高中导数经典知识点及例题讲解
高中导数经典知识点及
例题讲解
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题
自学引导
1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．
2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身
1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy
Δx
＝________.
2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy
Δx
＝________，表示函数
y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.
1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
答 案
2.
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
名师讲解
1.如何理解Δx ，Δy 的含义
Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．
2．求平均变化率的步骤
求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.
(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1
x 2－x 1
.
对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在
[0，π2]上的平均变化率为sin π
2－sin0
π2－0
＝2π.
在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.
典例剖析
题型一求函数的平均变化率
例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求t＝0到t＝1的平均速度．
分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)
－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔS
Δt
就可以得到平均速度．
解(1)由于v＝S
t
＝
3t－t2
t
＝3－t.
∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1
∴v＝ΔS
Δt
＝
2
1
＝2.
∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.
误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.
变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一
点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy
Δx
＝( )
A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)
＝－(Δx)2＋3Δx.
∴Δy
Δx
＝
－Δx2＋3Δx
Δx
＝－Δx＋3
答案D
题型二平均变化率的快慢比较
例2 求正弦函数y＝sin x在0到π
6
之间及
π
3
到
π
2
之间的平均变化率．并
比较大小．
分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
解设y＝sin x在0到π
6
之间的变化率为k1，则
k 1＝sin
π
6－sin0π6
－0＝3
π.
y ＝sin x 在π3到π
2
之间的平均变化率为k 2，
则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－
32π6＝
3
2－3π.
∵k 1－k 2＝3π
－
3
2－3π
＝
33－1π
>0，
∴k 1>k 2.
答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π
2之间的平均
变化率为
3
2－3π
，且
3π>32－3π
.
变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π
2
之间的平均变化率的大小．
解 设函数y ＝cos x 在0到π
3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π
3－cos0
π3－0＝
－32π.
函数y ＝cos x 在π3到π
2之间的平均变化率是k 2，
则k 2＝cos
π2－cos π3π2－π3＝－3
π.
∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝3
2π
>0，
∴k 1>k 2.
∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π
2
之间的平均变化
率．
题型三 平均变化率的应用
例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．
分析由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→Δs Δt
解物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)
＝(Δt)2＋4Δt.
物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为
Δs Δt ＝
(Δt)2＋4Δt
Δt
＝4＋Δt.
变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．解质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为
v－＝s2＋Δt－s2
Δt
＝[2＋Δt2＋1]－22＋1
Δt
＝4Δt＋Δt2
Δt
＝4＋Δt.
又v－≤5，∴4＋Δt≤5.
∴Δt≤1，又Δt>0，
∴Δt的取值范围为(0,1].
§ 1.1函数的单调性与极值
1.1.2导数的概念
自学引导
1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．
2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．
3．掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.
课前热身
1.瞬时速度．
设物体的运动方程为S ＝S (t )，如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝
S t 0＋Δt －S t 0
Δt
.
当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0
ΔS Δt ＝lim Δt →0
S t 0＋Δt －S t 0
Δt
就是物体在时刻t 0的速度即为________．
2．导数的概念．
设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近0
时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0
Δx
无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是
函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为
f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝________
1.平均速度 瞬时速度 答 案
2.lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
名师讲解
1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；
(2)求平均速度v ＝ΔS
Δt
；
(3)求极限lim
Δt→0ΔS
Δt
＝lim
Δt→0
S t ＋Δt －S t
Δt
；
(4)若极限存在，则瞬时速度v＝lim
Δt→0ΔS Δt
.
2．导数还可以如下定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim
Δx→0
f x
＋Δx－f x0
Δx
＝lim
Δx→0Δy
Δx
.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导
数．记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
f x
＋Δx－f x0
Δx
.
3．对导数概念的理解
(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．
(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：
①lim
Δx→0Δy
Δx
存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②lim
Δx→0
Δy
Δx
不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．
(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.
(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是
f′(x
)＝lim
x→x
0f x－f x
x－x
与定义中的f′(x0)＝lim
Δx→0
f x
＋Δx－f x0
Δx
意义相同．
4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率：Δy
Δx
＝
f x
＋Δx－f x0
Δx
；
(3)取极限，得导数：f′(x0)＝lim
Δx→0Δy Δx
.
典例剖析
题型一物体运动的瞬时速度
例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－1
2
gt2，
求物体在时刻t0处的瞬时速度．
分析 先求出Δs ，再用定义求
Δs
Δt
，当Δt →0时的极限值． 解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－(v 0t 0－12gt 20)＝(v 0－gt 0
)Δt －1
2
g (Δt )2，
∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12
g ·Δt . ∴当Δt →0时，Δs
Δt →v 0
－gt 0. 故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.
