概率论与数理统计答案(4)

习题四

1.设随机变量X 的分布律为

求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111

()(1)012;82842

E X =-?

+?+?+?= (2) 22

22211115()(1)012;82844

E X =-?+?+?+?=

(3) 1

(23)2()32342

E X E X +=+=?+=

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =?

+?+?+?+?+?

0.501,= 5

2

()[

()]i

i

i D X x E X P ==

-∑

222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0

0.432.

=-?+-?++-?=

3.设随机变量

且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,

又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,

2222

12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……

由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===

4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？

【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则

(){|}{}N

k P A P A X k P X k ===∑全概率公式

1{}{}

1().N

N

k k k P X k kP X k N N

n E X N N

=====

===∑∑

5.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=??

?

??≤≤-<≤.,0,21,2,

10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）. 【解】1

2

2

1

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞

-∞

=

=+-?

??

2

1

3

32011 1.33x x x ??

??=+-=???????

?

1

2

2

2

3

20

1

7

()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞

-∞

==+-=

?

?? 故 2

2

1()()[()].6

D X

E X E X =-=

6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .

【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+=

(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立

1184568.=?-?= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），

D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.

E X Y E X E Y -=-=?-?=

(2) 2

2

(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=??

?<<<<.,

0,

0,10,其他x y x k

试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因

1

1

(,)d d d d 1,2

x

f x y x y x k y k +∞+∞

-∞

-∞

==

=??

??故k =2 1

()(,)d d d 2d 0.25x

E XY xyf x y x y x x y y +∞

+∞

-∞

-∞

===?

?

??.

9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f X （x ）=???≤≤;,

0,

10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.

y y --?>?

?其他

求E （XY ）.

【解】方法一：先求X 与Y 的均值

1

2

()2d ,3

E X x x x ==

? 5

(5)5

()e d

5

e d e d 51 6.

z y y z

z

E Y y y z z

z +∞

+∞+∞=-----=

+=+=?

??

令 由X 与Y 的独立性，得

2

()()()6 4.3

E XY E X E Y ==?=

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为

(5)2e ,01,5,

(,)()()0,

,y X Y x x y f x y f x f y --?≤≤>==?

?其他 于是

1

1

(5)

2

(5)5

5

2

()2e

d d 2d

e d 6 4.3

y y E XY xy x x y x x

y y +∞

+∞

----===?=?

?

??

10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为

f X （x ）=??

?≤>-;0,

0,

0,

22x x x e f Y （y ）=???≤>-.

0,

0,

0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200

()()d 2e d [e ]

e d x

x x X X xf x x x x x x +∞

+∞

+∞

--+∞

-∞==-?

?

?

20

1

e d .2x x +∞

-==?

40

1()()d 4e d y .

4

y

Y E Y y f y y

y +∞

+∞

--∞=

=?

?

2

2

242021()()d 4e d .48

y Y E Y y f y y y y +∞

+∞

--∞=

==

=??

从而(1)113

()()().244

E X Y E X E Y +=+=+=

(2)22

115(23)2()3()23288

E X Y E X E Y -=-=?

-?= 11.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=????

?<≥-.

0,

0,

0,

2

2x x cx x

k

e

求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由

22

2

()d e

d 12k x c

f x x cx x k

+∞

+∞

--∞

==

=?

?得22c k =. (2) 22

2

()()d()2e

d k x E X xf x x x k x x +∞

+∞

--∞

=

=?

?

22

2

20

2e d k x k

x x +∞

-==

?

(3) 22

2

22220

1()()d()2e .k

x

E X x f x x x k x k

+∞

+∞

--∞

==?

?

故

2

222214π

()()[()].24D X E X E X k k k

?-=-=-= ?? 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取

出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，

3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

9{0}

0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==?= 329{2}0.041,121110P X ==??= 3219{3}0.005.1211109P X ==???= 于是，得到X 的概率分布表如下：

由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =?+?+?+?=

222222

2

2

()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.

E X D X E X E X =?+?+?+?==

-=-=

13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为

f （x ）=???

??≤>-.0,

0,0,414x x x

e

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，

工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元

/4

1/4

1

1

{100}{1}e d e

4

x P Y P X x +∞

--

==

≥==?

1/4

{200}{1}1e

.

P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=?+-?-=-= (元).

