结构力学力法

第七章力法

§7-1 超静定结构概述

1. 超静定结构基本特性

(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系

(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组

(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。

2. 超静定结构类型

图7.1

3. 求解原理

(1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。

(2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。

(3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。

4. 基本方法

力法：以多余约束力作为求解的基本未知量

位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量

§7-2 超静定次数的确定

超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。

确定方法：超静定结构

去掉多余约约束静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。

强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。

图7.2

图7.3

图7.4

图7.5

图7.6

§7-3 力法基本概念

下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。

图7.7

(1) 一次超静定，去掉支座B ，得到力法基本未知量与基本结构； (2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X 1共同作用下，?1=0

(3) 由叠加原理，有，011111111=+=+=P P X ?δ???，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。 (4) 柔度系数δ11与自由项?1P 均为力法基本结构上(静定结构)的位移，由图乘法，得

EI l l l l EI 332211311=????=δ, EI

ql l ql l EI P 843213114

21-=???-=?, ql X P 831111=-=δ?

(5) X 1已知，可作出原结构M 图，如图示。

§7-4 力法典型方程

由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面讨论一般情况下力法方程的形式。

图7.8

3次超静定，去掉一个固定支座，得到力法基本结构。当?1=0，?2=0，?3=0时，原结构与基本结构等价。根据叠加原理，得到力法典型方程，如下

011331221111=+++=P X X δX Δ?δδ，注意，一般为0，有不为0的情况 022*********=+++=P X X δX Δ?δδ 033333223113=+++=P X X δX Δ?δδ

选取不同的力法基本结构，如下图示

图7.9

依叠加原理，得到力法方程如下，

013132121111=+++=P X X X δΔ?δδ 023*********=+++=P X X X δΔ?δδ 033332321313=+++=P X X X δΔ?δδ

形式上完全相同，只是各符号的具体物理含义有所不同。

依此类推，n 次超静定结构，有n 个多余约束力时，力法典型方程为

02211222222121111212111==++++==++++==++++n nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X ??δδδ??δδδ??δδδ

02121212222111211=???

???????????+??????????????????????????nP P P n nn n n n n X X X ???δδδδδδδδδ , 0}{}]{[=+P X ?δ 为线性代数方程组，由位移互等定理，ji ij δδ=。

物理含义：

(1) 力法方程：多余约束处的位移方程，力法方程也叫柔度方程，力法也叫柔度法； (2) 柔度系数ij δ，j 方向单位力引起的i 方向的位移，主系数δii >0，副系数ji ij δδ=。 (3) 自由项iP ?，荷载单独作用在基本结构上，引起的i 方向的位移。

柔度系数与自由项，都是静定结构上的位移，可由上一章的位移计算方法把它们计算出来。

§7-5 力法计算步骤与示例

例7-1 用力法求解图示刚架，并作M 图。

图7.10

力法基本未知量为X 1、X 2，基本结构如图示，列出力法方程

22221211212111=++=++P P X X X X ?δδ?δδ

作出1M 、2M 、M P 图，如图示。下面计算柔度系数与自由项

EI l l l l EI 6322121311=???=δ, EI l l l l EI 4212132112=???==δδ, EI

l l l l EI l l l EI 6521322113

22=????+???=δ

EI Fl l Fl l EI P 9656522212131-=???-=?, EI

Fl l Fl l EI P 162221213

2-=???-=?

力法方程成为(消去公因子l 3/EI )

0965416121=-+F X X , 016

1

654121=-+F X X 解出，F X 1141=, F X 88

3

2-=(与假设方向相反)

计算最后杆端弯矩，如

Fl l F M BC 883883=?=

(上侧拉)，Fl l F l F l F M AB 88

151148832=?-?+?=(左侧拉) 作出最后的M 图，如图示。

结论：(1) 超静定结构荷载作用的内力分布，只与各杆刚度比值有关，与刚度绝对值无关； (2) 刚度大的杆件，内力一般也大；

(3) 可采用不同的力法基本结构，但最后结果一定相同。

图7.11

力法计算步骤

(1) 去掉多余约束，代之以约束反力作为力法基本未知量，得到一个静定结构作为力法的基本结构。 (2) 列出力法典型方程

02211222222121111212111==++++==++++==++++n nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X ??δδδ??δδδ??δδδ