规律技巧 瞬时速度v 是平均速度v 在Δt →0时的极限.因此，v ＝lim Δt →0
v ＝
lim
Δt →0
Δs Δt
. 变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝5t －t 2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度。
解 ∵Δs ＝5(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(5×2－22) ＝Δt －(Δt )2，
∴
Δs
Δt
＝1－Δt . ∴v ＝lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(1－Δt )＝1.
∴物体在t ＝2时的瞬时速度为1. 题型二 求函数在某点处的导数
例2 求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．
分析 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法．
解法1 ∵Δy ＝1＋Δx －1，
∴Δy Δx ＝1＋Δx －1
Δx ＝Δx
Δx
1＋Δx ＋1
＝
11＋Δx ＋1
.
∴lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0
11＋Δx ＋1＝12
. ∴y ′|x ＝1＝1
2.
解法2 (先求导数，再求导数值) ∵Δy ＝x ＋Δx －x ， ∴Δy Δx ＝x ＋Δx －x
Δx
＝
1
x ＋Δx ＋x
.
∴y ′＝lim Δx →0
1x ＋Δx ＋x
＝
12x
.
∴y ′|x ＝1＝1
2.
规律技巧 求函数y ＝f x 在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是应用导数定义；二是先求导数再求导数值.
变式训练2 利用定义求函数y ＝x ＋1
x
的导数，并据此求函数在x ＝1处的导
数．解 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋
1x ＋Δx －(x ＋1
x
) Δy Δx ＝1－1
x x ＋Δx
， ∴y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
[1－
1x
x ＋Δx
]
＝1－1
x
2.
∴y ′|x ＝1＝1－1
12＝0.
＝Δx －Δx
x x ＋Δx ，
题型三 导数的应用
例3 某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4的规律作直线运动，求自运动开始到4s 时，物体运动的平均速度和4s 时的瞬时速度．
分析 解答本题，可先求自运动开始到t s 时的平均速度v (t )及函数值的增量Δs ，自变量的增量Δt ，再利用公式求解即可．
解自运动开始到t s时，物体运动的平均速度v－(t)＝s t
t
＝3t＋2＋
4
t
，
故前4秒物体的平均速度为v－(t)＝3×4＋2＋4
4
＝15.
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4) ＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2，
∴Δs
Δt
＝2＋6t＋3Δt.
∴lim
Δt→0Δs
Δt
＝2＋6t.
∴4s时物体的瞬时速度为2＋6×4＝26.
规律技巧导数的物理意义：
1若已知位移s与时间t的函数关系s＝s t，则在t0时刻的瞬时速度v＝s′t0；
2若已知速度v与时间t的函数关系v＝v t，则在t0时刻的瞬时加速度a＝v′t0.
变式训练3 竖直上抛一小球，其位移与时间的关系为h(t)＝100t－1 2
gt2，试求小球何时瞬时速度为0(g≈9.8)．
解小球的运动方程为h(t)＝100t－1
2
gt2，
∴Δh＝[100(t＋Δt)－1
2
g(t＋Δt)2]－(100t－
1
2
gt2)
＝∴lim
Δt→0Δh
Δt
＝100－gt，
令100－gt＝0，得t＝100
g
＝
100
9.8
≈10.2(s)．
因此，小球被上抛10.2s时速度变为0.
100Δt－gtΔt－1
2
g(Δt)2.
例4 已知质点M按规律s＝at2＋3(单位：cm)做直线运动，且质点M在t ＝2s时的瞬时速度为8cm/s，求a的值．
分析这是一道逆向思维的题目，知导数s′|t＝2＝8，求系数a，先对s求导，可得含a的方程．解出a即可．
解Δs＝a(2＋Δt)2＋3－(a·22＋3)
＝4a·Δt＋a(Δt)2
∴lim
Δt→0Δs
Δt
＝lim
Δt→0
(4a ＋a·Δt)＝4a.
依题意有4a＝8，∴a＝2.
变式训练4 已知f(x)＝ax＋b，且f′(1)＝2，求实数a的值．解Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)＋b－(a＋b)
＝aΔx.
∴f′(1)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
a＝a.
又f′(1)＝2，∴a＝2.
§ 1.1函数的单调性与极值
1.1.3导数的几何意义
自学引导
1.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义．
2．会求函数在点(x0，y0)处的切线方程.