14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，

n ，记

∑==n i i S X n X 12,1，S 2

=∑=--n i i X X n 1

2)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n

2

σ；

（2） 验证S 2

=)(111

22

∑=--n

i i X n X n ；

（3） 验证E （S 2）=σ2.

【证】(1) 11

111

11()()().n n

n i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===??===== ???∑∑∑

22

111

11

1()()n n

n

i i i i

i i i D X D X D X X DX

n n

n ===??== ???∑∑∑之间相互独立

22

21.n n n

σσ==

(2) 因

2

2

2

2

21

1

1

1

()(2)2n

n

n

n

i

i

i i

i i i i i X

X X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑

2

2

221

1

2n

n

i

i i i X nX X nX X nX ===

+-=-∑∑

故22

21

1

()1n

i i S X nX n ==--∑.

(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222

()()().i i i E X D X EX u σ=+=+ 同理因2

(),()E X u D X n

σ==,故2

2

2()E X u n

σ=

+.

从而

222

2

21111()()[()()]11n n

i i i i E s E X nX E X nE X n n ==??=-=-??--??∑∑

221

222221[()()]11().

1

n

i i E X nE X n n u n u n n σσσ==--????=

+-+=?? ?-???

?∑

15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,

计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3

） 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=?+?--?=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=22

1,1,

π0,

.x y ?+≤????其他

试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.

221

1

()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞

+∞

-∞

-∞

+≤==

?

?

?? 2π1

00

1=cos d d 0.πr r r θθ=??

同理E (Y )=0. 而 C o v (,)

[()][()](,X Y x E x y E Y f x y x y

+∞+∞-∞

-∞

=--??

222π12

001

11d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+

≤===????, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1

时，1()

X f x y 当|y |≤1

时，1()

Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠

故X 和Y 不是相互独立的.

17.

验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.

【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的

分布律，其分布律如下表

由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0. 从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331

{1}{1}{1,1}888

P X P Y P X Y =-=-=

?≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.

18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均

匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 【解】如图，S D =

1

2

，故（X ，Y ）的概率密度为

题18图

2,(,),

(,)0,x y D f x y ∈?=?

?

其他.

()(,)d d D

E X xf x y x y =??11001

d 2d 3x x x y -==??

22

()(,)d d D

E X x f x y x y =??1

120

1d 2d 6

x

x x y -==

??

从而2

2

2

111

()()[()].6318

D X

E X E X ??=-=-= ???

同理11(),().318

E Y D Y =

= 而 110

1

()(,)d d 2d d d 2d .12

x

D

D

E XY xyf x y x y xy x y x xy y -====

??????

所以

1111Cov(,)()()()123336

X Y E XY E X E Y =-=

-?=-. 从而

112)()

XY D Y ρ-

=

=

=-

19.设（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=1

ππsin(),0,0,

2220.x y x y ,

?+≤≤≤≤????其他

求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2

π/2

1π()(,)d d d sin()d .24

E X xf x y x y x x

x y y +∞

+∞

-∞

-∞

=

=+=??

?

?

π

π

22

2

220

1ππ()d sin()d 2.282

E X x x x y y =

+=+-?

?

从而

22

2

ππ()()[()] 2.162

D X

E X E X =-=+-

同理 2πππ

(),() 2.4162

E Y D Y ==

+- 又 π/2

π/2

π

()d sin()d d 1,2

E XY x xy x y x y =

+=-?

?

故 2

πππ

π4C o v (,)()()()1.

244

4X Y E X Y E X E Y -???

?=-=--?

=- ? ?????

2

22222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32)()

2162

XY D Y ρ-??- ?--+??=

==-=-+-+-+- 20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为??

?

???4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关

系数.

【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.

从而

12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+?-?==-=+-=?+-?=

12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--

2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)

2()5Cov(,)2()215124 5.

X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=?-?+?=

故

12

2)()Z Z D Z ρ=

==

21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：

［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.

这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz ）不等式. 【证】令2

(){[]},.g t E V tW t R =+∈

显然

22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++

2

2

2

[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++?∈

可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即2

2

2

0[2()]4()()E VW E W E V ≥?=- 2

2

2

4{[()]()()}.E VW E V E W =-

故2

2

2

[()]()()}.E VW E V E W ≤

22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现

故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.

【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间

X ~E (λ),E (X )=

1

λ

=5.

