信道建模与仿真

第七章标量信道建模及其仿真 (187)

7.1平坦衰落信道建模 (188)

7.1.1平坦衰落信道理论模型 (188)

7.1.1.1 Clarke信道模型 (188)

7.1.1.2 Suzuki 信道模型 (189)

7.1.2 多普勒功率谱 (191)

7.1.2.1 经典功率谱 (192)

7.1.2.2 高斯功率谱 (194)

7.1.2.3 平均多普勒频移和多普勒扩展 (195)

7.2平坦衰落信道仿真[13] (196)

7.2.1 正弦波叠加法 (197)

7.2.1.1 等距离法（MED）[8] (203)

7.2.1.2 等面积法（MEA）[8] (205)

7.2.1.3 Monte Carlo法（MCM）[8] (209)

7.2.1.4 最小均方误差法（MSEM）[8] (212)

7.2.1.5 精确多普勒扩展法（MEDS）[14] (214)

7.2.1.6 多普勒相位的计算方法 (217)

7.2.1.7 Jakes仿真器(JM)[1] (218)

7.2.1.8 仿真方法的性能分析 (233)

7.2.2 成形滤波器法 (236)

7.3频率选择性衰落信道建模[13] (238)

7.4频率选择性衰落信道仿真 (242)

参考文献 (244)

第七章标量信道建模及其仿真

前面的章节从总体上介绍了信道的基本知识和基本特性，包括大尺度传播、小尺度衰落等等。无疑，了解这些信道特性对我们要在频谱资源有限的信道上，尽可能高质量、大容量传输有用信息起着指导性的作用：讨论大尺度传播不仅对分析信道的可用性、选择载波频率以及切换有重要意义，而且对于移动无线网络的规划也很重要；而讨论小尺度衰落则对传输技术的选择和数字接收机的设计至关重要。因此，信道建模和仿真是研究移动无线通信各种技术和网络规划的基础和关键。建模的评估标准是在不同的环境下所建立的模型与真实无线信道的吻合程度；而仿真的评估标准则在于运算量的复杂度。因此，研究人员需要根据实际情况的不同来进行建模和仿真。下面的章节将重点讲述信道的建模和仿真，本章先介绍标量信道的建模和仿真。

在6.4节中已经介绍了小尺度衰落信道的分类：根据信道的频率选择性，可以把信道分为平坦衰落信道和频率选择性衰落信道；根据信道的空间选择性，可以把信道分为标量信道和矢量信道。因此，本章在介绍不考虑空间角度信息的标量信道建模和仿真时，将分别讨论平坦衰落信道和频率选择性衰落信道。事实上，平坦衰落信道只有一个可分辨径（包括了多个不可分辨径），而频率选择性衰落信道是由多个可分辨径组合而成（其中每一个可分辨径就是一个平坦衰落信道），这也就是说，频率选择性衰落信道的建模比平坦衰落信道的建模更复杂，它是由多个具有不同时延的平坦衰落信道组合而成。因此，平坦衰落信道建模是标量信道建模的基础，我们将在第七章的前半部分重点讲述；在此基础上，第七章的后半部分将介绍频率选择性衰落信道的建模和建模。

7.1 平坦衰落信道建模

本节将讲述平坦衰落信道建模的两个模型――Clarke 信道模型和Suzuki 信道模型，和与信道建模密切相关的多普勒功率谱。

7.1.1平坦衰落信道理论模型

以下介绍两种描述平坦衰落信道的模型：Clarke 信道模型和Suzuki 信道模型，其中前者用于描述小尺度衰落，后者综合考虑大尺度衰落和小尺度衰落。

7.1.1.1 Clarke 信道模型

Clarke [11] 提出了一种用于描述平坦小尺度衰落的统计模型，即瑞利衰落信道。其移动台接收信号场强的统计特性是基于散射的，这正好与市区环境中无直视通路的特点相吻合，因此广泛应用于市区环境的仿真中。

基站和移动台之间传播环境主要特征是多径传播，即并不仅仅来自一条直射路径，而更包括由于建筑物、树木及起伏的地形引起反射、散射及绕射后的信号，由于电波通过各个路径的距离不同，因而各路径来的反射波到达时间不同，相位也就不同。不同相位的多个信号在接收端迭加，有时同相迭加而加强，有时反相迭加而减弱。这样，接收信号的幅度将急剧变化，即产生了衰落。对于典型的市区环境(图6-2-7中的RX2)，具有以下特点：发射天线放置在建筑物顶端，在接收天线的远场区空间上只存在很少的可分离的远端散射体，且每个主反射体一般只有一个主要路径；在发送端和接收端的附近存在大量的散射体（称为本地散射体），由于它们产生的多径信号相对时延很小，所以可以认为任何平面波都没有附加时延，又由于不存在直射路径，只存在散射路径，使得到达波都经历了相似的衰落，具有几乎相等的幅度，只是具有不同的频移和入射角。

如图7-1-1，由于移动台的移动，使得每个到达波都经历了多普勒频移。假设发射天线是垂直极化的，入射到移动天线的电磁场由N 个平面波组成。对于第n 个以角度n α到达x 轴的入射波，多普勒频移为：

n n v

f αλ

cos =

(7-1-1)

其中的λ为入射波波长。

到达移动台的垂直极化平面波存在电场E 和磁场H 的场强分量分别为：

∑=+=N

n n c n z t f C E E 1

0)π2cos(θ

(7-1-2) ∑=+-

n n c n n x t f C E H 1

)π2cos(sin θαη

(7-1-3) ∑=+-

n n c n n y t f C E H 1

)π2cos(cos θαη

(7-1-4)

