中考数学二轮复习第六章 实数知识点及练习题含答案

中考数学二轮复习第六章 实数知识点及练习题含答案
中考数学二轮复习第六章 实数知识点及练习题含答案

中考数学二轮复习第六章 实数知识点及练习题含答案

一、选择题

1.任何一个正整数n 都可以进行这样的分解:n=p×q (p ,q 都是正整数,且p≤q ),如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小,我们就称p×q 是n 的黄金分解,并规定:F(n)=

p q ,例如:18可以分解为1×18;2×9;3×6这三种,这时F(18)=31

62

=,现给出下列关于F(n)的说法:①F(2) =

12

;② F(24)=3

8;③F(27)=3;④若n 是一个完全平方数,则

F(n)=1,其中说法正确的个数有( ) A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

2.2(4)-的平方根与38-的和是( ) A .0

B .﹣4

C .2

D .0或﹣4

3.规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如222÷÷,

(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等,类比有理数的乘方,我们把222÷÷记作2③,读作“2的圈

3次方”,把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④,读作“3-的圈4次方”,一般地,把

(0)a a a a a a ÷÷÷

÷÷≠记作a ?,读作“a 的圈c 次方”,关于除方,下列说法错误的

是( )

A .任何非零数的圈2次方都等于1

B .对于任何正整数a ,21

()a a

=④

C .3=4④④

D .负数的圈奇次方结果是负数,负数的圈偶次方结果是正数. 4.下列选项中的计算,不正确的是( ) A .42=±

B .382-=-

C .93±=±

D .164=

5.有理数a ,b 在数轴上对应的位置如图所示,则下列结论成立的是( )

A .a+b> 0

B .a -b> 0

C .ab>0

D .

0a

b

> 6.下列各数是无理数的为( ) A .-5

B .π

C .4.12112

D .0

7.观察下列各等式:

231-+= -5-6+7+8=4

-10-l1-12+13+14+15=9 -17-18-19-20+21+22+23+24=16 ……

根据以上规律可知第11行左起第11个数是( ) A .-130 B .-131

C .-132

D .-133

8.在3.14,23

7

,2-,327,π这几个数中,无理数有( ) A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

9.如图,数轴上的点A ,B ,O ,C ,D 分别表示数-2,-1,0,1,2,则表示数25-的点

P 应落在( )

A .线段A

B 上

B .线段BO 上

C .线段OC 上

D .线段CD 上

10.在如图所示的数轴上,点B 与点C 关于点A 对称,A ,B 两点对应的实数分别是2和﹣1,则点C 所对应的实数是( )

A .12

B .22+

C .221

D .221

二、填空题

11.已知M 是满足不等式36a <<

N 是满足不等式x ≤

3722

的最大整数,则M +N 的平方根为________.

12.现定义一种新运算:对任意有理数a 、b ,都有a ?b=a 2﹣b ,例如3?2=32﹣2=7,2?(﹣1)=_____.

13.规定运算:()a b a b *=-,其中b a 、为实数,则154)15+=____ 14.如果某数的一个平方根是﹣5,那么这个数是_____. 15.

1111111111112018201920182019202020182019202020182019????????--++----+ ??? ???????????________.

16.设a ,b 都是有理数,规定 3*=

a b a b ()()48964***-????=__________.

17.将2π9

3

-27

2

这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________. 18.若x <0323x x ____________. 1946________.

20.34330035.12=30.3512x =-,则x =_____________.

三、解答题

21.先阅读下面的材料,再解答后面的各题:

现代社会会保密要求越来越高,密码正在成为人们生活的一部分,有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解,其中,,,

,,Q W E N M 这26个字母依次对应

1,2,3,

,25,26这26个自然数(见下表).

给出一个变换公式:

(126,3)3

2

17(126,31)31

8

(126,32)3J J J x

x x x x x x x x x x x x x x ?=≤≤??

+?=+≤≤??

+?=+≤≤??

是自然数,被整除是自然数,被除余是自然数,被除余 将明文转成密文,如4+24+17=193?

,即R 变为L :11+1

11+8=123

?,即A 变为S .将密文转成成明文,如213(2117)210??--=,即X 变为P :

133(138)114??--=,即D 变为F .

(1)按上述方法将明文NET 译为密文.

(2)若按上方法将明文译成的密文为DWN ,请找出它的明文. 22.阅读下面文字: 对于5231591736342?

?????-+-++- ? ? ???????

可以如下计算:

原式()()()5231591736342??????

????????=-+-+-+-

+++-+- ? ? ? ?????????????????????

()()()5231591736342??

??????=-+-++-+-+-++-?? ? ? ?????????????

1014??=+- ???

114

=-

上面这种方法叫拆项法,你看懂了吗?

仿照上面的方法,计算: (1)115112744362????-+-++- ? ?????

(2)23512019

2018201720163462

????-++-+ ? ????? 23.先阅读内容,然后解答问题: 因为:11111111111

1,,12223233434910910

=-=-=-=-???? 所以:1111122334910+++?+????=1111111122334910????????-+-+-++- ? ? ? ?????????