(3) X 1=1单独作用在基本结构上，作出1M 图 X 2=1单独作用在基本结构上，作出2M 图，依此类推 荷载单独作用在基本结构上，作出M P 图 (4) 计算柔度系数与自由项

主系数δii >0，i M 自乘；δij =δji ，i M 与j M 图乘；自由项，?iP ，i M 与M P 图乘。 (5) 将柔度系数与自由项代入力法方程中，求解力法方程，解出多余约束力。 (6) 由叠加原理，P M M X M X M +++= 2211，计算最后的杆端弯矩。 (7) 作出M 图。

例7-2 用力法求解两端固定超静定梁。

图7.12

3次超静定，未知量X 1、X 2、X 3，力法方程为

00333323213123232221211313212111=+++=+++=+++P P P X X X X X X X X X ?δδδ?δδδ?δδδ

03113==δδ, 03223==δδ, 03=P ?, 02333≠==EA

l l EA F N δ, 则力法第3个方程成为，0333=X δ 得，X 3=0. 力法的前两个方程成为，

22221211212111=++=++P P X X X X ?δδ?δδ

EI l l EI δ332121111=????=

, EI l 322=δ, EI

l EI 61

3112112112=

????==δδ EIl b l Fab P 6)(1+-

=?, EIl a l Fab P 6)

(2+-=?, 可解出，221l Fab X =, 222l

b Fa X = 结论：无论是静定梁还是超静定梁，横向荷载作用下，水平反力为0，这是梁受力的特点。 例7-3 用力法求解超静定桁架，已知各杆EA =C 。

图7.13

利用对称性，取对称的基本结构，未知量X 1，力法方程，01111=+P X ?δ， 求δ11时，不要忘记，切开的杆件上轴力为+1，

EA a a EA a a a EA )223(211]2)21(2)22(2)22[(12222211+=??+?-+?-+??

=δ EA

Fa

a F a F a F EA P -=-+--+-?

=]2)2)(21(2)22)(22(2)22)(22[(121? F F X P 172.02

231111=+=-

=δ?(拉力) 按叠加法求出最后轴力值，NP N N F F X F +=11。

例7-4 用力法求解加劲梁(组合结构)，已知，横梁I =1?10-4 m 4, 链杆A =1?10-3m 2，E =C 。 利用对称性。切开竖向链杆，未知量X 1，力法方程为，01111=+P X ?δ。

E

EA EA EI EA F dS EI M N 52

221211110189.1212152)25(12)232(242112?=??+?-??+??????=+=∑∑?δ

E EI EA

F F dS EI M M NP N P 6

111P 10333.5)285(8043212)0(?=

??????=+=∑∑?此项为? 9.4411

11-=-

=δ?P

X kN(压力)。 最后，弯杆P M M X M +=11，链杆NP N N F F X F +=11

讨论：(1) 无链杆时，简支梁，M max =80kN.m 。有链杆时，M max =15.4kN.m ，最大弯矩降低了81%，称为加劲梁；(2) A →0，加劲梁→简支梁。A ↑，M max ↓，∣M min ∣↑，当A=1.7?10-3m 2时，M max =∣M min ∣，最合理；(3) A →∞，刚性支座，相当于两跨连续梁。

图7.14

§7-6 对称性的利用

对称结构，指结构的几何形状与支承条件完全对称，各杆的刚度也要对称。 1. 选取对称的基本结构

图7.15

选取对称的基本结构，在对称轴处切开，有

00333323213123232221211313212111=+++=+++=+++P P P X X X X X X X X X ?δδδ?δδδ?δδδ 作出1M 、1M 、1M 、M P 图，正对称与反对称图形图乘结果为0，有

03113==δδ，03223==δδ

力法方程可分成正对称与反对称两组

22221211212111=++=++P P X X X X ?δδ?δδ，03333=+P X ?δ

? 正对称荷载下，M P 正对称，有，?3P =0，X 3=0.

