lim x x 1
=+∞
→x lim x
x
e ln 1
=e 0
=1.
例16 1
lim →x (
x
ln 1-
11-x )=1
lim
→x x
x x x ln )1(ln 1---=1
lim
→x x
x x x
1ln 1
1--
-
=1lim →x 1
ln 1-+-x x x x =1
lim
→x 1
1ln 1
-+x =
2
1.
求下列极限: （1）+∞
→x lim x (x e 1
-1). (2) 0
lim
→x x
x x sin 1sin
2
.
（3）+∞
→x lim
x
x
x x e
e e e --+-.
§4. 3 函数单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
如果函数y =f (x )在[a , b ]上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即y '=f '(x )≥0(y '=f '(x )≤0). 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. 反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？
定理1(函数单调性的判定法) 设函数y =f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导. (1)如果在(a , b )内f '(x )>0, 那么函数y =f (x )在[a , b ]上单调增加;
(2)如果在(a , b )内f '(x )<0, 那么函数y =f (x )在[a , b ]上单调减少.
证明 只证(1). 在[a , b ]上任取两点x 1 , x 2 (x 1 f (x 2 )-f (x 1 )=f '(ξ)(x 2-x 1) (x 1 <ξ由于在上式中, x 2-x 1>0, 因此, 如果在(a , b )内导数f '(x )保持正号, 即f '(x )>0, 那么也有f '(ξ)>0. 于是
f (x 2 )-f (x 1 )=f '(ξ)(x 2 -x 1 )>0,
即 f (x 1 )注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例1 判定函数y =x -sin x 在[0, 2π]上的单调性. 解 因为在(0, 2π)内
y '=1-cos x >0,
所以由判定法可知函数y =x -cos x 在[0, 2π]上的单调增加.
例2 讨论函数y =e x
-x -1的单调性. （没指明在什么区间怎么办？)
解 y '=e x
-1.
函数y =e x -x -1的定义域为(-∞, +∞). 因为在(-∞, 0)内y '<0, 所以函数y =e x -x -1在(-∞, 0] 上单调减少; 因为在(0, +∞)内y '>0, 所以函数y =e x -x -1在[0, +∞)上单调增加. 例3. 讨论函数32x y =的单调性. 解: 函数的定义域为(-∞, +∞). 当时, 函数的导数为
332x
y ='(x ≠0), 函数在x =0处不可导.
当x =0时, 函数的导数不存在.
因为x <0时, y '<0, 所以函数在(-∞, 0] 上单调减少; 因为x >0时, y '>0, 所以函数在[0, +∞)上单调增加.
如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程f '(x )=0的根及导数不存在的点来划分函数f (x )的定义区间, 就能保证f '(x )在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数f (x )在每个部分区间上单调.
例4. 确定函数f (x )=2x 3-9x 2
+12x -3的单调区间. 解 这个函数的定义域为:(-∞, +∞).
函数的导数为:f '(x )=6x 2 -18x +12 = 6(x -1)(x -2). 导数为零的点有两个: x 1 =1、x 2 =2. 列表分析:
函数f (x )在区间(-∞, 1]和[2, +∞)内单调增加, 在区间[1, 2]上单调减少.
例5. 讨论函数y =x 3
的单调性. 解 函数的定义域为: (-∞, +∞).
函数的导数为: y '=3x 2 . 除当x =0时, y '=0外, 在其余各点处均有y '>0. 因此函数
y =x 3
在区间(-∞, 0]及[0, +∞)内都是单调增加的. 从而在整个定义域: (-∞, +∞)内是单调增加的. 在x =0处曲线有一水平切线.
一般地, 如果f '(x )在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
例6. 证明: 当x >1时, x
x 132->.
证明: 令)1
3(2)(x
x x f --=, 则
)1(111)(22-=-='x x x
x
x
x f .
因为当x >1时, f '(x )>0, 因此f (x )在[1, +∞)上f (x )单调增加, 从而当x >1时, f (x )>f (1). 由于f (1)=0, 故f (x )>f (1)=0, 即
0)1
3(2>--x
x ,
也就是x
x 1
32->(x >1).
二、曲线的凹凸与拐点
凹凸性的概念:
定义 设f (x )在区间I 上连续, 如果对I 上任意两点x 1, x 2, 恒有
2
)
()()2
(212
1x f x f x x f +<
+,
那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有
2
)
()()2
(212
1x f x f x x f +>
+,
那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧).