(1)

111111122334910+-+-+- =1﹣

191010

= 问题:(1)请你猜想(化为两个数的差):1

20152016?= ;

120142016

?= ;

(2)若a 、b 为有理数,且|a ﹣1|+(ab ﹣2)2=0,求

111

(1)(1)(2)(2)ab a b a b +++++++…+1(2018)(2018)

a b ++的值. 24.对于有理数a ,b ,定义运算:a ⊕b =ab -2a -2b +1. (1)计算5⊕4的值; (2)计算[(-2)⊕6]⊕3的值;

(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立?请写出你的探究过程.

25.已知1x +与2y -互为相反教,z 是64的方根,求x y z -+的平方根 26.(1)如图,分别把两个边长为1cm 的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形,则大正方形的边长为_______cm ;

(2)若一个圆的面积与一个正方形的面积都是22cm π,设圆的周长为C 圆,正方形的周长为C 正,则C 圆_____C 正(填“=”或“<”或“>”号);

(3)如图,若正方形的面积为2400cm ,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为2300cm 的长方形纸片,使它的长和宽之比为3:2,他能裁出吗?请说明理由?

【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

一、选择题

1.B

解析:B

【分析】

将2,24,27,n分解为两个正整数的积的形式,再找到相差最少的两个数,让较小的数除以较大的数进行排除即可.

【详解】

解:∵2=1×2,

∴F(2)=1

2

,故①正确;

∵24=1×24=2×12=3×8=4×6,且4和6的差绝对值最小

∴F(24)= 42

=

63

,故②是错误的;

∵27=1×27=3×9,且3和9的绝对值差最小

∴F(27)=31

=

93

,故③错误;

∵n是一个完全平方数,

∴n能分解成两个相等的数的积,则F(n)=1,故④是正确的.

正确的共有2个.

故答案为B.

【点睛】

本题考查有理数的混合运算与信息获取能力,解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义.

2.D

解析:D

【分析】

2

(4)

-38-

【详解】

=4,4的平方根是±2,

的平方根为±2,

2,

﹣2+(﹣2)=﹣4, 2+(﹣2)=0.

0或﹣4. 故选:D . 【点睛】

本题考查的是实数的运算,熟知平方根的定义及立方根的定义是解答此题的关键.

3.C

解析:C 【解析】 【分析】

根据定义依次计算判定即可. 【详解】

解:A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除,所以都等于1; 所以选项A 正确; B 、a ④=21111

()a a a a a a a a a

÷÷÷=???=; 所以选项B 正确; C 、3④=3÷3÷3÷3=

19,4④=4÷4÷4÷4=1

16

,,则 3④≠4④; 所以选项C 错误; D 、负数的圈奇数次方,相当于奇数个负数相除,则结果是负数,负数的圈偶数次方,相当于偶数个负数相除,则结果是正数.所以选项D 正确; 故选:C . 【点睛】

本题是有理数的混合运算,也是一个新定义的理解与运用;一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算,另一方面也考查了学生的阅读理解能力;注意:负数的奇数次方为负数,负数的偶数次方为正数,同时对新定义,其实就是多个数的除法运算,要注意运算顺序.

4.A

解析:A 【分析】

根据平方根与立方根的意义判断即可. 【详解】

解:2=2=±错误,本选项符合题意;

2=-,本选项不符合题意;

C. 3=±,本选项不符合题意;

D. 4=,本选项不符合题意.

故选:A.

【点睛】

本题考查了平方根与立方根,正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键.

5.B

解析:B

【解析】

根据数轴的意义,由图示可知b<0<a,且|a|<|b|,因此根据有理数的加减乘除的法则,可

知a+b<0,a-b>0,ab<0,a

b

<0.

故选B.

6.B

解析:B

【分析】

根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.

【详解】

解:A. -5是有理数,该选项错误;

B. π是无理数,该选项正确;

C. 4.12112是有理数,该选项错误;

D. 0是有理数,该选项错误.

故选:B

【点睛】

本题考查了无理数定义,初中范围内学习的无理数有三类:①π类,如2π,3π等;②开方

0.1010010001…,等. 7.C

解析:C

【分析】

通过观察发现:每一行等式右边的数就是行数的平方,故第n行右边的数就是n的平方,而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1,并且左边的项数是行数的2倍,前一半的符号为负,后一半的符号为正.

【详解】

解:第一行:211

=;

第二行:224

=;

第三行:239

=;

第四行:2416

=;

……

第n行:2n;

∴第11行:2

11121

=.

∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1,并且左边的项数是行数的2倍,前一半的符号

为负,后一半的符号为正.

∴第11行左起第1个数是-122,第11个数是-132. 故选:C . 【点睛】

此题主要考查探索数与式的规律,正确找出规律是解题关键.

8.B

解析:B 【分析】

无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项. 【详解】

3.14,

23

7

,π中无理数有:,

π,共计2个. 故选B.

【点睛】

考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.

9.B

解析:B 【分析】

【详解】

由被开方数越大算术平方根越大,得由不等式的性质得:故选B. 【点睛】

本题考查了实数与数轴,无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.

10.D

解析:D 【分析】

设点C 所对应的实数是x ,根据中心对称的性质,即对称点到对称中心的距离相等,即可列方程求解即可. 【详解】

设点C 所对应的实数是x .

则有x ﹣(﹣1),

解得+1. 故选D . 【点睛】

本题考查的是数轴上两点间距离的定义,根据题意列出关于x 的方程是解答此题的关键.

二、填空题

11.±2

【分析】

首先估计出a的值,进而得出M的值,再得出N的值,再利用平方根的定义得出答案.

