概率论试卷及答案一

南京晓庄学院数学师范专业 概率论 课程考试试卷(一)

20 –20 学年度 第 学期 级 共 5 页 教研室主任审核签名： 院（系）主任审核签名： 命题教师： 校对人： 蒋良军 班级 姓名 学号 得分

一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15分）

1. 每次试验失败概率为)10(<

A ．)1(3p -

B ．3)1(p -

C ．3

1p - D ．213)1(p p C -

2. 设离散型随机变量的X 分布律为),2,1()( ===k b k X P k

λ，则λ＝（ ）． A.0>λ的实数 B.1+b C. 1

1

+b D .1

1

-b

3. 设随机变量X 的方差DX 存在，b a ,为常数，则=+)(b aX D （ ）． A.b aDX + B.b DX a +2

C.DX a 2

D.aDX 4. 下列命题不成立的是 ( )．

A. B B A B A =

B. B A B A =

C. (Φ=))(B A AB

D. A B B A ??? 5. 设随机变量的分布密度为,)

1(1

)(2

x x f +=

π则X Y 2=的密度函数为（ ）． A.

)1(12x +π B. )4(22x +π C.)

41(1

2

x +π D.)

4

11(1

2

x +π 二、填空题（本大题共 5题，每题 3分，共 15分）

6. 设3.0)(,1.0)(=?=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 0.2 ．

7. 若连续型随机变量的分布函数??

???><≤<=660010

)(2

x x x Ax x F ，则=A 1/36 ．

8. 设随机变量X 和Y 独立，且)3(~),2,0(~e Y U X ，则=)(XY E 1/3 ． 9. 一均匀骰子重复掷10次，设X 表示3点出现次数，则X 的分布律==)(k X P ．

10. 若随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为22

1, 1

(,)0, x y f x y π?+≤?=???其他

，则随机变

量Y 的边缘分布密度为()Y f y = ． 三、判断题（本大题共 5小题,每小题2分，共 10分）

11. A ，B 为两个随机事件 ，若()()()P AB P A P B =?，则B A ,相互独立． （ y ） 12. 若f x （）

是随机变量X 的概率密度，则()1,()0f f +∞=-∞=． （ x ） 13. 若随机变量X 的概率函数为{}, 12k k P X x p k ===,

, ，则1k

k

p

=∑． （y ）

四、计算题（本大题共 5小题，每题7分，共 35分）

16. 设,A B 为随机事件，()0.5, ()0.4, ()0.6P A P B P A B ===，求：()P A A B ．

17. 在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位

置是等可能的，求任意画的弦的长度大于R 的概率．

18.设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan , F x A B x x =+-∞<<+∞.

求: (1).,A B ，(2).X 落在(1,1)-内的概率，(3).X 的概率密度.

B=1 A=π/2

19. 设随机变量X 与Y 独立，且X 服从指数分布(1)e ，Y 服从指数分布(2)e ，求

Z X Y =+的概率密度．

20. 对某一目标进行射击，直到击中时为止，如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望与方差。

五、应用题（本大题共 2题，每题7分，共 14分）

21. 两台车床加工同样零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，加工出来的零件放一起，且已知第一台加工零件比第二台加工零件多一倍，求：(1). 任意取出的零件是合格品的概率.

(2). 如果取出的零件是废品，求它是第二台加工的概率．

22.设高等数学课的一次统考中全体考生成绩X （百分制）近似服从正态分布。已知全体考生平均成绩为75分，95分以上考生数占总考生数的2.3%，求此次考试的不及

其中Φ(x)是标准正态分布函数。

六、证明题 （本大题共 2题，共 11分） 23. (6分)如果随机变量X 与Y 独立，证明：

()D XY =[][][][][][]22

()()()()()()D X D Y E X D Y E Y D X ++

24.

(5分) 设随机变量X 服从正态分布2

(,)N μσ，证明：X 的线性函数Y a bX =+,

(0)b >也服从正态分布, 22~(,).Y a bX N a b b μσ=++

概率论 课程考试试卷(一)参考答案

一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15分）

答案：1.C; 2.C; 3.C; 4.B; 5.B.

二、填空题（本大题共 5题，每题 3分，共 15分）

答案：6. 0.2; 7. 1/36; 8. 1/3;

9. k

k k C -1010)65()61(; 10. 2

21, 1() 0, Y y y f y π?-≤?=???其他

.

三、判断题（本大题共 5小题,每小题2分，共 10分）

答案：11.√; 12.×; 13. √; 14. √; 15. ×. 四、计算题（本大题共 5小题，每题7分，共 35分）

16.设,A B 为随机事件，()0.5, ()0.4, ()0.6P A P B P A B ===，求：()P A A B ．

解： 由条件概率公式知

()()()

()()

()

P A A B P A P A A B P A B P A B =

=

(2分)

由概率加法公式与乘法公式计算，得：

()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()P A P B P B P A B =+-

0.50.60.60.60.74=+-?= (5分)

所以，0.525

()0.6760.7437

P A A

B =

=≈ (7分) 17. 在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度大于R 的概率．

解： 以圆心为原点，垂直于弦的直径为x 轴如图，平行弦与x 轴的交点x 为样本点．则样本空间 (,)R R Ω=-．记事件A = “弦的长度大于R ”．由于样本点x 对应的弦长为222R x -。则

A 发生22332

2

2(,

)R x R x R R ?->?∈-

(5分)

故任意画的弦的长度大于R 的概率为

()22

P A R =

= (7分) 18.设连续型随机变量X 的分布函数为

()arctan , F x A B x x =+-∞<<+∞.

求:(1). ,A B ，(2). X 落在(1,1)-内的概率，(3). X 的概率密度. 解：(1).