定义' 设函数y =f (x )在区间I 上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的. 凹凸性的判定:
定理 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在(a , b )内f ''(x )>0, 则f (x )在[a , b ]上的图形是凹的; (2)若在(a , b )内f ''(x )<0, 则f (x )在[a , b ]上的图形是凸的. 简要证明 只证(1). 设21 ,x x x 1, x 2∈[a , b ], 且x 12
10x x x +=.
由拉格朗日中值公式, 得
2)
())(()()(2
1101101x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ, 011x x <<ξ, 2
)())(()()(1
2202202x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ, 220x x <<ξ,
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
2
)]()([)(2)()(1
212021x x f f x f x f x f -'-'=-+ξξ
02
))((1
212>--''=x x f ξξξ, 21ξξξ<<,
即
)2
(
2
)
()(2
121x x f x f x f +>+, 所以f (x )在[a , b ]上的图形是凹的.
拐点: 连续曲线y =f (x )上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线y =f (x )的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数y =f (x )的定义域;
(2)求出在二阶导数f`'' (x );
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）（3）步有时省略. 例1. 判断曲线y =ln x 的凹凸性. 解: x
y 1=', 21x
y -=''.
因为在函数y =ln x 的定义域(0, +∞)内, y ''<0, 所以曲线y =ln x 是凸的. 例2. 判断曲线y =x 3的凹凸性. 解: y '=3x 2, y ''=6x .
由y ''=0, 得x =0.
因为当x <0时, y ''<0, 所以曲线在(-∞, 0]内为凸的; 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在[0, +∞)内为凹的. 例3. 求曲线y =2x 3+3x 2-2x +14的拐点. 解: y =6x 2
+6x -12, )2
1(12612+=+=''x x y .
令y ''=0, 得2
1-=x .
因为当21-x 时, y ''>0, 所以点(21
-
, 2
120)是曲线的拐点. 例4. 求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 解: (1)函数y =3x 4
-4x 3
+1的定义域为(-∞, +∞);
(2)231212x x y -=',)3
2
(3624362-=-=''x x x x y ;
(3)解方程y ''=0, 得01=x , 3
2
2=x ;
(4)列表判断:
在区间(-∞, 0]和[2/3, +∞)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点.
例5 问曲线y =x 4
是否有拐点？ 解 y '=4x 3, y ''=12x 2.
当x ≠0时, y ''>0, 在区间(-∞, +∞)内曲线是凹的, 因此曲线无拐点.
例6. 求曲线3x y =的拐点. 解 (1)函数的定义域为(-∞, +∞); (2) 3
2
31x y =
', 3
2
92x x y -
='';
(3)无二阶导数为零的点, 二阶导数不存在的点为x =0;
(4)判断: 当x <0当, y ''>0; 当x >0时, y ''<0. 因此, 点(0, 0)曲线的拐点.
§4. 4 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法
极值的定义:
定义 设函数f (x )在区间(a , b )内有定义, x 0∈(a , b ). 如果在x 0的某一去心邻域内有f (x )< f (x 0), 则称f (x 0)是函数 f (x )的一个极大值; 如果在x 0的某一去心邻域内有f (x )>f (x 0), 则称f (x 0)是函数f (x )的一个极小值.
设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 如果在去心邻域U (x 0)内有 f (x )f (x 0)),
则称f (x 0)是函数 f (x )的一个极大值(或极小值).
函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果f (x 0)是函数f (x )的一个极大值, 那只是就x 0 附近的一个局部范围来说, f (x 0)是f (x )的一个最大值; 如果就f (x )的整个定义域来说, f (x 0)不一定是最大值. 关于极小值也类似.
极值与水平切线的关系: 在函数取得极值处, 曲线上的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方, 函数不一定取得极值.
定理1 (必要条件)设函数f (x )在点x 0 处可导, 且在x 0 处取得极值, 那么这函数在x 0 处的导数为零, 即f '(x 0)=0.
证 为确定起见, 假定f (x 0)是极大值(极小值的情形可类似地证明). 根据极大值的定义, 在x 0 的某个去心邻域内, 对于任何点x , f (x ) < f (x 0)均成立. 于是 当x < x 0 时
)()(0
0>--x x x f x f ,
因此 f '(x 0)0
)
()(lim 0
00
≥--=-
→x x x f x f x x ;
当x > x 0 时
0)()(0
0<--x x x f x f ,
因此 0
)
()(lim
)(0
000
≤--='+
→x x x f x f x f x x ;
从而得到 f '(x 0) = 0 .