【详解】

解:∵M是满足不等式-的所有整数a的和,

∴M=-1+0+1+2=2,

∵N是满足不等式x≤的

解析:±2

【分析】

首先估计出a的值,进而得出M的值,再得出N的值,再利用平方根的定义得出答案.【详解】

<

解:∵M a

∴M=-1+0+1+2=2,

∵N是满足不等式x

∴N=2,

∴M+N=±2.

故答案为:±2.

【点睛】

此题主要考查了估计无理数的大小,得出M,N的值是解题关键.

12.5

【解析】利用题中的新定义可得:2?(﹣1)=4﹣(﹣1)=4+1=5.

故答案为:5.

点睛:此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

解析:5

【解析】利用题中的新定义可得:2?(﹣1)=4﹣(﹣1)=4+1=5.

故答案为:5.

点睛:此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

13.4

【分析】

根据题意将原式展开,然后化简绝对值,求解即可.

【详解】

=

=

=4

故答案为4.

【点睛】

本题考查了定义新运算,绝对值的化简,和实数的计算,熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键

解析:4

【分析】

根据题意将原式展开,然后化简绝对值,求解即可.

【详解】

4)+

4

=4

=4

故答案为4.

【点睛】

本题考查了定义新运算,绝对值的化简,和实数的计算,熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键.

14.25

【分析】

利用平方根定义即可求出这个数.

【详解】

设这个数是x(x≥0),所以x=(-5)2=25.

【点睛】

本题解题的关键是掌握平方根的定义.

解析:25

【分析】

利用平方根定义即可求出这个数.

【详解】

设这个数是x(x≥0),所以x=(-5)2=25.

【点睛】

本题解题的关键是掌握平方根的定义.

15.【分析】

设,代入原式化简即可得出结果.

【详解】

故答案为:. 【点睛】

本题考查了整式的混合运算,设将式子进行合理变形是解题的关键. 解析:

1

2020

【分析】

设11

20182019m =

+,代入原式化简即可得出结果. 【详解】

原式()111120202020m m m m ????

=-+

--- ? ?????

221202*********

m m m m m

m =-+--++ 1

2020

= 故答案为:1

2020

. 【点睛】

本题考查了整式的混合运算,设1120182019

m =

+将式子进行合理变形是解题的关键. 16.1 【分析】

根据规定,利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案. 【详解】 ∵, ∴ =()() =(2+2)(3-4) =4(-1) = =2-1 =1. 故答案为:1 【点睛】 本题考查平方

【分析】

根据规定,利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案. 【详解】

∵*=

a b

∴()()48964***-????

=*) =(2+2)*(3-4) =4*(-1)

==2-1 =1. 故答案为:1 【点睛】

本题考查平方根与立方根,正确理解规定,熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键.

17.<< 【分析】

先根据数的开方法则计算出和的值,再比较各数大小即可. 【详解】 ==,==, ∵>3>2, ∴<<,即<<, 故答案为:<< 【点睛】

本题考查实数的大小比较,正确化简得出和的值是解

<2

π

【分析】

先根据数的开方法则计算出3

的值,再比较各数大小即可. 【详解】

3=33=22

=32-=3

2, ∵π>3>2,

∴22<32<2π<2

π

故答案为:3

<2

π

【点睛】

的值是解题关键. 18.0 【分析】

分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案. 【详解】 解:∵x<0, ∴,

故答案为:0. 【点睛】

本题只要考查了平方根和立方很的性质;平方根的被开方数不能是负数,开方的结果必须是

解析:0 【分析】

分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案. 【详解】 解:∵x <0,

0x x =-+=, 故答案为:0. 【点睛】

本题只要考查了平方根和立方很的性质;平方根的被开方数不能是负数,开方的结果必须是非负数;立方根的符号与被开方的数的符号相同;解题的关键是正确判断符号.

19.6 【分析】

求出在哪两个整数之间,从而判断的整数部分. 【详解】 ∵,,

又∵36<46<49 ∴6<<7 ∴的整数部分为6

故答案为:6 【点睛】

本题考查无理数的估算,正确掌握整数的平方数是解

解析:6 【分析】

的整数部分. 【详解】

∵246=,2636=,2749= 又∵36<46<49

∴6<7

6 故答案为:6 【点睛】

本题考查无理数的估算,正确掌握整数的平方数是解题的关键.

20.-0.0433 【分析】

三次根式变化规律为:三次根号内的式子扩大或缩小1000倍,则得到的结果扩大或缩小10倍,根据规律可得x 的值. 【详解】

从35.12变为-0.3512,缩小了100倍,且添

解析:-0.0433 【分析】

三次根式变化规律为:三次根号内的式子扩大或缩小1000倍,则得到的结果扩大或缩小10倍,根据规律可得x 的值. 【详解】

从35.12变为-0.3512,缩小了100倍,且添加了“-”

∴根据规律,三次根式内的式子应该缩小1000000倍,且添加“-” 故答案为:-0.0433 【点睛】

本题考查三次根式的规律,二次根式规律类似:二次根号内的式子扩大或缩小100倍,则得到的结果扩大或缩小10倍.

三、解答题

21.(1)N,E,T 密文为M,Q,P;(2)密文D,W,N 的明文为F,Y ,C . 【分析】

(1) 由图表找出N,E,T 对应的自然数,再根据变换公式变成密文. (2)由图表找出N=M,Q,P 对应的自然数,再根据变换.公式变成明文.