这里的0E 是本地平均E 场（假设为恒定值）的实数幅度，n C 表示不同电波幅度的实数随机变量，η是自由空间的固有阻抗)377(Ω，c f 是载波频率，第n 个到达分量的随机相位n θ为：

n n n t f ?θ+=π2

(7-1-5)

图6-2-3(b) 入射角到达平面示意图

图7-1-1 入射角到达平面示意图

对场强进行归一化后，即

∑==N

n n C 1

(7-1-6)

由于多普勒频移与载波相比很小，因而三种场分量可以用窄带随机过程表示。若N 足够大，三个分量

y x z H H E 、、可以近似为高斯随机变量。假设相位角在π)2,0[间隔内有均匀的概率密度函数，则(7-1-2)式可以用同相分量和正交分量表示：

t t T t t T E c s c c z ωωsin )(cos )(-=

(7-1-7) 其中

∑=+=N

n n n n c t f C E t T 10)π2cos()(?

(7-1-8) ∑=+=N

n n n n s t f C E t T 1

0)π2sin()(?

(7-1-9)

根据中心极限定理，)()(t T t T s c 、都是高斯随机过程，且具有以下的统计特性：

0)]([)]([==t T E t T E s c

(7-1-10) 2

)]([)]([2

t T E t T E s c ==

(7-1-11) 0)]()([)(=+=ττt T t T E R s c T T c s

(7-1-12) 0)]()([)(=+=ττt T t T E R c s T T s s

(7-1-13) 即它们是互不相关的、均值为零、方差为1的高斯随机过程。它们的包络

)()()(2

2t u t T t T E s c z =+=

(7-1-14)

服从瑞利分布，

∞<≤=

-u u

u p u 0,e )(2

σσ

(7-1-15)

其中

2/20E =σ

(7-1-16)

7.1.1.2 Suzuki 信道模型

1 Suzuki 衰落分布[2]

用图7-1-2所示的统计模型来说明多径强度从局部特性到全局特性的转变。因为多次反射或折射而服从对数正态分布的主波，在移动终端所在地方因为当地物体的散射，而分裂成几条子径。每条子径假定有大概相等的幅度和随机均匀分布的相位。而且，它们到达移动终端时有大概相同的延时。这些成分的包络之和服从瑞利分布，而瑞利分布的参数σ服从对数正态分布，从而构成一个混合分布。

发射机

图7-1-2 城区无线多径信道示意图

在前面章节介绍了瑞利分布和对数正态分布的基础上，综合考虑了这两种衰落过程，形成Suzuki 衰落分布[2]，即其包络的概率分布满足

σσ

σμσσd e x

x p s s s x ?∞

---

(ln )

2(2

2π21e

)( (7-1-17)

式中σ是瑞利分布中各高斯分量的标准差；s μ和s σ分别为对数正态分布的均值和标准差。

可以看出，上式是将瑞利分布的标准差σ在服从对数正态分布的情况下进行了积分，实现了从局部特性到全局特性的转化。因此，Suzuki 分布的衰落模型是联合考虑了小尺度衰落和大尺度衰落的综合模型。

2 Suzuki 信道模型

前面介绍Clarke 模型仿真的仅是小尺度衰落的瑞利衰落信道，现在介绍的Suzuki 信道模型，是将小尺度衰落模型和大尺度传播模型结合起来的一个混合模型，即在瑞利信道的基础上，考虑了阴影效应。因此，用Suzuki 模型来仿真平坦衰落信道，意义更为重要。

考虑典型市区环境，即在移动台和基站之间没有视距存在，因此，接收信号是一系列来自各个方向的独立反射信号的叠加。接收信号的包络服从瑞利分布，相位服从π)2,0[区间内的均匀分布。如果移动台运动较短的距离，可以假设瑞利过程的平均功率保持恒定；如果运动距离较长，由于阴影效应，使瑞利过程的功率有显著的变化，在这种情况下，Suzuki 分布相比瑞利分布较为准确。

Suzuki 过程[2])(t η可以表示为瑞利过程)(t ξ（小尺度衰落）与对数正态过程)(t ?（大尺度衰落）的乘积：(如图1-2-1所示)

()()()t t t ζξη?= (7-1-18)

(1) 瑞利过程)(t ξ

瑞利过程)(t ξ可以定义为窄带复高斯随机过程)(t μ的包络： ()()()t j t t 21μμμ+=

(7-1-19)

这里)(1t μ和)(2t μ是不相关的实正态随机过程，均值为0)}({==i i m t E μ，方差

20)}({μμσσμ==i t Var i ，2,1=i 。因此

()()()()t t t t 2

221μμμξ+==

(7-1-20) 是瑞利分布的随机过程。)(1t μ和)(2t μ要满足[1]中的经典功率谱分布函数

(7-1-21)

()()???????≥<-=max

max 2

max max 2 0 /1π0

f f f f f f f f S i i μμμσ 2,1=i

这里的m ax f ，为最大多普勒频移。

根据功率谱密度，可以得到其自相关函数为

())π2(max 02

0τστμμμf J r i i = (7-1-22)

(2) 对数正态过程()t ζ

对数正态过程()t ζ由均值为03=m ，方差12

3＝σ的实高斯随机过程)(3t μ生成，

()()t s m t 3e μζ+=

(7-1-23) 参数m 和s 的引入是为了分别将3m 和2

3σ转换成实际的均值和方差。实高斯随机过程)(3t μ与(7-1-19)式中定义的复高斯随机过程)(t μ不相关。通常假设)(3t μ的功率谱密度函数服从高斯分布，如下式所示：

