关于高中数学选修教材4-1,4-4教材分析

关于高中数学选修教材4-1，4-4教材分析

一、宏观上对教学容的定位

1.选修系列4课程的作用

课标描述系列4所涉及的容都是基础性的数学容，对于系列4的学习，应提倡多样化的学习方式，可以是教师讲授，也可以是在教师指导下学生的自主探索和合作交流，还应鼓励学生独立阅读、写专题总结报告等，力求使学生切身体会“做数学”是学好数学的有效途径，独立思考是“做数学”的基础。”

2. 高考知识点要求

二、教学方法上的一些体会和感受

(一)、关于4-1《几何证明选讲》的一点教学体会

首要任务：应该是培养学生的逻辑推理能力.

教学重点：概念与性质之间的逻辑关系的探究.

知识结构

载体和策略加强课本习题挖掘，在问题中充分调动学生的几何知识，感受方法的多样性和思想的一致性.

(1)关于相似三角形

关键词：相似对应成比例思维训练

研究方法：寓理于算综合推理

D

A

案例1 P6相似三角形引发的对应边成比例的思考

一个ABC ?三条边分别为4,5,6，线段的a 长为2，线段b 长为3，现在要把线段b 截成两段，使这两段与线段a 组成的三角形与相似，则线段b 被截得的两端长分别是____和____,若线段b 的长为5.5 呢？ 案例2 CD AC BC ?=2形式引发的思考:

(1)结论的得到需要满足什么条件？

1. P4-4：在ABC ?,AC AB =,以B 为圆心,BC 为半径画弧交AC 于点D ，求证：

CD AC BC ?=2

思考1：题中隐含的信息：BC AB ≥，若AB BC <呢？ 例： 在ABC ?中，AC AB =，以B 为圆心，BC 为半径画弧，

交CA 延长线于点D ，求证：CD AC BC ?=2.

观察条件和结论，你能想到什么？均是由相似三角形的性质得到的结论，那么三角形要相似，你需要添加什么条件？

如图，在ABC ?中，点D 在边AC 上，若DBC A ∠=∠，则有：CD AC BC ?=2。 (2)你能从结论的形式想到什么？射影定理

直角三角形中用锐角三角函数会简单些，当然锐角三角比不过是相似直角三角形之的另一种表达形式，这种表达形式更加精炼第表达了相似直角三角形的性质。 （3）你还能从结论的形式联想到什么？切割线定理

BC 是圆O 的一条切线，由于弦切角定理知：=DBC A ∠∠,结论显然了。

（4）ABC ?中，点D 在边AC 上，若有

2

BC AC CD =?，那BC 是ABD ?的外接圆的过点B 切线吗？ 案例3 角平分线定理---P7-例题：已知AT 为ABC ? 角平分线,求证：=

BT AB

TC AC

. 思路一：课本（关注角相等，利用平行线截线段成比例） 思路二：利用面积比11sin 22

S ab C ah =

= 思路三：利用正弦定理（关注角相等） (2)关于圆锥曲线

这一段容主要是结合平行投影的知识利用平面斜截圆柱得到椭圆并类比此方案用平面截圆锥面得各种圆锥曲线，从而使学生对在解析几何中所研究的在概念上相对分散的圆锥曲线建立起动态的，统一的概念。可让学有余力的学生自学，但要为学生指明自学章节在整个教材中的地位、知识间在关系及自学可能遇到的困难，可让学生适量完成相关学习报告。总之，更多地是以高考为教学动机和参照的。

D

A

(二)、关于4-4《坐标系和参数方程》的一点教学体会

课标描述本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等容的综合应用和进一步深化。掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力。

个人理解：本专题分坐标系和参数方程两个部分。坐标系是解析几何的基础。在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，如学生熟悉的平抛运动。应该说参数方程是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，如摆线。对学生而言，学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。

知识结构

教学建议关于极坐标系中直线，圆等曲线极坐标方程的确定值得注意的方面

核心价值：即用一个数对表示点，进而通过代数计算研究点的运动轨迹。

（1）作为圆的极坐标方程的确立，点的极角的围讨论是不能忽略的，只是在最后书写时省去。

其次，极坐标方程处理某些主从动点问题也是比较方便的。

P14-例2从极点做圆ρ=2a cosθ的弦，求各弦中点轨迹方程.

课本27页的阅读材料是关于螺线的容，如果可能，是否可让学生利用课余时间通过对螺线的研读，使学生感受无处不在的螺线，感悟来自生活的数学，鲜活的数学，可能需要提醒学生的是阿基米德螺线和对数螺线不是同一种螺线。

B

D O

图1

P

O

E

C

D

A B

（2）关于直线参数方程值得注意的方面

直线参数方程其一般式为00x x st t y y mt =+??

=+?（为参数），而00cos ,

sin ,

x x t t y y t αα=+??=+?（为参数）

， α为倾斜角，参数t 具有鲜明的几何特征，有着更广泛的应用。

例过点P(3,0)做一条直线，使它夹在两直线2x-y-2=0,x+y+3=0间的线段AB ，恰被点P 平分，求此时直线AB 方程及AB 线段长，若点P 为线段AB 的一个三等分点呢？ （3）关于圆，椭圆，抛物线等参数方程值得注意的方面

圆，椭圆，双曲线的参数方程，我们也可理解为是一种三角换元，只是双曲线的参数方程设计正割，故不作为考核重点。 附参考题： 4-1几何证明选讲

1.( 2013年理11 )如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，

若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = .

