湖南省师大附中2019-2020学年上学期初中九年级第一次联考数学试卷

湖南省师大附中2019-2020学年上学期初中九年级第一次联考数学试卷

注意事项：

1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；

2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。）

1 A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间

D ．4和5之间

2．下列运算正确的是 A ．428a a a ?=

B ．2242a a a +=

C ．()2

22a b a b +=+

D ．()2

3624a a -=

3．太阳与地球之间的平均距离纸业150000000km ，用科学记数法表示这一数据为 A ．81.510km ?

B ．71510km ?

C ．91.510km ?

D ．100.1510km ?

4．2019年全国高中数学联赛，湖南师大附中入选省队人数、签约清北人数、一等奖人数均为全省第一，其中一等奖获奖人数附中及其他三所兄弟学校从高到低依次为：20，17，12，12。这组数据的中位数是

A ．17

B ．12

C ．14.5

D ．15.5

5．如图，//AB CD ，EF 分别为交AB ，CD 于点E ，F ，50∠=?，则2∠的度数为

A ．50°

B ．120°

C ．130°

D ．150°

6．如图，O e 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，22.5,4A OC ∠=?=的长为

A

． B ．4

C

． D ．8

7．如图，D ，E 分别是ABC ?中AB ，AC 边上的点，//DE BC ，下列结论错误的是

A ．

AD AE

AB AC

= B ．

AD AE DB EC =C ．AB AC DB EC =D ．DE AE

BC EC

= 8．12,x x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则实数12

11

x x +的值为

A ．75

-

B ．

7

5

C ．57

-

D ．

57

9．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为边AD 中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于

A ．3.5

B ．4

C ．7

D ．14

10．化简22

422b a a b b a

+--的结果是 A ．2a b -- B ．2b a - C ．2a b - D ．2b a +

11．一次函数1y kx b =+与反比例函数2m

y x

=

的图象交于()()1,2,2,1A B --两点，使12y y >成立的自变量x 的取值范围是

A ．12x -<<

B ．10x -<<或2x >

C ．1x <-或2x >

D ．1x <-或02x <<

12．如图，在平行四边形ABCD 中，78,ABC AE BC ∠=?⊥于点E ，AE 交BD 于点F ，若

2DF AB =，则AFD ∠的大小是

A ．62°

B ．64°

C ．66°

D ．68°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．因式分解：2818a b b -=________。

14．从大小形状完全相同，分别标有1，2，3数字的三张卡片中随机抽取两张，和为偶数的概率为________。

15．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为________。

16．如图，AB 为O e 的直径，C ，D 是O e 上两点，若50ABC ∠=?，则D ∠的度数为________。

17．化简：22244

42x x x x x ??+--÷= ?+??

________。 18．已知关于x 的一元二次方程()2

140ax a x -+-=的两根分别为12,x x ，且

1210,23x x -<<<<，则实数a 的取值范围是________。

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分、第25、26题每小题10分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19

((2

0112-??

?-- ???

。

20．解不等式组2723

2223

34x x

x x x --?≤???--?<-+

?

?。

21．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行

了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 极：及格；D 极：不及格），并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图。请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样的学生人数是________人；

（2）图1中α∠的度数是________，并把图2条形统计图补充完整；

（3）该县九年级有学生4500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为________。

（4）老师想从4位同学（分别记为E 、F 、G 、H ，其中E 为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率。

22．如图，AD 是O e 的弦，AB 经过圆心O ，交O e 于点C ，30DAB B ∠=∠=?。 （1）求证：直线BD 与O e 相切； （2）连接CD ，若5CD =，求AB 的长。

23．某商店计划购进一批A ，B 两种型号的计算器，若购进A 型计算器10只和B 型计算器8只，共需要资金880元；若购进A 型计算器2只和B 型计算器5只，共需要资金380元。

（1）求A 、B 两种型号的计算器每只进价各是多少元？

（2）该商店计划购进这两种型号的计算器共50只，根据市场行情，销售一只A 型计算器可获利9元，销售一只B 型计算器可获利18元。该商店希望销售这50只计算器，所获利