()2

332e π21c

f c

f S σμμσ-=

(7-1-24)

式中的c σ与3dB 截止频率c f 的关系是，2ln 2c c f σ=。总的说来，3dB 截止频率c f 比最大多普勒频移

max f 小的多，可以表示为k f f c /max ＝，所以这里的k >>1。

参考文献[4]已经证明了，当参数k 大于10时，k 和功率谱密度函数)(3f S μ对Suzuki 信道模型的随机特性影响不明显。同样根据(7-1-24)式，我们可以得到高斯过程)(3t μ的自相关函数：

()()2

332t c e t r πσμμ-=

(7-1-25)

3 扩展Suzuki 信道模型

上一小节讨论的Suzuki 模型,假设接收的信号中只有散射分量，没有直射分量。当接收信号中存在直射分量时，()t ξ就不在服从瑞利分布，而是服从莱斯分布。需将式(7-1-20))改写为：

()()()()

()()[]()()[]

()()[]()()[]2

222112211t m t t m t t m t j t m t t m t t t +++=

+++=+==μμμμμμξρ

(7-1-26)

其中，()()()()

ρθρ+=+=t f j t jm t m t m π221e

代表信号中的直射分量（均值），ρρθρ,,f 分别是直射分量的幅

度，多普勒频率和相位。在上式中，当0=ρf 时，均值()ρ

θρj m t m e

==是常数，不随时间变化，这相当于移

动台运动的方向与直射信号传播的方向成直角。

在扩展Suzuki 模型中，散射信号分量也具有式(7-1-21)所示的功率谱，其相关函数如式(7-1-22)所示，只是在此基础上增加了一个直射分量而已，所以其相关的统计特性不再做具体讨论。

7.1.2 多普勒功率谱

第六章已经介绍了无线信道的衰落和多径现象，我们知道，由于接收机的运动和多普勒效应，使得接收机的到达波产生了多普勒频移。由于不同的入射角产生不同的多普勒频移，因此所有的散射（反射）分量的叠加就形成了连续的多普勒频谱，也就是我们常说的“多普勒功率谱”。根据散射（反射）环境的不同，接收端的多普勒功率谱也不尽相同。下面将介绍两种常见的多普勒功率谱――经典功率谱和高斯功率谱。

7.1.2.1 经典功率谱

假设有N 个入射波，它们在π)2,0[内的入射功率是连续的，ααd p )(表示在入射角为αααd +~内的入射能量，A 表示全向天线的平均接收功率，)(αG 表示α方向的天线增益。当∞→N 时，ααd p )(成为连续分布。则全部入射能量可以表示为

)()(αααd p AG P r

(7-1-27)

假设发送信号的载频为c f ，则多普勒频率为

c m c f f f v

f f +=+?=

=ααλ

αcos cos )(

(7-1-28)

m f 为最大多普勒频移，因为)(αf 为偶函数，所以)()(αα-=f f 。假设信道冲激响应为

()()()t f t t f t t c c π2sin π2cos 21μμμ+=，)(f S μμ表示接收信号的功率谱，则有

[]αααααμμd G p G p A df f S )()()()()(--+=

(7-1-29) 对(7-1-28)求导，可得

ααd f df m sin -=

(7-1-30) ??

??-=m c f f f 1-cos α (7-1-31)

由(7-1-31)式，可得

1sin ?

??--=m c f f f α (7-1-32)

将(7-1-32)和(7-1-30)代入(7-1-29)，可得出)(f S μμ

[]???

????>-<-???? ??----+=m

c m

c m c m f f f f f f f f f f G p G p A f S 01)()()()()(2ααααμμ

(7-1-33)

这表明功率谱以载波为中心，分布在 m c f f ±之间，每个到达波都根据到达方向的不同有不同的频率。

对于波长为4/λ的垂直极化天线，天线增益)(αG 在全方向上为常数，即2

02)(σα=G ，且入射能量在π

2~0均匀分布，即π

)(=αp ，则

1π)(?

??--=

m c m f f f f f S σμμ

m c f f f <-

(7-1-34)

()

/1π)(m m f f f f S i i -=

σμμ

m f f < (7-1-35)

对(7-1-35)作反傅立叶变换，因为)(f S i i μμ为偶函数，得

()

f f f f df

f S R m

i i i i f m m

f j ??-==∞

∞-0

20π2/1π2cos π2e )()(τσττμμμμ (7-1-36)

做代换x f f m cos =，代入上式，得

dx x f R m i i ?=

/π0

)cos π2(cos π

2)(τστμμ

(7-1-37)

因为

??==

π0

π20

cos 0)cos cos(π2

21)(βββπ

d x d e

x J jx (7-1-38)

所以

)π2()(02

0τστμμm f J R i i = (7-1-39) ττστμμc m f f J R π2cos )π2()(020=

(7-1-40)

图7-1-3示出了多普勒功率谱的曲线，从中我们可以看出，在最大多普勒频移方向（即0o和180o方向）

多普勒功率谱为无穷，但是由于α是连续分布的，所以取到某个具体的方向的概率为0。

可以看出，经典功率谱的推导必须满足以下三个假设：

1) 电磁波的传播发生在二维平面内，接收机位于散射区域的中心； 2) 到达接收天线的来波入射角均匀分布在π)2,0[之间； 3) 接收天线是全向天线。

所以，必须满足以上三个假设的信道才符合经典功率谱。

(a) 经典功率谱i i μμ

(b) 相应的自相关函数μμi i

图7-1-3 经典功率谱及其相应的自相关函数)1,91(2

0==σHz f m

7.1.2.2 高斯功率谱

所谓高斯功率谱是指

()2

)(2ln 2

0π

2ln c

i i f f

e f f S -=

σμμ (7-1-41)