【详解】

解:(1)将明文NET 转换成密文: 252

2517263

N M +→→

+=→ 3

313

E Q →→

=→ 51

58103

T P +→→

+=→ 即N,E,T 密文为M,Q,P;

(2)将密文D,W,N 转换成明文:

()133138114D F →→?--=→ 2326W Y →→?=→

253(2517)222N C →→?--=→

即密文D,W,N 的明文为F,Y ,C . 【点睛】

本题考查有理数的混合运算,此题较复杂,解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母,正确运用转换公式进行转换. 22.(1)14-(2)124

- 【分析】

(1)根据例子将每项的整数部分相加,分数部分相加即可解答; (2)根据例子将每项的整数部分相加,分数部分相加即可解答. 【详解】

(1)1151127

44362????-+-++- ? ?????

()115112744362??

=--+-+--+- ???

104??=+- ???

14

=-

(2)原式()235120192018201720163462??

=-+-++-

+-+ ???

124??=-+- ???

124

=-

【点睛】

此题考察新计算方法,正确理解题意是解题的关键,根据例子即可仿照计算. 23.(1)1120152016-,1140284032

-;(2)

2019

2020. 【分析】

(1)根据题目中式子的特点可以写出猜想;

(2)根据|a-1|+(ab-2)2=0,可以取得a 、b 的值,代入然后由规律对数进行拆分,从而可以求得所求式子的值. 【详解】 解:(1)

111

2015201620152016

=-?,

111111

()2014201622014201640284032

=?-=-?,

故答案为:

1120152016-,11

40284032

-;

(2)∵|a ﹣1|+(ab ﹣2)2=0, ∴a ﹣1=0,ab ﹣2=0, 解得,a =1,b =2, ∴1111+(1)(1)(2)(2)(2018)(2018)

ab a b a b a b +++++++++…… =111112233420192020

+++?+???? =1﹣1111111

+2233420192020

+-+-+-……

=1﹣1

2020

2019

2020. 【点睛】

本题考查数字的变化类、非负数的性质、有理数的混合运算,解答本题的关键是明确题意,求出所求式子的值. 24.(1)3;(2)-24;(3)成立. 【解析】 【分析】

(1)按照给定的运算程序,一步一步计算即可;

(2)先按新定义运算,先计算(-2)⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得; (3)成立,按新定义分别运算即可说明理由. 【详解】

(1)5⊕4=5×4-2×5-2×4+1 =20-10-8+1

=2+1

=3.

(2)原式=[-2×6-2×(-2)-2×6+1]⊕3

=(-12+4-12+1)⊕3

=-19⊕3

=-19×3-2×(-19)-2×3+1

=-24.

(3)成立.

∵a⊕b=ab-2a-2b+1,b⊕a=ab-2b-2a+1,

∴a⊕b=b⊕a,

∴定义的新运算“⊕”交换律还成立.

【点睛】

此题是定义新运算题型.直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果.

25.

【分析】

根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程,再根据非负数的性质列方程求出x、y的值,然后求出z的值,再根据平方根的定义解答.

【详解】

∴x+1=0,2-y=0,

解得x=-1,y=2,

∵z是64的方根,

∴z=8

-+=-1-2+8=5,

所以,x y z

-+的平方根是

所以,x y z

【点睛】

此题考查非负数的性质,相反数,平方根的定义,解题关键在于掌握几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.

26.(1;(2)<;(3)不能裁剪出,详见解析

【分析】

(1)根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长;

(2)由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长,进而可求得圆和正方形的周长,利用作商法比较这两数大小即可;

(3)利用方程思想求出长方形的长边,与正方形边长比较大小即可;

【详解】

解:(1)∵小正方形的边长为1cm,

∴小正方形的面积为1cm2,

∴两个小正方形的面积之和为2cm 2, 即所拼成的大正方形的面积为2 cm 2,

cm , (2)∵22r ππ=,

∴r =

∴2=2C r π=圆, 设正方形的边长为a ∵22a π=,

∴a

∴=4C a =正

∴1C C ==

=

<圆正

故答案为:<;

(3)解:不能裁剪出,理由如下: ∵长方形纸片的长和宽之比为3:2, ∴设长方形纸片的长为3x ,宽为2x , 则32300x x ?=, 整理得:250x =,

∴2

2

(3)9950450x x ==?=, ∵450>400, ∴2

2

(3)20x >, ∴320x >,

∴长方形纸片的长大于正方形的边长, ∴不能裁出这样的长方形纸片. 【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用,主要是对学生无理数运算及比较大小进行了考查.

