山东省济宁市邹城市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
山东省济宁市邹城市2020-2021学年九年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A ．等边三角形
B ．平行四边形
C ．矩形
D ．正五边形 2．下列事件中，必然发生的是 （ ）
A ．某射击运动射击一次，命中靶心
B ．通常情况下，水加热到100℃时沸腾
C ．掷一次骰子，向上的一面是6点
D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上 3．已知关于x 的一元二次方程222(1)0x kx k ++-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为（ ）
A ．12k >
B ．12k >-
C ．18k >
D ．12k < 4．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，CAB θ∠=，则拉线
BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）
（ ）
A ．sin h θ
B ．cos h θ
C ．tan h θ
D ．cos h θ? 5．已知点1122(,),(,)A x y B x y 为反比例函数6y x =
图象上的两点，当120x x >>时，下列结论正确的是（ ）
A ．120y y <<
B ．210y y <<
C ．120y y <<
D ．210y y << 6．将二次函数21252
y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ） A ．21(4)32y x =-+ B ．21(4)12
y x =-+ C ．21(2)32y x =-+ D ．21(2)12
y x =-+ 7．如图，AB 是O 的直径，1BC =，,C D 是圆周上的点，且30CDB ∠=?，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．12π
-D ．6π
- 8．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是
A ．
B ．
C ．
D ． 9．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与反比例函数y= b x
的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 10．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A ，1122D
E E B ，2222A B C D ，2343D E E B ，3333,A B C D ，按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C ，1E ，2E ，2C ，3E ，4E ，3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1130OB C ∠=?，
112233////B C B C B C ，…，则正方形n n n n A B C D 的边长是（ ）
A ．1()2n
B ．11()2n -
C ．n
D ．1n -
二、填空题
11．已知α∠为锐角，且tan α=α∠等于_____________．
12．把抛物线y=2x 2向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为_______________. 13．如图，过反比例函数y=k x
（x ＞0）的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k 的值为___________
14．小明向如图所示的ABC ?区域内投掷飞镖，阴影部分时ABC ?的内切圆，已知15AB =，9AC =，12BC =，如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为____________．
15．如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB=
三、解答题
16．（1）计算：2sin 60tan 452cos60???-+；
（2）解方程：2450x x -=+．
17．小明和小亮用三枚质地均匀的硬币做游戏，游戏规则是：同时抛掷这三枚硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下，则小明赢；出现两枚正面向下，一枚正面向上，则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．
18．如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长
≈1.73)．
19．如图，直线:l y x b =+和反比例函数k y x
=
的图象交于,A B 两点，已知A 点的坐标为(1,4)．
（1）求该反比例函数的解析式； （2）求出B 点关于原点O 的对称点C 的坐标；
（3）连接,,AO CO AC ，求AOC ?的面积．
20．如图，已知O 是ABC ?的外接圆，AB 是O 的直径，D 为O 外一点，AC 平分BAD ∠，且2AC AB AD =?．
（1）求证：ABC ACD ??∽；
（2）求证：CD 与O 相切．
21．某商场试销一种成本为每件60元的服装，经试销发现，每天的销售量y (件)与销售单价x （元）的关系符合次函数()150 110y x x =-+<．
（1）如果要实现每天2000元的销售利润，该如何确定销售单价？
（2）销售单价为多少元时，才能使每天的利润最大？其每天的最大利润是多少？ 22．如图，抛物线2y x bx c =++过原点，且与x 轴交于点(2,0)A ．
（1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；
（2）已知(3,)C m 为抛物线上一点，连接OB ，OC ，BC ，求tan OBC ∠的值； （3）在第一象限的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，使以O ，P ，M 三点为顶点的三角形与OBC ?相似，若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
详解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误．
故选C．
点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
2．B
【解析】
A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；
B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．
C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；D抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；故选B．
3．A
【解析】
【分析】
根据根的判别式240
b ac
->即可求出k的取值范围．
【详解】
根据题意有
222
4(2)41(1)0
b a
c k k
-=-??->
解得
1
2 k>
故选：A．【点睛】
本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键． 4．B
【分析】
先通过等量代换得出BCD CAB θ∠=∠=，然后利用余弦的定义即可得出结论．
【详解】
AC BC ⊥
90ACB ∴∠=?
90,90,CAB ABC BCD ABC ∴∠+∠=?∠+∠=?
BCD CAB θ∴∠=∠=
cos CD BCD BC
∠= cos cos CD h BC BCD θ
∴==∠ 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，掌握余弦的定义是解题的关键．
5．A
【分析】
根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结论．
【详解】 ∵反比例函数6y x
=在0x >时，y 随着x 的增大而减小， ∴当120x x >>时，120y y <<
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】
利用配方法即可将二次函数转化为顶点式．
【详解】
21252
y x x =-+ 21(4)52
x x =-+ 21(44)522
x x =-++- 21(2)32
x =-+ 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键．
7．D
【分析】
连接OC ，过点C 作CE ⊥OB 于点E,根据圆周角定理得出260BOC CDB ∠=∠=?，则有BOC 是等边三角形，然后利用=S BOC BOC S S -阴影扇形求解即可．
【详解】
连接OC ，过点C 作CE ⊥OB 于点E
30CDB ∠=?
