2018年湖南省各地市中考二次函数压轴题精编(含解析)

2018年湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编

（地市排序不分先后）

一．解答题（共13小题）

1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；

②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）

（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； 12S S S =34S S S =的周长为10

2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x=3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；

（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．

3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的

两点A（x

1，0），B（x

2

，0），且x

1

＜x

2

，

（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；

（2）若a=15，求c的取值范围；

（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点

E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+1

2a

，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函

数的解析式．

4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y 轴交于点E（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段

AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．

5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．

（1）求抛物线F的解析式；

（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x

1，y

1

）和点B（x

2

，y

2

）（点A

在第二象限），求y

2﹣y

1

的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若m=4

3

，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．

①判断△AA′B的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=1

4

x2上一动点．

（1）若抛物线y=1

4

x2是由抛物线y=

1

4

（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l 于M．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．

8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．

（1）求a值并写出二次函数表达式；

（2）求b值；

（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．

9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．

（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，

使△AMN的面积为△ABC面积的1

3

若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于

A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；

（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．

12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．