简要证明: 假定f (x 0)是极大值. 根据极大值的定义, 在x 0的某个去心邻域内有f (x )< f (x 0). 于是
0)
()(lim
)()(00000
≥--='='-
→-x x x f x f x f x f x x ,
同时 0)()(lim )()(0
0000
≤--='='+
→+x x x f x f x f x f x x ,
从而得到f '(x 0) = 0 .
驻点: 使导数为零的点(即方程f '(x ) = 0的实根)叫函数f (x )的驻点. 定理１就是说: 可导函数f (x )的极值点必定是函数的驻点. 但的过来, 函数f (x )的驻点却不一定是极值点. 考察函数f (x )=x 3在x =0处的情况.
定理２(第一种充分条件)设函数f (x )在点x 0的一个邻域内连续, 在x 0的左右邻域内可导. (1) 如果在x 0的某一左邻域内f '(x )>0, 在x 0的某一右邻域内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值;
(2) 如果在x 0的某一左邻域内f '(x )<0, 在x 0的某一右邻域内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值;
(3)如果在x 0的某一邻域内f '(x )不改变符号, 那么函数f (x )在x 0处没有极值.
定理２' (第一种充分条件)设函数f (x )在含x 0的区间(a , b )内连续, 在(a , x 0)及(x 0, b )内可导. (1)如果在(a , x 0)内f '(x )>0, 在(x 0, b )内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值; (2)如果在(a , x 0)内f '(x )<0, 在(x 0, b )内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值; (3)如果在(a , x 0)及(x 0, b )内 f '(x )的符号相同, 那么函数f (x )在x 0处没有极值.
定理2''(第一充分条件)设函数f (x )在x 0连续, 且在x 0的某去心邻域(x 0-δ, x 0)?(x 0, x 0+δ)内可导.
(1)如果在(x 0-δ, x 0)内f '(x )>0, 在(x 0, x 0+δ)内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值; (2)如果在(x 0-δ, x 0)内f '(x )<0, 在(x 0, x 0+δ)内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值; (3)如果在(x 0-δ, x 0)及(x 0, x 0+δ)内 f '(x )的符号相同, 那么函数f (x )在x 0处没有极值.
定理2也可简单地这样说: 当x 在x 0的邻近渐增地经过x 0时, 如果f '(x )的符号由负变正, 那么f (x )在x 0处取得极大值; 如果f '(x )的符号由正变负, 那么f (x )在x 0处取得极小值; 如果f '(x )的符号并不改变, 那么f (x )在x 0处没有极值 (注: 定理的叙述与教材有所不同) . 确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数f '(x );
(2)求出f (x )的全部驻点和不可导点;
(3)列表判断(考察f '(x )的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值); (4)确定出函数的所有极值点和极值.
例1求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值.
解(1)f (x )在(-∞, +∞)内连续, 除x =-1外处处可导, 且 3
1
3)1(5)(+-=
'x x x f ;
(2)令f '(x )=0, 得驻点x =1; x =-1为f (x )的不可导点; (3)列表判断
(4)极大值为f (-1)=0, 极小值为343)1(-=f .
定理3 (第二种充分条件) 设函数f (x )在点x 0处具有二阶导数且f '(x 0)=0, f ''(x 0)≠0, 那么
(1)当f ''(x 0)<0时, 函数f (x )在x 0处取得极大值; (1)当f ''(x 0)>0时, 函数f (x )在x 0处取得极小值;
证明 在情形(1), 由于f ''(x 0)<0, 按二阶导数的定义有
0)
()(lim
)(0
000
<-'-'=''→x x x f x f x f x x .
根据函数极限的局部保号性, 当x 在x 0的足够小的去心邻域内时,
0)
()(0
0<-'-'x x x f x f .
但f '(x 0)=0, 所以上式即
0)
(0
<-'x x x f .
从而知道, 对于这去心邻域内的x 来说, f '(x )与x -x 0符号相反. 因此, 当x -x 0<0即x 0; 当x -x 0>0即x >x 0时, f '(x )<0. 根据定理2, f (x )在点x 0处取得极大值. 类似地可以证明情形(2).
简要证明: 在情形(1), 由于f ''(x 0)<0, f '(x 0)=0, 按二阶导数的定义有 0)(lim
)
()(lim
)(0
000
<-'=-'-'=''→→x x x f x x x f x f x f x x x x .
根据函数极限的局部保号性, 在x 0的某一去心邻域内有
0)
(0
<-'x x x f .