课前热身
1.几何意义：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)即为f(x)所表示的曲线在x＝x
处的切线的斜率，即k＝f′(x0)＝lim
Δx→0
f x
＋Δx－f x0
Δx
.过点(x0，f(x0))的切线方程为________．
2．物理意义：如果把函数y＝f(x)看作是物体的运动方程(或叫位移公式)，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻t0的速度，即在x0的________．即
vx
＝f′(x0)＝lim
Δx→0Δy Δx
.
3．如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x的导数都存在，那么称f(x)在区间(a，b)内可导．这样对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函
数y＝f(x)的________，记为________，简称为________．今后，如不特别指明某一点的导数，求导数就是指求导函数.
答案
1.y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
2.瞬时速度
3.导函数f′(x)(或y′x、y′) 导数
名师讲解
1.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系：
“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值；“导函数”简称“导数”，是一个函数．所以求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．
2．可以利用导数求曲线的切线方程．由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，表示曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．因此，曲线y＝f(x)在点
P(x
，f(x0))处的切线方程可如下求得：
(1)求出f′(x0)，则f′(x0)就是点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为
y－f(x
)＝f′(x0)(x－x0)．
如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴时(此时导数不存在)，切线方程为x＝x0.
典例剖析
题型一求曲线上某点处的切线方程
例1 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点．
分析先求出函数y＝x3在x＝1处的导数，即切线的斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数．
解(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
∴切点P(1,1)．
∵y′＝lim
Δx→0
Δy
Δx
＝lim
Δx→0
x＋Δx3－x3
Δx
＝lim
Δx→0
3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3
Δx
＝lim Δx →0
[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，
∴y ′|x ＝1＝3.
∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0. (2)由???
y ＝3x －1＋1y ＝x
3
可得
(x －1)(x 2＋x －2)＝0，
解得x 1＝1，x 2＝－2，
从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)．
说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点．
规律技巧 先求出函数y ＝f x 在x ＝x 0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程.
变式训练1 求双曲线y ＝1
x 在点(1
2
，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．
解 ∵y ＝1
x
，
∴k ＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
1x ＋Δx －1
x
Δx
＝lim Δx →0
－1x 2＋x Δx ＝－1
x 2
.
∴当x ＝1
2
时，k ＝－4，∴切线斜率为k ＝－4.
切线方程为y －2＝－4(x －1
2
)，
即4x ＋y －4＝0.
题型二 求过某点的切线方程
例2 求抛物线y ＝x 2
过点(5
2
，6)的切线方程．
分析 点(5
2
，6)不在抛物线上，先设出切点坐标，求出切线的斜率，利用
等量关系，求出切点坐标，最后写出切线方程．
解 设此切线在抛物线上的切点为(x 0，x 20)，则
y′|x＝x
＝lim
Δx→0x
＋Δx 2－x20
Δx
＝lim
Δx→0
(2x0＋Δx)＝2x0，
∴x2
－6
x
－
5
2
＝2x0，即x20－5x0＋6＝0，解得
x
＝2，或x0＝3.
即切线经过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)．
故切线方程分别为
y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)，
即4x－y－4＝0，或6x－y－9＝0为所求的切线方程．
规律技巧求切线方程时，注意两种说法：一是在某点处的切线方程，此时点在曲线上，且以此点为切点；二是过某点的切线方程，如本例，此时求解时，首先要设出切点坐标，然后求解.
变式训练2 求抛物线y＝1
4
x2过点(4，
7
4
)的切线方程．
解设切线在抛物线上的切点为(x0，1
4
x2
)，
∴y′|x＝x0＝lim
Δx→01
4
x
＋Δx2－
1
4
x2
Δx
＝lim
Δx→0 (
1
2
x
＋
1
4
Δx)＝
1
2
x
.
∴1
4
x2
－
7
4
x
－4
＝
1
2
x
.
即x20－8x0＋7＝0，
解得x0＝7，或x0＝1，
即切线过抛物线y＝1
4
x2上的点(7，
49
4
)，(1，
1
4
)，
故切线方程分别为
y－49
4
＝
7
2
(x－7)，或y－
1
4
＝
1
2
(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0，或2x－4y－1＝0，
此即所求的切线方程．
题型三导数几何意义的综合应用
例3 求曲线y＝x2在点(3,9)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面
积．
分析由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式计算．
解Δy＝(3＋Δx)2－32
＝6Δx＋(Δx)2，
∴f′(3)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
(6＋Δx)＝6.