式中，c f 为3dB 截止频率。对(7-1-41)作反傅立叶变换，得

()2

)2ln /

(π2

0e τμμστc i i f r -= (7-1-42)

理论调查证明了航空信道的多普勒功率谱服从高斯分布，在许多情况下可以用(7-1-41)式来近似。对于带宽少于10KHz 的信号，航空信道属于非频率选择性信道。在参考文献[18]中已经指出：对于频率选择性信道，多普勒功率谱严重偏离经典功率谱，而高斯功率谱能够较好的吻合。高斯功率谱偏离了原来的频率，这是因为反射回波主要来自于某一特定的方向。

(a) 高斯功率谱i i μμ

(b) 相应的自相关函数)(τμμi i R

图7-1-4 高斯功率谱及其相应的自相关函数 )1,91,2ln (2

0===

σHz f f f m m c

7.1.2.3 平均多普勒频移和多普勒扩展

平均多普勒频移和多普勒扩展分别表示信号经过信道后经历的频率的均值和方差。它与电平交叉率（LCR ，

Level Crossing Rate ）、平均衰落时长（AFD ，Average Fading Duration ）、多普勒功率谱都有关，是描述信道时变特性的重要参数。

假设随机过程)(t i μ具有的多普功率谱密度为()f S i i μμ，平均多普勒频移()1i

i B μ

μ与多普勒扩展()2i

i B μμ是多普勒功率谱密度()f S i i μμ的两个参数，其中，平均多普勒频移定义为()f S i i μμ的一阶原点矩（均值），即：

()

()()()()

00π211i

i i i i i i i i

i r r j df

f S df

f fS B μμμμμμμμμμ&?

==??∞

∞-∞

∞-

(7-1-43)

而多普勒扩展定义为()f S i i μμ的二阶中心矩的平方根（标准差），即：

()

()()()()()

()()

00)00(

2122

2i i i i i i i i i i i

i i i i

i r r r r df f S df f S B f B μμμμμμμμμμμμμμμμπ

&&&-

-=?

∞

-∞

∞

- (7-1-44)

式中，()()τ

ττμμμμd r d r i i i i =

&，()()2

2τττμμμμd r d r i i i i =

&&。

因为对于复确定过程)()()(21t j t t μμμ+=，()f S 11μμ和()f S 22μμ相同且对称，则

()()

011==i

i B B μμμμ

(7-1-45) ()()0

22π2σβ

μμμμ==i

i B B

(7-1-46)

这里()020i i r μμσ=，()0i i r μμβ&&-=。

由上述定义可知，对经典功率谱和高斯功率谱而言，有：

(),01=i

i B μμ (7-1-47)

()???????=)( 2

ln 2)( 2max

2高斯经典c f f B i

i μμ (7-1-48)

可见，如果经典功率谱的最大多普勒频移和高斯功率谱的3dB 截止频率满足max 2ln f f c =时，经典功率

谱的多普勒扩展和高斯功率谱的多普勒扩展相同。

下面考虑多谱勒扩展()2i

i B μ

μ与()2~i

i B μμ的重要性。 Clarke 模型和Suzuki 模型的高阶统计特性，如电平通过率与平均衰落时长都与随机过程()t i μ的自相关函数()t r 11μμ在零点的二阶导数()0i i r μμ&&有关。

实际信道中()0i i r μμ&&可以表示为多谱勒扩展的平方，即

()()

()()()

??=-=-=-=-=)

(3 ,22))((2,1 220222222max 00高斯经典i B i B f r i i i i i i c μμμμμμμμππσπσπσ&&

(7-1-49)

仿真信道的情况，自相关函数()t r 11~

μμ在零点的二阶导数，即 ()()()

()(

)

???=-=-=)

(3 ,~2)(2,1 ,~~20~2

2220高斯经典i B i B r i i i i i i μμμμμμμπσπ&& (7-1-50)

其中，222021~~~μμμσσσ==，1~23=μσ。由上面两式可见，仿真过程的多谱勒扩展()2~i i B μμ与实际信道的多谱勒

扩展()2i

i B μ

μ越接近，则()0~i i r μμ&&与()0i i r μμ&&就越接近，仿真过程的高阶统计特性就与实际过程越相符。

7.2 平坦衰落信道仿真[13]

所有的信道模型的仿真都是基于多个不相关的有色高斯随机过程。对于瑞利和莱斯过程需要两个有色高斯随机过程，然而对于Suzuki 过程需要三个有色高斯随机过程。产生有色高斯噪声的方法有两类：第一类方法是正弦波叠加法（SOS ：Sum-Of-Sinusoid ）；第二类是成形滤波器法。

莱斯法[12] 是正弦波叠加法中的一种，其实现框图如图7-2-2所示，就是基于无穷个加权谐波的叠加，即

∑=∞→+=

i N n n i n i n i N i t f C t 1

,,,)π2cos()(lim θμ

(7-2-1)

式中

)(2,,n i i n i f S f C i i μμ?=

(7-2-2a)

i n i f n f ?=,

(7-2-2b)

相移n i ,θ是]π2,0[内均匀分布的随机变量；当∞→i N 时，0→?i f ，这样就使频率成为连续分布的。我们知道，高斯随机过程可以完全由均值、自相关函数（或者功率谱密度）来描述，因此，成形滤波器法（图7-2-1）