七年级下册数学第二章实数知识点

人教版七年级数学下册 第六章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 实数 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数:实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。 2、绝对值:一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。 3、倒数:如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 (1)平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即:如果 a x =2,那么x 叫做a 的平方根. (2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是 非负数才有意义。 (3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3 (4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 (5)符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根; 正数a 的负的平方根可用-a 表示. (6)a x =2 <———————————————— > a x ±= a 是x 的平方,x 是a 的平方根 x 的平方是a ,a 的平方根是x

(完整版)八年级实数知识点总结

实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数,如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。 一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 a (a ≥0) 0≥a ==a a 2 ;注意a 的双重非负性: -a (a <0) a ≥0

北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题

实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ,那么,这个数x 就叫做a 的平方根;也即,当)0(2 ≥=a a x 时,我们称x 是a 的平方根,记做:)0(≥±=a a x 。因此: 1、当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身; 2、当a >0时,也就是a 为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:a x ±=。 3、当a <0时,也即a 为负数时,它不存在平方根。 例1. (1) 的平方是64,所以64的平方根是 ; (2) 的平方根是它本身。 (3)若 x 的平方根是±2,则x= ;的平方根是 (4)当x 时,x 23-有意义。 (5)一个正数的平方根分别是m 和m-4,则m 的值是多少?这个正数是多少? 知识点二、【算术平方根】: 1、如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2 ,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”,读作,“根 号a”,其中,a 称为被开方数。特别规定:0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质:具有双重非负性,即:)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此, 算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为: a ±。 例2. (1)下列说法正确的是 ( ) A .1的立方根是1±; B .24±=; ( C )、81的平方根是3±; ( D )、0没有平方根; (2)下列各式正确的是( ) A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- (3)2 )3(-的算术平方根是 。 (4)若x x -+ 有意义,则=+1x ___________。 (5)已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ,求c 的取值范围。 (7)如果x 、y 分别是4- 3 的整数部分和小数部分。求x - y 的值. (8)求下列各数的平方根和算术平方根. 64; 121 49 ; 0.0004; (-25)2; 11. 1.44, 0,8, 49 100 , 441, 196, 10-4

新人教版第六章实数知识点归纳教学提纲

实数知识点总结 一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1)如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 (2)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的 平方根。 (3)如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做 a的立方根。 2、运算名称 (1)求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 (2)求一个数的立方根的运算,叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 (1)正数a的算术平方根,记作“a”。 (2)a(a≥0)的平方根的符号表达为。 (3)一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 ,a的算术平方根a;正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正(1)若a≥0,则a的平方根是a 的那个叫它的算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。 实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。 (2)若a<0,则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。 (3)正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 二、小数点移动规律 平方根(如果被开方数的小数点,向右或向左每移动两位,它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位)立方根(开立方的小数点移动规律:被开方数的小数点向右或向左每移动三位,则立方根的小数点就向右或向左移动一位) 三、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数

八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

叫做三次方根)记为3a ,读作,3次根号a 。如23=8,则2是8的立方根,0的立方根是0。 2.性质:正数的立方根的正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1,-1. 例:(1)64的立方根是 (2)若 9.28,89.233==ab a ,则b 等 于 (3)下列说法中:①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±。 其中正确的有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 比较两个数的大小: 方法一:估算法。如3<10<4 方法二:作差法。如a >b 则a-b >0. 方法三:乘方法.如比较3362与的大小。 例:比较下列两数的大小 (1) 2 123-10与 (2)5325与 【实数】 定义:(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。 (2)实数也可以分为正实数、0负实数。 实数的性质:实数a 的相反数是-a ;实数a 的倒数是a 1(a ≠0);实数a 的绝对值|a|=? ??<-≥)0()0(a a a a ,它的几何意义是:在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大 于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。 实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算 顺序与有理数的一 实数与数轴的关系:每个实数与数轴上的点是一一对应的 (1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。 (2)数轴上的每个点都表示已个实数。

人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总

人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总 【知识点一】实数的分类 1、按定义分类: 2.按性质符号分类:注:0既不是正数也不是负数.【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0.(2)几何意义:在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数,或数轴上,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值|a|≥0.3.倒数(1)0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数.a、b互为倒数.▲▲平方根【知识要点】 1.算术平方根:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“a”。 2. 如果x2=a,则x叫做a的平方根,记作“±a” (a称为被开方数)。 3. 正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系: 区别:正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个。 联系:(1)被开方数必须都为非负数;(2)正数的负平方根是它的算术平方根的相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。(3)0的算术平方根与平方根同为0。5. 如果x3=a,则x叫做a的立方根,记作“3a” (a称为被开方数)。 6. 正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。 8.立方根与平方根的区别: 一个数只有一个立方根,并且符号与这个数一致;只有正数和0 有平方根,负数没有平方根,正数的平方根有2个,并且互为相反数,0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说,被开放数扩大(或缩小)n倍,算术平方根扩大(或缩小)n倍,例如50 2500 ,5 25= =. 10.平方表:(自行完成) __________________________________________________

八年级数学上册第二章实数知识点总结练习.doc

第二章:实数 【无理数】 1.定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2.常见无理数的几种类型: (1)特殊意义的数,如:圆周率兀以及含有兀的一些数,女山2-托,3龙等; (2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01-(两个1 Z间依次多1个0)等。(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。女山2-兀是无理数 (4)无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2兀, (5)开方开不尽的数,女n:V2,75,V9^;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如: 也等;无理数也不一定带根号,女U:兀) 3.有理数与无理数的区别: (1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数; (2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。 例:(1)下列各数:①3. 141 x②0. 33333……、③亦一"、④兀、⑤土血亦、⑥一?、 3 ⑦0. 3030003000003……(相邻两个3 Z间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有_______ ; 是无理数的有______o (填序号) (2)有五个数:0?125125???,0. 1010010001-,-^-,扬,迈其中无理数有()个 【算术平方根L 1.定义:如果一个正数x的平方等于a,即X2=6/,那么,这个正数x就叫做a的算术平方根, 记为:“侖”, 读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。例如*9,那么9的算术平方根是3,即V9=3o 特别规地,0的算术平方根是0,即70=(),负数没有算术平方根 2?算术平方根具有双重非负性:(1)若程有意义,则被开方数a是非负数。(2)算术平方根本身是非负数。 3?算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根屮正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:石;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:土丽。 例:(1)下列说法正确的是( )