260BOC CDB ∴∠=∠=?
OC OB =
∴BOC 是等边三角形
1OC OB BC ∴===
sin 60CE OC ∴=?=
26011=S 136026BOC BOC S S
ππ∴-=-?=阴影扇形 故选：D ．
【点睛】 本题主要考查圆周角定理及扇形的面积公式，掌握圆周角定理及扇形的面积公式是解题的关键．
8．B
【分析】
根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】
已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 2、
只有选项B 的各边为1、B ．
【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
9．B
【解析】
分析: 根据抛物线y=ax 2+bx+c 与反比例函数y=b x
的图象在第一象限有一个公共点，可得b ＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b ，可得a ，c 互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac 的图象.
详解: ∵抛物线y=ax 2+bx+c 与反比例函数y=
b x
的图象在第一象限有一个公共点， ∴b ＞0，
∵交点横坐标为1，
∴a+b+c=b ，
∴a+c=0，
∴ac ＜0，
∴一次函数y=bx+ac 的图象经过第一、三、四象限．
故选B.
点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到
b ＞0，a
c ＜0.
10．D
【分析】
利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形边长，进而即可找到规律得出答案．
【详解】
∵正方形1111D C B A 的边长为1，1130OB C ∠=?，112233////B C B C B C ，…
11222334111222334,,30D E B E D E B D D C E C B E C B E ∴==∠=∠=∠=?
11111sin 302
D E C D ∴
=?= 1221
()3
B C ∴== 同理可得233133
B C == 故正方形n n
n n A B C D 的边长为1n - 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和锐角三角函数，利用正方形的性质和锐角三角函数找出规律是解题的关键．
11．60
?
【分析】
根据特殊角的三角函数值即可求出答案． 【详解】
tan 60?=60α∴∠=?
故答案为：60?．
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．223y x =+
【解析】
【详解】
由“上加下减”的原则可知，将抛物线22y x =向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是22 3.y x =+
故答案为22 3.y x =+
【点睛】
二次函数图形平移规律：左加右减，上加下减.
13．4．
【详解】
解：∵AB ⊥x 轴于点B ，且S △AOB =2，
∴S △AOB =12
|k|=2， ∴k=±4．
∵函数在第一象限有图象，
∴k=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k 的几何意义．
14．6
π 【分析】
利用几何概率等于阴影部分的面积与三角形的面积之比即可得出答案．
【详解】
15AB =，9AC =，12BC =，
222AB AC BC ∴=+
∴ABC 是直角三角形，90C ∠=?
设圆的半径为r ，利用三角形的面积有
11()22
AC BC AB r AC BC ++=
即11(91215)91222
r ?++=?? 解得3r =
∴阴影部分的面积为29r ππ= ∵三角形的面积为
119125422
AC BC =??= ∴飞镖落在阴影部分的概率为9546ππ= 故答案为：
6π． 【点睛】
本题主要考查几何概率，掌握几何概率的求法是解题的关键．
15．m n n
+ 【分析】
由折叠得，AF ：FB=EF ：FB ．证明△BEF ∽△CDE 可得EF ：FB=DE ：EC ，由BE ：EC=m ：n 可求解．
【详解】
∵BE=1，EC=2，∴BC=3．
∵BC=AD=DE ，∴DE=3．
sin ∠EDC=EC 2DE 3
=； ∵∠DEF=90°，∴∠BEF+∠CED=90°．
又∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BFE=∠CED ．又∠B=∠C ，
∴△BEF ∽△CDE ．
∴EF ：FB=DE ：EC ．
∵BE ：EC=m ：n ，
∴可设BE=mk ，EC=nk ，则DE=（m+n ）k ．
∴EF ：FB=DE ：EC=
() m n k m n nk n ++=． ∵AF=EF ，
∴AF ：FB=m n n
+
16．（1）
34
；（2）11x =，25x =- 【分析】 （1）利用特殊角的三角函数值计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
（1）原式=21331211244
-+?=-+= （2）原方程可变形为(5)(1)0x x +-=
50x +=或10x -=
125,1x x ∴=-=
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值及因式分解法是解题的关键．
17．此游戏对双方公平，理由见详解．
【分析】
用列表法或树状图将所有可能出现的情况表示出来，然后计算“两枚正面向上，一枚正面向下”和“ 出现两枚正面向下，一枚正面向上”的概率是否相等，如果相等，则说明游戏公平，反之则不公平．
【详解】
答：此游戏对双方公平．
根据树状图或列表分析抛掷三枚硬币可出现8种情况，其中“两正一反”和“两反一正”的情况各有3种，所以“出现两枚正面向上，一枚正面向下”的概率和“出现两枚正面向下，一枚正
面向上”的概率都是3
8
．
【点睛】
本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，能够用树状图或列表法将所有可能出现的情况表示出来是解题的关键．
18．隧道AB的长约为635m.
