概率论与数理统计-章节总结-华南理工大学 (4)

Chap 5 数字特征 5.1 数学期望

1．为什么引进随机变量的数字特征 例5-1 试问哪一位射手水平较高？

虽然有各自的分布律（完整的描述了随机变量），但不是一眼看得出来（不够“集中”地反映它的变化情况）。因此有必要找出一些量来更集中、更概括的描述随机变量，这些变量多是某种平均值。 研究例5-1中平均环数。（加权平均）

甲平均环数：8(0.3)+ 9(0.1) +10(0.6)=9.3

乙平均环数：8(0.2) +9(0.4) +10(0.4)=9.2

2．离散型随机变量的数学期望

（1）设X 是一离散型随机变量，它的分布律为

若级数

i

i

p a 绝对收敛，则把此级数称为X 的数学期望。

记 i i p a EX ∑=

若i i p a ∑发散，则说X 的数学期望不存在。

（绝对收敛的条件是为了数学上的处理方便，也是合理的） （2）X 的函数f (X )的数学期望 如果级数i i

i p a f ∑)(绝对收敛，则有

i i

i p a f X Ef ∑=)()(

例5-2 求二项分布的数学期望 Consider the identity

00()()n

n

n

k k

n k

k k n k k

n

n k k px q C px q

C p q x --==+==∑∑ Regarding ,p q as constants, x as a variable and take differentiation with respect to x , we have

1

1

1()

n

n k k n k k n k np px q kC p q x ---=+=∑. Put 1x =, we get

1n

k k n k n k kC p q np -==∑ But ()k k n k n P X k C p q -==, thus

()()n

n

k k n k

n k k E X kp X k kC p q np -======∑∑.

例5-3 求泊松分布的数学期望 例5-4 博彩者能赢吗？

设想有这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上，然后掷三个骰子，若所压的数字出现i 次( i = 1,2,3),则下注者赢i 元,否则没收1元本金，试问这样的游戏规则对下注者有利吗？

例 新的验血技术能减少化验次数

在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验N 个人的血,可以用两种方法进行.

(i) 将每个人的血分别去验,这就需验N 次.

(ii)按k 个人一组进行分组,把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明k 个人的血都呈阴性反应,这样,k 个人的血就只需验一次.若呈阳性,则再对这k 个人的血液分别进行化验.这样, k 个人的血总共要化验是1k +次.假设每个人化验呈阳性的概率为p ,且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p 较小时,选取适当的k ,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k 取什么值时最适宜.

解 各人的血呈阴性反应的概率为1q p =-.因而k 个人的混合血呈阴性反应的概率为k q ,k 个人的混合血呈阳性反应的概率为

1-k q .

设以k 个人为一组时,组内每人化验的次数为X ,则X 是一个随机变量,其分布律为

11(), ()1.k k k P X q P X q k k

+====-

X 的数学期望为

111

()(1)(1)1.k k k E X q q q k k k

=

++-=-+ N 个人平均需化验的次数为 1

(1)k N q k

-+. 由此可知，只要选择k 使

1

11k q k

-+

<, 则N 个人平均需化验的次数N <.当p 固定时,我们选取k 使得

1

1k L q k

=-+

小于1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法. 例如,0.1p =,则0.9q =,当4k =时, 11k L q k

=-+取到最小值. 此时得到最好的分组方法.若1000N =,此时以4k =分组,则按第二方案平均只需化验

41

1000(10.9 )594()4

-+=次.

这样平均来说,可以减少40%的工作量.

3．连续型随机变量的数学期望

（1）若X 的密度函数是)(x ?，并且?+∞

∞-dx x x )(||?收敛，称

?+∞

∞-=dx x x EX )(?

是X 的数学期望.

（2）)(X f 的数学期望是

?+∞

∞-=dx x x f X Ef )()()(?

例5-6 正态分布2(,)N μσ的数学期望是μ。 （验证）

例3按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立. 其规律为

一旅客8：20解 设旅客的候车时间为X （以分计）. X 的分布律为

在上表中，例如

13

{70}()()(),66

P X P AB P A P B ====?

其中A 为事件“第一班车在8：10到站”，B 为“第二班车在9：30到站”. 候车时间的数学期望为

32132

()10+30+ 50+ 70+ 90=27.2266363636

E X =?????（分）.

例4

某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记

使用寿命为X （以年计），规定：

1X ≤， 一台付款1500元； 12X <≤ ,一台付款2000元；

23X <≤,一台付款2500元；3X >，一台付款3000元.

设寿命X 服从指数分布，概率密度为

10

1, 0 ()100 , 0x

e x

f x x -?>?=???

≤

试求该商店对上述家电收费（Y 元）的数学期望. 解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率，即有

1

/100.10

1{1}d 10.0952,10x P X e x e --==-=?