? 反对称荷载下，M P 反对称，有，?1P =0，?2P =0，X 1=0，X 2=0. 结论：

(1) 对称结构，正对称荷载下，对称轴处切开，反对称的剪力为0，内力与位移分布均正对称； (2) 对称结构，反对称荷载下，对称轴处切开，正对称的弯矩与轴力为0，内力与位移分布均反对称。 例7-5 对称刚架，反对称荷载，各杆EI =C ，试用力法求解。

图7.16

01111=+P X ?δ

EI EI 144

]363)332(3321[1211=

??+?????

=δ EI

EI P 1800

)]332(120321360621[121=

????+????=? 5.1211

11-=-

=δ?P

X (kN), P M M X M +=11作出M 图(反对称)。 2. 对称结构，任意荷载=正对称荷载+反对称荷载

图7.17

3. 取半边结构

(1) 正对称荷载

图7.18

(2) 反对称荷载

图7.19

例7-6 试用力法求解圆环的内力，EI=C。

图7.20

取1/4结构，有，01111=+P X ?δ.

11=M ，设下侧拉为正，?sin 21

FR M P -=，dS=Rd ?。

EI

R

Rd EI

dS EI M 2112/0

2

2111π?δπ=

?=

=?

?

EI

FR Rd FR EI

dS EI M M P P 2)sin 21(11

2

2

/0

11-

=-?=

=?

?π???，πδ?FR X P =-=1111 )2

sin 1

(

11?

π

-

=+=FR M M X M P ，作出圆环的弯矩图，见教材P148，图7-28 例7-7 非对称荷载=正对称荷载+反对称荷载

图7.21

§7-7 超静定结构的位移计算

上一章中所述位移计算原理与方法，同样适用于超静定结构。

图7.22

注意，用力法求解超静定结构时，基本结构在荷载与多余约束力共同作用下，与原超静定结构完全等价。所以，单位力可以加在力法基本结构上。即求超静定结构的位移时，先把多余约束去掉，把超静定结构变成一个静定结构，然后把单位力加在静定结构上。注意，应选取恰当的基本结构。

EI

Fl Fl l l EI u

14083)88321(42113

K -=?????-=?( ↑ )

求超静定结构位移的方法：(1) 解超静定结构，作出M 图；(2) 合理地选取一个基本结构来施加单位力；(3) 图乘法求出位移。

§7-8 最后内力图的校核

结构的内力图是进行结构设计的重要依据，要保证其正确，所以要进行内力图的校核。 1. 平衡条件的校核

结构的整体与任何一个部分均应满足平衡条件，否则，内力图有误。一般校核结点是否满足平衡条件。

2. 位移约束条件校核

图7.23

如校核固定支座处转角位移是否为0，不为0则内力图就不正确。

0)13

2(883211]14211)8815883(21[211=?????+???-??+=

Fl l EI l Fl l Fl Fl EI ?, M 图正确 §7-9 温度变化时超静定结构的计算

对于超静定结构，温度变化会引起结构的附加内力，当然还有位移与变形。

图7.24

X 1、X 2、X 3与温度变化共同作用下，基本结构与原结构等价，有，?1=0, ?2=0, ?3=0。同理，有n 个多余约束时，力法典型方程为

2211222222121111212111==++++==++++==++++n nt n nn n n t n n t n n X X X X X X X X X ??δδδ??δδδ??δδδ

(1) 柔度系数δii 、δij =δji 的计算，与外界因素无关，计算与前面完全相同。 (2) 自由项的计算，?it 为温度变化引起的基本结构沿X i 方向的位移，

∑

∑+=i

N i

M F it h

t

t ω?αωα?

解出多余约束力后，即可作出原结构的内力图。

位移计算

温度变化单独作用在基本结构上 + X 1、X 2、X 3单独作用在基本结构上→原结构 (1) 温度变化单独作用在基本结构上，产生的位移为(单位力可加在基本结构上)

∑

∑+=Kt h

t

t N

ω?αωα?

(2) X 1、X 2、X 3单独作用在基本结构上，产生的位移为M 图与K M 图图乘，即，∑?dS EI

M

M K 。 两部分叠加起来，得到温度变化时，超静定结构的位移计算公式为

∑?