从而在该邻域内, 当x 0; 当x >x 0时, f '(x )<0. 根据定理2, f (x )在点x 0处取得极大值.
定理3 表明, 如果函数f (x )在驻点x 0处的二导数f ''(x 0) ≠0, 那么该点x 0一定是极值点, 并且
可以按二阶导数f ''(x 0)的符来判定f (x 0)是极大值还是极小值. 但如果f ''(x 0)=0, 定理3就不能应用. 讨论: 函数f (x )=-x 4, g (x )=x 3在点x =0是否有极值？
提示: f '(x )=4x 3, f '(0)=0; f ''(x )=12x 2, f ''(0)=0. 但当x <0时f '(x )<0, 当x >0时f '(x )>0, 所以f (0) 为极小值.
g '(x )=3x 2
, g '(0)=0; g ''(x )=6x , g ''(0)=0. 但g (0)不是极值． 例2 求函数f (x )=(x 2
-1)3
+1的极值. 解 (1)f '(x )=6x (x 2
-1)2.
(2)令f '(x )=0, 求得驻点x 1=-1, x 2=0, x 3=1.
(3)f ''(x )=6(x 2-1)(5x 2-1).
(4)因f ''(0)=6>0, 所以f (x )在x =0处取得极小值, 极小值为f (0)=0.
(5)因f ''(-1)=f ''(1)=0, 用定理3无法判别. 因为在-1的左右邻域内f '(x )<0, 所以f (x )在-1处没有极值; 同理, f (x )在1处也没有极值.
二、最大值最小值问题
在工农业生产、工程技术及科学实验中, 常常会遇到这样一类问题: 在一定条件下, 怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题, 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.
极值与最值的关系:
设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间(a , b )内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间[a , b ]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.
最大值和最小值的求法:
设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ? ? ? , x n , 则比较
f (a ), f (x 1), ? ? ? , f (x n ), f (b )
的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值. 解 ??
?∈-+-?-∈+-=)2 ,1( 23]
4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f ,
??
?∈+-?-∈-=')
2 ,1( 32)
4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f
在(-3, 4)内, f (x )的驻点为23
=
x ; 不可导点为x =1和x =2. 由于f (-3)=20, f (1)=0,4
1
)2
3(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最
大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0.
例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？
解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=.
设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ?CD +3k ?DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100).
现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(
2
-+='x x k y . 2
400x
CD +=
解方程y '=0, 得x =15(km).
由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2
1005
11500|+
==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当
AD =x =15km 时, 总运费为最省.
例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？
解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则
y =5k ?CD +3k ?DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005(
2
-+='x x
k y =0, 得x =15.
由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005
1
1500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当
AD =x =15km 时, 总运费为最省.
A B
注意: f (x )在一个区间(有限或无限, 开或闭)内可导且只有一个驻点x 0 , 并且这个驻点x 0 是函数f (x )的极值点, 那么, 当f (x 0)是极大值时, f (x 0)就是f (x )在该区间上的最大值; 当f (x 0)是极小值时, f (x 0)就是f (x )在该区间上的最小值.
应当指出, 实际问题中, 往往根据问题的性质就可以断定函数f (x )确有最大值或最小值, 而且一定在定义区间内部取得. 这时如果f (x )在定义区间内部只有一个驻点x 0, 那么不必讨论f (x 0)是否是极值, 就可以断定f (x 0)是最大值或最小值.
例6 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁. 问矩形截面的高h 和宽b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W (26
1bh W =)最大?
解 b 与h 有下面的关系: h 2=d 2-b 2,
因而 )(6
122b d b W -=(0
这样, W 就是自变量b 的函数, b 的变化范围是(0, d ).
现在, 问题化为: b 等于多少时目标函数W 取最大值？为此, 求W 对b 的导数: )3(6
122b d W -='.
解方程W '=0得驻点d b 3
1
=
. 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在, 而且在(0, d )内部取得; 现在, 函数)(6
122b d b W -=在(0, d )内只有一个驻点, 所以当d b 3
1
=
时, W 的值最大. 这时, 2222223
23
1d d d b d h =-=-=,
即 d h 3
2
=
. 1:2:3::=b h d .
解: 把W 表示成b 的函数:
26
1bh W =)(6
122b d b -=(0
由0)3(6
122=-='b d W , 得驻点d b 13-=.
由于梁的最大抗弯截面模量一定存在, 而且在(0, d ) 内部取得; 现在函数W 在(0, d )内只有一个驻点d b 13-=, 所以当d b 13-=时, 抗弯截面模量W 最大, 这时d h 3
2=.