∴点(3,9)处的切线方程为y－9＝6(x－3)，即y＝6x－9.
切线与两坐标轴的交点分别为(3
2
，0)，(0，－9)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为
S＝1
2
×
3
2
×9＝
27
4
.
变式训练3 在曲线y＝x2上求一点P，使过点P的切线与直线y＝4x－5平行．
解设P(x0，x20)，
则f′(x0)＝lim
Δx→0Δy Δx
＝lim
Δx→0x
＋Δx2－x20
Δx
＝lim
Δx→0
(2x0＋Δx)＝2x0.
由题意可得
2x0＝4，∴x0＝2.
故点P的坐标为(2,4).
§ 1.2导数的计算
1.2.1几种常用函数的导数及导数的运算法则自学引导
1.能根据导数的定义，会求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1
x
，y＝x
的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数.
课前热身
原函数导函数
(1)f(x)＝c f′(x)＝________
(2)f(x)＝x n(n∈Q)f′(x)＝________
(3)f(x)＝sin x f′(x)＝________
(4)f(x)＝cos x f′(x)＝________
(5)f(x)＝a x f′(x)＝________
原函数导函数
(6)f(x)＝e x f′(x)＝________
(7)f(x)＝log a x f′(x)＝________
(8)f(x)＝ln x f′(x)＝________
2.
(1)[f(x)±g(x)]′＝________；
(2)[f(x)·g(x)]′＝________；
(3)[f x
g x
]′＝________.
答
案
1.(1)0
(2)nx n－1
(3)cos x
(4)－sin x
(5)a x ln a(a>0)
(6)e x
(7)
1
x ln a(a>0，且a≠1)
(8)
1
x
答
案
2.(1)f ′(x)±g′(x)
(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)
f′(x)g(x)－f(x)g′(x)
[g(x)]2
(g(x)≠0)
名师讲解
(3)公式中n∈Q，但对于n∈R公式也成立．
(4)特别注意n为负数或分数时，求导不要搞错．如
2．两函数和差的求导法则的推广
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
此法则可以推广到有限个可导函数的情形．[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f n′(x)．
(2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数)．
3．两函数商的求导法则
?
?
?
?
?
?
f x
g x′＝
f′x g x－f x g′x
g2x
(g(x)≠0)，
当f(x)＝1时，则有
?
?
?
?
?
?
1
g x′＝－
g′x
g2x
(g(x)≠0)．
这是一个函数倒数的求导法则．
4．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数表示形式很复杂，直接求导比较困难，但经过化简整理，有可能很简单，这时再求导可能很简便，也就是说，先把复杂式子化简后再求导，减少运算量.
题型一求导函数
例1 求下列函数的导数．
(1)y＝x12；
(2)y＝
1
x3
；
(3)y＝3
x2.
分析这三个小题都可归为x n类，用公式(x n)′＝nx n－1完成．典例剖析
解(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(1
x3
)′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4.
变式训练1 求下列函数的导数．
(1)f(x)＝10x；
(2)f(x)＝log2x；
(3)g(t)＝e t.
解(1)f′(x)＝(10x)′＝10x ln10.
(2)f′(x)＝(log2x)′＝
1
x ln2
.
(3)g′(t)＝(e t)′＝e t.
题型二求函数在某点处的导数
例2 (1)求函数y＝a x，在点P(3，f(3))处的导数；
(2)求函数y＝ln x在点Q(5，ln5)处的导数．
分析先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值．解(1)∵y＝a x，
∴y′＝(a x)′＝a x ln a.
则y′|x＝3＝a3ln a.
(2)∵y＝ln x，∴y′＝(ln x)′＝1 x .
则y′|x＝5＝1
5 .
规律技巧求函数在某定点点在函数曲线上的导数，一般过程是：①先求导函数；②把定点的横坐标代入导函数求出导数值.
变式训练2 求下列函数在某点处的导数．
(1)y＝log a x，x＝2；
(2)y＝cos x，x＝π4
；
(3)y＝2x3＋3
x，x＝1；
(4)y＝sin x，x
＝
π
3
.
解(1)∵y＝log a x，∴y′＝
1
x ln a
.
则y′|x＝2＝
1
2ln a
.
(2)∵y＝cos x，∴y′＝－sin x.
则y′|x＝π
4
＝－sin
π
4
＝－
2
2
.
则y′|x＝1＝6＋1
3
＝
19
3
.
(4)∵y＝sin x，∴y′＝cos x.