润不少于购进总成本的25%，则该商店至少要采购B 型计算器多少只？

24．如图，四边形ABCD 中，,60,30AB AD BAD BCD =∠=?∠=?，将AC 绕着点A 顺时针旋转60°得AE ，连接BE ，CE 。

（1）求证：ADC ABE ???； （2）求证：222AC DC BC =+；

（3）若2AB =，点Q 在四边形ABCD 内部运动，且满足222AQ BQ DQ =+，求点Q 运动路径的长度。

25．四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线。

（1）如图1，四边形ABCD 中，100,130DAB DCB ∠=?∠=?，对角线AC 平分DAB ∠，求证：AC 是四边形ABCD 的相似对角线；

（2）如图2，直线y x =分别为x ，y 轴相交于A ，B 两点，P 为反比例函数()0k

y k x

=

<上的点，若AO 是四边形ABOP 的相似对角线，求反比例函数的解析式； （3）如图3，AC 是四边形ABCD 的相似对角线，点C 的坐标为（3，1），//AC x 轴，

30BCA DCA ∠=∠=?，连接BD ，BCD ?的面积为

。过A ，C 两点的抛物线

()20y ax bx c a =++<与x 轴交于E ，F 两点，记1m AC =+，若直线y mx =与抛物线恰好

有3个交点，求实数a 的值。

26．如图，已知二次函数()2

0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点A 和点()2,0B -，

与交y 轴于点()()00,4,C f x 表示当自变量为0x 时的函数值，对于任意实数m ，均有

()()13f m f m -=-。

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。当CQE ?的面积最大时，求点Q 的坐标；

（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0），是否存在这样的直线l ，使ODF ?是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．C

2．D

3．A

4．C

5．C

6．C

7．D

8．B

9．A

10．A 11．D 12．B

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．()()22323b a a -+

14．13

15．3π 16．40°

17．2x -

18．

3

32

a << 三、解答题（本大题共8小个题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．解析：原式()2241=+-?-

281=-- 7=-。

20．解析：解不等式（1），得4x ≤， 解不等式（2），得2x >， 不等式的解集为24x <≤。 21．解析：（1）40

（2）162°，条形统计图中C 级为18人。 （3）450

（4）根据题意画树形图（列表略）如下：

共有12种情况，选中小明的有6种，则P （选中小明）61

122

==。 22．解析：（1）连接OD ，

30ODA DAB B ∠=∠=∠=?Q ，

18018030303090ODB ODA DAB B ∴∠=?-∠-∠-∠=?-?-?-?=?，

∴直线BD 与O e 相切。

（2）由（1）知，30ODA DAB ∠=∠=?，

60DOB ODA DAB ∴∠=∠+∠=?，

又,OC OD DOC =∴?Q 是等边三角形，

5OA OD CD ∴===，

又30,90,210B ODB OB OD ∠=?∠=?∴==Q 。

51015AB OA OB ∴=+=+=。

23．解析：（1）设A 、B 两种型号的计算器每只进价分别是x ，y 元，根据题意，得108880

25380x y x y +=??

+=?

， 解之，得40,60x y ==。

所以A 、B 两种型号的计算器每只进价分别是40、60元。 （2）设该经销商至少要采购B 型计算器m 只，根据题意，得 ()()1895060405025%m m m m +-≥+-?????，

解之，得12.5m ≥。

所以，该经销商至少要采购B 型计算器13只。 24．解析：

（1）60,CAE DAB DAC BAE ∠=∠=?∴∠=∠Q 。 在ADC ?和ABE ?中，

,,,AD AB DAC BAE AC AE ADC ABE =∠=∠=∴???Q 。

（2）在四边形ABCD 中，360270ADC ABC DAB DCB ∠+∠=?-∠-∠=?。

ADC ABE ???Q ，

,ADC ABE CD BE ∴∠=∠=，

270ABC ABE ABC ADC ∴∠+∠=∠+∠=?，

()36090CBE ABE ABBC ∴∠=?-∠+∠=?， 222CE BE BC ∴=+。

又,60AC CE CAE =∠=?Q ，

222,CE AE AC AC DC BC ∴==∴=+。

（3）如图，设Q 为满足条件的点，将AQ 绕着点A 顺时针旋转60度得AF ，连接QF ，BF ，QB ，DQ ，AF 。

可证,ADQ ABF AFQ ????为等边三角形， ,AQ FQ BF DQ ∴==，

222AQ BQ DQ =+Q ， 222FQ BQ BF ∴=+， 90FBQ ∴∠=?。

()360150DQB AQD AQB ∴∠=?-∠+∠=?， ∴点Q 的路径为过B 、D 、C 三点的圆上?BD

。 设圆心为O ，则60,2BOD DO AB ∠=?==，

点Q 运动的路径长为：2

3

π。

25．解析：

（1）如图1，设ACD α∠=，则130ACB α∠=?-，

()180********B BAC ACB αα∴∠=?-∠-∠=?-?-?-=。 在ABC ?和ACD ?中，

,,B ACD BAC CAD ABC ACD ∠=∠∠=∠∴??Q :，

∴AC 是四边形ABCD 的相似对角线。

（2）如图2，可求得直线y =+与两坐标轴的交点分别为()4,0,A B ? ??