高等数学-中值定理证明
第三章中值定理证明
1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义
1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.
5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<在安全工作领域著名的海恩法则与墨菲定律之欧阳家百创编
在安全工作领域著名的海恩法则与 墨菲定律 欧阳家百（2021.03.07） 一、墨菲定律主要内容表述是：“事情如果有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。”在安全管理方面的表述“只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生”，而且“不管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失”。墨菲定律在安全管理方面的启示：1、不能忽视小概率危险事件。由于小概率事件在一次生产或活动中发生的可能性很小，麻痹了人们的安全意识，加大了事故发生的可能性，其结果是事故可能频繁发生。“认为小概率事件不会发生”是导致侥幸心理和麻痹大意思想的根本原因。对任何事故隐患都不能有丝毫大意，不能抱有侥幸心理，或对事故苗头和隐患遮遮掩掩，而要想一切办法，采取一切措施加以消除，把事故消灭在萌芽状态。2、只要客观上存在危险，那么危险迟早会变成为不安全的现实状态。所以，预防和控制的前提是要辨识人们活动领域里固有的或潜在的危险，并告诫人们预防什么，并如何去控制。要求人们不仅要重视已有的危险，还要主动地去识别新的危险，变事后管理为事前与事后管理相结合，变被动管理为主动管理，牢牢掌握安全管理的主动权。 二、海恩法则的定义： 海恩法则指出: 每一起严重事故的背后，必然有29次轻微事故
和300起未遂先兆以及1000起事故隐患。海恩法则告诉我们，事故案件的发生看似偶然，其实是各种因素积累到一定程度的必然结果。任何重大事故都是有端倪可查的，其发生都是经过萌芽、发展到发生这样一个过程。如果每次事故的隐患或苗头都能受到重视，那么每一次事故都可以避免。法则强调两点：一是事故的发生是量的积累的结果；二是再好的技术，再完美的规章，在实际操作层面，也无法取代人自身的素质和责任心。法则提醒人们：事故背后有征兆，征兆背后有苗头。即使有一些小事故发生，可能是避免不了或者经常发生，也应引起足够的重视，要及时排除。“海恩法则”实际上告诉了我们这样一个道理，在安全生产中，哪怕提前防控和治理了999起事故隐患，但只要有一起被忽略，就有可能诱发严重事故。对于生产现场存在的安全隐患任何时候都不能疏忽，安全这根弦任何时候都不能松。 海恩法则给企业管理者提供了一种生产安全管理的方法，即发现并控制征兆。具体怎么做：1、事前评估风险——岗位分析评估，提前发现和评估岗位可能存在的安全风险，培养员工提前感知事故先兆的敏感性，主动消除安全隐患和提前根据风险防范措施规避安全风险； 2、事中检查监督——开展检查和监督，一方面通过检查及时发现和治理事故隐患，另一方面通过现场监督及时发现和制止违章指挥、违章作业行为； 3、事后总结反思——本单位发生事故后，要分析总结事故原因，举一反三查找类似事故隐患，制定相应防范措施；其他单位发生事
中值定理证明
中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ考研数学中值定理五大注意事项
考研数学中值定理五大注意事项 来源：文都图书 中值定理是考研数学得分较低的一块，可以说是考生的“灾难区”，看到一个题目怎么思考处理是个问题，下面，就给大家就这一部分讲解一下事项。 1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。 2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。 3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。 4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。 5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。 其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题
目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。 上述就是值定理需要注意的事项。希望大家在做题的过程中多加注意，可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练，掌握好上述的知识点。
谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)
谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理
若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：
《海恩法则》心得
海恩法则心得 “海恩法则”是德国飞机涡轮机的发明者德国人帕布斯·海恩提出一个在航空界关于飞行安全的法则，他指出：每一起严重事故的背后，必然有29次轻微事故和300起未遂先兆以及1000起事故隐患。 1:29:300:1000这是一组非常令人警醒的数字。从大量的安全事故本身原因来看，我们发现这样一个事实：那就是安全事故多发生在生产过程中，而且，许多安全问题的根源就是质量问题。如操作人员在生产过程中，违反生产工艺规程、检验规程、设备操作规程安全操作规程，这就可能发生安全事故：有些员工对发生的质量问题处置不当，这也是造成安全事故的主要原因之一。 针对“海恩法则”这篇文章，我从中联想到。如果我们从质量管理的角度去认识质量安全问题，用“海恩法则”的管理理论和方法来监控质量，将会更加有效地避免一些质量事故的发生。”海恩法则”中指出“问题成堆”与”墨菲定律”中指出的“差错难免”相辅相成共同制定安全生产方案，共同保障安全生产。 一、首先要加强人员的质量意识，要从环节上下功夫。再完美的流程，再完善的规章，在实际操作层面，也无法取代操作者自身的素质和责任心。这就需要每一个人都要有主人翁意识，对于自己所用的辅助材料性质怎么样？机组运行情况如何？成本怎样算都应该去