与正弦波叠加法（图7-2-1）是等效的。这是因为式(7-2-1)表示了均值为0、且具有)(f S i i μμ功率谱密度的高斯随机变量。

8-3-2 正弦波叠加法实现有色高斯噪声

)π2cos(1,1,i i t f θ+

π2cos(2,2,i i t f θ+π2cos(,,∞∞+i i t f θM

M )

图7-2-2正弦波叠加法实现有色高斯噪声

成形滤波器法如图7-2-1

，在线性时不变滤波器)(f H i 的输入端输入白高斯噪声，且)1,0(~)(N t v ，则输

出过程)(t i μ的功率谱密度满足2

)()(f H f S i i i =μμ。所以，为了产生特定的多普勒功率谱的随机过程，可以采用相应的成形滤波器。

)

1,0(~)(N t v 图8-3-1 成形滤波器法实现有色高斯随机过程

图7-2-1成形滤波器法实现有色高斯随机过程

同时，两种方法各有优缺点。第一类方法能够有效的减少运算量，因此得到广泛的应用，但是仿真的衰落信道的性能不理想。第二类方法所要求的成形滤波器的带宽相对于抽样率来说是非常窄的，所以复杂度较高；为了设计出这样一个窄带的数字滤波器而减小运算复杂度，通常采用的方法是首先设计一个低抽样率的数字滤波器，然后采用线形插值的方法将抽样率提高，此线形插值的过程同样具有很大的运算复杂度，但是这种方法能够较好的仿真出独立的衰落信道。以下两小节分别讲述这两种实现方法。

7.2.1 正弦波叠加法

基于前面介绍的莱斯模型，如果用有限个谐波来代替无限个谐波，则随机过程表示为：

∑=+=i

N n n i n i n i i t f C t 1

,,,)π2cos()(?θμ

(7-2-3)

式中，n i c ,和n i f ,分别用(7-2-2a)和(7-2-2b)表示，相移n i ,θ是)π2,0[内均匀分布的随机变量（实现框图如图7-2-3所示），由于这里的n i ,θ是随机变量，所以此模型称为“随机型仿真模型”。可以看出，当∞→i N 时，)()(?t t i i μμ

→。

8-3-3 正弦波叠加法：随机仿真模型

)π2cos(1,1,i i t f θ+

π2cos(2,2,i i t f θ+π2cos(,,i N i N i t f θ+M

图7-2-3正弦波叠加法：随机仿真模型

当n i ,θ从)π2,0[均匀分布的随机器取出之后，就不再代表一个随机变量了，而是随机变量的一个实现。因

此当n i ,θ代表随机变量的一个实现时，(7-2-3)变成

∑=+=i

N n n i n i n

i i

t f C

t 1

,,,)π2cos()(~θμ

(7-2-4)

因为这里的n i ,θ在整个仿真过程中是确定的，所以此模型成为“确定型仿真模型”（见图7-2-4）。注意到

当∞→i N 时，确定过程)(~t i μ是随机过程)(t i

μ的取样函数。所以，本节的目的就是介绍几种计算),,(,,,n

i n

i f C θ 的方法，使得确定过程)(~t i

的统计特性接近随机过程)(t i

μ的统计特性。 8-3-4

正弦波叠加法：确定型仿真模型)π2cos(1,1,i i t f θ+

π2cos(2,2,i i t f θ+π2cos(,,i N i N i t f θ+M

图7-2-4正弦波叠加法：确定型仿真模型基于确定型实高斯随机过程，可以表示确定复高斯随机过程为

)(~)(~)(~2

1t j t t μμμ+= (7-2-5) 则确定的瑞利过程可以表示为 ()()()()t j t t t 21~~~~μμμζ+== (7-2-6) 确定的莱斯过程可以表示为 ()()()()t m t t t +==μμξρ~~~ (7-2-7)

其实现框图如图7-2-5表示。

M M

M )

π2cos(11,1,1N N f θ+)π2cos(1,11,1θ+f π2cos(2,12,1θ+f π2cos(1,21,2θ+f π2cos(2,22,2θ+f π2cos(2,2,2N N f θ+

图7-2-5莱斯过程的确定仿真模型

用于计算机仿真的离散仿真器只需要将t 用s kT t =代替即可，其中s T 为抽样间隔，k 为整数。在仿真建立的初始阶段，必须确定参数),,(,,,n i n i n i f C θ的值，且在整个仿真阶段保持不变。我们把n i n i f C ,,,和n i ,θ分别称为

确定过程的多普勒系数、离散多普勒频移、多普勒相移。下面讨论确定过程)(~t i

的基本特性和统计特性： 1 基本特性

(1) 时间均值

假设确定过程)(~t i

μ满足)2,1,,2,1(0,==≠i N n f i n i Λ（下面的介绍可以看出，一般情况下此条件恒满

足），则从(7-2-4)式可以得到

0)(~

21lim ~==?-∞→T T

i T dt t T

m i

μμ

(7-2-8)

(2) 平均功率

从(7-2-4)式可以得到

∑?=-∞→=-=i i i N n n i T T

i T C dt m t T 12

,222]~)(~[21lim ~μμμσ (7-2-9) 很明显，平均功率2~i

μσ仅仅与多普勒系数n i C ,有关，而与离散多普勒频移n i f ,、多普勒相移n i ,θ无关。

(3) 自相关函数

从(7-2-4)式可以得到

)π2cos(2

)(~

)(~21

lim

)(~,1

,ττμμτμμn i N n n i T

i i T f C dt t t T

r i

i i ∑

?=-∞→=+=

(7-2-1

很明显，自相关函数)(~

τμμi i r 仅仅与多普勒系数n i C ,有和离散多普勒频移n i f ,有关，而与多普勒相移n i ,θ无关。且)0(~~2i

i i

r μμμσ=。

(4) 互相关函数

假设)(~1t μ和)(~2

t μ都是确定过程，则互相关函数为

0)(~)(~21

lim

)(~2

21=+=?-∞→T T

T dt t t T

r τμμτμμ ，m n f f ,2,1±≠

(7-2-11

)