实数知识点汇总及经典知识讲解

)(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么正数x 叫做a 的算术平方根,记作a 。0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根:一般地,如果一个数x 的平方根等于a ,即x 2=a ,那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根(一正一负)它们互为相反数;0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a (2)若b 3=a ,则b 叫做a 的立方根。 (3 (0)(0).a a a a a ≥?==?-

减。运算中有括号的,先算括号内的,同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法:数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 (1)在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数大,左边的点表示的数小。(2)正数大于零,负数小于零;两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的较小。(3)设a,b是任意两实数, 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a

新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗: 1、销售大厅服务岗岗位职责: 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点; 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1)自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2)检查使用工具及销售大厅物资情况,异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 (糕点) 添加茶水 工作 要求 1)眼神关注客人,当客人距3米距离 时,应主动跨出自己的位置迎宾,然后 侯客迎询问客户送客户

注意事项 15度鞠躬微笑问候:“您好!欢迎光临!”2)在客人前方1-2米距离领位,指引请客人向休息区,在客人入座后问客人对座位是否满意:“您好!请问坐这儿可以吗?”得到同意后为客人拉椅入座“好的,请入座!” 3)若客人无置业顾问陪同,可询问:请问您有专属的置业顾问吗?,为客人取阅项目资料,并礼貌的告知请客人稍等,置业顾问会很快过来介绍,同时请置业顾问关注该客人; 4)问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好,这里是XX销售中心,这边请”5)问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6)关注客人物品,如物品较多,则主动询问是否需要帮助(如拾到物品须两名人员在场方能打开,提示客人注意贵重物品); 7)在满座位的情况下,须先向客人致歉,在请其到沙盘区进行观摩稍作等

待; 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料(糕点服务) 1)在所有饮料(糕点)服务中必须使用 托盘; 2)所有饮料服务均已“对不起,打扰一 下,请问您需要什么饮品”为起始; 3)服务方向:从客人的右面服务; 4)当客人的饮料杯中只剩三分之一时, 必须询问客人是否需要再添一杯,在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触; 5)在客人再次需要饮料时必须更换杯 子; 下班程 序1)检查使用的工具及销售案场物资情况,异常情况及时记录并报告上级领导; 2)填写物资领用申请表并整理客户意见;3)参加班后总结会; 4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;

沪科版七年级数学下册第六章实数知识点复习

沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解 1、平方根 (1)定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。 来表示,(读做“根号a”) 对于正数a 负的平方根用”表示(读做“负根号a” ) 如果x2=a,则x叫做a的平方根,记作“a称为被开方数)。 (2)平方根的性质: ①一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数; ②0只有一个平方根,它就是0本身; ③负数没有平方根. (3)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方. (4)算术平方根:正数a的正的平方根叫做a”。 (50有意义的条件是a≥0。 (6)公式:⑴)2=a(a≥0); 2、立方根 (1)定义:一般地,如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 即X3=a,把X叫做a的立方根。数a的立方根用符号”表示,读作“三次根号a”。 (2)立方根的性质: 正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。 (3)开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。开立方与立方也是互为逆运算,因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、规律总结 (1)平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。 (2)每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。 二、平方根、立方根例题。 例1、(1)下列各数是否有平方根,请说明理由 ①(-3)2②0 2③-0.01 2 (2)下列说法对不对?为什么? ①4有一个平方根②只有正数有平方根

新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习解析

第二章:实数 知识梳理 【无理数】 1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型: (1)特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数,如:2-π,3π等; (2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。 (3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。如:2-π是无理数 (4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, (5)开方开不尽的数,如:39,5,2等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:π) 3.有理数与无理数的区别: (1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数; (2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。 例:(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2-、⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有____;是无理数的有___。(填序号) (2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】: 1. 定义:如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”, 读作,“根号a ”,其中,a 称为被开方数。例如32=9,那么9的算术平方根是3,即39=。 特别规地,0的算术平方根是0,即00=,负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性:(1)若a 有意义,则被开方数a 是非负数。(2)算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a ±。 例:(1)下列说法正确的是 ( ) A .1的立方根是1±; B .24±=;( C )、81的平方根是3±; ( D )、0没有平方根; (2)下列各式正确的是( ) A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235= -

实数知识点总结汇编

第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 (3分) 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数,如sin60o 等(这类在初三会出现) 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b ,反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值是它本身,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于

一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。 一个数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 a (a ≥0) 0≥a ==a a 2 ;注意a 的双重非负性: -a (a <0) a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。 一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法

最新第六章实数知识点归纳和典型例题

第十三章实数----知识点总结 一、算术平方根 1. 算术平方根的定义:一般地,如果的等于a,即,那么这个正数x叫 做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做. 规定:0的算术平方根是0. ≥0) 理解:≥ a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x a 当a 3. 当被开方数扩大(或缩小)时,它的算术平方根也扩大(或缩小); 4. 夹值法及估计一个(无理)数的大小(方法:) 二、平方根 1. 平方根的定义:如果的平方等于a,那么这个数x就叫做a的.即:如果, 那么x叫做a的. 理解:— a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x 2.开平方的定义:求一个数的的运算,叫做.开平方运算的被开方数必须是才 有意义。 3. 平方与开平方:的平方等于9,9 4. 一个正数有平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数平方根,即负数不能进行开平方运算 5. 符号:正数a a的算术平方根; 正数a的负的平方根可用 6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系: 区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个; 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根 1. 立方根的定义:如果的等于的(也叫