了解，这样，才知道应该怎样去控制，从哪个方面去控制，鼓励持续改进，不断对所有细节上的问题进行改进。以循环兼治，环环相扣的制度体系去监管，才能在生产过程中有效的减少质量事故。也能相对的降低生产成本，同样也能避免质量安全事故的发生。为保障产品质量安全，企业在质量管理方面应当站在一个高的起点，去看待每一个细小的隐患和漏洞。全面导入产品生产的质量管理理念，建立独立于生产管理的质量保证体系。加强产品实现过程的质量检查和质量监督，在解决产量、成本、质量发生冲突时，从根本上杜绝牺牲质量的思想痼疾。实现质量管理理念的转变，从而提高质量。 二、为保障产品质量安全，质量问题的处理应具备由“堵”向“疏”的转变。由质量问题责任追究和结果考核，向原因分析、持续推行质量改进的转变。质量问题的发生必然有其产生的原因，如果一味追究责任和进行经济处罚，会导致隐瞒小问题，最终集结成大质量事故，为此倡导提出问题，商讨改进和预防措施，避免同样的问题重复发生。采用不定期召开质量分析会的方式。通过分析，对产生的或可能产生的质量问题进行原因分析，找出问题产生的根源，研究并制定出质量问题的解决方法和预防措施。以此来解决一些反复出现的，重复性质量事故。 古人云：“先其未然谓之防，发而止之谓之救，行而责之谓之戒。防为上，救次之，戒为下。”以此反思我们的工作，就是提醒我们牢
高数中值定理
第三章中值定理与导数 的应用
中值定理与导数的应用的结构 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的泰勒公式 型 0,1,0∞∞型 21∞-∞型 ∞?0型00型∞ ∞Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 x x F =)() ()(b f a f =0 =n g f g f 1= ?2 11 2 21111∞∞∞-∞=∞-∞取对数 令g f y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法. 导数的应用
第三章中值定理与导数的应用 1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
1. 中值定理 泰勒中值定理 设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶 导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在 ξ ,使 （柯西中值公式） ) () ()()()()('' ξξg f b g a g b f a f =--（拉氏中值公式） )()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理 设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使 罗尔中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=0 1 0)1(0 00)() ()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n n k n n x x n f x x n x f x f ξ拉氏中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导, 那末),(b a ∈?ξ,使
考研数学公式大全(考研同学必备)
考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,
·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A
海恩法则与墨菲定律修订稿
海恩法则与墨菲定律 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
海恩法则与墨菲定律 在安全工作领域，有个着名的“海恩法则”，它是由德国飞行员帕布斯·海恩对多起航空事故深入分析研究后得出的。海恩认为，任何严重事故都是有征兆的，一起特别重大事故背后有30起事故，每个事故背后，还有300次左右的事故苗头，以及上千个事故隐患，要消除一次严重事故，就必须敏锐而及时地发现这些事故征兆和隐患并果断采取措施加以控制或消除。 海恩法则告诉我们，事故案件的发生看似偶然，其实是各种因素积累到一定程度的必然结果。任何重大事故都是有端倪可查的，其发生都是经过萌芽、发展到发生这样一个过程。如果每次事故的隐患或苗头都能受到重视，那么每一次事故都可以避免。 “墨菲定律”，源自一个名叫“墨菲”的美国上尉，他认为“只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生”，而且“不管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失”。墨菲定律的另一种描述是，“人们做某件事情，如果存在一种错误的做法，迟早会有人按照这种错误的做法去做。”这就告诉我们，对任何事故隐患都不能有丝毫大意，不能抱有侥幸心理，或对事故苗头和隐患遮遮掩掩，而要想一切办法，采取一切措施加以消除，把事故案件消灭在萌芽状态。 现实中，人们往往等到出了问题之后才忙于做处理事故、案件的“事后”工作，召开各种会议进行反思，总结教训，最后得出“惨痛结论”。亡羊补牢，加强防范，这无疑是必要的。但安全工作最好的办法还是将着力点和重心前
移，在找事故的源头上下功夫，见微知着，明察秋毫，及时发现事故征兆，立即消除事故隐患。
考研数学中值定理总结
中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。 1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 ②原函数法 ③一阶线性齐次方程解法的变形法 2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日 ②柯西定理 ③k值法 ④泰勒公式法 老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。 3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理 ②柯西定理（与之前所举例类似） 有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。 一、高数解题的四种思维定势 1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分