≤ 2

0.20.310

1

1{12}d 0.086110

x P X e x e e ---<==-=?≤, 3

/10

0.20.321{23}d 0.077910

x P X e x e e ---<==-=?

≤,

0.310

3

1{3}d 0.0740810

x P X e x e ∞

-->===?

. 一台收费Y 的分布律为

得()2732.15E X =,即平均一台收费2732.15元. □ 例5-10

若X 服从[ 0，2π]上的均匀分布，求E （sin X ） //略

补充例

()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布 设,X Y 是两个相互独

立的随机变量,它们的分布函数分别为()X F x 和()Y F y .现在来求

()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布函数.

由于()max ,M X Y =不大于z 等价与X 和Y 不大于z ，故有

{}{},P M z P X z Y z =≤≤≤.

又由于X 和Y 相互独立，得到()max ,M X Y =的分布函数为

(){}{}{}{}max ,F z P M z P X z Y z P X z P Y z ===≤≤≤≤≤

即有

()()()max X Y F z F z F z =.

类似地，可得到()min ,N X Y =的分布函数为

(){}{}{}{}{}min 11,1F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z ==->=->>=->?>≤.

即 ()()()m i n 111X Y F z F z F z =---????????.

//

补充例

有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 (1,2)k X k = 服从同一指数分布,其概率密度为

1, 0 ()0.0 , 0x

e x

f x x θ

θθ-?>?=>???

，

≤，

若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.

解 (1,2)k X k =的分布函数为

1,0,()0,0.

x e x F x x θ-??

->=???≤

由第四章补充例知道：12min(,)N X X =的分布函数为

22min 1, 0()1[1()] 0, 0

x

e x F x F x x θ-??

->=--=???≤

因而N 的概率密度为

2min , 0

()2

0, 0x

e x

f x x θθ-?>?=???

≤ 于是N 的数学期望为

2/min 0

2()()d d 2

x x

E N xf x x e x θθ

θ

∞

∞

--∞

=

==

??

.

作业 P98 第五章 1，2，3

4．二维随机变量（X ，Y ）的数学期望 离散型 j i j i

j

i p b a f Y X Ef ),(),(∑∑=

连续型 设（ X, Y ）的联合密度为),(y x ?

dxdy y x y x f Y X Ef ),(),(),(??

?

+∞∞-+∞∞

-=

例5-11

设（X, Y ）服从区域D 上的均匀分布，求X ，Y 和X 3Y 的数学期望。区域D 是直径为1的上半圆。 *******

5．数学期望的性质 （1）当c 是常数时，E(c )=c (2) E(cX)=cEX (3) E( X +Y )=E X +E Y E(X －Y )=E X －E Y

(4) 当 X 、Y 相互独立时，E( XY )=E X E Y 推广到n 的情形

0, 1,2,,10.1,i i X i i ?==?? 在第站没有人下车，

在第站有人下车，

易知 1210.X X X X =+++ 现在来求()E X .

按题意, 任一旅客在第i 站不下车的概率为10

9

, 因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为(

10

9)20

,在第i 站有人下车的概率为1－

(

10

9)20

，也就是 202099

{0}(),{1}1(),1,2,,10.1010

i i P X P X i ====-=

由此

209

()1(),1,2,10.10

i E X i =-=

进而 1210()()E X E X X X =+++

121020 ()()()

9

10[1()]8.784().

10

E X E X E X =++=-= 次

作业P98 5-5, 5-6, 5-9, 5-13, 5-14

机动 应用例 例5-3 求职面试策略（P96） 采购策略

思考题

如果你能预先知道5周的原料价格，当然是按最低价购买全部原料, 则此时价格的期望值是多少？ //

5．2方差和标准差

1．引例某批灯泡质量（平均寿命与偏离程度）。2．定义DX=E(X–EX)2

公式DX=EX2– (EX)2

3．例5-14（离散，求两点分布的方差）

例5-18（求正态分布的方差）

4．方差的性质

（1）当c为常数时，Dc=0

(2) D (cX)=c2 EX

(3)当X、Y相互独立时，D(X+Y)=DX+DY

D(X－Y)=DX+DY

推广n情形。

（4）DX=0的充要条件是P {X=c}=1

*******

5．3 协方差与相关系数 1. 定义

随机变量X 与Y 的协方差

cov( X , Y )=E(X －E X )(Y －E Y )

显然

cov(X , Y )=cov( Y ，X )