做 ),即如果 2. , 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。 理解: — a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x 3. 一个正数有一个正的立方根;0有一个立方根,是它本身; 一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根。 4. 利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即 四、实数 1. 有理数的定义:任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2. 无理数的定义:无限不循环小数叫无理数 3. 实数的定义:有理数和无理数统称为实数 4. 负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分,实数也可以这样分类: 5. 实数与数轴上点的关系: 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来, 数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数, 实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6. 7. 实数的绝对值:一个正实数的绝对值是本身;

线性代数知识点总结第二章doc资料

线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵,记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ,简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===,,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵: 方阵 :行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作:A n 。 行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵:两矩阵的行数相等,列数也相等。 相等矩阵:AB 同型,且对应元素相等。记作:A =B 零矩阵:元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同) 对角阵:不在主对角线上的元素都是零。 单位阵:主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作:E n (不引起混淆时,也可 表示为E )(课本P29—P31) 注意 矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和,那么矩阵A 与B 的和记作A B +, 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。(课本P33) 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+; ()()()2A B C A B C ++=++

实数知识点题型归纳

第六章实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数,零,负实数 2.数轴:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1. 相反数:只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零. 性质:互为相反数的两个数之和为0。 2.绝对值:表示点到原点的距离,数a的绝对值为 3.倒数:乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1 a . 0没有倒数。 4.相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是非负数(0和正数);倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根 1.平方根:如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作(a>=0) 特性:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根还是零。负数没有平方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根,零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。 2.立方根:如果一个数的立方等于a,则称这个数为a立方根。数a的立方根用3a表示。 任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根,零的立方根是零。 开立方:求一个数的立方根(三次方根)的运算,叫做开立方。四、实数的运算 有理数的加法法则: a)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; b)异号两数相加。绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。 2.有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法法则: a)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零. b)几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正 c)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0 4.有理数除法法则: a | |a

初一数学第六章实数知识点归纳

第六章实数知识点归纳 一、实 数的 概念(3分) 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不 循环”这一 时之起 (1)开方开不尽的数,如 7,等;(2)有特定结构的数,如0.1010010001,等;32 32 (3) π 3 +8等; 3.实数与数轴上点: 实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反 过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的 实数大 二、实数的倒数、相反数和绝对值(3分) 1、相反数 从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数, 则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。 2、绝对值 一 个 数的绝 对值就是表示这 个数的 点 与原 | a | ≥ 。 零 |a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个 负数,绝对值大小。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有 倒数。 4、无限小数是有理数(×)无限小数是无理数(×) 有理数是无限小数(×)无理数是无限小数(√) 数轴上的点都可以用有理数表示(×)有理数都可以由数轴上的点表示(√) 数轴上的点都可以用无理数表示(×)无理数都可以由数轴上的点表示(√) 数轴上的点都可以用实数表示(√)实数都可以由数轴上的点表示(√) 三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根

北师大版八年级上册第二章实数知识点梳理及题型解析

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第二章《实数》知识点梳理及题型解析 一、知识归纳 (一)平方根与开平方 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根。 即a x =2 ,x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示 ⑴表示:正数a 的平方根用a ±表示,a 叫做正平方根,也称为算术平方根,a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根:a ± (根指数2省略) 0有一个平方根,为0,记作00= ,负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方:求一个数a 的平方根的运算。 a a =2==???-a a 00<≥a a ()a a =2 (0≥a ) ⑷a 的双重非负性 0≥a 且0≥a (应用较广) 例:y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位,它的正的平方根的小数点就相应地 向右或向左移动一位。 区分:4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后, 得____ 3.计算a 的方法????? ?? ??精确到某位小数  =非完全平方类 =完全平方类 773 294 *若0>>b a ,则b a > (二)立方根和开立方 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于a ,呢么这个数叫做a 的立方根,记作3a 2. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0. 3. 开立方与立方 开立方:求一个数的立方根的运算。 ()a a =3 3 a a =3 3 33a a -=- (a 取任何数) 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *0的平方根和立方根都是0本身。 (三)推广: n 次方根 1. 如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,这个数就叫做a 的n 次方 根。 当n 为奇数时,这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时,这个数叫做a 的偶次方根。 2. 正数的偶次方根有两个:n a ±;0的偶次方根为0:00=n ;负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。 (四)实 数 1. 实数:有理数和无理数统称为实数 实数的分类:

最新初中数学实数知识点总复习

最新初中数学实数知识点总复习 一、选择题 1.若30,a -=则+a b 的值是( ) A .2 B 、1 C 、0 D 、1- 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意得,3﹣a=0,2+b=0,解得,a=3,b=﹣2,a+b=1,故选B . 考点:1.非负数的性质:算术平方根;2.非负数的性质:绝对值. 2.一个自然数的算术平方根是x ,则它后面一个自然数的算术平方根是( ). A .x +1 B .x 2+1 C 1 D 【答案】D 【解析】 一个自然数的算术平方根是x ,则这个自然数是2,x 则它后面一个数的算术平方根是 . 故选D. 3的平方根是( ) A .2 B C .±2 D .【答案】D 【解析】 【分析】 ,然后再根据平方根的定义求解即可. 【详解】 ,2的平方根是, . 故选D . 【点睛】 正确化简是解题的关键,本题比较容易出错. 4.1,0( ) A B .﹣1 C .0 D 【答案】B 【解析】