中值定理对该积分式处理一下再说。 3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 二、线性代数解题的八种思维定势 1、题设条件与代数余子式A ij 或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 2、若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4、若要证明一组向量a 1,a 2 ,…,a s 线性无关，先考虑用定义再说。 5、若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7、若已知A的特征向量ζ 0，则先用定义Aζ =λ ζ 处理一下再说。 8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
拉格朗日中值定理的证明
拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数
我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ2016考研数学中值定理证明思路总结
2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。 1.具体考点分析 首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢? 第一：闭区间连续函数的性质。 最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。 推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。 介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。 零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。 第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)
费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。 罗尔定理：如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 第三：积分中值定理： 如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立
考研数学专题训练：中值定理
1 中值定理 【本章定位】 本部分内容属于考研数学中的难点内容，而且经常被考生所忽略，往往受到课本中的误导，低估了其难度和重要性，事实证明，在历年考研中，虽不是年年必考，但是出现的几率很大，且一般作为区分题加大了试卷的难度，如 201年的真题中“证明拉格朗日中值定理”的题目，让人无从下手，有人将此归结为看书不仔细，实际上是对本该好好研究学习的内容没有认真把握和总结，没有掌握中值定理的方法和技巧。所以，请考生务必重视！ 1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 1 ()[0,1](0)(1)(0)0 2() (,)()1 ()()2()0(1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ '''''ζ--='''''''= 例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口 因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0 ()(1)()() f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=?--='=--，那么把式变一下： 这时要构造的函数就看出来了②原函数法 ?-?-? ===?=?+=?='ζζζ=ζ'∈ζ?==?dx x g dx x g dx x g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )() ()( ) ()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了 ，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法 造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00
麻醉安全之墨菲定律和海恩法则
麻醉安全之墨菲定律和海恩法则 发表者：王亚平(访问人次：441) 现代麻醉学的诞生给外科手术病人带来了巨大的福音，是现代医学发展的重要里程碑，从一百岁的老者到才出世的婴儿，从简单的阑尾炎手术到复杂的心脏手术，麻醉使一切复杂、精细的外科手术成为可能，同时，在倡导无痛医疗、人文关怀的今天，麻醉医师活跃在医院的各个领域（手术室、危急重症抢救与复苏、疼痛诊疗、无痛胃肠镜、无痛人流、无痛电休克治疗、无痛分娩、术后镇痛、各种微创介入治疗等）。麻醉科已成为医院最重要的学科之一，并逐步成为医院中保障医疗安全的关键学科；推动“舒适化医疗”的主导学科；提高医院工作效率的枢纽学科；协调各科关系的中心学科；为社会所熟知并认可的重点学科（全国麻醉学会主委于布为语）。然而，麻醉自从诞生的那一天起，麻醉安全就一直是广大麻醉医生、相关学科医疗工作者、医院管理者、乃至患者等关心、关注的重要话题。 在安全生产领域（如航空、电力、建筑、交通运输等行业），有两条重要的安全法则，警示人们：安全事故时刻有可能发生，也一直在发生；一切事故的发生都是量的积累，在事故发生前，都会有隐患、有未遂先兆事故、有轻微事故，最后才会出现严重的事故。这就是墨菲 定律和海恩法则。 上世纪中叶，美国空军的一名工程师、火箭专家爱德华·墨菲（Edward A. Murphy）进行了一次火箭实验，这个实验的目的是为了测定人类对加速度的承受极限。其中有一个实验项目是将16个火箭加速度计悬空装置在受试者上方，当时有两种方法可以将加速度计固定在支架上，而不可思议的是，竟然有人有条不紊地将16个加速度计全部装在错误的位置。于是墨菲作出了一个著名的论断：如果有两种或两种以上的选择，而其中一种将导致灾难，则必定有人会作出这种可以导致灾难的选择。