依题意Y =min(X ,2).

对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.

对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以

F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.

23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装

有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为

333

36

C C {}C k k

P Z k -==

, 0,1,2,3.k =

因此，()0123.202020202

E Z =?+?+?+?= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有

3

(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑

191921310.202062062064

=

?+?+?+?= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或

大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系

T =??

?

??>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,

1X X X 若若若 问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->

{10}20{1012}5{12(10)20[(12)(10)]5[1(12

)]25(1

2)21(10) 5.

P X u u P u X u u P X u u

u u u u u u =--<-+-≤-≤--->

-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--

故

2/2d ()25(12)(1)21(10)(1)0(()),d x E T u u x u ???-=-?---?-= 令

这里

得 22(12)/2

(10)/2

25e 21e

u u ----

=

两边取对数有

2211

ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--

解得 1251

11ln

11ln1.1910.91282212

u =-=-≈(毫米

由此可得，当u =10.9毫米时，平均利润最大.

25.设随机变量X 的概率密度为

f (x )=?????≤≤.,

0,0,2

cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望.

（2002研考）

【解】令 π1,,3

(1,2,3,4)π0,3i X Y i ?

>??==?

?≤??

X .

则4

1

~(4,)i i Y Y B p ==

∑.因为

ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11

{}cos d 3222

x P X x ≤==?,

所以111

(),(),()42,242

i i E Y D Y E Y ===?=

2211

()41()()22

D Y

E Y EY =??==-,

从而222

()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=

26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首先

开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t )，数学期望E （T ）及方差D （T ）. 【解】由题意知：

55e ,0,()0,

0t i t f t t -?≥=?

因T 1,T 2独立，所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ).

当t <0时，f T (t )=0;

当t ≥0时，利用卷积公式得

55()5120

()()()d 5e 5e d 25e t

x t x t T f t f x f t x x x t +∞

-----∞

=-==?

?

故得

525e ,0,

()0,

0.t T t t f t t -?≥=?

15,D (T i )=1

25i =1,2)

因此，有E (T )=E (T 1+T 2)=2

5

.

又因T 1,T 2独立，所以D （T ）=D （T 1+T 2）=

225

. 27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变

量|X -Y |的方差.

【解】设Z =X -Y

，由于22~0,,~0,,X N Y N ????

? ? ? ?????

且X 和Y 相互独立，故Z ~N （0，1）.

因

22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-

22()[()],E Z E Z =-

而

22/2

()()1,(||)||

d z E Z D Z E Z z z +∞

--∞

===?

2/20e d z z z +∞-=

= 所以 2

(||)1π

D X Y -=-

. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0

一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求E （X ）和D （X ）.

【解】记q =1 -p ,X 的概率分布为P {X =i }=q i -1p ,i =1,2,…，

故1

2

111

()().1(1)i i

i i q p E X iq p p q p q q p ∞

∞

-=='??'===== ?--??

∑∑ 又2

21

2

1

11

2

1

()()i i i i i i E X i q

p i i q p iq p ∞

∞∞

---====

=-+∑∑∑

223221

1()12112.(1)i

i q pq q pq p q p pq q p q p p p

∞

=''??''=+=+

?-??+-=+==-∑

所以 22

222211()()[()].p p

D X

E X E X p p p

--=-=

-=

题29图

29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上

服从均匀分布.（如图），试求随机变量U =X +Y 的方差. 【解】D (U )=D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y )

=D (X )+D (Y )+2[E (XY ) -E (X )·E (Y )]. 由条件知X 和Y 的联合密度为

2,(,),

(,)0,0.

x y G f x y t ∈?=?

从而1

1()(,)d 2d 2.X x

f x f x y y y x +∞

-∞

-===?

?

因此

11122300031

()()d 2d ,()2d ,22

X E X xf x x x x E X x x =====???

22141

()()[()].2918

D X

E X E X =-=-=

同理可得 31

(),().218

E Y D Y ==

11

15

()2d d 2d d ,12

x

G

E XY xy x y x x y y -===

????

541Cov(,)()()(),12936

X Y E XY E X E Y =-=

-=- 于是 1121()().18183618

D U D X Y =+=

+-= 30.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量

X =??

?->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =???>≤-.

1,11,1U ，

U 若若

试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）.

【解】（1） 为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.