则y′|x＝π
3
＝cos
π
3
＝
1
2
.
题型三利用运算法则求导数例3 求下列函数的导数．(1)y＝x2·sin x＋cos x；
(2)y＝ln x
x＋1
；
(3)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
(4)f(x)＝1＋x
1－x
＋
1－x
1＋x
.
分析对于(1)、(2)可以利用公式直接求导，(3)、(4)先化简再求导．解(1)y′＝(x2sin x＋cos x)′
＝(x2sin x)′＋(cos x)′
＝2x sin x＋x2cos x－sin x
＝(2x－1)sin x＋x2cos x.
(2)y′＝(ln x
x＋1
)′
＝1
x
x＋1－ln x
x＋12
＝
1－ln x＋
1
x
x＋12
＝
x－x ln x＋1
x x＋12
.
(3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)
＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5
f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′
＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(4)∵f(x)＝1＋x
1－x
＋
1－x
1＋x
＝1＋x2
1－x
＋
1－x2
1－x
＝
21＋x
1－x
＝
4
1－x
－2，
∴f′(x)＝(
4
1－x
－2)′＝
4′1－x－41－x′
1－x2
＝
4
1－x2
.
规律技巧运用求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y ＝f(x)的结构特征，对于直接求导很繁琐的，一定要先化简，再求导．
变式训练3 求下列函数的导数．
(1)y＝tan x；
(2)y＝
1
1－x
＋
1
1＋x
；
(3)y＝1＋sin x
2
cos
x
2
；
(4)y＝
x
x＋1
－2x.
解(1)y＝tan x＝sin x cos x
，
∴y′＝(sin x
cos x
)′＝
sin x′cos x－sin x cos x′
cos2x
＝cos2x＋sin2x
cos2x
＝
1
cos2x
.
(2)∵y＝
1
1－x
＋
1
1＋x
＝
2
1－x
，
∴y′＝(
2
1－x
)′＝
－21－x′
1－x2
＝
2
1－x2
.
(3)∵y＝1＋sin x
2
cos
x
2
＝1＋
1
2
sin x，
∴y′＝(1＋1
2
sin x)′＝
1
2
cos x.
(4)y′＝(
x
x＋1
)′－(2x)′
＝x＋1－x
x＋12
－2x ln2
＝
1
x＋12
－2x ln2.
题型四求切线方程
例4 求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．
分析点(1，－1)虽然在曲线上，但它不一定是切点，故应先求切点．
高中数学导数及微积分练习题
1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，
底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
高考数学 导数及其应用的典型例题
第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ
可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax
导数经典专题整理版
导数在研究函数中的应用 知识点一、导数的几何意义 函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（ ） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】 （1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性 （1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间.
例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和 （2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值 函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点） 例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值
高中数学导数经典习题
导数经典习题 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ） 4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 5．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- A x D C x B
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
(完整)高中数学导数典型例题
高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 高中数学导数典型例题 精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定 义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等， 考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多 样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解， 函数在某点的导数就是函数在这点平均变化 率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ； c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析 问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0； 当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（） （A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故 所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。 【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数. 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 ２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 导数典型例题 数作 考 内容的考 力度逐年增大 .考点涉及到了 数的所有内容，如 数的定 ， 数的几何意 、物理意 ，用 数研究函数的 性，求函数的最（极） 等等，考 的 型有客 （ 、填空 ） 、主 （解答 ） 、考 的形式具有 合性和多 性的特 点 .并且， 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 . 一、与导数概念有关的问题 【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的 数 .100 2 C ！ f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ＇ (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= （ -1 ）（ -2）?（ -100 ） =100 ！ ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）?（ -100 ） =100 ！ . ∴ D. 点 解法一是 用 数的定 直接求解，函数在某点的 数就是函数在 点平均 化 率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 . 【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n ， n ∈ N * ， 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0 又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 ， ∴ f ＇(2)= 1 （ 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点 数定 中的“增量 x ”有多种形式，可以 正也可以 ，如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) ， 且 其 定形 式 可 以 是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x ， 也 可 以 是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) （令 x=x-x 得到），本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim x x x 0 知 的 合 ， 接交 、自然，背景新 . 【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加， 半径 R=10 cm ， 面 增加的速 度是 . 知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)高二数学导数及其应用练习题及答案
高中数学导数典型例题精讲
导数典型例题.doc
(完整word)高中数学导数练习题
精编导数及其应用高考题精选含答案
(完整版)函数与导数经典例题(含答案)
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函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题