（If there are two or more ways to do something, and one of those ways can result in a catastrophe, then someone will do it）这一论述后来被逐步成为一条安全规则：只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生。而且不管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失。墨菲进一步用数理统计的理论解释：在数理统计中，有一条重要的统计规律：假设某意外事件在一次实验活动中发生的概率为p>0，则在n次实验活动中至少有一次发生的概率为（坏事件发生的概率）：pn=1-(1-pn)，无论概率p多么小即小概率事件，当n越来越大时，pn越来越接近1。应用于安全管理，即做任何一件事情，如果客观上存在着一种错误的做法，或者存在着发生某种事故的可能性，不管发生的可能性有多小，当重复去做这件事时，一定会有某人按照错误的做法去做，事故总会在某一时刻发生。也就是说，只要发生事故的可能性存在，不管可能性多么小，这个事故迟早会发生。人们把这个结论称为“墨菲定律”。这一定律被誉为二十世纪西方文化的三大发现 之一。 “墨菲定律”给人们一个重要的警示：应时刻警惕错误的发生，尤其是一些不可思议的错误的发生。在临床麻醉等医疗活动中，一些极少的失误，将可能会导致极其严重的后果，关乎患 者的生命安危。 1993年12月22日，对山东潍坊医学院附属医院来说是个非同寻常的日子，该院历史上第一例心脏外科手术经过周密的部署即将举行。为了这第一次能取得成功，该院数月来厉兵秣马，从院长、手术医生、麻醉医生到护士，各方人员严阵以待。术前，主刀医生一次又一次
微分中值定理的证明题[1](1)
微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ?∈ （，使()0F ξ'= 即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 证：将上等式变形得：1111 111111 (1)()b a e e e b a b a ξξ-=-- 作辅助函数1 ()x f x xe =，则()f x 在11[,]b a 上连续，在11 (,)b a 内可导， 由拉格朗日定理得： 11()()1()11f f b a f b a ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即 1111(1)11b a e e b a e b a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即： )()1(b a e be ae a b --=-ξξ (,)a b ξ∈。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ?∈，使得0()0F x '= 又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈?(0,1)，即证
文科高等数学(4.中值定理)
第四章 中值定理与导数的应用 §4. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →-ξξξξξ x f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+ →+ξ ξξξξ x f x f f f x , 所以f '(x )=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ墨菲定律和海恩法则
墨菲定律和海恩法则 美国空军的一名工程师、火箭专家爱德华·墨菲（Edward A. Murphy）进 行了一次火箭实验，这个实验的目的是为了测定人类对加速度的承受极限。其中有一个实验项目是将16个火箭加速度计悬空装置在受试者上方，当时有两种方法可以将加速度计固定在支架上，而不可思议的是，竟然有人有条不紊地将16 个加速度计全部装在错误的位置。于是墨菲作出了一个著名的论断：如果有两种或两种以上的选择，而其中一种将导致灾难，则必定有人会作出这种可以导致灾 难的选择。（If there are two or more ways to do something, and one of those ways can result in a catastrophe, then someone will do it）这一论述 后来被逐步成为一条安全规则：只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生。而且不管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失。墨菲进一步用数理统计的理论解释：在数理统计中，有一条重要的统计规律：假设某意外事件 在一次实验活动中发生的概率为p>0，则在n次实验活动中至少有一次发生的概率为（坏事件发生的概率）：pn=1-(1-pn)，无论概率p多么小即小概率事件，当n越来越大时，pn越来越接近1。应用于安全管理，即做任何一件事情，如 果客观上存在着一种错误的做法，或者存在着发生某种事故的可能性，不管发生的可能性有多小，当重复去做这件事时，一定会有某人按照错误的做法去做，事故总会在某一时刻发生。也就是说，只要发生事故的可能性存在，不管可能性多么小，这个事故迟早会发生。人们把这个结论称为“墨菲定律”。这一定律被誉为二十世纪西方文化的三大发现之一。 在安全生产领域，还有另一条重要的法则，即海恩法则，德国人海恩是一名飞行员，也是飞机涡轮机的发明者，他在总结数起航空事故后，指出：每一起严 重事故的背后，必然有29次轻微事故和300起未遂先兆以及1000起事故隐患。 海恩法则强调两点：一是事故的发生是量的积累的结果；二是再好的技术，再完美的规章，在实际操作层面，也无法取代人自身的素质和责任心，任何安全事故都是可以预防的。按照海恩法则分析，当一件重大事故发生后，我们在处理事故本身的同时，还要及时对同类问题的“事故征兆”和“事故苗头”进行排查处理，以此防止类似问题的重复发生，及时解决再次发生重大事故的隐患，把问题解决在萌芽状态。
拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用
分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5
论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日
摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application