【分析】
首先过点C作CO⊥AB，根据Rt△AOC求出OA的长度，根据Rt△CBO求出OB的长度，然后进行计算.
【详解】
如图，过点C作CO⊥直线AB，垂足为O，则CO=1500m
∵BC∥OB
∴∠DCA=∠CAO=60°，∠DCB=∠CBO=45°
∴在Rt △CAO 中，OA=1500tan 60=1500×m 在Rt △CBO 中，OB=1500×
tan45°=1500m
∴AB=1500－≈1500－865=635(m)
答：隧道AB 的长约为635m ．
考点：锐角三角函数的应用.
19．（1）4y x =
；（2）C 的坐标为(4,1)；（3）AOC ?的面积为152． 【分析】
（1）将点A 的坐标代入反比例函数的解析式中即可出答案；
（2）将一次函数与反比例函数联立求出B 点的坐标，再根据关于原点对称的点的特征写出C 的坐标即可；
（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积即可求出AOC ?的面积．
【详解】
（1）将点(1,4)A 的坐标代入k y x =中，得 41
k = 解得4k =
∴反比例函数的解析式为4y x
= （2）将点(1,4)A 的坐标代入y x b =+中，得
14b +=
解得3b =
∴一次函数的解析式为3y x
43y x y x ?=???=+? 解得14x y =??=?
或41x y =-??=-? ∴B 的坐标为(4,1)--
∵B 点关于原点O 的对称点是C
∴C 的坐标为(4,1)
（3）如图
11115441414(41)(41)2222
AOC S =?-??-??--?-?-= 【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，数形结合是解题的关键． 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）由角平分线的定义得出BAC CAD ∠=∠，再根据2AC AB AD =?即可得出
ABC ACD ??∽；
（2）由相似三角形的性质可得出90ADC ACB ∠=∠=?，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出OCA CAD ∠=∠ ，从而有//OC AD ，根据平行线的性质即可得出
90OCD ADC ∠=∠=? ，则结论可证．
【详解】
（1）∵AC 平分BAD ∠，
∴BAC CAD ∠=∠
2AC AB AD =?
AB AC AC AD
∴= ∴ABC ACD ??∽
（2）连接OC
∵AB 是O 的直径，
90ACB ∴∠=?
∵ABC ACD ??∽
90ADC ACB ∴∠=∠=?
AO OC =
OAC OCA ∴∠=∠
∵BAC CAD ∠=∠
OCA CAD ∴∠=∠
//OC AD ∴
90ADC ∠=?
90OCD ADC ∴∠=∠=?
OC CD ∴⊥
∴CD 与O 相切．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，切线的判定，掌握相似三角形的判定及性质，切线的判定方法是解题的关键．
21．（1）100元；（2）当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．
【分析】
（1）根据题意列出方程，解一元二次方程即可；
（2）先根据利润=每件的利润×销售量表示出利润，然后利用二次函数的性质求最大值即可．
【详解】
（1）依题意得：601502000()()x x -+-=，
解得100x =或110x =（不合题意）．
（2）若每天的利润为W 元，
则()( 601)50W
x x -=-+ 22210900()01052025x x x =--=+--+，
∴当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握解一元二次方程的方法和二次函数的性质是解题的关键．
22．（1）抛物线的解析式为22y x x =-；顶点B 的坐标为(1,1)-；（2）3；（3）P 点的坐标为77(,)39或(5,15)．
【分析】
（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而即可求出顶点坐标；
（2）先将点C 的横坐标代入抛物线的解析式中求出纵坐标，根据B,C 的坐标得出45BOD ∠=?，45COE ∠=?，从而有90BOC ∠=°，最后利用tan OC OBC OB
∠=
求解即可；
（3）设P 为2(,2)n n n -．由于90BOC OMP ∠=∠=?，所以当以O ，P ，M 三点为顶
点的三角形与OBC ?相似时，分两种情况：
OM OC PM OB =或PM OC OM OB
=，分别建立方程计算即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线2
y x bx c =++过原点，且与x 轴交于点(2,0)A ， ∴0420c b c =??++=?，解得20
b c =-??=?． ∴抛物线的解析式为22y x x =-．
∵22
2(1)1y x x x =-=--，
∴顶点B 的坐标为(1,1)-．
（2）∵(3,)C m 在抛物线上，
∴963m =-=．
作BD x ⊥轴于D ，作CE x ⊥轴于E ，
则1OD BD ==，3OE CE ==，
∴45BOD ∠=?，45COE ∠=?．
∴90BOC ∠=°．
∵22112OB ，OC =
∴tan 3OC OBC OB ∠=
=． （3）假设存在．
设P 点的横坐标为n ，则P 为2
(,2)n n n -． 由于90BOC OMP ∠=∠=?，
所以当以O ，P ，M 三点为顶点的三角形与OBC ?相似时，