对所有的21,,2,1,,,2,1N m N n ΛΛ==都满足。所以只要离散多普勒频移m n f f ,2,1、满足m n f f ,2,1±≠，则这

两个确定过程)(~1

t μ

和)(~2

t μ不相关。但如果出现m

n f f ,2,1±=，则 )π2cos(2

)(~,2,1,11

,2,1,2,121m n n N

f f n m

n f C C r m

n θθττμμ±-=

∑

±==

(7-2-1

其中N 是1N 和2N 中最大值。这时互相关函数)(~

21τμμr 还与多普勒相移n i ,θ有关。

(5) 功率谱密度

用(7-2-10)式作反傅立叶变换，得

∑=++-=i

i i N n n i n i n i f f f f C f S 1

,,2

,)](δ)(δ[4)(~

μμ

(7-2-1

可以看出，)(~t i μ的功率谱密度是关于频率f 对称的，即)(~)(~f S f S i i i i -=μμμμ；且位于n i f f ,±=之间，并

用4/2

,n i C 进行加权。

(6) 互功率谱密度

假设)(~1t μ和)(~2

t μ都是确定过程，则根据式(7-2-11)和(7-2-12)作反傅立叶变换，得 0)(~21=f S μμ，m n f f ,2,1±≠

(7-2-14)

∑

±==-++-=N f f n n n m n m

n m n m n f f f f C C f S ,2,1,2,1,2,1211

)

(j ,1)(j ,1,2,1]e )(δe )(δ[4

)(~θθθθμμμμ

(7-2-15) 对所有的21,,2,1,,,2,1N m N n ΛΛ==都满足，其中N 是1N 和2N 中最大值。同时互功率谱还满足)(~

)(~2112*f S f S μμμμ=。

(7) 平均多普勒频移

假设确定过程)(~t i μ

具有的多普功率谱密度为()f S i

i μμ~，平均多普勒频移()1~μμB 与多普勒扩展()

μμB 是多普勒

功率谱密度()f S i

i μμ~的两个参数，其中，平均多普勒频移定义为()f S i

i μμ~

的一阶原点矩（均值），即：

()()()()()

0~0~πj 21~

~1i

i i i i i i

i i

i r r df f S df f S f B μμμμμμμμμμ&?==??∞∞-∞∞

(7-2-16)

因为()()f S f S i

i i i -=μμμμ~

~，所以

()0~1=i

i B μμ (7-2-17) 对于复确定过程)(~)(~)(~2

1t j t t μμμ+=，如果实部和虚部互不相关，则 ()()

0~~11==i i B B μμμμ

(7-2-18)

(8) 多普勒扩展

而多普勒扩展定义为()f S i i μμ~

的二阶中心矩的平方根（方差），即：

()()()()()()()()()

0~0~)0~0~(π21~

~~2

2i i i i i i i i i

i i

i i i i

i r r r r df

f S df

f S

B f B μμμμμμμμμμμμμμμμ&&&-=-=??∞

∞-∞

∞

(7-2-19)

所以

()

∑-==i

i i

i N n n

i n i i f c B 1

2,2,22~21

~π2~

~μμμμσσβ (7-2-20)

这里

()∑==-=i

i i N n n i n i i f c r 1

2,,2)(π20~~

μμβ&&

(7-2-21)

可见，如果20

2~σσμ=i ，ββ=i ~

，则确定过程)(~t i μ的多普勒扩展与理想随机过程)(t i μ的多普勒相同。

2 统计特性

(1) 幅度、相位概率密度函数

讨论一个确定过程)(~t i

μ的统计特性，是将时间t 看作是在时间间隔内均匀分布的随机变量。考虑莱斯复随机变量

)(~)(~)(~2

1t j t t ρρρμμμ+= (7-2-22) 式中

)2,1()()(~)(~=+=i t m t t i

i i μμρ (7-2-23a) )

π2(j 21e

)()()(ρρθρ+=+=t f t jm t m t m (7-2-23b) 则

)(~)(~)(~)(2

1t j t t t ρρρμμμξ+== (7-2-24)

所以，幅度、相位概率密度函数[13]分别为

{}

}θ

θθπ

ξd dv v z g v c J

dv v z g v c J z z p N m m N n n 22220

1,20

111101,10),,()]π2([{),,()]π2([4)(~2

∏?

?∏∞=-∞

=?=

(7-2-25)

{}

}dz

dv v z g v c J

dv v z g v c J z p N m m N n n 22220

,20

1110

1,10),,()]π2([{),,()]π2([4)(~2

1θθθθ?

∏??∏∞

=∞∞=?=

(7-2-26)

这里

)]cos cos (π2cos[),,(111ρθρθθ-=z v v z g (7-2-27a) )]sin sin (π2cos[),,(222ρθρθθ-=z v v z g

(7-2-27b)

当∞→i N 时，幅度和相位完全服从莱斯分布的幅度分布(6-2-37)式和相位分布(6-2-38)式，这就说明“确

定型仿真模型”从概率密度函数的角度能够很好的吻合上“随机型仿真模型”。

下面将讨论“随机型仿真模型”产生信号的各态历经性，即从均值和自相关函数的角度，来比较两种模型的吻合程度。

(2) 各态历经性

1) 关于均值的各态历经性

对于随机过程)(?t i μ，如果)(~t i μ的时间平均收敛到)(?t i μ的统计平均)}(?{)(?1t E m i μτμ?