【分析】 将四个数按照从小到大顺序排列,找出最小的实数即可. 【详解】 四个数大小关系为:10-<< < 则最小的实数为1-, 故选B . 【点睛】 此题考查了实数大小比较,将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键. 5.下列实数中的无理数是( ) A B C D .227 【答案】C 【解析】 【分析】 无限不循环小数是无理数,根据定义解答. 【详解】 =1.1是有理数; ,是有理数; 是无理数; D. 227 是分数,属于有理数, 故选:C. 【点睛】 此题考查无理数的定义,熟记定义是 解题的关键. 6.设,a b 是不相等的实数,定义W 的一种运算;()()()2 a b a b a b a b =+-+-W ,下面给出了关于这种运算的四个结论:①()6318-=-W ;②a b b a =W W ;③若0a b =W ,则 0b =或0a b +=;④()a b c a b a c +=+W W W ,其中正确的是 ( ) A .②④ B .②③ C .①④ D .①③ 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简()()()2a b a b a b +-+-,然后各式利用题中的新定义化简得到结果,即可作出判断. 【详解】

人教版七年级数学下册 第六章实数知识点归纳和典型例题

a 第六章 实数 【知识要点】 1. 算术平方根:一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a, 即 x 2 = a ,那么这个正 数 x 叫做 a 的算术平方根。a 的算术平方根记为 ,读作“根号 a”,a 叫做 被开方数。 2. 平方根:如果 x2=a,则 x 叫做a 的平方根,记作“± a ”(a 称为被开方数)。 3. 正数的平方根有两个,它们互为相反数;0 的平方根是 0;负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系: 区别:正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个。 联系:(1)被开方数为非负数; (2)正数的负平方根是它的算术平方根的相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。 (3)0 的算术平方根与平方根同为 0。 5. 如果x 3=a ,则x 叫做 a 的立方根,记作“ 3 a ”。 6. 正数有一个正的立方根;0 的立方根是 0;负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。 8. 立方根与平方根的区别: 一个数只有一个立方根,并且符号与这个数一致;只有正数和 0 有平方根, 负数没有平方根,正数的平方根有 2 个,并且互为相反数,0 的平方根只有一个且为 0. 9. 一般来说,被开方数扩大(或缩小) n 2 倍,它的算术平方根扩大(或缩小) n 倍,例如: = 5, = 50 . 10. 一般来说,被开方数扩大(或缩小)n 3 倍,它的立方根扩大(或缩小)n 倍, 1 25 2500

a a a a ?-a (a <0) 例如: = 5, 3 125000 = 50 . 11. 平方表:(希望大家背下来) 12=1 62=36 112=121 162=256 212=441 22=4 72=49 122=144 172=289 222=484 32=9 82=64 132=169 182=324 232=529 42=16 92=81 142=196 192=361 242=576 52=25 102=100 152=225 202=400 252=625 【题型规律总结】 1、平方根是其本身的数是 0;算术平方根是其本身的数是 0 和 1;立方根是其本身的数是 0 和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。 3、双重非负性: 本身为非负数,有非负性,即 ≥0; 有意义的条件是 a ≥0。 4、公式:(1)( )2=a (a ≥0); (2) 3 -a = - 3 a (a 取任何数)。 5、区分( )2=a (a ≥0)与 = a = ?a (a ≥0) ? 6、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于 0,则每一个非负数都为 0(此性质应用很广,务必掌握)。 3 125 a a 2

初中数学第六章 实数知识点-+典型题及解析

初中数学第六章 实数知识点-+典型题及解析 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A .有理数是整数和分数的统称 B .立方等于本身的数是0,1 C .a -一定是负数 D .若a b =,则a b = 2.25的算术平方根是( ) A .5± B .5 C .52 ± D .5 3.已知280x y -++=,则x y +的值为( ) A .10 B .-10 C .-6 D .不能确定 4.定义(),2f a b ab =,()2 2(1)g m m m =-+,例如:()1,22124f =??=, ()()2 112111g -=---+=,则()1,2g f ??-??的值是( ) A .-4 B .14 C .-14 D .1 5.若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式,如 a b c ++就是完全对称式(代数式中a 换成b ,b 换成a ,代数式保持不变).下列三个代数 式:①2 ()a b -;②ab bc ca ++;③222a b b c c a ++.其中是完全对称式的是( ) A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 6.下列说法正确的是( ) A . 1 4是0.5的平方根 B .正数有两个平方根,且这两个平方根之和 等于0 C .27的平方根是7 D .负数有一个平方根 7.实数33,10,25的大小关系是( ) A .3 10325<< B .3 31025<< C .3 10253< < D .325310<< 8.3的平方根是( ) A .±3 B .9 C .3 D .±9 9.2的平方根为( ) A .4 B .±4 C .2 D .±2 10.下列实数中,.. 3 1 -40.2π0-8647 , 3,,,,,无理数的个数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二、填空题 11.用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数a 和b ,规定a ☆b= .

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