工程电磁场课后题目答案

2-5有两相距为d 的无限大平行平面电荷，电荷面密度分别为σ和σ-。求由这

两个无限大平面分割出的三个空间区域的电场强度。

解：

10

00

22E σσσεεε??=

--= ???

20

0300

022022E E σσεεσσεε??=-

--= ???=

-=

2-7有一半径为a 的均匀带电无限长圆柱体，其单位长度上带电量为τ，求空间

的电场强度。

解：做一同轴单位长度高斯面，半径为r

(1)当r ≦a 时，2

20

2

012112E r r a r E a τ

πππετπε??=?

??=

(2)当r>a 时，0

022E r E r

τπετπε?=

=

2-15有一分区均匀电介质电场，区域1（0z <）中的相对介电常数12r ε=，区域2（0z >）中的相对介电常数25r ε=。已知1234x y z =-+E e e e ，求1D ，2E 和2D 。 解：电场切向连续，电位移矢量法向连续

()

()

11

222

11112

22122202020210

220

20,10,505020,10,201050502010201050x y z r r x r y r z r

r x r y r z r x y z

r

r x r y r z E E D D D E D e e e E e e e D e e e εεεεεεεεεεεεεεεεεε==-===-=∴=-+=-+=-+v v v v v v v v v v v v

2-16一半径为a 的金属球位于两种不同电介质的无穷大分界平面处，导体球的电位为0?，求两种电介质中各点的电场强度和电位移矢量。 解：边界电场连续，做半径为r 的高斯面

()()()()()()2212122

120

21212120

02222222S

a

a

r

D dS r

E E r E Q

Q

E r Q Q E dr dr r a

Q a a E e r πεεπεεπεε?πεεπεεπεε??∞

∞?=+=+=∴=

+?===++∴=+∴=???

?

v v v v v

v v ò

1

2

1020122210

20

112210

20

1020

,,,r r

p n p n a a D e D e r r

D D a

a

p e p e a

a

ε?ε?ε?ε?σσεεεεσ?σ?====

==

--=?=-

=?=-

v v v v v v

v v

两介质分界面上无极化电荷。

4-6 解：当2d

z <-

时，()02

y x K B e e μ=-v v v 当22d d

z -<<时，()02

y x K B e e μ=--v v v

当2d

z >时，()02

y x K B e e μ=-+v v v

4-8 解：当1r R <时，20022

11

22r rI rB I B R R μπμπππ=?= 当12R r R <<时，0022I

rB I B r

μπμπ=?=

当23R r R <<时，()()2222

20302

222

323222r R I R r rB I I B r R R R R πμπμππ??--??=-?=?--????

当3r R >时，0B =

4-9 解：2

0022

RJ

RB R J B μπμπ=??=

()

()()1122120102000012,2

,2

2222

z R

z r z z x y RJ B e e e e rJ B e e e e J J J J B B B Re re e R r e de de ααααααμμμμμμ∴==?==???=+=-=?-=?=??v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v

4-10 解：分界面上n B 连续，()121

212I B B r I B e r

αμμπμμπμμ??+

=?=

?+??v

()()21121212,I I H e H e r r

ααμμπμμπμμ=

=++v

v v v

5-4 设平板电容器极板间的距离为d ，介质的介电常数为0ε，极板间接交流电源，电压为wt U u m sin =。求极板间任意点的位移电流密度。 解：

wt

w d

U t E t D J wt d

U d U E m m

m cos sin 00εε=??=??===

?

? 5-7 一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的介电常数为ε，电导率为γ，在内外导体间加低频电压wt U u m cos =。求内、外导体间的全电流。 解：

Q E r =επ24 2

4r

Q

E πε=

?=-=b a

m wt U b

a Q Edr cos )11(4πε

b a wt U Q m 11cos 4-=

πε 2)11(cos r b

a wt

U E m -=∴

2

)(cos r a b wt

U ab E J m c -=

=γγ

2)(sin r

a b wt

abwU t D J m D --=??=

ε )sin cos (4)(42wt w wt a

b abU J J r I m

D c εγππ--=

+=

5-8 在一个圆形平行平板电容器的极间加上低频电压wt U u m sin =，设极间距离为d ，极间绝缘材料的介电常数为ε，试求极板间的磁场强度。 解：

wt w d

U t E t D J m

D cos εε=??=??=

wt d

wU r J r rH m

D cos 222επππ?