，进而可求得：30,60OAB OBA ∠=?∠=?。

当OA 是四边形OBAP 的相似对角线时，有如下三种情况：①30,60BAO PAO ABO AOP ∠=∠=?∠=∠=?，

此时，可求得点(1,P ，将P 点坐标代入k

y x

=

，得k =。 ②30,60BAO AOP ABO PAO ∠=∠=?∠=∠=?，

此时，可求得点(3,P ，将P 点坐标代入k

y x

=

，得k =- ③当30,60APO OAB AOP ABO ∠=∠=?∠=∠=?

此时，可求得点(4,P -，将P 点坐标代入k

y x

=，得k =-。

所以，反比例函数的解析式为y 或y =y =

（3）如图3，作BCD ?的底边CD 边上的高BH ，则30CBH ∠=?，

1

2

CH BC ∴=。

在Rt ΔCHB ，由勾股定理可求得BH =

。

1

2BCD S CD ?=Q BC ? 4CD BC ∴?=。

Q AC 是四边形ABCD 的相似对角线，

,

BC AC

BCA ACD AC DC

∴??=

:，即2AC CD BC =?， 24AC ∴=，即2AC =。

由点C 的坐标为（3，1）可知，点A 的坐标为（1，1）。

将A ，C 两点的坐标代入抛物线()20y ax bx c a =++<，得1931a b c a b c ++=??++=?

，

解之，得4,31b a c a =-=+，

所以，抛物线的解析式可化为2431y ax ax a =-++。 由1m AC =+，得直线y mx =的解析为3,3y x y x ==-，

Q 直线3y x =-与抛物线()24310y ax ax a a =-++<的交点必有两个，

∴直线3y x =与该抛物线的交点有且只有一个。

∴方程组2

3431y x

y ax ax a =??=-++?

有且只有一组解， 即关于x 的一元二次方程()243310ax a x a -+++=有两个相等的实数根， ()()2

434310a a a ∴?=+++=，解之，得1

2a =-或92

a =-。

26．解析：（1）当x m =与2x m =-时函数值相等，可知抛物线的对称轴为1x =，

由点B 的坐标（-2，0）可求得A 点的坐标为（4，0）。 该二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，

将点()0,4C 代入，得12

a =-，

所以，二次函数的解析式为21

42

y x x =-++。

（2）设点Q 的坐标为(),0m ，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，如图。

//,BE BQ

QE AC BC BA ∴

=

Q 。 又//,BE EG EG OC BC CO ∴=Q ，BE BQ CO BA ∴=，即224

,463EG m m EG ++==

， CQE CBQ EBQ S S S ???∴=-

11

22

BQ CO BQ EG =?-? ()1242423m m +??

=

+- ??

?

()2

1133

m =-

-+， 又24,m -≤≤∴Q 当1m =时，CQE S ?有最大值3，此时()1,0Q 。

（3）存在。①若DO DF =，则2,AD OD DF AFO ===?是直角三角形。 在Rt ΔAFO 中，可求得点F 的坐标为（2，2）。

由21

422

x x -++=，得1211x x ==-

此时，点P 的坐标为：()1P +或()

1P 。 ②若FO FD =，过点F 作FM x ⊥轴于点M 。

由等腰三角形的性质得：1

1,32

OM OD AM ==∴=。

可求得()1,3F 。

由21

432

x x -++=，得121,1x x ==

此时，点P 的坐标为：()1P 或()

1P 。

③若OD OF =，4OA OC ==Q ，且90,AOC AC ∠=?∴=

∴点O 到AC 的距离为

而2OF OD ==<，

∴AC 上不存在点F 使得2OD OF ==。

此时，不存在这样的直线l ，使得ODF ?是等腰三角形。

综上，存在这样的直线l ，使得ODF ?是等腰三角形，所求点P 的坐标为：()

1+

或()1或()1+或()

1。