=，则称随机过程)(?t i μ

关于均值各态历经，即满足： ?-∞→==T

i T dt t T m m )(~21lim )(~)(?11μττμμ (7-2-28) 因为多普勒相移n i ,θ在)π2,0[内均匀分布，所以左边的等式一定等于0；右边的等式在)2,1,,2,1(0,==≠i N n f i

n i Λ时也为0。（在下面介绍的内容中，可以看到这个条件很容易满足）。因此

0)(~)(?1

1==ττμμm m (7-2-29)

即随机过程)(?t i μ

关于均值各态历经。

2) 关于自相关函数的各态历经性

对于随机过程)(?t i μ，如果)(~)(~τμμ+t t i

i 的时间平均，能够收敛到)(?t i μ的自相关函数)}(?)(?{:)(?11τμμτμμ+=t t E r

i i ，则称随机过程)(?t i μ关于自相关函数各态历经，即满足： ?-∞→+==T T

i i T dt t t T

r r )(~

)(~21

lim

:)(~)(?1111τμμττμμμμ

(7-2-3

当多普勒系数n i c ,和离散多普勒频移n i f ,为确定值，多普勒相移n i ,θ在)π2,0[内均匀分布，则

)π2cos(2

)(?,1

,ττμμn i N n n i f C r

i i ∑==

(7-2-3

1) 根据(7-2-10)式，可以得出

)(~)(?1111ττμμμμr r =

(7-2-32)

所以随机过程)(?t i μ

关于自相关函数各态历经。综上，在多普勒系数和离散多普勒频移都是确定值的前提条件下，随机过程)(?t i μ关于均值、自相关函数各态历经，这就证明了用确定过程)(~t i

μ代替随机过程)(?t i μ的合理性，这样的简化有利于信道模型的仿真；同时对于信道建模的好坏，评估标准是确定过程)(~t i

的随机特性与理想随机过程)(t i

μ的随机特性之间的偏差,即是下面两个准则：

(3) 两个准则

1) 概率均方误差准则

)(t i μ是均值为零且正态分布的随机过程，即),0(~)(20σμN t i ，则概率)(~

x p i μ与)(x p i μ的均方误差为 dx x p x p E i i i

p 2))(~)((?-=∞

∞

-μμμ

(7-2-3

3) 这样能够评估确定型过程的概率分布函数与理想随机过程的概率分布函数的接近程度。

2) 自相关函数均方误差准则

众所周知，实高斯随机过程可以完全由其概率密度函数、自相关函数描述，因此另外一个准则就是评估确定型过程的自相关函数与理想随机过程的自相关函数的均方误差

τττττμμμμμμd r r E i i i i i

i r 20

max

))(~

)((1

max ?-=

(7-2-3

已经证明取max max 2/f N i =τ比较合适，特别对于经典功率谱。

计算确定过程(7-2-3)式中的参数),,(,,,n i n i n i f C θ的值，即多普勒系数、离散多普勒频移、多普勒相移，下面将介绍几种方法：等距离法（MED ）、等面积法（MEA ）、Monte Carlo 法、最小均方误差法（MSEM ）、精确多普勒扩展法（MEDS ）和Jakes 仿真法，它们都是采用正弦波叠加法来实现的，各有优缺点，其中应用最为广泛的是Jakes 仿真器。

7.2.1.1 等距离法（MED ）[8]

顾名思义，等距离法指的是相邻的离散多普勒频移之间的距离是相等的。具有相同距离的离散多普勒频移的值可以通过下式来得到：

()i i

n i N n n f f ,...,2,1,122

,=-?=

(7-2-35)

其中：

i n i n i n i N n f f f ,...,3,2,1,,,=-=?-

(7-2-36)

表示了第i 个随机过程()3,2,1,~=i t i

的相邻的离散多普勒频移之间的距离。对多普勒系数{}

n i c ,的计算则要考虑到在区间：

i i n i i n i n i N n f f f f I ,...,2,1,2,2,,,=???

??+?-=

(7-2-37)

要使理想的功率谱密度函数()f S i i μμ计算得到的功率与仿真得到的功率谱密度函数()f S i i μμ~

计算得到的

功率相等。即：

()()??∈∈=

i i i n

i i i I f I f df f S df f S ,,~

μμμμ

(7-2-38)

以下，我们分别考虑两种功率谱密度的情况：

1 经典功率谱

经典功率谱函数()f S i i μμ中的频率范围限制在max f f <的范围内。这样，相邻的两个离散多普勒频移

之间的距离i f ?可定义为：i i N f f /max =?，因此，各个离散多普勒频移的数值可根据下式来确定：

()122max

,-=

n N f f i

n i (7-2-39)

相应的多普勒系数，根据式(7-1-35)、(7-2-13)和 (7-2-39)，经过一定的推导，可得：

120

,1arcsin arcsin π

4??

??????

