(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例题

反比例函数

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k

y =

还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.

⑵比例系数0≠k

⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，x

k

y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，

函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =

（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x

k

y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4

5. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,

但是反比例函数x

k

y =中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数2

22

-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值

是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x

k

y =

，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0

???<-=-+01222k k k 解得?????<=

-=0211k k k 或

1-=∴k

1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为x

y 1

-=

【例2】在反比例函数x y 1

-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）

A ．213y y y >>

B ．123y y y >>

C ．321y y y >>

D ．231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得111x y -

=，221x y -=，3

31x y -= 3210x x x >>>Θ，213y y y >>∴所以选A

解法二：用图像法，在直角坐标系中作出x

y 1

-=的图像

描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三：用特殊值法

213321321321,1,1,2

1

1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令Θ

【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x

m

n y m n mx y -=≠+=30相交于点

（22

1

，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】

???==??

???=-=+∴??? ??-=+=12132

212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线Θ

?????==???-=-=??

?

?

?=+==+=∴2

21111121,12221

1y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为

()11--∴，另一个点为

【例4】 如图，在AOB Rt ?中，点A 是直线m x y +=与双曲线x

m

y =在第一象限的交点，且2=?AOB S ，则m 的值是_____.

图

解:因为直线m x y +=与双曲线x

m

y =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有A

A A A x m

y m x y =

+=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,.

所以m y x AB OB S A A AOB 2

1

2121==?=

?.而已知2=?AOB S . 所以4=m . 三、练习题

1.反比例函数x

y 2

-=的图像位于（ ）

A ．第一、二象限

B ．第一、三象限

C ．第二、三象限

D ．第二、四象限

2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）

A 、正比例函数

B 、反比例函数

C 、一次函数

D 、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）

o

y x

y x

o

y x

o

y x

o

A B C D

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

A 、不小于54m 3

B 、小于54m 3

C 、不小于45m 3

D 、小于45

m 3

5．如图 ，A 、C 是函数x

y 1

=

的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt

ΔAOB 的面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ ） A ． S 1 ＞S 2 B ． S 1

C ． S 1=S 2

D ． S 1与S 2的大小关系不能确定

6．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1

n x

+的图象都经过点A （-2，1）.

求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标；

（3）△AOB 的面积．

7. 如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k

x 的图象交于A 、B

两点，与x 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－2，1），点B 的坐标为（1

2

，m ）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

O

y

x

A

B

C

D

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

8．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．

（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.

（1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？

10．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数m

y x

=的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。 (1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积。

四、课后作业

1．对与反比例函数x

y 2

=

，下列说法不正确的是（ ） A ．点（1,2--）在它的图像上 B ．它的图像在第一、三象限 C ．当0>x 时，的增大而增大随x y D ．当0

y k x

=≠的图象经过点（1，-2）

，则这个函数的图象一定经过（ ）

A 、（2，1）

B 、（2，-1）

C 、（2，4）

D 、（-1，-2）

3．在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线x k

y 2=没有交点，那么1

k 和2k 的关系一定是（ ） A. 1k +2k =0

B. 1k ·2k <0

C. 1k ·2k >0

D.1k =2k

4. 反比例函数y ＝k

x

的图象过点P （－1.5，2），则k ＝________．

5. 点P （2m －3，1）在反比例函数y ＝1

x

的图象上，则m ＝__________．

6. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3）则m 的值为__________．

7. 已知反比例函数x

m

y 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ，当210x x <<时，

有21y y <，则m 的取值范围是？

8.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求：

(1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值； (3)y ＝-2时，x 的值。

9. 已知3=b ,且反比例函数x b

y +=

1的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大,如果点()3,a 在双曲线上x

b

y +=1，求a 是多少？