==

wt d

wrU H m

cos 2ε=

6-4 如题6-4图所示，一半径为R 的接地体球，过球面上一点P 作球面的切线PQ,在Q

点放置点电荷q ，求P 点的电荷面密度，

解：

d

R b q d

R q 2'=

-

=

P 点电场沿法向分量。 Q 在P 点电场沿切向方向

与q ’在P 点切向电场大小相等，方向相反 q ’在P 点电场的法向分量即为P 点的总电场。

22222

224)

(4''4cos '4'R d R q

d

R R d q R

r r q

d R r q D D n --

=--=?-====πππθπσ

8-1 一个空气介质的电容器，若保持板极间电压不变，向电容器的板极间注满介电常数为04εε=的油，问注油前后电容器中的电场能量密度将如何改变？若保持电荷不变，注油前后电容器中的电场能量密度又将如何改变？ 解：

QU

cU E E D w U

Q c E D d U E d s

c e 2

121212122==?=?==

==

=

εεερρ

当电压不变时，注油前后电场能量密度之比

4:14'00==εε：：e e w w

当保持电荷不变时

1

:4:4':212121002

2

22222222==?=?==εεεεεεe e e w w s Q s d d Q d c Q w 8-5 平板电容器中充满两种介质，介质在极板间的分布如题8-5图所示。用虚位移法分别求两种情况下介质分界面上单位面积所受作用力。 解：

（a ）2222112

22211112121211222212112

1

21]

[2

1)]([2

1

2

1

21E E f E E s l w F l d E l E s sl E sl E w e e e e εεεεεεεε-=

-=??=-?+?=

?+?=

（b ）][2

1]

[2

1)]([21212121

212

222112

22211112

2212112222121122221211E E ad F f E E ad l w F l l E l E ad d al E d al E d s E d s E w e e e e e εεεεεεεεεε-==

-=??=-+=+?=+=

8-6 一个长度l 的圆形电容器，两个同轴圆柱薄壳的半径分别为a 和b ，其间充满介电常数为ε的固体介质。现将介质从电容器中沿轴向拉出一部分，且保持不动，求此时需对介质施加的外力。

解：设拉出部分为x 。圆柱体内的电场强度为E=

a

b r U ln

总电场能量])([ln 02

x x l a

b U w e εεπ+-=

)(ln 02

εεπ-=??=a

b U x

w F e

详解：

E

r E E r επττ

επ22=

= τ为内导体单位长度上电量。

a

b r U

E a b la U a

b Edr U b

z ln

2ln 2=

∴=

=

=?πετπετ

介质内电场能量密度221E w e ε=

无介质部分201

2

e w E ε= 总能量)

(ln )]

([ln ln )

(ln )(221221

02

022

20220εεεεεππεπεπε-=??=-+=-+=-?+=??

a

b U x

w F x l x a

b U a

b U x l a b U x dr x l r E rxdr E w e b a b

a e

施加的外力为

)(ln 02

εε-a

b U 方向向外

8-7 内导体半径为a ，外导体半径为b 的同轴电缆中通有电流I 。假定外导体的厚度可以忽略，求单位长度的磁场能量，并由此求单位长度的电感。 解：

222

00

2

020222

821222b 22122)

(2r I u B H w r

I u B r I H I

rH a r r a I u B H w r

a

I u B r a I H a r I a

r rH m m ππππππππππ=

?===

=>>=?===

<=ρρρρ时当 单位长度磁能：

)

ln 41(222

1)ln 41(4ln

416ln 44428282022

2

020202044

20222

22200a b I u I

w L LI w a b I u a b I u I u a b I u a r

I u rdr r I u rdr r I u w m m b a a

m +==∴=+=+=+?=?+?=??ππππππππππ 8-11 一个平板电容器的极板为圆形，极板面积为S ，极间距离为d 。介质的介电常数为0ε，电导率为γ。当极板间的电压为直流电压U 时，求电容器中任一点的坡印亭矢量。 解：

r

z p z

c z

e d rU e r d U e d U H E S e r d U H d

U

r rH e d U E J e d U E ρρρρρρρρρρρρρ2

22

2222γγγγππγγαα

-=?=?====== 9-2 设空间某处的磁场强度为m A e x t x /)21.0102cos(1.07

-?=πH 。求电磁波的传播

方向，频率，传播系数和波阻抗，并求电场强度的表达式。 解：沿x 方向传播

m

v e x t E u Z s m c v m rad c w Hz w

f y y c /)21.0102cos(7.37377/103/21.010*********

88

7

7ρ

-?=Ω

==

?===??====πεπβπ

9-3

一

在

真

空

中

传

播

的

电

磁

波

电

场

强

度

为

m V e ky wt e ky wt E E z x /])sin()[cos(0---=,求磁场强度。

解：m v e ky wt e ky wt E E x z /])sin()cos([377

0ρ

ρρ----= 9-6 在自由空间中某一均匀平面波的波长为12cm 。在当它在某一无损媒质中传播时，其波长为8cm ，且已知在该媒质中E 和H 的幅值分别为50V/m 和0.1A/m 。求该平面波的频率以及该无损媒质的r μ和r ε。 解：

