SFA方法综述

SFA方法和因子分析法综述

（姬晓鹏，管理科学与工程，1009209018）

1.1DEA方法和SFA方法的区别

1.数据包络分析（DEA）

数据包络分析(data envelopment analysis)简称DEA,采用线性规划技术，是最常用的一种非参数前沿效率分析法。它由A.Charnes和W.W.Cooper[1]等人于1978年创建的，以相对效率为基础对同一类型的部门的绩效进行评价。

该方法将同一类型的部门或单位当作决策单元(DMU)，其评价依据的是所能观测到的决策单元的输入数据和输出数据。输入数据是指决策单元在某种活动中所消耗的某些量，如投入资金量、原料量等，输出数据是指决策单元消耗这些量所获得的成果和产出，如产品产量、收入金额等。将各决策单元的输入输出数据组成生产可能集所形成的生产有效前沿面，通过衡量每个决策单元离此前沿面的远近，来判断该决策单元的投入产出的合理性，即技术效率[2]。

一般的评价方法比较同一类型的决策单元的效率，需要先对决策单元的输入输出指标进行比较，并通过加权得到一个综合评分，然后通过各个决策单元的评分来反映其效益优劣。数据包络分析法则巧妙地构造了目标函数，并通过Charnes －Cooper变换（称为2

C－变换）将分式规划问题转化为线性规划问题，无需统一指标的量纲，也无需给定或者计算投入产出的权值，而是通过最优化过程来确定权重，从而使对决策单元的评价更为客观。对建筑设计企业进行评价的问题，很适于数据包络分析法的评价模型。

DEA方法也存在着一些缺点：首先，当决策单元总数与投入产出指标总数接近时，DEA方法所得的技术效率与实际情况偏差较大；其次，DEA方法对技术有效单元无法进行比较；此外，由于未考虑到系统中随机因素的影响，当样本中存在着特殊点时，DEA方法的技术效率结果将受到很大影响。彭晓英等用因子分析法对指标进行筛选和综合，再采用DEA方法进行评价，解决了DEA方法对指标数量限制的问题，并对煤炭资源型城市的生态经济发展进行了评价[3]。

SFA与DEA方法都是前沿效率评价方法，它们都是通过构造生产前沿面来计算技术效率的。与DEA方法相比，SFA方法利用生产函数来构造生产前沿面，并采用技术无效率项的条件期望来作为技术效率，其结果受特殊点的影响较小且

不会出现效率值相同且为1的情况，可靠性、可比性更好[4,5]。SFA方法也有一些缺点，如处理多产出的情况时不如DEA方法方便，需要将多产出合并成一个综合产出；而投入指标过多时，由于指标间的相关关系，也会对结果的可靠性产生影响。周春应等、侯强等分别采用了SFA方法对我国区域经济技术效率和辽宁省城市技术效率进行了评价[6,7]。

1.1.1SFA方法的产生

在经济学中，技术效率的概念应用广泛。Koopmans首先提出了技术效率的概念，他将技术有效定义为：在一定的技术条件下，如果不减少其它产出就不可能增加任何产出，或者不增加其它投入就不可能减少任何投入，则称该投入产出为技术有效的[104]。Farrell首次提出了技术效率的前沿测定方法，并得到了理论界的广泛认同，成为了效率测度的基础[105]。

在实际应用中，前沿面是需要确定的。其确定方法主要两种：一种是通过计量模型对前沿生产函数的参数进行统计估计，并在此基础上，对技术效率进行测定，这种方法被称为效率评价的“统计方法”或“参数方法”；另一种是通过求解数学中的线性规划来确定生产前沿面，并进行技术效率的测定，这种方法被称为“数学规划方法”或“非参数方法”。参数方法的特点是通过确定前沿生产函数的参数来确定生产前沿面，针对不同研究对象所确定的生产函数也各不相同，技术效率的测度具有一定的针对性，而非参数方法只需通过求解线性规划来确定生产前沿面，方法简单易行，应用广泛。

参数方法依赖于生产函数的选择，常用的生产函数有Cobb-Douglas生产函数、Translog生产函数等。参数方法的发展经历了两个阶段：确定型前沿模型和随机型前沿模型。Aigner等、Afriat分别提出了各自的确定型前沿模型，在不考虑随机因素影响的情况下求解前沿生产函数[106,107]。但是，由于确定型前沿模型把所有可能产生影响的随机因素都作为技术无效率来进行测定，这使得其技术效率测定结果与实际的效率水平有一定的偏差。为了消除确定型前沿模型的这一缺陷，Meeusen和Vanden Broeck，Aigner、Lovell和Schmidt和Battese和Corra

提出了随机前沿模型(即SFA方法)，对模型中的误差项进行了区分，提高了技术效率测定的精确性[108-110]。

1.1.2 SFA 方法简介

Meeusen 和Vanden Broeck ，Aigner 、Lovell 和Schmidt 和Battese 和Corra 首次提出了随机前沿方法(Stochastic Frontier Approach ，简称SFA)，它是一种技术效率理论的参数方法。