()F x 为分布函数，所以，

0lim ()lim (arctan )2

x x F x A B x A B π

→-∞

→-∞

==+=-

， 1lim ()lim (arctan )2

x x F x A B x A B π

→+∞

→+∞

==+=+

；

即 02

02A B A B ππ?

-=????+=??， 解之得：121A B π?=????=

??

。 (3分)

(2). X 落在(1,1)-内的概率

(11)(1)(1)P X F F -<<=--

11111

(arctan1)(arctan(1)),222

ππ=+-+-= (5分) (3). X 的概率密度

2

111

()()(arctan )2(1)

f x F x x x ππ''==+=+， x -∞<<+∞. (7分) 19. 设随机变量X 与Y 独立，且X 服从指数分布(1)e ，Y 服从指数分布(2)e ，求

Z X Y =+的概率密度．

解: 已知与独立，且密度分别为

, 0;() 0, 0.x X e x f x x -?>=?≤? 22, 0;() 0, 0.

y Y e x f y x -?>=?≤?

所以，Z X Y =+的密度为

()()()d ()d x Z X Y Y f z f x f z x x e f z x x +∞

+∞

--∞

=-=-?

?

()(d )()d t z x

z

t z t z Y Y z

e f t t e f t t =--∞

---∞

===

-=?

?令 (5分)

当0z ≤时，()0Z f z = 当0z >时，

20

()2d 2d 2(1)z

z

t z

t z

t z z Z f z e

e t e

e t e e ------===-??

综上所述，

2(1), 0;

() 0, 0.

z z Z e e z f z z --?->=?

≤? (7分) 20. 对某一目标进行射击，直到击中时为止，如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望与方差。

解：记ξ为射击次数，i A 表示“第i 次击中”，1,2,i =，

显然，12,,

,,n A A A 相互独立，()i P A p =，则ξ的概率函数

1121()(), 1k k k P k P A A A A pq q p ξ--====-，1,2,

k = (2分)

于是，射击次数ξ的数学期望为

1

11

1

1

()()k k k k k E kP k k pq

p k q ξξ∞∞

∞

--======?=?∑∑∑，

1

2

1

1111 ()11(1)

k k

k k k k k x

x x x x ∞

∞

∞-===''????

'?===-= ? ?--????∑∑∑， 211

()(1)E p

q p

ξ∴==-． (4分)

又

2

2

211

1

()()k k k E k P k p k q ξξ∞

∞

-=====?∑∑，

而

2

1

11111()k k

k k k k k k k

x

k x kx x kx ∞

∞

∞∞--====''????'?=== ? ?????∑∑∑∑23

1(1)(1)x x x x '??+== ?--??

， 2

2132

1

12 ()(1)k k q p

E p k q p

q p

ξ∞

-=+-∴=?==-∑． 所以，射击次数ξ的方差[]2

2

222211()()()p p

D E E p p p

ξξξ--=-=

-=。 (7分) 五、应用题（本大题共 2题，每题7分，共 14分）

21. 两台车床加工同样零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，加工出来的零件放一起，且已知第一台加工零件比第二台加工零件多一倍，求：(1). 任意取出的零件是合格品的概率.

(2). 如果取出的零件是废品，求它是第二台加工的概率． 解：设i A = “第i 台车床加工” (1,2i =)，

记B = “取得合格品”，则21A A =，12A A =Ω，已知

121221

(), (), ()0.03, ()0.02,33

P A P A P B A P B A ====

(1). 由全概率公式，取出的零件是合格品的概率

1122()()()()()P B P A P B A P A P B A =+

21 2.920.970.980.973333

=?+?==. (4分) (2). 由贝叶斯公式，取出零件是废品时，它是第二台加工的概率为：

2221122()()()()()()()P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+1

0.0213214

0.030.0233

?==?+?.

或222()()()()P A P B A P A B P B =1

0.021

3 2.92413

?==-. (7分)

22.设高等数学课的一次统考中全体考生成绩X （百分制）近似服从正态分布。已知全体考生平均成绩为75分，95分以上考生数占总考生数的2.3%，求此次考试的不及

格率（60分以下为考试不及格）。附表：

其中Φ(x)是标准正态分布函数。 解：设2

~(,)X N μσ，由已知，

()75, (95) 2.3%0.023E X P X μ==≥==

而

75

20

20

(95)()1(

)X P X P σ

σ

σ

-≥=≥

=-Φ

20

(

)10.0230.977σ

∴Φ=-=

查表得 (2)0.977Φ=，所以，20

2σ

=，10σ=。 (4分)

故此次考试不及格率为

75

(60)(

1.5)( 1.5)10

X P X P -<=<-=Φ- 1(1.5)10.93320.067 6.7%=-Φ=-≈=。 (7分)

六、证明题 （本大题共 2题，共 11分） 23. 如果随机变量X 与Y 独立，证明：

()D XY =[][][][][][]22

()()()()()()D X D Y E X D Y E Y D X ++

证明：由X 与Y 独立，分别计算原式两端，得：

左[]22()()E XY E XY ??=-??[][]22

22()()()()E X E Y E X E Y ????=-???? (2分) 右[][]2222

()()()()E X E X E Y E Y ????=--????[][]222()()()E X E Y E Y ??+-??

[][]22

2()()()E Y E X E X ??+-??

[]2222()()()()E X E Y E X E Y ??????=-??????[][][]222

2()()()()E X E Y E X E Y ??-+?? [][][]2

2

2

2()()()()E X E Y E X E Y ??+-??[][][]2

2

2

2

()()()()E Y E X E Y E X ??+-?? [][]2

2

22

()()()()E X E Y E X E Y ????=-???? (4分)

显然，左=右。证毕 (6分) 24.

设随机变量X 服从正态分布2

(,)N μσ，证明：X 的线性函数Y a bX =+,