5

9

, 4 2. ( 2012年理5 )如图. ∠ACB=90o，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( A )

A. CE·CB=AD·DB

B. CE·CB=AD·AB

C. AD·AB=CD2

D.CE·EB=CD2

3 .( 2011年理5 )如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论： ①AD AE AB BC CA +=++； ②AF AG AD AE ?=?； ③AFB ADG △△∽. 其中正确结论的序号是( A )

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

4. （2010年理12）如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .若

BD AE ⊥，4AB =，2BC =，3AD =，则=DE ；

CE = .5，7.

5.（2015年理）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ， 1BC

=，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = 8． 6.（2014海淀一模）如图，AB 切圆O 于B ，3AB =1AC =，则AO 的长

为_______．

C

F O

D

E

G

C O

B

A

C

B

O

A

D

A

B

C

P

D O

·

7.（2014东城一模）如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2AB BC =，且2BC =，

CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则CD = ；DAB ∠= ．

8.（2014东城二模）如图所示，PA 与圆O 相切于A ，直线PO 交圆O 于B ，C 两点，

AD BC ⊥，垂足为D ，且D 是OC 的中点，若6PA =，则PC = ．

9.（2014二模）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线， 交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点， 则AC BC ?=_____．

10.（2014西城二模）如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦， AB 与CD 相交于点E ，且

4CE DE ==，:4:1AE BE =，则 AE =______；

AC

BD

=______.

11. .（2014石景山一模）已知Rt △ABC 中，o

9054C AB BC ∠===，，， 以BC 为直径

的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ） A ．4 B ．

95 C ．125 D ．16

5

12.（2014昌平一模）如图，已知e O 中，弦23=BC ,BD 为e O 直径. 过点C 作e O 的切线，交BD 的延长线于点A ，30∠=?ABC .则AD =____ .

13.（2014大兴一模）如图所示，点,A B 是圆O 上的两点，120AOB ∠=o ，点D 是圆

周上异于A ，B 的任意一点，线段OD 与线段AB 交于点C .若OC mOA nOB u u u r u u r u u u r

=+，则

m n += ；若OD OA OB μλ=+u u u r u u r u u u r

，则μλ+的取值围是 ．

4-4参数方程和极坐标

1.（2015理科）在极坐标系中，点π23?

? ??

??到直线()

cos 3sin 6ρθθ+=的距离为

．1

A

C

D

B C D

. O

E B

A

M

D

C

B

O

2.（2015年理科）已知直线l 的极坐标方程为24

sin(2=

-）π

θρ，点A 的极坐标为722,

4A π?

? ??

?

，则点A 到直线l 的距离为

52

2

3.（15年文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1

C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2

22x t

y t

?=??=??（t 为参数），则1C 与2C 交点

的直角坐标为 ．()2,4-

4..（2015年）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404

π

ρρθ+-

-=，

，求圆C 的半径. 6 5.（2010）极坐标方程（ρ-1）(π)0θ-=（ρ≥0）表示的图形是( C )

（A ）两个 （B ）两条直线 （C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 6.（2011）在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（ B ） （A ）(1,

)2π

（B ）(1,)2

π

- （C ）(1,0) （D ）(1,)π

7.（2012）直线t t y t x (12???--=+=为参数)与曲线ααα

(sin 3cos 3?

??==y x 为参数)的交点个数为___2___.

8.（2013）在极坐标系中，点π26?

? ??

?，到直线sin 2ρθ=的距离等于 . 1

9.（2014）曲线1cos 2sin x y θ

θ

=-+??

=+?（θ为参数）的对称中心（ B ）

.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上

10.（2013）在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离__.

11.（2013）设曲线C 的参数方程为：x=t ，y=t 2

（t 为参数）半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_______. 12.（2012）如图,在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6

π

α=. 若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则=)(θf _________ .

13. 2015.二模.3在极坐标系中，过点π

(2,)6

-且平行于极轴的直线的方程是（ D ） （A ）cos 3ρθ= （B ）cos 3ρθ= （C ）sin 1ρθ= （D ）sin 1ρθ=-

x

O

M

l

α

14. 2014海淀一模 已知直线l 的参数方程为1,

1x t y t =+??=-+?

(t 为参数)，则直线l 的普通方程为（ ）

A.02=--y x

B.02=+-y x

C.0x y +=

D.02=-+y x

15.（2014海淀二模）在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心到极轴的距离为（ ） A ．1

C.

D. 2

16.（2014海淀上期末）下列极坐标方程表示圆的是（ ） A. 1ρ= B. 2

π

θ=

C. sin 1ρθ=

D. (sin cos )1ρθθ+=

17.（2014

丰台二模）直线1:0l x y +-=

与直线2,

2:(2

x l t y ?

=??

?

?=??

为参数）的交点到原点O 的距离是 （A ）1 （B

（C ）2 （D ）

18.（2014西城一模）在极坐标系中，过点π(2,)2

且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ=

（B ）2

θπ=

（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ

19.（2014

东城一模）在极坐标系中，点)4

π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（ ）

（A

）

2 （B

（C

）2

（D ）2 20.（2014东城二模）若直线1,

x t y a t

=+??=-?（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+??=+?αα（α为参数）

所截的弦长为则a 的值为

（A ）1 或5 （B ）1- 或5 （C ）1 或5- （D ）1- 或5- （龚禹）