1．SFA 模型

文献[108-110]中提出的SFA 模型如下所示：

(,)exp()exp()i i i i Y f x v u β=-，1,...,i N = (4-1)

其中，i Y 表示产出，i x 表示投入，β为模型参数。在他们提出的模型中，将随机扰动i ε分为两部分：一部分用于表示统计误差，又被称为随机误差项，用i v 来表示；另一部分用于表示技术的无效率，又被称为非负误差项，用i u 来表示。

当模型的生产函数选择Cobb-Douglas 生产函数时，式(4-1)可写成下面的线性形式：

0ln ln i j ij i i j

Y x v u ββ=++-∑，1,...,i N = (4-2)

模型有如下假设：

(1)随机误差项2(0,)i v v iidN σ:，主要是由不可控因素引起，如自然灾害、天气因素等等。

(2)非负误差项2(0,)i u u iidN σ+:，取截断正态分布(截去<0的部分)，且有i u 、i v 相互独立。

(3)i u 、i v 与解释变量i x 相互独立。

Battese 和Coelli 在前人研究的基础上进行了改进，引入了时间的概念，使SFA 模型可以对面板数据进行效率评价[15]。具体模型如下：

(,)exp()exp()it it it it Y f x v u β=-，1,...i N =，1,...t T = (4-3)

在式(4-3)中，it Y 是第i 个决策单元的t 时期产出，it x 是第i 个决策单元的t 时期的全部投入，β为模型参数，it v 为随机误差项，exp(())it i u u t T η=--为非负误差项，η为被估计的参数。

图4-1 SFA 模型的技术效率

图4-1以Cobb-Douglas 生产函数为例，显示了SFA 模型技术效率测度的优点。图中，由Cobb-Douglas 生产函数确定的生产前沿面为：01ln ln i i q x ββ=+，而基于这个确定生产前沿面的随机前沿模型为：01ln ln i i i i q x v u ββ=++-，也可以表示为：01exp(ln )i i i i q x v u ββ=++-。A 、B 两点分别表示随机影响为正或为负的情况：A 点表示随机影响为正，则随机误差项A v 为正数，生产前沿面上移到*

01exp(ln )A A A q x v ββ=++，样本的技术效率为

01*01exp(ln )exp(ln )

A A A A A A A A x v u q TE q x v ββββ++-==++，

B 点表示随机影响为负，则随机误差项B v 为负数，生产前沿面下移到*01exp(ln )B

B B q x v ββ=++，样本的技术效率为01*01exp(ln )exp(ln )

B B B B B B B B x v u q TE q x v ββββ++-==++。 2．SFA 效率的计算

对于式(4-1)，我们可以将SFA 技术效率定义如下：

exp()(,)exp()

i i i i i Y TE U f x V β=-= (4-4)

所以，在i U 的分布已知的情况下，我们可以计算出技术效率的平均值

[exp()]i TE E U =-，但是，通过该方法若想计算出各样本点的技术效率值却有些困难。因为我们可以根据样本点的观测值得出模型中参数的估计值，并根据这些估计值求出残差i ε，但是，我们无法计算出每个i U 和i V 的估计值。

为了能够计算出每个样本点的技术效率，文献[16]将技术效率定义为

exp[()]i i i TE E U ε=-，该方法被称为JLMS 技术，他们分别就半正态分布和指数分布推导了()i i E U ε的表达式，得出了技术效率值，解决了技术效率计算的问题。

SFA 方法通过极大似然法估计出各个参数值，然后用技术无效率项的条件期望作为技术效率值。与DEA 方法相比，其结果一般不会有效率值相同并且为1的情况，并且SFA 方法充分利用了每个样本的信息并且计算结果稳定，受特殊点影响较小，具有可比性强、可靠性高的优点。

1.2 因子分析法

1.2.1 因子分析法简介

因子分析是一种比较实用的多元统计方法，它是主成分分析法的推广。因子分析法的作用是将相关性较高、关系复杂的指标变量综合成数量较少、关系简单的综合指标(在因子分析中被称为因子)，并展现各因子与初始变量之间的关系。换言之，因子分析就是一种应用于存在复杂的相关关系的指标体系中，研究或探寻不能直接观察到，但对所观测变量起到支配或概括性作用的隐藏因子的多元统计分析方法[17]。

一个指标体系中的每个变量的形成都是有其原因的，各个变量之间的共同原因被称为公共因子，而每个变量又存在着产生其特性的原因，被称为特殊因子。因子分析就是根据样本的数据资料，将影响每一个原始变量的公共因子和特殊因子采用线性的方式来进行表达，以达到合理解释原始变量的相关性并降低维数的目的。在采用因子分析方法时，一般使公共因子尽可能少且概括性高，并且尽可能使其具有一定专业意义，公共因子共同作用于每个变量，而特殊因子只作用于特定的变量。

1.2.2 因子分析的数学模型及计算方法

1．因子分析的数学模型

假设有p 个观测变量，可以用m

111112211

221122222

1122n n n n q q q qn n q X a F a F a F X a F a F a F X a F a F a F εεε=++++=++++=++++L L M

L (4-5)