D X = cov(X , X ) , D Y = cov(Y , Y ) 2. 定理1

给定二维随机变量( X, Y)，

（1） 若X ，Y 独立，则cov( X, Y)=0 （2） [cov( X, Y))]2<=DXDY 3. ξ与η的相关系数ηξr

η

ξηξD D r ),cov(=

可见，ξ与η独立，则相关系数ηξr =0，反之不成立。但

当,)X Y （服从二维正态分布时，不相关与当X 和Y 相互独立是等价的. 4. 定理2

作业 第五章 4，5，6，11，13，14 定理3

5．例

设(,)X Y 的分布律为

易知()0,()5/2,()0E X E Y E XY ===， ( 因为j i j i

j

i p b a f Y X Ef ),(),(∑∑=

所以1

111()(2)4(1)1112404444

E XY =-??+-??+??+??=)

于是0XY r =，,X Y 不相关.这表示,X Y 不存在线性关系.但由

{2,1}0{2}{1}P X Y P X P Y =-==≠=-=知,X Y 不是相互独立的.事实上，

X 和Y 具有关系：2,Y X Y =的值完全可由X 的所确定.

协方差具有下述性质:

1Cov(,)Cov(,)aX bY ab X Y =,a b 是常数.

21212Cov( , )Cov( , )Cov( , )X X Y X Y X Y +=+.

设二维随机变量(X, Y)的联合密度为

??

?≤≤≤≤=elsewhere x x y xy y x f ,

010,0,

8),( 试求数学期望EX, EY,方差DX,DY ,协方差cov(X,Y)，相关系数r ，并求D(5X －3Y)

（第2次课 方差性质、协方差、相关系数、有关例子及第六章） 作业：p95： 5-16， 5-17，5-19

chap 6

大数定理和中心极限定理

6．1 大数定理

随机变量的趋势

1．马尔科夫不等式

2．切比雪夫不等式

证我们只就连续型随机变量的情况来证明.设X的概率密度为f x,则有

()

2

2

2

2

221

{}()d ()d ()()d x x x P X f x x f x x x f x x μ

ε

με

μ

σμεμεεε

∞

-∞----=

-=??

?≥≥≥≤

≤.

切比雪夫不等式也可以写成如下的形式：

2

2{}1P X σμεε

-＜≥-. (6.4’)

这个不等式给出了，在随机变量X

的分布未知的情况下事件{}X με-＜ 的概率的下限的估计. 例如，在（6.4’）式中分别取σσε4,3=得到 {3}0.8889 ,P X μσ-＜≥ {4}0.9375 .P X μσ-＜≥

书P99: 若D Y 存在，则

P(ε≥-EY Y ) ≤ D Y /ε2

注意应用期望和方差的性质E(ξ+η)=Eξ+Eη

当ξ、η相互独立时，

D(ξ+η)=Dξ+Dη

D(ξ－η)=Dξ+Dη

3．大数定理(P103定理1)

利用切比雪夫不等式证明。作业P103

1, 2,

4．伯努利大数定理（频率收敛于概率）

（先复习大数定理，利用数学期望和方差的性质和切比雪夫不等式，对定理1（P103）和伯努利大数定理作容易理解的解释：E(ξ+η)=Eξ+Eη

当ξ、η相互独立时，

D(ξ+η)=Dξ+Dη

D(ξ－η)=Dξ+Dη

大数定律

作业讲解

6.2 中心极限定理

用正态分布近似计算概率

换句话说，n 够大时

∑=n

i i

1

ξ

~ N( na , n 2σ)

（标准化后）

∑∑∑===-n

i i n

i n

i i i

D E 1

1

1)

()

(ξξξ

~ N(0,1)

即

σ

ξ

n na

n

i i

∑=-1

~ N(0,1)

例 6-1 若已知a =1,σ 2 = 4,n = 100,求

P(ξ1+ξ2+…+ξ100≤125)

))(),((~1

1

1

∑∑∑===n

i i n i i n

i i

D E N ξξξ

换句话说：(用正态分布近似计算二项概率分布)

?n =ξ1+ξ2+…+ξn

则?n ~B(n , p ), 由定理2

当n →∞ ?n ~N(np , npq )

npq

np

z n -=

? ~ N(0,1)

定理3称为棣莫弗-拉普拉斯定理（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理） 例 6-2 P106

解 设把每日看电影的人排号为1,2,…,1600,且令

??

?==其他

个观众去新影院（若第0

)1600,,2,11 i i i ξ

则有

由于i ξ相互独立，所以),()4/3,1600(~16001

npq np N B i

i ?=

∑=ξ

η

（

n=1600, p=3/4, q= 1/4， np=1200, npq=100×3）

设座位数为m, 依题意，m 满足

1.0)200(≤-≤m P η

)3

101200

)200((

)200(--≤

-=-≤m npq

np

P m P ηη=)3101400(-≤

m z P = 1.0)3

101400

(≤-m φ 查表得，

2816.13

101400-=-m ，解之 m=1377.

修正值问题

用正态分布近似计算二项概率分布 n 很大时不须考虑，n 较小时要考虑。 修正方法：左端减半个单位，右端加半个单位

find probability