P {x = -1,Y = -1}=P {U ≤ -1,U ≤1} 1

12d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-=

==??

P {X = -1,Y =1}=P {U ≤ -1,U >1}=P {?}=0, P {X =1,Y = -1}=P {U > -1,U ≤1}

1

1d 1{11}44

x P U -=-<≤==?

21

d 1

{1,1}{1,1}{1}44

x P X Y P U U P U ===>->=>=?

. 故得X 与Y 的联合概率分布为

(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110

424X Y ----??

??????

. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及（X +Y ）2的概率分布相应

为

20

2~11

142

4X Y -????+?

???, 2

4()~1122X Y ??

??+????

. 从而11

()(2)20,44E X Y +=-?

+?= 2

11[()]042,22

E X Y +=?+?=

所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x

-e

2

1

，（ -∞

(1) 求E （X ）及D （X ）；

（2） 求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关？ （3） 问X 与|X |是否相互独立，为什么？

【解】(1)||

1()e d 0.2x E X x

x +∞

--∞=

=? 2||

201()(0)

e d 0e d 2.2

x x D X x x x x +∞+∞

---∞=-==?? (2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-= ||

1||

e d 0,2

x x x x +∞

--∞

=

=?

所以X 与|X |互不相关.

(3) 为判断|X |与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域

-∞

0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=

所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<

故由

00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<

得出X 与|X |不相互独立.

32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数

ρXY = -1/2，设Z =

2

3Y

X +. （1） 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）； （2） 求X 与Z 的相关系数ρXZ ；

（3） 问X 与Z 是否相互独立，为什么？ 【解】(1) 1

().323X Y E Z E ??=+=

??

? ()2Cov ,3232X

Y X Y D Z D D ??????=++

? ? ???????

1111

9162Cov(,),9432

X Y =

?+?+?? 而

1Cov(,))

()3462XY X Y D Y ρ??

==-??=- ???

所以 1

()146 3.3

D Z =+-?= (2) 因()()11

Cov(,)Cov ,

Cov ,Cov ,3232

X Y X Z X X X X Y ??=+=+ ??? 119

()(6)3=0,323

D X =

+?-=- 所以

0.)()

XZ D Z ρ=

=

(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3

Z N X N ?? ???

，所以X 与Z 也相互独立.

33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系

数XY ρ.

【解】由条件知X +Y =n ，则有D （X +Y ）=D （n ）=0.

再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q )，且p =q =

1

2

, 从而有 ()()4

n

D X npq D Y ==

=

所以

0()()()2()XY D X Y D X D Y D Y ρ=+=++

2,24

XY n n

ρ=

+ 故XY ρ= -1. 34.

试求X 和Y 【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2，而XY 的概率分布为

所以E （XY ）= -

Cov(X ,Y )=E (XY ) -E (X )·E (Y )=0.12 -

从而

XY

ρ

35.对于任意两事件A 和B ，0

ρ=

())

()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ?-为事件A 和B 的相关系数.试证：

（1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0.

而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为

1,,0,A X A ??=???若发生若发生; 1,,0,B Y B ??=???若发生若发生.

由条件知，X 和Y 都服从0 -1分布，即

01~1()()X P A P A ??

-? 0

1~1()()Y P B P B ??-?

从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),

D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ),

Cov(X ,Y )=P (AB ) -P (A )·P (B )

所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为

f X (x )=????

?????<≤<<-.,

0,20,4

1

,01,21

其他x x

令Y =X 2，F （x ,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求：

(1) Y 的概率密度f Y (y )； (2) Cov(X ,Y ); (3)1

(,4)2

F -

. 解： (1) Y 的分布函数为

2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.

当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =； 当0＜y ＜1时，

(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤

=<+≤≤=

，

()Y f y =

；

当1≤y <4时，

1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤

=

()Y f y =

；

当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为

1,()04,0,.

Y y f y y <<=≤

(2) 0210111

()()d d d 244

+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=???--, 0222

2210115()()()d d d )246

+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=???--, 02233

310117()()()d d d 248

+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=???--, 故 Cov(X,Y ) =2

()()()3

E XY E X E Y =?-.

(3) 2111

(,4){,4}{,4}222

F P X Y P X X -

=≤-≤=≤-≤ 11

{,22}{2}22

P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-

11

{1}24

P X =-≤≤-=.