一元二次方程及其应用

◆课前热身

1．如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为．

2.方程042=-x x 的解______________．

3．方程240x -=的根是（）

A ．2x =

B ．2x =-

C ．1222x x ==-，

D ．4x =

4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为．

【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.216(1)9x -=

◆考点聚焦

知识点:

一元二次方程、解一元二次方程及其应用

大纲要求:

1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。

2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、

3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。

考查重点与常见题型:

考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。

◆备考兵法

（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后

再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .

（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.

（3）用配方法时二次项系数要化1.

（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.

◆考点链接

1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中

叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.

2. 一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，

就可用直接开平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：

①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方

程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上

一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非

负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方

程无解.

（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,24(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；

②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得

到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二

次方程的解.

◆典例精析

例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（）

A ．1

B ．1-

C ．2

D ．2-

【答案】A

【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，原方程成立，即06332=--k 成立，解得k=1。故选A 。

例2（湖北仙桃）解方程：2420x x ++=

【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解.

【答案】242x x +=-

24424x x ++=-+

2(2)2x +=

22x +=±

22x =±-

122222x x ∴=-=--，

例3（广东省）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意得： 1+()181x x x ++=，

()2181x +=，

19x +=或19x +=-，

18x =或210x =-（舍去），

()()33

118729700x +=+=>．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会

超过700台．

【点评】解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.?最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．

◆迎考精炼

一、选择题

1.(湖北武汉)已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（）

A ．3-

B ．3

C ．0

D ．0或3

2.（内蒙古呼和浩特）用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为（）

A ．21(3)3x -=

B ．213(1)3x -=

C ．2(31)1x -=

D ．22(1)3

x -= 3.（河南）方程2x =x 的解是（）

A.x =1

B.x =0

C.x 1=1 x 2=0

D.x 1=﹣1 x 2=0

4.（湖南衡阳）两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是（）

A ．相交

B ．外离

C ．内含

D ．外切

5．（湖北黄石）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（）

A ．14

B ．12

C ．12或14

D ．以上都不对

6.（湖北襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为210m 提高到212.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为

（）

A ．9%

B ．10%

C ．11%

D ．12%

二、填空题

1.（内蒙古赤峰）已知关于x 的方程x 2-3x+2k=0的一个根是1，则k=

2.（山东威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．

3.(浙江温州)方程(x-1)2=4的解是 .

4.（广西崇左）分解因式：2242x x -+= ．

5．（山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．

6.（江苏省）某县农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程．

三、解答题

1.（山西省）解方程：2230

x x

--=

2.（广西梧州）解方程：0

(

(2=

-x

3．（甘肃庆阳）某企业2006年盈利1500万元，克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：

（1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计盈利多少万元？

4.(山东潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两

块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周

围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积

的和为矩形ABCD面积的1

，求P、Q两块绿

地周围的硬化路面的宽．

（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．

【参考答案】

一、选择题

1. A

2. D

3. C

4. A

5. B

6.B 解析：本题考查方程解决增长率问题，设年增长率x ，可列方程()2

10112.1x +=，解得10.110%x ==，2 2.1x =-（舍去），所以年增长率10%，故选B 。二、填空题

1.1

2.1

3.x 1=3,x 2=-1

4.22(1)x -

5.答案不唯一，如21x =

6.27800(1)9100x += 三、解答题

1.解：移项，得223x x -=，

配方，得()2

14x -=，

∴12x -=±，

∴1213x x =-=，．

2.解:0)23)(3(=+--x x x

0)33)(3(=--x x 03=-x 或033=-x

即31=x 或12=x

3.解：（1）设每年盈利的年增长率为x ，

根据题意，得21500(1)2160x +=．解得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）． 1500(1)1500(10.2)1800x ∴+=+=．

答：2007年该企业盈利1800万元．

（2） 2160(10.2)2592+=．

答：预计该企业盈利2592万元．

4.解：（1）设P Q 、两块绿地周围的硬化路面的宽都为x 米，根据题意，得：

1(603)(402)60404x x -?-=?? 解之，得：121030x x ==，

经检验，230x =不符合题意，舍去．

所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．

（2）设想成立．设圆的半径为r 米，1O 到AB 的距离为y 米，根据题意，得： 2402260

y y r =??+=? 解得：2010y r ==，．符合实际．

所以，设想成立，此时，圆的半径是10米．