989

.1131.1)377

500(

5001

.050

377

49

)(1

25.0/102103812222

2

2

222

22822

8

2121==????????=∴===

==??????==∴=

=

==?=?==∴===

r r r

r

r

r

c r r r

r u u H E u u Z v c u u c

u v GHz v

f x m v v v v f

v w v k εεεεεεελ

λλππλ由①②得：②①即

9-9 频率为Hz 10

10的平面电磁波沿x 轴垂直透入一平面银层，银层的电导率为

m S /1037?,求透入深度。

解：m fu d 5

7

7101019.910

3104102222

--?=?????==

ππγπ 10-1 求截面如题10-1图（a ）和（b ）所示长度为l 的两种圆柱形电容器的电容。 解：

设内导体单位长度的电荷为τ。内，外导体间电压为U 。 （a ）D 连续

1

3

1122211

3

2121212211ln ln 2ln 2ln 222222

1

2

1

R R R R

l

U

l c R R R R dr E dr E U r

E r E r D rD R R R R εεεπετπετ

πετπετπετπττ

π+==

∴+=

+==

=

=

=??

（b ）E 连续

21

12122121122

1

(2)[(2)]ln (2)[(2)]

ln

R R r E r E E r R U Edr R l l C R U

R αεπαετ

τ

αεπαεταεπαεταεπαε+-==

+-==+-∴==+-?

10-5 如题10-5图所示，半球形电极埋于徒壁附近。已知电极半径为a 。距离h ，土壤的电导率为γ，且a 《h 。考虑徒壁的影响，求接地电阻。 解： 镜像法

ah

h a ah a h h a I U R h I

a I U πγπγπγπγπγ42241)12(4124242+=+?=+==?+

=

10-9 内半径为1R ，外半径为2R ，厚度为h ，磁导率为)(0μμμ>>的圆环形铁芯，其上均匀密度绕有N 匝线圈。求此线圈的自感。若将铁芯切割掉一小段，形成空气隙，空气隙对应的圆心角为α?，求线圈的自感。 解：

没切气隙情况下 1

2

2ln

2R R h uN I L πψ

== 有气隙情况下：

1

2201200201

2

0000ln

ln )(2ln )2(])2([)2(R R h N u R R u u u h uN u I N L R R u u uNIh u S d B r u u uNI

u B NI u B

r u B r

s ααπφ

ααπφααπααπ?≈?-+==?+?-=?=?+?-=

=?+?-?ρρ

补充习题

1无限长直导线中通过电流为1I ，与其共面的矩形线圈中通过电流为2I ，求直导线与矩形

线圈间的互感M 、互能及相互作用力。

解：1I 激发的磁场01

2I B r

μπ=

1I 激发的磁场在矩形线圈中的磁通

01011d d ln 22c b S

c aI aI c b

r r c μμππ++Φ=?==???B S 互感01ln 2a c b

M I c

μπΦ+=

= 互有磁能01212

ln

2m a c b

W I I M I I c

μπ+== 相互作用力()

012122m W ab M

F I I I I c c c c b μπ??=

==-??+ 2 球形电容器内外导体半径分别为a ，b ，导体间电压为U ，两导体间充满介电

常数为ε，电导率为γ的媒质，求媒质中的漏电流，漏电阻。 解：介质内的电场强度()2

abU

E b a r =

- 漏电流密度()2

ab U

J E b a r γγ==-

漏电流4ab U

I b a

πγ=- 漏电阻4U b a R I ab πγ

-=

= 3同轴电缆长度为l , 内外导体半径为12,R R ，中间绝缘材料的电导率为γ，求电缆的绝缘电阻。

解：2I J rl

π=

，2I

E rl πγ

=

，

2

1

2

1

ln

2R R R I U Edr l

R πγ=

=

? 21

1

ln 2R U R I l R πγ=

= 8 0>z 的半无限大空间为真空，0

置在z 轴上点(),,00A a 处，0>a ，求z 轴上另一点(),,002B a 处的电场强度E 。

解：镜像电荷=-q'q ，位置(),,00-a

()222001184363πεπε??=-= ? ???z z

q q a a

a E e e 9已知电位函数?=50xyz 2

+20x 2

(V)。求:（1）P （3，2，1）点的电位； （2）该点的电场强度E p ; （3）该点的体电荷密度ρp (设介质为真空)。 解：（1）380V P ?=

（2）()22504050100x y z yz x xz xyz ?=-?=-+--E e e e ()220150600P x y z =-++E e e e （3）()20040100xy ρε?ε=-?=-+ 200640ρε?ε=-?=-

10 一点电荷q 以角速度ω沿半径为R 的圆周逆时针运动，当0t =时，电荷过(),0R 点，求圆心处的位移电流密度。

解：在t 时刻，圆心与点电荷的连线与x 轴正方向的夹角为t ω，此时圆心处的电位移矢量

与x 轴正方向的夹角为t ωπ+，所以，电位移矢量为

()()22cos sin cos sin 44x y x y q q t t t t R R ωπωπωωππ????=

+++=-+????D e e e e 位移电流密度

()2

sin cos 4D x y q t t t R ωωωπ?=

=-?D J e e