??????????? ??--???? ??=i i n i N n N n c σ (7-2-40) 从式(7-2-9)和(7-2-10)可以看出，()t i

μ~的均值为零，因此，方差为相关函数在零点的值，即： ()2012

0~~σσ

μμμμ===∑=i

i i i N n n i c r (7-2-41) 对于复确定过程()()()t j t t 21~~~μμμ+=，其方差为20

2222~~~21σσσσμμμ=+=。且为了保证()t 1~μ和()t 2~μ的不相关性，可以选择112+=N N ，这保证了对所有的1,,2,1N n Λ=和2,,2,1N m Λ=都满足m n f f ,2,1±≠。图7-2-6绘出了相应于等距离法生成的经典功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较。

另外，利用等距离法得出的随机过程的自相关函数()t r i μ~

是一个周期函数： ()()()?????-=+是奇数是偶数 ,~ ,~2/~m r m r mT r i

i i i i i i τττμμμμμμ (7-2-42)

n i f ,的最大公约数记为i

N n n i i f F 1,}gcd{==，

则周期max 221f N f F T i i i i =?==。所以，必须保证仿真的时间sim T 不超过i T ，即max /2f N T T i i sim =≤。在车速h km v /110=，载波MHz f 9000=的情况下，Hz f 91max =，所以仿真时间s T sim 549.0=。并且这里选择max max 2/4/f N T i i ==τ来计算(7-2-34)式中的自相关函数的均方差，绘于(c)图。

(a) 功率谱密度f S i

i μμ )25(=i N (b) 相关函数τμμi i r )25(=i N

i r μμmax max i

图7-2-6 等距离法（经典功率谱，Hz f 91,1max 2

0==σ）

2 高斯功率谱

由(7-1-41)式所示的高斯功率谱()f S i μ，一般将f 的变化范围限制在c c f k f <的范围内，c k 由仿真所需的离散多普勒频移n i f ,的选择范围来决定，下面选择2ln /22=c k 。因此，两个相邻的离散多普勒频移之间的距离可以表示为i c c N f k f /=?，这样，结合式(7-2-35)，可以将离散多普勒频移的值写为：

()122,-=n N f

k f i

c c n i (7-2-43)

其中i N n ,...,2,1=。从式(7-1-41)和(7-2-13)和上式可以推导得到离散多普勒系数的表达式：

i i c i c n i N n N k n N nk c ,...,2,12ln )1(erf 2ln erf 22

,=???

???????? ??--???? ??=σ (7-2-44)

显然，()t i

μ~的均值是零，方差为

()()

20202012

,29999366.02ln erf 2

0~~σσσσμμμ≈====∑=c N n n i k c r i

i i (7-2-45)

图7-2-7绘出了相应于等距离法生成的高斯功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较。

注意到，()t i μ~的周期为c c i i i i f k N f F T 221=?==。同样，必须保证仿真的时间sim T 不超过i

T ，即c c i i sim f k N T T /2=≤，并且这里选择c c i i f k N T 2/4/max ==τ，来计算(7-2-34)式中的自相关函数的均方差，绘于

(c)图。

为了保证()t 1~μ和()t 2~μ的不相关性，可以选择11

2+=N N ，这样就保证了对所有的21,,2,1,,,2,1N m N n ΛΛ==都满足m n f f ,2,1±≠。

(a) 功率谱密度f S i

i μμ )25(=i N (b) 相关函数τμμi i r )25(=i N (c) 自相关函数的均方差i

i r μμmax c c i

图7-2-7 等距离法（高斯功率谱）

（Hz f f f c 91,2ln ,1max max 2

0==

=σ，2ln /22=c k ）

7.2.1.2 等面积法（MEA ）[8]

所谓等面积法指的是在功率谱密度函数一定的情况下，任意两个离散多普勒频移之间n i n i f f f ,1,<≤-的

区间面积i A μ都等于()i N i

μσ。即：

()i i

f f N n N df f S A i

i n i i i i ,...,2,1,22,1

,==

-μ

μμμσ

(7-2-46)

而00,=i f 。为了方便推导，引入函数：

()()?

∞

i i i i f n i df f S f F ,,μμμ

(7-2-47)

从式(7-1-41)和式(7-1-41)可以看出()f S i i μμ一个对称函数，即：()()f S f S i i i i -=μμμμ，这样，结合式

(7-2-46)，可将式(7-2-47)写为：

()()???? ??

+=+=

∑?

=-i n

v f f n i N n df

f S f F i

i v i i i i

i 12 2

2,,1

,μμμμ

μσσ

(7-2-48)

假设函数i F μ的反函数存在，记为1

-i

F μ，则离散多普勒频移可写为： i i n

i N n N n F f i

i ,...,2,1 1221,=???

????

????? ??+=-μ

μσ

(7-2-49)

同时，注意到在区间[)

n i n i n i f f I ,1,,,-=内，()f S i i μμ的平均功率等于4

2,n i c ，根据式(7-2-13)，多普勒系数可

写为：

i i

n i N n N A c i

i ,...,2,1 2

4,==?=μμσ (7-2-50)

式(7-2-50)意味着在等面积法中得到的各个多普勒系数是相等的。

下面，我们将利用等面积法求得经典功率谱和高斯功率谱下的多普勒频移和系数的表达式。

1 经典功率谱

将(7-2-4)式中的经典功率谱表达式代入到式(7-2-22)可得： ()

i n i n i N n f f f F i

i ,...,2,1 arcsin π2

12max ,2,=??

???????? ??+=

μσ (7-2-51)

其

中

，

max ,0f f n i ≤≤。显然，i F μ的反函数1-i F μ存在，解式(7-2-24)可得离散多普勒频移：

i i n

i N n N n f f ,...,2,1 2πsin max ,=???

??=

(7-2-52)

从式(7-2-50)，将i μσ用0σ代替容易得到多普勒系数：

i i

n i N n N c ,...,2,1 20

,==σ (7-2-53)

当5≥i N 时，n i f ,的最大公约数i

N n n i i f F 1,}gcd{==近似等于零，所以周期i i F T /1=为无穷。因此确定过程

)(~t i

μ是非周期的。图7-2-8绘出了相应于等面积法生成的经典功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较；图(c)中选择了max max 2/4/f N T i i ==τ。