∑

∑++=dS EI

M

M h

t

t K M F Kt N

ω?αωα? 例7-8 作图示刚架M 图，并求横梁中点K 的竖向位移，已知，EI=C ，材料结膨胀系数为α，横截面对称于形心轴，h =l/10。

图7.25

01111=+t X ?δ, EI l l l l l l EI 35])3221(2[13

11=??+????=δ, C t t t o 302

21=+=, C t t t o 1012=-=?,

l l l l l h l h

t

t M F t N αααω?αωα?230]2

1

2[10

30)1(1

1

1-=?-???-?+

???-=+=∑

∑ 21111138l

EI

X t αδ?=-

=, 11M X M =, 作出M 图。 求?Ky ，单位力加在基本结构上，

)

(75.34)4

21(1030)21(2138)421(1↑-=???+???-+???-=++=∑?

∑

∑l l l h l l EI l l EI dS EI

M

M h t

t K M F Ky K

NK

ααααω?αωα?

§7-10 支座移动时超静定结构的计算

超静定结构支座移动时，产生附加内力，当然还产生位移与变形。

多余约束力 + 支座移动 作用在基本结构上 → 原结构

01=?, ??-=2, a -=3?

图7.26

力法典型方程为

a

X X X X X X X X X ==+++-==+++==+++3333323213122323222121113132121110??δδδ???δδδ??δδδ??? 柔度系数与外界因素无关，计算与前面相同。

自由项?i ?为支座移动b 单独作用在基本结构上，引起的沿X i 方向的位移，计算公式为

∑?-=i Ri i c F ??

如图示，有，l b =

??1, l

b

-=??2, 03=?? 解出多余约束力X 1、X 2、X 3，可作出M 图。 位移计算

注意，多余约束力X 1、X 2、X 3，与支座移动b 共同作用下，与原结构等价

][∑∑?

-+=i Ri K K c F dS EI

M

M ? 第1项为多余约束力X 1、X 2、X 3作用在基本结构上，产生的位移；第2项为基本结构上支座移动b 产生的位移。

例7-9 两端固定梁，A 端转动角度?，试用力法求解。

图7.27

??δδ?=++1212111X X ，因?与X 1方向一致，故为正。

02222112=++??δδX X EI l l EI 313212112211=?????=

=δδ, EI

l

l EI 613112112112-

=?????-==δδ

, 基本结构，无支座移动，故，?1?=0, ?2?=0。

解出，?l EI X 41=

，?l

EI

X 22= 定义杆件的线刚度i 为，l EI i /=，则，?i X 41=，?i X 22=，这个结果，位移法中要经常用到。 例7-10 两跨连续梁，中间支座为弹性支座，310l

EI

k =，EI=C ，试用力法求解，作出M 图，并求D 点竖向位移。

图7.28

选取基本结构(一)，有，k

X X P 1

1111-

=+?δ 计算较麻烦，主要是图乘运算时很麻烦，具体求解过程与结果见教材P157。

对于连续梁结构，一般应选基本结构(二)，有

01111=+P X ?δ

EI

l

k l EI l k l l l EI c F M M R 1516432)22(1321211221111=

+=??--??????

=?-?=∑δ EI ql k q EI ql k ql l ql l EI c F M M R P P 3

32116072121)2(12183212-=-=?-??????=?-?=∑?

ql X P 64

7

1111=-

=δ? EI

ql k ql l ql l ql l l EI c F M M R D Dy

4

223072181)322521(]2)485(8232)64721(421[1=?--?????+????=?-?=∑?

§7-11 用弹性中心法计算无铰拱

§7-12 两铰拱与系杆拱

（自学）

§7-13 超静定结构的特性

1. 产生内力的原因

静定结构：荷载为唯一原因

超静定结构：荷载，支座移动，温度变化，材料收缩，制造误差等。

2. 静力解答性质

静定结构：唯一性

超静定结构：无穷多组解

3. 安全性

多余约束破坏后，仍为几何不变体系，安全性好。

4. 因有多余约束，超静定结构一般比相应的静定结构刚度大，内力分布较均匀，变形小。

图7.29

第七章完