式(4-5)中，i X 为观测变量，j F 为公共因子，

i ε为特殊因子，ij a 是因子系数(又称为因子载荷)，而由因子载荷ij a 构成的矩阵A 被称为因子载荷矩阵。因子分析

模型中，假设初始变量i X 、公共因子j F 和特殊因子i ε均为标准化变量(即平均值

为0，方差为1)，特殊因子i ε服从20)(1,2,...,)i N

i q σ=（，，并且与j F 之间不相关。

因子载荷矩阵具有下面几个统计特征和意义：

(1)因子载荷ij a 的意义

由于初始变量、公共因子和特殊因子均为标准化变量，且各因子互不相关，通过研究可以得出，因子载荷ij a 实际上是变量i X 与公共因子j F 的相关性度量。且有1ij a ≤，其绝对值越大，表明变量i X 与公共因子j F 越相关，j F 对i X 的影响也就越大。

(2)公共因子对变量i X 的解释程度i k

在因子分析模型中，变量i X 被公共因子所解释的方差是因子载荷矩阵第i 行元素的平方和，记为：

221(1,2,...,)n i

ij j k a i q ===∑

(4-6)

而变量i X 的方差为：

2

2

11()()...()()i i in n i D X a D F a D F D ε=+++ (4-7)

由于变量i X 与公共因子j F 均为标准化变量，则有

222211n

ij

i i i j a k σσ==+=+∑ (4-8)

由式(4-8)我们可以看出，初始变量的方差分为两部分：一部分是由公共因子进行解释，一部分是由特殊因子进行解释。而2i k 体现了全部公共因子对变量i X 的解释程度，i k 越接近1，说明变量i 几乎全部的信息都被所选择的公共因子所解

释，因此，i k 被称为公共因子对变量i X 的解释程度。2i σ为特殊因子i ε的方差，2i σ越小，表明变量i 损失的信息越少。

(3)公共因子方差贡献的意义

公共因子j F 的方差贡献是因子载荷矩阵中第j 列元素的平方之和。记为：

21q

j ij

i T a ==∑ (4-9)

它反映了公共因子j F 对初始指标体系中的全部变量的解释能力。该值越大，

说明公共因子j 的重要程度越高。

2．因子分析的计算

(1)因子载荷矩阵的估计方法

采用因子分析方法时，首先要根据样本数据来估计因子载荷矩阵A ，相应的估计方法有主成分分析、极大似然估计法、主轴因子法、最小二乘法和广义最小二乘法等。目前，最为常用的是主成分分析，本章也采用主成分分析进行因子载荷矩阵估计。具体方法如下：

首先假设主成分分析的数学模型为1122...T i i i iq q i Q u X u X u X u X =+++=，(1,2,...,)i q =。然后计算样本数据的协方差矩阵S 和S 的特征值，并对其按从大到小的顺序排序，即求出120q λλλ≥≥≥>L 及对应的单位正交特征向量12,,...,q u u u 。接下来，通过计算T i i Q u X =求出模型的主成分。按照因子分析尽量减少变量个数的目的，公共因子个数一般应小于变量个数(即n

因子载荷矩阵A 的第j

j ，所以，因子载荷矩阵A 的样本估计量为：

)

1q A ∧= (4-10) 在实际情况中，所选取的公共因子组合一般需要满足总贡献率达到85%以上的条件，所选取得公共因子个数也由这一条件来决定。

(2)因子旋转

在一般情况下，通过对因子载荷矩阵估计所得到的初始因子载荷矩阵的公共因子与初始变量之间的关系不够明确，无法对公共因子的性质进行解释。为方便因子分析在实际问题中的应用，就需要对因子载荷矩阵进行旋转。

旋转的方法主要分为正交旋转和斜交旋转，它们都有其各自的特点。正交旋转可以保持初始解中因子的相关关系，而斜交旋转能够根据隐藏因子之间的联系最大程度的反映现实状况，本章采用方差最大正交旋转法来进行因子旋转。

方差最大正交旋转法是从初始因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载荷的方差最大，既使各个因子载荷值尽可能向0或1这两个极值转化。这样就可以较容易地说明某公共因子主要代表了哪些变量的信息，也就容易解释公共因子的意义。

(3)因子得分

因子分析应用到综合评价方面，就需要得到最终的得分，而因子分析是将变量表示为公共因子的线性组合，所以要将这些公共因子应用到综合评价方面，就需要我们对公共因子进行测度，即给出公共因子的值。为此，我们需要将公共因子反过来表示为变量的线性组合。但是，因为n q ?阶因子载荷矩阵A 是不可逆的，所以，公共因子不能准确地表示为变量的线性组合。因此，因子得分需要进行估计。

假设公共因子由变量表示的线性组合如下：

11j j jq q F X X αα=++L (1,...,)j n = (4-11)

我们将式(4-11)称为因子得分函数。ji α为因子的得分系数。

在使用因子分析法进行综合评价时，有时还需要得出综合得分，这时，将各因子得分与其方差贡献比率的乘积求和，可以得到因子分析的综合评分，如式(4-12)所示：

1111,...,n n n n j j

j j T T F F F T

T ===++

∑∑ (4-12)