2020中考数学压轴题旋转问题带答案

旋转问题（中考高分必备）

考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。

旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

一、直线的旋转

1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4

=

MN，1

=

MA，1

>

MB．以

A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点

，构成△

ABC，设x

AB=．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究：△ABC的最大面积？

2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；

②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；

(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，

根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；

②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，

根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．

（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．

∵∠α=∠ACB=90°，

∴BC‖ED，

∵CE‖AB，

∴四边形EDBC是平行四边形．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，

∴∠A=30度，

∴AB=4，AC=2 ，

∴AO= = ．

在Rt△AOD中，∠A=30°，

∴AD=2，

∴BD=2，

∴BD=BC．

（第1题）

又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形．

3、（2009年北京市）

在ABCD Y 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EF (如图1)

（1）在图1中画图探究：

①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90o 得到线段

EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；

②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

（2）若AD =6,tanB =4

3

,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC V =y ，求y 与x 之间的函数

关系式，并写出自变量x 的取值范围. 提示：（1）运用三角形全等，

（2）按CP=CE=4将x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC 、EF 相等且垂直。 4、（2009 黑龙江大兴安岭）

已知：在ABC ?中，AC BC >，动点D 绕ABC ?的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结

DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．

（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）．

（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜

二、 角的旋转

5、（2009年中山）ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD

，G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13

（2∠ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部

△13

6、（2009襄樊市）如图，在梯形ABCD 中，

24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；

（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =?∠保持不变．设PC x MQ y ==，，

求y 与x 的函数关系式； （3）在（2）中：

①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边

图2 图3 图1 B D

A

D

C

B

P

M

Q

60

形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由． （2009年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形6

、

OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过

原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与

线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为6

5

，那么EF =2GO

是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与

AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

7、（2009年邵阳市）如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝340，∠C ＝900）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） A.560 B.680 C.1240 D.1800

8、（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边

34

0 B 1

C

B A

C 1

6题图

y x

D

B

C

A

E O

C

长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．

9、（2009河池）如图9，ABC △的顶点坐标分别为(36)(13)A B ，，，，(42)C ，．若将ABC △绕C 点顺时针旋转90o ，得到A B C '''△，则点A 的对应点A '的坐标为 ．

10、（2009年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，1D与2D的和总是保持不变，那么1D与2D的和是_______度． 11、（2009年台州市）如图，三角板ABC 中，?=∠90ACB ，?=∠30B ，6=BC ． 角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停

三角板绕直

止转动，则B 点转过的路径长为

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2 3 4 5 6 7

O

A

B C

y

x

图9

C () D

图（2）

A D

G E C

B

12、（2009年凉山州）将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°4cm =，则图中阴影部分面积为 cm 2．

13、（2009年郴州市）如图6，在下面的方格图中，将△ABC 先向右平移四个单位得到△A 1B 1C 1，

再将△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转90°得到D A 1B 2C 2，请依次作出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2。

14、(2009年达州)如图7，在△ABC 中，AB ＝2BC ，点D 、点E 分别为AB 、AC 的中点，连结

DE ，将△ADE 绕点E 旋转180?得到△CFE .试判断四边形BCFD 的形状，并说明理由. 15、（2009襄樊市）如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将

Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，

点E 在AC 上，再

将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什

么特殊平行四边形？为什么？

16、（2009年株洲市）如图，在Rt OAB ?中，90OAB ∠=?，6OA AB ==，将OAB ?绕点

O 沿逆时针方向旋转90?得到11OA B ?． （1）线段1OA 的长是 ，

1AOB ∠的度数是 ；

A

D

F

C

E

G

B

图

A

B C

30° C

A

30° （12题）

（2）连结1AA ，求证：四边形11OAA B 是平行四边形； （3）求四边形11OAA B 的面积．

17、（2009烟台市）如图，直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，90BCD ∠=°，且

2tan 2CD AD ABC =∠=，，过点D 作AB DE ∥，交BCD ∠的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC CD =；

（2）将BCE △绕点C ，顺时针旋转90°得到DCG △，连接EG.．求证：CD 垂直平分EG . （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．即

BC CD

=．

18、（2009年山西省）

在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，

将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED 的长． 20、（2009年常德市）

如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是

A

D B

E C

F

A

D

B E

C

F

A E D

A

D

A

D

等边三角形.（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

21、（2009东营）

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF 中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。（2）作适当辅助线，构造全等三角形。也可连接GA,得GC=GA,过点G作AB的垂线，证GE=GA.

22、（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y 轴上，且OB＝4．

（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；

（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）．

F

B

A D

C

E

G

图①

F

B

A D

C

G

图②

D

F

A

C

图③

x y

y

三、四边形的旋转

24、（2009年山东青岛市）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是．

25、（2009呼和浩特）如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE DG

，．

（1）求证：BE DG

=．

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

26、（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y x

=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x

=于点M，BC边交x轴于点N （如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

MBN

?的周长为p，在旋转正方形OABC的过（3）设

程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

A

D C

B

E

图22

A

B

M

E F

G

D

A

B

C

27、（2009年宁波市）

如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，

(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．

（1）四边形OABC 的形状是 ，

当90α=°时，BP BQ

的值是 ； （2）①如图1，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求

BP

BQ

的值； ②如图，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．

（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使

1

2

BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

提示:第（3）问，过点Q 作QH ⊥OA ＇于H ，连接OQ ，则QH=OC ＇=OC,易证PQ=OP, 设BP=x ，BQ=2x ；按旋转时点P 在点B 左、右两种情况分类讨论。 28、（2009年湖北荆州）

（B A O x P （图

y Q C B A

O x P （图y C

B A O y

（备用

（第27

如图①，已知两个菱形ABCD 和EFGH 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形（菱形ABCD 与

菱形EFGH 的位似比为2︰1），∠BAD ＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线21

3

y x =经过AD

的中点M ．

⑴填空：Ａ点坐标为 ，D 点坐标为 ；

⑵操作：如图②，固定菱形ABCD ，将菱形EFGH 绕O 点顺时针方向旋转α度角(090)α<

探究2：设AP ＝x ，四边形OPDQ 的面积为s ，求s 与x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围．

四、 抛物线的旋转

29、(2009年宁德市)如图，已知抛物线C 1：()522

-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、

B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求P 点坐标及a 的值；

（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式； （3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是

∴EF=AB=2BH=6，

∴FG=3，点F 坐标为（m+3，0）． H 坐标为（-2，0），K 坐标为（m ，-5）， 根据勾股定理得：

PN2=NK2+PK2=m2+4m+104， PF2=PH2+HF2=m2+10m+50， NF2=52+32=34，

2∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m= 44/3， ∴Q 点坐标为（19/3，0）．

②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=10/3， ∴Q 点坐标为（2/3，0）． ③∵PN ＞NK=10＞NF ， ∴∠NPF ≠90°

综上所得，当Q 点坐标为（19/3，0）或（2/3，0）时，以点

P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形．

30、（2009年四川凉山州）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．

（第30

题）